随机过程第三章-泊松过程
泊松过程
dPk 1 ( t ) 已得 Pk 1 ( t ) Pk ( t ) dt
t d [ e Pk 1 ( t )] t 两边同乘 e 得， e t Pk ( t ) dt
k d [ e t Pk 1 ( t )] [ ( t s )] 即 e s dt k!
对t s, n m：
4. P{N t n | N s m} e ( t s ) [ (t s )]n m ( n m)!
n s m 5. P{N s m | N t n} ( ) (1 s ) n m t m t
例 : 顾客依泊松过程到达某商店,速率为 4人/小时。已知商店上午9:00开门. (1)求到9:30时仅到一位顾客,而到11:30时 已到5位顾客的概率? (2)求第2位顾客在10点前到达的概率? (3)求第一位顾客在9:30前到达且第二位 顾客在10:00前到达的概率?
第三章：泊松过程
1.生成函数与泊松分布
分布律为：
或母函数
浙大数学随机过程
1
生成函数唯一地决定各阶矩 （可能为 ） （可能为 ）
例如：
定理：如果X 和Y 都是取值非负整数值的随机变量， 那么当X 与Y 独立时，对0 s 1都有： X Y ( s ) X ( s )Y ( s ). 这里 X Y ， X ，Y 分别是X Y ，X ，Y 的生成函数.
泊松过程也可用另一形式定义： 称 N (t ), t 0是参数为的泊松过程,若满足： 1. N (0) 0 2. 独立增量 3. 对任意的t s 0, N (t ) N (s) ~ t s
证 : P{N (t h ) N (t ) 1} he h(1 h o( h )) h o( h )
第三章泊松过程
定理 设是{N (t), t≥0}一个强度为l的泊松过程，则对任 意固定的t, N(t)服从泊松分布，即
P(N (t) = k ) = (lt)k e-l t
k!
k = 0,1, 2,L
二、泊松过程的数字特征与特征函数
1. 泊松过程的均值函数
mN (t) = E[N(t)]= lt
2. 泊松过程的方差函数
DN (t) = D[N(t)]= lt
3. 泊松过程的均方值函数
y
2 N
(t)
=
E[N
2
(t)]
=
DN
(t)
+
mN2
(t)
=
lt
+
(lt)2
4. 泊松过程的自相关函数
E(N (t1)N (t2 ))
令t2 ³ t1E{[N (t1)- N (0)][N (t2 )- N (t1)+ N (t1)]} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]+ [N(t1)- N(0)]N(t1)} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N (0)]N (t1)} 增量独立E{[N(t1)- N(0)][N(t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N(0)]N(t1)} 增量独立E[N (t1)- N (0)]E[N (t2 )- N (t1)]+ E{[N (t1)- N (0)]N (t1)}
mN (t) = 4t = DN (t)
RN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 ) + 16t1t2 , t1,t2 Î T
CN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 )
随机过程第三章-泊松过程
N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi
iN (tk1 )1
相互独立,即 X (t)具有独立增量性.
k 1,2, , n
(2) （2）的证明需要用到矩母函数（略）.
例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔 要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达 保险公司.每次赔付为均值为10000元的 正态分布,则一年中保险公司平均赔付额 是多少?
例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.
第 i 个顾客在商店购物支付的款数记作 Yi ,并设 Y1,Y2 ,
相互独立同分布,则在时段 (0,t] 中商店的营业额
N (t)
X (t) Yi i 1
是一个复合泊松过程.
例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每 次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司 需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.
事件A发生的次数.
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N(t)与 N(t s) N(t) 相互独立.
若在任一时间区间中发生的事件个数 N(t) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N(t) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2 s) N (t1 s)与 N(t2 ) N(t1) 有相同的分布.
,
x0
0,
x0
则称 X 服从参数为 , 的 分布,记为 X ~ ( , )
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X ~ (1, ),
Y ~ (2, ), 且 X 与 Y 独立,则
随机过程——泊松过程(习题讲解)
n ( x t )n
n!
e ( x t )
因此，
dP( Sn k
k 1 n ( x t )n ( x t ) d 1 e k k 1 n! x | N (t ) n) n 0 ( x t ) e ( x t ) dx dx (k 1)!
即，在 N (t ) n 条件下，在时刻 t 之后首次事件发生的平均时间为 t
1 .
