第四章 频率特性

j [t ( )]
A( )M sin[t ( )]
得到线性系统的幅频特性和相频特性：
A() G( j)
() G( j)
频率特性和传递函数的关系为
G ( j ) G ( s ) s j
频率特性与传递函数
j
频率特性 G(j)
j
s
P 1 1 2 2 1 1 Q2 P2
1 1 s 1 G ( j ) 1 j
P Q P
2 2
1 2 1 2 2 (P ) Q ( ) 2 2
Im[G(jω)]
惯性环节1G(jω)
0
1
Re[G(jω)]
惯性环节的bode图 对数幅频特性为： L( ) 20lg
线性定常系统的传递函数表达式为
C ( s) N ( s) N ( s) G( s) R( s) D( s) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) M 输入为r(t)=Msin(ωt)， R( s) 2 s 2 N ( s) M C ( s) 2 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) s 2
G （一） 传递函数： (s) K G 比例 频率特性： ( j) K 环节
A() G( j) K ( ) G( j) 0
L() 20lg A() 20lg K
() 0
一、比例环节 比例环节的传递函数为：G(s)=K=const 频率特性表达式为： G( j ) K const
G( j) A()e j ( )
G( j) A()e j ( )
M b1 A( )e j ( ) 2j
M b2 A( )e j ( ) 2j
css (t ) b1e
jt
b2e
jt
A( )M
e
j [t ( )]
e 2j
对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同 上式表明：
频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。
输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设 输入为Xej0，输出为Yejφ，则输出输入之复数比为：
A( ) —幅值频率特性 Ye j Y j j ( ) e A( )e j0 Xe X ( ) —相角频率特性
0°

0 -90
A( )
()( )
1.0 0.8
-71.6
-76.0
-78.7
0.6 0.4 0.2 0
( )
3 4 5
A( )
-20° -40° -60° -80°
1 2
1 2 3 4 5
频率特性G(jω)也可以表示成实部和虚部的复数形式。
G( j) P() jQ()
十倍频程 十倍频程
2 0 l g | G ( j ω ) | ( d B )
0.1 0.2 0.3 1
十倍频程
十倍频程
2 3 10
十倍频程
20 30 100
ω(rad/s)
频率的对数分度
对数幅频特性： 指G(jω)的对数值20lg|G(jω)|和频率ω的关系曲线。 即纵坐标 对数相频特性： 指G(jω)的相角值φ(ω)和频率ω的关系曲线。 纵坐标是的单位是“ °”。采用线性刻度。
b2e
b1 G ( s )
M M ( s j ) G ( j ) ( s j )( s j ) 2j s j
M M b2 G ( s ) ( s j ) G ( j ) ( s j )( s j ) 2j s j
G(jω)是一复数，可写为
第五章 线性系统的频域分析
§5.1 频率特性的概念 §5.2 典型环节的频率特性 §5.3 系统的开环频率特性 §5.4 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性 §5.5 利用开环频率特性分析系统性能 §5.6 利用闭环频率特性分析系统性能
时域方法准确、直观。但用解析法求解系统的 时域响应不易。 正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量 称为频率响应。
1 1 2 2
20 lg 1 2 2
采用近似方法，即用渐近线分段表示频率特性。 在低频段，ω<<1/τ，即ωτ<<1 ，可略去 ω2τ2。 频率特性可近似为：L(ω)≈0dB —低频渐近线 在高频段，ω>>1/τ，即ωτ>>1 ，可略去 1。 频率特性可近似为：L(ω)≈-20lg ωτ —高频渐近线 ω的频率增大10倍时 ΔL(ω) =L(10ω1)-L(ω1)=-20(dB)
（3）所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直 线近似表示。 （4）容易将频率实验数据用分段直线拟合，从而 得到对数频率特性或传递函数。 3. 对数幅相特性曲线（Nichols图)
由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。
可以方便求出系统闭环频率特性及有关特征 参数，作为评估系统性能的依据。
二、 典型环节的频率特性
j2 ( )
L( ) 20 lg A( ) 20 lg A1 ( ) 20 lg A2 ( ) 20 lg An ( ) L1 ( ) L2 ( ) Ln ( )
Gn ( j) An ()e
…
jn ( )
() 1 () 2 () n ()
系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率 特性。
是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性 能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。 具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。
§5.1
频率特性的概念
不
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
40
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
半对数坐标 表示方法 (Bode图)
频率横坐标刻度按对数值等分 标注仍用实际频率值
率的关系
L()
0.1 1 10 100 1000

