初二数学一元二次方程与二次函数试卷(含答案)
初二数学一元二次方程和二次函数试题[附含答案解析]
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一元二次方程与二次函数试卷班级： 姓名 总分：一、选择题〔本大题10小题，每题3分，共30分〕1．以下方程是关于x 的一元二次方程的是〔 〕.2222221A.0B.0C.421D.3250x ax bx c xx x x xy y +=++=-=--= 2．用配方法解方程 2210x x --=，变形后的结果正确的选项是〔 〕.2.(1)0x A += 2.(1)0x B -= 2C.(1)2x += 2D.(1)2x -=3．抛物线 2(2)2y x =-+ 的顶点坐标是〔 〕.A.(2,2)-B.(2,2)-C.(2,2)D.(2,2)--4．以下所给方程中，没有实数根的是〔 〕.2A.0x x += 2B.5410x x --= 2C.3410x x -+= 2D.4520x x -+=5．三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是 2680x x -+= 的根，那么这个三角形的周长是〔 〕.A.11B.13C.1113D.1215 或 或6．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，假如每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的选项是〔 〕.A.100(1)121x +=B.100(1)121x -=2C.100(1)121x += 2D.100(1)121x -=7．要得到抛物线 22(4)1y x =-- ，可以将抛物线 22y x = 〔 〕.A. 向左平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度B. 向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度C. 向左平移4个单位长度，在向上平移1个单位长度D. 向右平移4个单位长度，在向上平移1个单位长度8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余局部进展绿化，要使绿化面积为7644米²，那么道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，那么可列方程为〔 〕.2A.10080100807644B.(100)(80)7644C.(100)(80)7644D.100807644x x x x x x x x x ⨯--=--+=--=+=9．如图，2210y ax a y ax x a a =+=-+≠函数和（是常数,且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是〔 〕.10．二次函数 2(0)y ax bx c a =++≠的图像大致如图，关于该二次函数，以下说法错误．．的选项是．．．．〔 〕. yx1-1OA.1B.21C.2D.120x x y x x y =<-<<>函数有最小值对称轴是直线当，随的增大而减小当时，第10题图 第16题图二、填空题〔本大题6小题，每题4分，共24分〕11.写出解为3x =的一个一元二次方程： .12.1x =是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，那么代数式a b c ++= . 13.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，设每轮传染中，平均一个人传染的人数为x ，可列方程为： .14.二次函数226y x x =-+的最小值是： . 15.正方形的边长是3，假设边长增加x ，那么面积y 与x 之间的关系是： . 16.抛物线2y ax bx c =++的局部图象如下图，那么 当0y >时，x 的取值范围是 .三、解答题〔本大题3小题，每题6分，共18分〕17.解方程：2320x x -+=18.关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根.yx123–1–2–1–2–3123O19.抛物线的顶点为〔1，-4〕，且经过点〔3,0〕，求这条抛物线的解析式.四、解答题〔本大题3小题，每题7分，共21分〕20. 惠州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式〔每两队之间都赛一场〕，方案安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？21.如下图，某幼儿园有一道长为16米的墙，方案用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ．求该矩形草坪BC 边的长．22.如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12mm ，BC=24mm ，动点P 从点A 开场，沿边AB 向点B 以2mm/s•的速度挪动，动点Q 从点B 开场，沿边BC 向点C 以4mm/s 的速度挪动，假如•P 、Q 都从A,B 点同时出发，那么△PBQ 的面积S 随出发时间t 如何变化？写出S 关于t 的函数解析式及t 的取值范围.Q BA CP五、解答题〔本大题3小题，每题9分，共27分〕23. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开场盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利到达3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都一样. 〔1〕求每月盈利的平均增长率.〔2〕按照这个平均增长率，预计5月份家商店的盈利将到达多少元？24. 石坝特产专卖店销售莲子莲子想要平均每天获利2240元，请答复： ⑴每千克莲子应降价多少元？⑵在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？25.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m ，宽是2m ，抛物线可以用y=-41x 2+4表示. 〔1〕一辆货运卡车高4m ，宽2m ，它能通过该隧道吗？〔2〕假如该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？答案一. 选择题 二. 填空题11. 29x =〔 答案不唯一〕 12.0 13. 21(1)121(1)121x x x x +++=+=或 14.5 15. 2(3)y x =+ 16. 1<<3x -12(2)(1)020102,1x x x x x x --=-=-===17.解：因式分解得：于是得或 22222221262104641(21)3684=055621062510690(3)03x x x m b ac m m m m x x m x x x x x x x -+-=∴∆=-=-⨯⨯-=-+∴==-+-=-+⨯-=-+=-=∴==18.解：关于的方程有两个相等的实数根把代入得2222()11,4(1)4(3,0)0(31)41(1)4y a x h k h k y a x a a y x =-+∴==-∴=--=--∴=∴=--19.解：设抛物线的解析式为顶点（，-4） 把代入得抛物线的解析式为121=282=8=78x x x x x --20.