下面求 E{Sn k | N (t ) n} ， （ k 1） ： E ( Sn k | N (t ) n)
t
xdP(Sn k x | N (t ) n) ，而
由于在 N(t)=n 的条件下，n 个到达时刻 < < …< 区 间 [0 ， t] 上 均 匀 分 布
（ ）<
与时间
,
,… ，
的 顺 序 统 计量
<…<
有相同分布，所以
故
= 习题九：假设车站有两辆客车准备开出，乘客以速率为 泊松过程登上 A 车，当 A 车坐满 的事件，乘客以速率为 的
个乘客就开出；与此独立
P( Sn k x, N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k , N (t ) n) P( N (t ) n) P( N (t ) n) P( N ( x) N (t ) k ) P( N (t ) n) P( N ( x t ) k ) 1 P( N ( x t ) k 1) P( N (t ) n) P( Sn k x | N (t ) n) 1
t
e ( x t )
第三章 泊松过程
第一节、泊松过程的基本概念
证明： （1） 0 N (0) N1 (0) N2 (0) 可得 N1 (0) N2 (0) 0 （2）由N(t)的独立增量性可得，N1 (t ), N2 (t ) 也为独立增量过程； （3）记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N1 (t , t s ) k1 ]
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
主 要 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
泊松过程的基本概念 相邻时间的时间间隔 剩余寿命与年龄 非时齐泊松过程 复合泊松过程 更新过程
第一节、泊松过程的基本概念
一、定义 一随机过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）是一计数过程，且N(0)=0; （零初值性) （2）任取 0 t1 t2 tn , （独立增量过程） N (t1 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立； （3）s, t 0, n 0, P[ N (s t ) N (s) n] P[ N (t ) n] （增量平稳性） （4）对任意 t 0 和充分小的 t 0 ，有 P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ) P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t ) 称N (t ), t 0 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 0 称 为强度常数。
即 N (s t ) N ( s) 是参数为 t 的泊松分布。
证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的等价定义： 一计数过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）N(0)=0; （2）N(t)是独立增量过程； （3）对 s, t 0, N (s t ) N (s) P(t ) ，即
随机过程第三章 泊松过程 ppt课件
第 n次事件发生的时刻, X n 是第 n次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 T n 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
证 当 t 0时,有
F 1 ( t ) P { X 1 t } 1 P { X 1 t } ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 P { N ( t ) 0 }
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~(n,)
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n,)的概率密度为
fTn (x) et
(t)n1
(n1)!
2. {T nt} {N (t)n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, ,并且由全概率公式,有
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
指数引分理布,则设有X1,X2, ,Xn 相互独立且均服从参数为 的 X 1 X 2 X n ~ ( n ,)
随机过程第三章 泊松过程
解：设一年开始为 0 时刻，1 月末为时刻 1，则年末为时刻 12，依泊松过程的定义可知
PN (12) N (0) n e412 (412)n
n!
平均索赔请求次数及金额
E[N(12) N(0)] 412 48
3.2 与泊松过程相联系的若干分布
记 Tn , n 1, 2,表示第 n 次事件发生的时刻，规定T0 0 。记 Xn , n 1,2, 表示第 n
即
N(t) n Tn t
因此
PTn
T
P N (t )
n
in
et
(t)i i!
对上式求导，得到Tn 的概率密度函数
f (t)
et (t)i
et
(t)i1
et
(t )( n 1)
in
i! in
(i 1)!
(n 1)!
命题得证。
注：Tn 的数字特征
ETn
n
,
DTn
n 2
；且
ETn
nEX n
P ti Ti ti hi ,i 1, 2,, n N (t) n
PN (ti
hi )
N (ti )
1,
N (ti1) N (ti hi )
PN (t) n
0,1
i
n,
N (t1)
0
h1e h1
h e e hn (th1h2 hn ) n et (t)n / n!
n! tn
-2-
P0 (t) et
类似地，当 n 1时
Pn (t h) PN (t h) n PN (t) n, N (t h) N (t) 0 PN (t) n 1, N (t h) N (t) 1
第3讲第三章泊松过程
P Tn t T1 s1,,Tn1 sn1 P Nt s1 sn1 Ns1 sn1 1T1 s1,,Tn1 sn1
PN t s1 sn1 N s1 sn1 1
1 PN t s1 sn1 N s1 sn1 0
(2) N(t)是独立增量过程；
(3) 对一切0≤s,t, N(t+s) －N(s) ～P(λt),即
P[N (t s) N (s)] k et [t]k , k 0,1, 2,
k! 称{N( t ),t≥0)是参数为λ的齐次泊松过程.
注1 从增量分布知：齐次泊松过程也是平稳增量过程.
注2 N(t) ～P(λt).
et (t)k1 dt
t0
(k 1)!
例3.3 设N1(t)和N2( t )分别是强度为λ1和λ2的相互独立的
泊松过程, Wk1为过程N1(t)的第k个事件的到达时间，
W12 为过程N2(t)的第1个事件的到达时间，求 P Wk1 W12
解： fwk1
x
e1x 1
1 x k1
(k 1)!
所以3.2→定义3.3
再证 由定义3.3 → 定义3.2
即：需证明 N(t s) N(s) ~ t 由于是平稳增量故只需证 N(t) ~ t
记：Pn t PN(t) n
下面我们依次求Po(t), P1(t),…， Pk(t) ,…
首先，由定义3.3中的条件（3）：
P1 h h oh
P0
0
1,由条件1
N
0
0
解得p0 (t) et , t 0
当n≥1时， n
pn (t h) pk (h)pnk (t) k 0 p0 (h) pn (t) p1(h) pn1(t) oh
随机过程 第3章 泊松过程
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,
随机过程3-泊松分布
3.2 泊松过程的性质
(3)n 1
T1=s1 T2=s2 0 Tn-1 =sn-1 Tn t
PX ( s1 sn1 t ) X ( s1 sn1 ) 0 e
t
PTn t | T1 s1 ,, Tn1 sn1
W1
W2
第三章 泊松过程
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.1随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生 的事件A的总数，且N(t)满足条件 (1) N(t) 0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) N(t); (4)当s < t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中 发生事件A的次数。
3.1 泊松过程的定义
(3)当n 1时，
由于P 0） P X(0) 1 0 （ 1 所以C 0，P (t ) te 1
t
d t e P (t ) et P0 (t ) et e t 1 dt t P (t ) (t C )e 1
3.1 泊松过程的定义
• 独立增量计数过程 对于t1< t2 < < tn，N(t2) - N(t1), N(t3) -N(t2), , N(tn)-N(tn-1) 独立 • 平稳增量计数过程 在(t, t+s]内(s>0)，事件A发生的次数 N(t+s) -N(t)仅与时间间隔s有关，而与 初始时刻t无关
3.1 泊松过程的定义
Pn (t h) Pn (t ) o(h) Pn (t ) Pn1 (t ) h h 当h 0时，Pn (t ) Pn (t ) Pn1 (t ) e t Pn (t ) Pn (t ) e t Pn1 (t ) d t t e Pn (t ) e Pn1 (t ) dt
第3章 泊松过程
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程
N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数，称{N(t)， t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1， N(t) ≥0
2， N(t)为整数
3，若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4，当s < t 时，N(t)－ N(s) 为区间(si 1
n
则
X i Ti Ti 1
称Tn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).