-1
0
1
2
3 lg
2. 对数频率特性曲线（Bode图） 在半对数坐标纸上绘制，由对数幅频特性和对数 相频特性两条曲线所组成。 半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。
P( ) K const Q( ) 0
Im
A( ) K const 0 ( ) arct an 0 K
0 K
Re
比例环节的Bode图
L(ω)/dB
20lgK
0dB
ω
φ(ω)
ω
0°
返回
二、惯性环节 惯性环节的传递函数为： G ( s ) 频率特性表达式为： 1 1 2 2 P ( ) A( ) P ( ) Q ( ) 1 2 2 1 2 2 Q( ) Q( ) ( ) arctan arctan 1 2 2 P( ) 此惯性环节的幅相频率特性是一个以(1/2,j0)为圆 心，以1/2为半径的半圆。
A() G( j)
直角坐标 表示方法：
( ) G ( j) tg 1
实频特性 虚频特性
1 2 2 1
1 j 1 G( j) j 2 P() jQ() (1 j)(1 j) 1 2 2 1 2
若无重极点，上式可写为
n ai b1 b2 C ( s) s j s j i 1 s pi
c(t ) b1e
jt
b2e
jt
jt
ai e
i 1
jt
n
pi t
若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：
lim c(t ) b1e
t
P() A() cos () Q() A() sin ()
A( ) P ( ) 2 Q ( ) 2
Q( ) ( ) arctan P( )
二、频率特性的几种表示方法 例： 传递函数： G (s) S1 1 频率特性： G( j) 1 j 1 极坐标 G ( j) A()e j( ) 表示方法：
在极坐标系中画出该向量。 ω从-∞→+∞变换时该向量在极坐标系中形成 的曲线，称为Nyquist曲线。 实频特性是ω的偶函数，虚频特性是ω的奇函数。为什么？
惯性环节G(jω)
φ(ω) = -tg-10.5 ω
G(s) =
1 0.5s+1 A(ω)=
1 0.25 ωLeabharlann +1ω0 0
1
0.5
1
2
4
5
8
20
例题中输入信号的复数表示为： U1me j 0
1 例题中输出信号的复数表示为：U1m e 1 j 它们之比为：G( j ) 1 A( )e j ( ) A( ) ( ) 1 j
1 j 1 j
1 1 1 ( ) arg tan A( ) 2 2 1 j 1 j 1
L() 20lg A()
L(ω)称为对数幅值，单位是dB(分贝)。
采用对数坐标图的优点： （1）将低频段展开，将高频段压缩。 （2）当系统由多个环节串联而成时，简化运算。
G( j) G1 ( j)G2 ( j)Gn ( j)
G1 ( j) A1 ()e j1 ( ) G2 ( j) A2 ()e
结论
Ar=1 ω=0.5
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
相角问题
AA ① 稳态输出 迟后于输入的 角度为： B φ= 360o A ②该角度与ω有 关系 , ∴为φ(ω) ③该角度与初始 角度无关 , ∴ …
B B
一、频率特性的定义 例：如图所示电气网络的传递函数为
U 2 ( s) 1 Cs 1 1 U1 ( s) R 1 Cs RCs 1 s 1
u1
R
i
C
u2
若输入为正弦信号： u1 U1m sin t 其拉氏变换为：
U 1m U1 ( s) 2 s 2
U1m 1 2 输出拉氏变换为： U 2 ( s) s 1 s 2
其拉氏反变换为：
U1m U1m u2 e sin(t arctan ) 2 2 2 2 1 1
t
其稳态响应为：
lim u2
t
U1m 1 2 2
sin(t arctan ) U1m
1 1 sin(t ) 1 j 1 j
频率特性的定义： 线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零 初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复 数比。
1 G ( j ) 1 j 幅频特性和相频特性数据
(rad s 1 )
0
1 0
1 2 1 2 3 4 5
0.890 0.707 0.447 0.316 0.243 0.196 -26.5 -45.0 -63.4
φ o(
ω) A(ω)
-14.5 -26.6 -45 -63.4 -68.2 -76 -84
0.97 0.89 0.71 0.45 0.37 0.24 0.05
Re[G(jω)] 1
j Im[G(jω)] 0
G ( j) A()e j( ) 描述增益与频 Lg0.6 = -0.2218 率的关系 两张图： Lg0.8 = -0.0969 Lg2 = 0.301 L() 20lg A() ~ 对数幅频特性 Lg3 = 0.4771 () ~ 相频特性 Lg4 = 0.602 半对数坐标： Lg20 = 1.301 描述相角与频
传递函数G(s)
s
d dt
d dt
微分方程
三、频率特性的几种图示方法 1. 幅相频率特性曲线 它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐 标图。又称Nyquist曲线。 系统的频率特性可表示为： G( j) A()e j ( ) 对某一固定频率ω1
G( j1 ) A(1 )e j (1 )