解：设应邀请支球队参加比赛,依题意得（） 解得：，（不合题意，舍去）答：应邀请支球队参加比赛.1223221.,232()120212,2020>162012xBC x xx x x x BC --===∴=解：设的长为米则AB 的长为（）米，得 解得： （不合题意，舍去）答：该矩形草坪边的长米.29012 mm 24 mm (12-2t) mm 4t mm11=(12-2t)4t22244(0<<6)B BP S PB BP B S t t t ∠=︒==∴==∴∆••=-22.解:，AB ，BC ，BQ Q Q=化简得21,2400(1)34500.2 2.253450(120%)=4147.220%54147.2x x x x +===-⨯+２23.解：（1）设每月盈利的平均增长率依题意得解得，（不合题意，舍去）（2）月份家商店的盈利：（元）答：每月盈利的平均增长率，月份家商店的盈利将达到元212(6040)(10020)22402102404,6(2)66065454100%90%6046x xx x x x x x --+⨯=-+===∴=∴-=∴⨯=24.解：(1)设每千克莲子应降价元，依题意得化简得：解得：尽可能让利于顾客售价为：即：九折答：每千克莲子应降价元或元；该店应按原售价的九折出售.22111,(1)4 3.75,43.752>412,(2)43,432>4x y x y =±=-⨯±+=+∴=±=-⨯±+=+∴25.解：（）建立相应的直角坐标系，当货车在正中央时，即对应的货车能通过该隧道.（2)当隧道内设双行道时，就意味着货车只能走一边，即对应的货车能通过该隧道.。
初中数学二次函数一元二次方程练习题(附答案)
初中数学二次函数一元二次方程练习题 一、单选题1.如果方程()()23330m x m x --++=是关于x 的一元二次方程，那么m 不能取的值为（ ）A.3±B.3C.3-D.都不对2.下面关于x 的方程中①20ax bx c ++=;②223(9)(1)1x x --+=;③2150x x++=;④232560x x -+-=;⑤2233(2)x x =-;⑥12100x -=是一元二次方程的个数是( )A.1B.2C.3D.43.一元二次方程220x x -=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 为（ ）A.2-B.1C.2D.04.下列函数解析式中,一定为二次函数的是( )A. 31y x =-B. 2y ax bx c =++C. 2221s t t =-+D. 21y x x=+5.已知(2)2m y x m x =+-+是关于x 的二次函数，那么m 的值为( ) A.2- B.2 C.2± D.06.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.7.在同一平面直角坐标系中，函数2y ax bx =-与y bx a =+的图象可能是( ) A. B. C. D.8.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x ，则x 满足（）A.16(12)25x +=B.25(12)16x -=C.216(1)25x +=D.225(1)16x -=9.如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点坐标为(1,0)-和(3,0).给出下列结论：①0a >；②20a b +=；③0a b c ++>；④当13x -<<时，0y >.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、证明题10.如图,四边形ABCD 是平行四边形, E 、F 是对角线BD 上的点, 12∠=∠.1.求证: BE DF =;2.求证: //AF CE . 11.已知抛物线212y x bx c =++经过点3(10),0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1.求该抛物线的函数解析式；2.将抛物线212y x bx c =++平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的图象所对应的函数表达式。
一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案
A．B．C．D．2、下列命题：①若，则；②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）Ａ．只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④3、若一次函数的图象过第一、三、四象限，则函数（）A．有最大值B．有最大值－C．有最小值D．有最小值－4、已知二次函数y=a x2+b x+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②a b c＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个5、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（）A．1B．12C．13D．256、设、是方程的两根，则代数式=。
7、已知关于一元二次方程有一根是，则。
三、计算题8、已知：关于的方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是，求另一个根及值．9、解方程：四、综合题10、已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.11、如图：抛物线与轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与轴交于点C．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）过点C作C P⊥对称轴于点P，连接B C交对称轴于点D，连接A C、B P，且∠B P D=∠B C P，求抛物线的解析式。
12、已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4.（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数.（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且+=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线C M的解析式.13、如图，已知点，直线交轴于点，交轴于点（1）求对称轴平行于轴，且过三点的抛物线解析式；（2）若直线平分∠A B C，求直线的解析式；（3）若直线产（>0）交（1）中抛物线于两点，问：为何值时，以为边的正方形的面积为9？14、如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结，是线段上一动点，以为一边向右侧作正方形，连结，交于点．（1）试判断的形状，并说明理由；（2）求证：；（3）连结，记的面积为，的面积为，若，试探究的最小值．15、如图，抛物线y＝－x22＋b x＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形O C E F为矩形，且O F＝2，E F＝3．(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△A B D的面积；(3)将△A O C绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．五、简答题16、已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边的长是．(1)为何值时，是以为斜边的直角三角形；(2)为何值时，是等腰三角形，并求的周长17、已知关于的一元二次方程：．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．18、已知抛物线y = a x 2－x + c 经过点Q （－2， ），且它的顶点P 的横坐标为－1．设抛物线与x 轴相交于A A 、、B B 两两点点，，如如图图．．（1）求抛物线的解析式； （2）求A 、B 两点的坐标；（3）设P B 于y 轴交于C 点，求△A B C 的面积．19、如图，已知抛物线的顶点为A （1，4）、抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C 、D 两点.点P 是x 轴上的一个动点. （1）求此抛物线的解析式.（2）当P A +P B 的值最小时，求点P 的坐标．20、已知二次函数的部分图象如图7所示，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线.（1）若，求的值；（2）若实数，比较与的大小，并说明理由.参考答案一、选择题1、C2、B3、B4、考点：二次函数图象与系数的关系。