定理1 设{Xn, n≥1}是参数为λ的泊松过程 {N(t), t≥0}的时间间隔序列， 则{Xn, n≥1}相互 独立同服从指数分布， 且E{X}=1/λ. 证 (1) 因 {X1>t}={(0, t)内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
P0 t h P0 t o h P0 t h h dP0 t P0 t 令h 0, 得 dt P 0 1, 条件1N 0 0 0
解得
p0 ( t ) e
t
,
t 0.
Fn t P X n t 1 e t , t 0.
注 (1)上述定理的结果应该在预料之中,因为泊
松过程有平稳增量,过程在任何时刻都“重新开 始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指 数 分布的“无记忆性”是对应的.
(2)泊松过程的另一个等价定义：
独立，且服从同一参数 的指数分布，则记数过
两边同乘以eλt 后移项整理得
d [e t Pn ( t )] t e pn 1 ( t ) dt
当n=1, 则
( 2)
d [e t P1 ( t )] e t P0 t e t e t dt P 0 0 1
随机过程Ch3泊松过程ppt课件-48页PPT精选文档
13
n
P [ N (t) N (0)] n j P N (t h) N (t) j j0
n
Pn j (t )Pj (h) j0
n
Pn (t ) P0 (h) Pn1 (t ) P1 (h) Pn j (t )Pj (h) j2
设随机过程{ N(t) ， t 0 }是一个计数过程，
0
满足
08.10.2019
9
（1） N (0) 0
2
（3） P{N(h) 1} h (h)
（4） P{N(h) 2} (h)
其 中 ( h ) 表 示 当 h 0 时 对 h 的 高 阶 无 穷 小 ，
则 随机过程{ N(t)， t 0 }称为一个计数过程
且满足：
（1） N(t) 0 （2） N(t)是整数值
（3）对任意两个时刻 0 t1 t2 ，有 N (t1) N (t2 ) （ 4 ） 对 任 意 两 个 时 刻 0 t 1 t 2 ，
N (t2 ) N (t1)等于在区间 (t1 , t2 ] 中发生的事件的个数
则称 N(t) 为具有参数 的 Poisson(泊松)过程
注意 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且
E[N(t)]t 并称
速率或强度
（单位时间内发生的事件的平均个数）
08.10.2019
8
说明
要确定计数过程是Poisson过程，必须证明 它满足三个条件。（条件3很难验证）
为此给出一个与Poisson过程等价的定义
P0 (t )
o(h) h
,
当h
0时 有 P0(t )
随机过程第三章泊松过程
随机过程第三章泊松过程泊松过程是随机过程中的一类重要过程，在许多领域都有广泛应用，如排队论、可靠性分析、金融工程等。
泊松过程的概念由法国数学家泊松提出，它具有无记忆性、独立增量和平稳增量等重要特征。
在本文中，我们将介绍泊松过程的定义、性质以及一些实际应用。
泊松过程的定义：设N(t)是在区间[0,t]内发生的事件个数，若满足以下三个条件，则称N(t)是具有独立增量和平稳增量的泊松过程：1.N(0)=0，表示在时间0之前没有事件发生；2.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布只与时间间隔t-s有关，与s时刻之前的事件个数无关，这表明泊松过程具有无记忆性；3.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布是一个参数为λ(t-s)的泊松分布，其中λ是过程的强度参数。
泊松过程具有很多重要的性质。
首先，泊松过程的均值和方差等于其强度参数λ。
其次，泊松过程的增量独立，即在非重叠区间上的增量相互独立。
此外，泊松过程的时间间隔也是独立同分布的指数分布。
泊松过程具有广泛的应用。
在排队论中，泊松过程可用于描述到达队列的顾客数量。
在可靠性分析领域，泊松过程可用于描述设备的故障次数。
在金融工程中，泊松过程可用于模拟股票价格的变动和交易的发生。
在实际应用中，对于给定的泊松过程，我们通常感兴趣的是估计其强度参数λ。
常用的估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计通过最大化观测到的事件发生次数和估计的事件发生率之间的似然函数，来估计λ的值。
矩估计则是通过将观测到的事件个数的平均值等于λ的估计值，来确定λ的值。
此外，在泊松过程的应用中，我们还可能遇到泊松过程的两个重要扩展：非齐次泊松过程和二维泊松过程。
非齐次泊松过程是指强度参数λ是时间的一个函数，而不是常数。
二维泊松过程是指同时考虑两个独立的泊松过程，其事件发生次数可能影响到对方的发生次数。
综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有无记忆性、独立增量和平稳增量等特征。
chapter 3泊松过程
3.1 泊松过程的定义
3.1 泊松过程的定义
3.1 泊松过程的定义
Poisson 过程的常见例子
• • • • • • 排队论：到达的顾客数 一个地区的降雨量 撞击光电探测器的光子数 (自动)电话交换机的接入电话数， 长时间内川大网络服务器的网页请求 服务台接到咨询电话的次数
3.1 泊松过程的定义
j=0
= Pn ( t ) P0 ( h ) + Pn −1 ( t ) P1 ( h ) + ∑ Pn − j ( t ) P j ( h )
j=2
n
= Pn ( t ) P0 ( h ) + Pn −1 ( t ) P1 ( h ) + o ( h ) = (1 − λ h ) Pn ( t ) + λ hPn −1 ( t ) + o ( h ) n ⎛ n ⎞ ⎜ ∑ Pn − j (t ) Pj (h) ≤ ∑ Pj (h) ≤ ⎟ j =2 ⎜ j =2 ⎟ ⎜ ∞ ⎟ ⎜ ∑ Pj (h) = P ( N (h) − N (0) ≥ 2) = o(h) ⎟ ⎝ j =2 ⎠
(参数λ>0)
3.1 泊松过程的定义
定理：泊松过程两种定义等价。 证明：定义A⇒定义B 。由定义A(3)知平稳 性，下证定义B(3)。当h充分小有 P { N (t + h) − N (t ) = 1} = P { N ( h) − N (0) = 1}
( −λ h) n =e = λ h∑ 1! n! n =0 = λ h[1 − λ h + o(h)] = λ h + o(h)
N(t) 第三个信号到达 … … … … 第二个信号到达 第一个信号到达
0
第三章泊松过程
第三章 泊松过程3.1 泊松过程的定义和例子定义3.1 称随机过程}0),({≥t t N 为计数过程,若N(t)表示到时刻t 为止已发生的事件A 的总数,且N(t)满足下列条件:(1)0)(≥t N ;(2)N(t)取整数值;(3)若s<t,则);()(t N t N ≤(4)当s<t 时,N(t)-N(s)等于区间],(t s 中发生的事件A 的次数.如果计数过程N(t)在不相重叠的时间间隔内,事件A 发生的次数是相互独立的即若4321`t t t t <≤<,则在],(21t t 内事件A 发生的次数)()(12t N t N -与在],(43t t 内事件A 发生的次数)()(34t N t N -相互独立,此时计数过程N(t)是独立增量过程. 若计数过程N(t) 在],(s t t +内(s>0),事件A 发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s 有关,而与t 无关,则计数过程N(t)是平稳增量过程.泊松过程是计数过程的最重要的类型之一,其定义如下:定义3.2 称计数过程}0),({≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程,若它满足下列条件 (1) X(是独立增量过程;(3)在任一长度为t 的区间中,事件A 发生的次数服从0>λ的泊松分布,即对任意0,≥t s 有 ,...,2,1,0,!)(})()({===-+-n n t en s X s t X P ntλλ (3.1) 从条件(3)知泊松过程是平稳增量过程且t t X E λ=)]([.t t X E /)([=λ表示单位时间内事件A 发生率平均个数,故称0>λ为此过程的速率或强度. 条件(3)的检测是非常困难的.为此给出泊松过程的另一个定义.定义3.3 称计数过程}0),({≥t t X 为具有参数0>λ的泊松过程,若它满足下列条件:(1)X(是独立平稳增量过程;(3)X(t)满足下列两式:),(}1)()({h o h t X h t X P +==-+λ),(}2)()({h o t X h t X P =≥-+ (3.2)定义中的条件(3)说明,在充分小的时间间隔内,最多有一个事件发生,而不能有两个或两个以上事件同时发生,这种假设对于许多物理现象较容易得到满足.定理3.1定义3.2与定义3.3是等价的.例3.1考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤,令X(t)表示电话交换台在],0(t 内收到的呼唤次数,则}0),({≥t t X 满足定义3.3的条件,故该随机过程是一个泊松过程.例3.2考虑来到某火车站售票处购买车票的旅客.若记X(t)为在时间[0,t]内到达售票处窗口的旅客数,则}0),({≥t t X 为一个泊松过程.例3.3考虑机器在],(h t t +内发生故障这一事件.若机器发生故障,立即修理后继续工作,则在],(h t t +内机器发生故障而停止工作的事件数构成一个随机过程,它可以用泊松过程进行描述. 3.2 泊松过程的基本性质 一,数字特征根据泊松过程的定义,我们可以导出泊松过程的几数字特征. 设}0),({≥t t X 是泊松过程,对任意的),0[,∞∈s t ,且s<t,有 ),()]()([)]()([s t s X t X D s X t X E -=-=-λ 由于X(0)=0,故,)]0()([)]([)(t X t X E t X E t m X λ=-== (3.4),)]0()([)]([)(2t X t X D t X D t X λσ=-==)]()([),(t X s X E t s R X ==)]}()()()[({s X s X t X s X E +- =2)]([)]()()][0()([s X E s X t X X s X E +--=2)]}([{)]([)]()([)]0()([s X E s X D s X t X E X s X E ++--=).1()()(2+=++-t s s s s t s λλλλλλ.)()(),(),(s t m s m t s R t s B X X X X λ=-= (3.5) 特征函数为)].1(exp[][)()(-==iu t iuX X e t e E u g λ (3.6) 二,时间间隔与等待时间的分布设}0),({≥t t X 是泊松过程,令X(t)表示t 时刻事件A 发生(顾客出现)的次数,,...,,21W W 分别表示第一次,第二次,…事件A 发生的时间,)1(,≥n T n 表示从第(n-1)次事件A 发生到第n 次事件A 发生的时间间隔,(如图3.1所示)._________________12211→-----→←→←→←-n n n W T W W T W T图3.1通常,称n W 为第n 次事件A 出现的时刻或第n 次事件A 的等待时间,n T 是第n 个时间间隔,它们都是随机变量.定理3.2设}0),({≥t t X 是具有参数λ的泊松分布, )1(,≥n T n 是对应的时间间隔序列,则随机变量)1(,≥n T n 是独立同分布的均值为λ1的指数分布.证明 首先注意到事件}{1t T >发生当且仅当泊松过程在区间[0,t]内没有事件发生,因而,}0)({}{1t e t X P t T P λ-===>,1}{1}{)(111t T e t T P t T P t F λ--=>-=≤=所以1T 是服从均值为λ1的指数分布,利用泊松过程独立,平稳增量性质,有],{(}{12t s s P s T t T P +==>内没有事件发生}1s T = =],{(t s s P +内没有事件发生}=}0)()({=-+s X s t X P=t e X t X P λ-==-}0)0()({,1}{1}{)(222t T e t T P t T P t F λ--=>-=≤= 所以2T 也是服从均值为λ1的指数分布.对于任意,0,...,,,,1121≥≥-n s s s t n 有}0...()...({},...,{1111111=++-+++===>----n n n n n s s X s s t X P s T s T t T P=t e X t X P λ-==-}0)0()({,1}{1}{)(t n n T e t T P t T P t F n λ--=>-=≤= 所以对任n T 也是服从均值为λ1的指数分布. {,,0,0,0,1}{)(<≥-=≤=-t t e t T P t F t n T n λ其概率密度为 ⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,t t e f t T n λλ因为 ∑==nk k n T W 1由定理 3.2知,n W 是相互独立的指数分布随机变量之和,故用特征函数方法,立即可得如下定理:定理3.3设}1,{≥n W n 是与}0),({≥t t X 对应的一个等待时间序列,则n W 服从参数为n 与λ的Γ分布,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=--.0,0,0,)!1()()(1t t n t e t f n t W n λλλ (3.7) 定理3.3的另一证明.注意到第n 个事件在时刻t 或之前发生当且当到时间t 已发生事件的数目至少是n,即.)(t W n t X n ≤⇔≥因此 !)(})({}(j t en t X P t W P jn j tn λλ∑∞=-=≥=≤. 对上式求导,得n W 的概率密度是 !)()(j t et f jn j tW n λλλ∑∞=--=. =.)!1()(1-=--n t en tλλλ 三,到达时间的条件分布假设在[0,t]内事件A 已经发生一次,我们要确定这一事件到达时间1W .的分布.因为泊松过程有平稳独立增量,故有理由认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同.换言之,这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布.事实上,对s<t, 有}1)({}1)(,{}1)({11==≤==≤t X P t X s W P t X s W P}1)({}0)()(,1)({==-==t X P s X t X s X P }1)({}0)()(,1)({==-==t X P s X t X s X P =,)(t ste e se t s t s =----λλλλλ 即分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<==;,1,0,,0,0)(1)(1t s t s t s s s F t X W定理3.4设}0),({≥t t X 是泊松过程,已知在[0,t]内事件A 发生n 次,则这n 次到达时间n W W W <<<...,21与相应于n 个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布.证明 令,....0121t t t t n =<<≤+且取i h 充分小使得1+<+i i i t h t (i=1,2,…,n),则在给定X(t)=n 的条件下,我们有})(,...,{1111n t X h t W t h t W t P n n n n =+≤≤+≤≤ =})({],0[,,...2,1,],{[n t X P t n i h t t P i i i ==+的别处无事件中有一事件=,...!!/)(...21)...(111n n nt h h t h n h h h h tn n t e e e h e h nn=-------λλλλλλλ 因此ni i i i h h n t X n i h t W t P ...})(,....,1,{1==+≤≤=.!n t n 令0→i h ,我们得到n W W ,...,1在已知X(t)=n 的条件下的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥<≤==.0;,0,0,1)(1)(1s t s t s ts f t X W⎪⎩⎪⎨⎧<<<=,,0,...0,!),...,(11其它n n n t t t n t t f例 3.4设在[0,t]内事件A 已经发生n 次,且,0t s <<对于,0n k <<求}.)()({n t X k s X P ==解 利用条件概率及泊松分布得})({})(,)({})()({n t X P n t X k s X P n t X k s X P =======})({})()(,)({n t X P k n s X t X k s X P =-=-==!)()!()]([!)()(n t e k n s t ek s entkn s t k tλλλλλλ-------=.)1()(k n kk n t s t s C -- 这是一个参数为n 和s/t 的二项分布.例3.5设在[0,t]内事件A 已经发生n 次,求第k(k<n)次事件A 发生的时间k W 的条件概率密度函数解 先求条件概率},)({n t X h s W s P s =+≤<再对s 求导. 当h 充分小时,有==+≤<})({n t X h s W s P s=})({/)(,{n t X P n t X h s W s P s ==+≤<=!)(})()(,{n t e k n h s X t X h s W s P n t s --=+-+≤<λλ =!)(})()({}{n t e k n h s X t X P h s W s P n t s --=+-+≤<λλ将上式两边除以h,并令0→h 取极限,得到 hn t X h s W s P n s f k h t x W k})({lim )(0)(=+≤<=→=!)(})()({)(n t e k n s X t X P s f n t W k --=-λλ=.)1()!()!1(11kn kk ts t s k n k n -----其中利用了定理3.3的结论.例3.6 设}0),({1≥t t X 和}0),({2≥t t X 是两个相互独立的泊松过程,它们在单位时间内平均出现的事件数分别为21,λλ.记)1(k W 为过程}0),({1≥t t X 的第k 次事件到达时间,)2(1W 为过程}0),({2≥t t X 的第一次事件到达时间,求}{)2(1)1(W W P k <,即第一个泊松过程的第k 次事件发生比第二个泊松过程的第1次事件发生早的概率.解 设)1(k W 的取值为x, )2(1W 的取值为y,由(3.7)式⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=--.0,0,0,)!1()()(1111)1((x x k x e x f k x W kλλλ⎩⎨⎧<≥=-.0,0,0,)(2)2(12y y e y f y W λλ则⎰⎰=<Dk dxdy y x f W W P ),(}{)2(1)1(其中D 为由y=x 与y 轴所围区域,f(x,y)为)1(k W 与)2(1W 的联合概率密度.由于两个随机过程相互独立,因此),()(),()2(1)1(y f x f y x f W W k=所以 ⎰⎰=<Dk dxdy y x f W W P ),(}{)2(1)1(=dydx e k x ey n xx2121101)!1()(λλλλλ---∞∞-⎰⎰=.)(211k λλλ+例3.7 仪器受到振动而引起损伤.如果震动是按照强度为λ的泊松过程发生,第k 次震动引起的损伤为k D ,,...,21D D 是独立同分布随机变量序列,且和}0),({≥t t N 独立,其中N(t)是表示[0,t]时间段仪器受到震动次数,又假设仪器受到震动而引起的损伤随时间按指数减少,即如果震动的初始损伤为D 则震动之后经过时间t 后减少为).0(>-ααt De 设损伤是可叠加的,即在时刻t 的损伤可表示为))()(1)(k t t t N k ke D t D --=∑=α,其中k t 为仪器受到第k 次震动的时刻,求E[D(t)].解 E[D(t)]=][)(1)(∑=--t N k t t k k eD E α =)},(][{)(1)(t N e D E E t N k t t k k ∑=--α由于==∑=--})(]{[)(1)(n t N eD E t N k t t k k α})(]{[1)(n t N e D E nk t t k k =∑=--α=])([)(11n t N e E eD E nk t tk =∑=-αα由定理3.4知(U(k)是[0,t]上相互独立的均匀随机变量的顺序统计量) ]1[1][][])([0)(1)(1-=====⎰∑∑==tt x k U nk k U nk t e tn dx e t nEe n e E n t N eE kαααααα, 因此).1()()]([),(]1[)()]()([11t t e D E t D E D E e tt N t N t D E αααλα---=-=3.3非齐次泊松过程定义3,4称计数过程}0),({≥t t X 为具有跳跃强度函数)(t λ的非齐次泊松过程,如果它满足下列条件; (1) X(0)=0;(2) X(t)是独立增量过程;(3)).(}2)()({),()(}1)()({h o t X h t X P h o h t t X h t X P =≥-++==-+λ显然根据强度的物理意义,非齐次泊松过程的均值函数为⎰=tX ds s t m 0)()(λ (3.9)概率分布由下面定理给出.定理3.5 设}0),({≥t t X 是具有均值函数⎰=tX ds s t m 0)()(λ的非齐次泊松过程,则有})()({n t X s t X P =-+=)0()]},()([exp{!)]()([≥-+--+n t m s t m n t m s t m X X nX X 例3.8 设}0),({≥t t X 是具有跳跃强度)cos 1(21)(wt t +=λ的非齐次泊松过程 )0(≠w ,求E[X(t)]和D[X(t)].解 由(3.9)E[X(t)]=D[X(t)]=).sin 1(21)cos 1(210wt wt ds ws t+=+⎰ 3.4 复合泊松过程定义3.5 称计数过程}0),({≥t t N 为具有跳跃强度函数λ齐次泊松过程,},...,2,1,{=k Y k 是一列独立同分布的随机变量,且与}0),({≥t t N 独立,令,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k则称}0),({≥t t X 为复合泊松过程.例3.10设N(t)是在时间段],0(t 内到达某商店的顾客数, }0),({≥t t N 是泊松过程.若k Y 是第k 个顾客在商店所花的钱数,则},...,2,1,{=k Y k 是独立同分布随机变量序列,且与}0),({≥t t N 独立,记X(t)为该商店在],0(t 时间段内的营业额,则,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k 是一个复合泊松过程.定理3.6 设,0,)()(1≥=∑=t Y t X t N k k 是复合泊松过程,则(1) }0),({≥t t X 是独立增量过程;(2) X(t)特征函数]},1)({exp{)()(-=u g t u g Y t X λ其中)(u g Y 是随机变量1Y 的特征函数;λ是事件的到达率;(3)若,)(21∞<Y E 则].[)]([],[)]([211Y tE t X D Y tE t X E λλ== 证明 (1)令,....0210m t t t t <<<≤则.,...,2,1,)()()(1)(11mk Y t X t X k k t N t N i ik k ==-∑+=-- 由条件,不难验证X(t)具有独立增量性.(2) 因为=)()(u g t X ][)(t i u X eE =})({])([)(0n t N P n t N e E t iuX n ==∑∞==1)(])([1n t en t N eE ntY iun nk kλλ-∞==∑=∑=!)(][1n t eeE ntY iun nk kλλ-∞=∑=∑=!)()]([0n t eu g ntn Y n λλ-∞=∑=exp{]}.1)([-u g t Y λ (3) 由条件期望的性质E[X(t)]=E{E[X(t))]}(t N ,由假设知 ==])()([n t N t X E ==∑=])([)(1n t N Y E t N i i ==∑=])([1n t N Y E ni i),(][11Y nE Y E ni i ==∑=所以E[X(t)]=E{E[X(t))]}(t N =E[N(t)])(1Y E =).(1Y tE λ 类似地],[)()]()([1Y D t N t N t X D =)({)]([t N E t X D =D[1Y ]}+D{N(t)E[]}1Y =.)()()(21211Y tE EY t Y tD λλλ=+。
第三章泊松过程(随机过程刘次华版本)
P
W (1) k
W1(2)
0
e
1 x
x1
(1x)k 1
(k 1)!
2e2 ydydx
1k
x e dx k 1 (1 2 ) x
(k 1)! 0
1
1 2
k
32
3.2.3 到达时间Wn的条件分布
3.2 泊松过程的性质
假设在[0, t]内事件A已经发生1次，确定这一事
件到达时间W1的条件分布密度
求
P
W (1) k
W (2) 1
即第一个泊松过程第k次事件发生比第二个泊松过 程第1次事件发生早的概率.
29
3.2 泊松过程的性质
解
设
W (1) k
的取值为x，W1(2)
的取值为y，
fWk(1)
(
x)
1e
0
1 x
,
(1
(k x
x ) k 1 1)! 0
,
x
0
fW1( 2)
(
y)
2e
2
0 ,
y, y
nn
P
P[X[(Xt) (tX(0h))]
nX(tj)|]X([tX (ht))XX(t()0)]j
j0j 0
PnX|(tX(ht )hX)(t)X (jt) j PX(t h) X(t)
n
P[X(t) X(0)] n j | X(t h) X(t)10 j j0
3.1 泊松过程的定义
D[ X (s)] （E[ X (s)]）2
s(t s) s (s)2 s(t 1)
17
3.2 泊松过程的性质
BX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) s 若t s,则BX (s, t) t, 从而 BX (s, t) min(s, t)
应用随机过程3-泊松过程
3.1 Poisson过程 3.2 与Poisson过程相联系的若干分布 3.3 Poisson过程的推广
2010-9-2
理学院 施三支
3.1 泊松过程
1．计数过程 定义3.1.1 如果用 X (t ) 表示 [0，t]内某一特定事件发生的次数，则
随机过程{ X (t ) ， t 0 }称为一个计数过程。 且满足：
2010-9-2 理学院 施三支
到达时间的条件分布
定理3.2.3 设 {X (t), t 0 }是泊松过程，已知在[0, t]内事件A 发生n次，则这n次到达时间W1< W2< …< Wn与相应于 n个[0, t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相 同的分布，即
n! n , 0 t1 t n t f (t1 , , t n X (t ) n ) t 其它 0,
/小时的泊松过 顾客到达某 商店服从 参数 4 人 程，
已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一 位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。
2010-9-2
理学院 施三支
3.2 与Poisson过程相联系的若干分布
1．到达时间间隔Tn和等待时间Wi的分布 定义3.2.1
设 { X (t ) ， t 0 } 为 泊 松 过 程 ，
P { X ( t h ) X ( t ) 2} o ( h )
非齐次泊松过程的均值和方差函数为:
m X (t ) D X (t )
2010-9-2 理学院 施三支
t
0
(s) d s
非齐次泊松过程的分布
定理3.3.1 设{ X (t) , t 0 }为具有均值函数 m ( t ) 的非齐次泊松过程，令 N * (t ) X (m 1 (t )) ，则有
随机过程课件-第三章 泊松过程
1. N(t) ≥0;
2. N(t)取正整数值； 3. 若s<t，则N(s) ≤N(t)；
4. 当s<t时，N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的“事件A”的次数。
计数过程N(t)是独立增量过程 如果计数过程在不相重叠的时间间隔内，事件A发生的次数是相互独立的。 计数过程N(t)是平稳增量过程 若计数过程N(t)在(t,t+s]内（S>0），事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时 间差s有关，而与t无关。
2
泊松过程定义1： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ >0的泊松过程，若它满足下列条件： 1、X(0)=0； 2、X(t)是独立增量过程； 3、在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λ>0的泊松分布， 即对任意s,t≥0，有 n t ( t )
P{ X (t s ) X ( s ) n} e n! , n 0,1,
1 e t , t 0 FTn (t ) P{Tn t} t0 0,
概率密度为
e t , f Tn (t ) 0,
t 0 t 0
10
等待时间的分布
等待时间Wn是指第n次事件A到达的时间分布
Wn
T
i 1
n
i
因此Wn是n个相互独立的指数分布随机变量之和。
第三章 泊松过程
泊松过程定义 泊松过程的数字特征 时间间隔分布、等待时间分布及到达时间的 条件分布 复合泊松过程 非齐次泊松过程 滤过泊松过程
1
计数过程： 称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事 件A”的总数，且N(t)满足下列条件：
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第二节 与泊松过程相联系的若干分布
预备知识 (1) 函数定义为:
(z) xz1ezdz
0
(2)有关 函数的几个重要公式:
(z1)z (z)
(n1)n!
1
2 .
(3)若随机变量 X的概率密度为
f (x)() x1ex, x0
0,
x0
则称 X服从参数为 , 的 分布,记为 X~(,)
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X~(1,),
Y~(2,),且 X与 Y独立,则
X Y~ (1 2,)
.
指数引分理布,则设有X1,X2,,Xn相互独立且均服从参数为 的
s ,t 0 。
.
.
例 例112：设{N(t),t 0}服从参数为的泊松过程，求
(1) P{N(5) 4}; (2) P{N(5) 4, N(7.5) 6, N(12) 9}; (3) P{N(12) 9 N(5) 4}; (4) P{N(5) 4 N(12) 9}; (5) E[N(5)],D[N(5)],Cov[N(5), N(12)].
( 5)4 ( e 1 2 5 ) 4 9 ! e ( 7 1 2 ) 5 9 e ! 7 5 ! C 9 41 5 241 1 5 29 4 .
(5 )E [N (5 )]= 5,D N 5 5, C o v [N ( 5 ) ,N ( 1 2 ) ] D N 5 5.
2. DNt0,tDNtNt0tt0， 特 别 地 ， t00， 由 假 设 N00， 可 得 ： NtENtt,DNtDNtt；
3 .C N s , t D N m i n s , t m i n s , t ， s , t 0 ；
4 .R N s ,t C N s ,t N sN t m in s ,t 2 s t，
P { M (t) m } P { M (t) m |N (t) n } P { N (t) n } n 0
而 P { M (t) m |N (t) n } 0 若 nm
P {M (t)m |N (t)n} m n pm (1p)nm 若 nm .
由题意
P{N(t)n}(t)net
第三章 泊松过程
第一节 泊松过程的基本概念
.
.
定义3.1(计数过程)随机过程 {N(t),t0}称为计数过程,如 果N (t) 表示t时刻为止,某一特定事件A发生的次数.
由定义,计数过程具有以下两个特点:
(1) N (t)取值为非负的整数;
(2) st时, N(s)N(t)且 N(t)N(s)表示时段 (s, t ] 内
事件A发生的次数.
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N (t)与
N(ts)N(t)相互独立. .
若在任一时间区间中发生的事件个数 N (t) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N (t) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2s)N (t1s)与 N(t2)N(t1)有相同的分布.
.
例2 事件A的发生形成强度为 的泊松过程 {N(t),t0}.如 果每次事件发生时以概率 p能够记录下来,并以 M (t)表示到 t时刻被记录下来的事件总数,证明{M(t),t0}是一个强度为
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2,,并且由全概率公式,有
若 {N(t),t0}是参数为 的泊松过程,则有
E(N(t))t
于是可以认为 是单位时间内事件发生的平均次数. 称 为泊松过程的强度、风险率或速率.
.
强 度 为 的 泊 松 过 程 的 数 字 特 征 ：
1 . E N t 0 , t E N t N t 0 t t 0 ；
n!
于是
P { M (t) m } n m m n p m (1 p )n m (n t!)ne t
etpm (t)m(1p)nm (t)nm
m ! nm (nm )!
et pm( t)met(1p)
m!
(pt)m etp
m!
所以, {M(t),t0}是一个强度为 p 的泊松过程. .
解 ： ( 1 )P N 5 4 ( 5 ) 4 e 5 4 !
(2 ) P N 5 4 ,N (7 .5 ) 6 ,N (1 2 ) 9 P N 5 4 ,N (7 .5 ) N (5 ) 2 ,N (1 2 ) N (7 .5 ) 3
[ ( 5 ) 4 e 5 4 ! ] [ ( 2 . 5 ) 2 e 2 . 5 2 ! ] [ ( 4 . 5 ) 3 e 4 . 5 3 ! ]
定义3.2(泊松过程)计数过程{N(t),t0}称为参数为(0)
的泊松过程,如果:
(1) N(0)0;
(2) N (t) 有独立增量;
(3)对任意的 s,t 0,有
P {N (ts)N (s)n }(t)ne t, n0,1,2,
n !
由条件(3)可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t
的区间中事件的个数服从参数(均值)为 t 的泊松分布.
在实际过程中,条件(3)的验证存在着一定的困难,为此我 们给出泊松过程另一个等价定. 义.
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定理3.1 计数过程 {N(t),t0} 称为泊松过程 ,参数为(0), 如果
(1) N(0)0; (2) 过程有平稳与独立增量;
(3) P { N (h ) 1 } h o (h );
(4) P {N (h)2}oPN(12)N(5)5N(5)4
P N ( 1 2 ) N ( 5 ) 5 ( 7 ) 5 e 7 5 !
(4)PN(5)4N(12)9
PN(5)4,N(12)9PN(12)9
P N ( 5 ) 4 P N ( 1 2 ) N ( 5 ) 5 P N ( 1 2 ) 9