二次函数与一元二次方程练习题(含答案)
二次函数与一元二次方程一、选择题1．如图2－128所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则一次函数y=ax －b 的图象不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若a 与c 异号，则其图象与x 轴的交点个数为 ( )A ．2个B ．1个C ．0个D ．不能确定 3．根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2＋bx ＋c－0.06－0.020.030.09判断方程 ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的取值范围是 ( )A ．3＜x ＜3.23B ．3．23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.26 4．函数cbx axy ++=2的图象如图l －2－30，那么关于x 的方程a x 2+b+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等实数根D ．无实数根5．二次函数cbx ax y ++=2的图象如图l －2－31所示，则下列结论成立的是（ ）A ．a ＞0，bc ＞0，△＜0 B.a ＜0，bc ＞0，△＜0 C ．a ＞0，bc ＜0，△＜0 D.a ＜0，bc ＜0，△＞06．函数cbx ax y ++=2的图象如图 l －2－32所示，则下列结论错误的是（ ）A ．a ＞0B ．b 2－4ac ＞0C 、20ax bx c ++=的两根之和为负D 、20ax bx c ++=的两根之积为正7.不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2（ ） A ．在x 轴上方 B ．与x 轴只有一个交点 C ．与x 轴有两个交点 D ．在x 轴下方 二、填空题8．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图象如图 2－129所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为 ．9．若抛物线y=kx 2－2x ＋l 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 ． 10．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴只有一个交 点，则这个交点的坐标是 .11．已知函数y=kx 2－7x —7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 12．直线y=3x —3与抛物线y=x 2 －x+1的交点的个数是 . 三、解答题13.已知二次函数y=-x 2+4x-3,其图象与y 轴交于点B,与x 轴交于A, C 两点. 求△ABC 的周长和面积.14..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A 点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B 点的坐标为B(6,5).(1)求这个二次函数的表达式;(2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米).B(6,5)A(0,2)14121086420246xCy15.如图,已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴的两个交点分别为A(x 1,0),B(x 2,0) , 且x 1+x 2=4,1213x x .(1)求抛物线的代数表达式; (2)设抛物线与y 轴交于C 点,求直线BC 的表达式; (3)求△ABC 的面积.16．如果一个二次函数的图象经过点A(6，10)，与x 轴交于B ，C 两点，点B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝5，求这个二次函数的解析式．17．已知关于x 的方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋2＝0有两个不相等的实数根，试判断直线y ＝(2m －3)x －4m ＋7能否经过点A(－2，4)，并说明理由．18．二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图2－130所示，根据图象解 答下列问题．(1)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根； (2)写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集；(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；BxOCy A(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．19．如图2－131所示，已知抛物线P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上，抛物线P上的部分点的横坐标对应的纵坐标如下.x …－3 －2 1 2 …y …－52－4 －520 …(1)求A，B，C三点的坐标；(2)若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；(3)当矩形DEFG的面积S最大时，连接DF并延长至点M，使FM＝k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围；(4)若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积．参考答案1．B[提示：a ＞0，－2ba＜0，∴b ＞0．] 2．A 3．C 4.C 5.D 6.D 7.C8．x 1＝－l ，x 2＝3[提示：由图象可知，抛物线的对称轴为x=l ，与x 轴的交点是(3，0)，根据对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－l ，0)，所以一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝3．故填x 1＝－l ，x 2＝3．]9．k ＜1，且k ≠0[提示：若抛物线与x 轴有两个交点，则(－2)2－4k ＞0．] 10．(－2ba，0) 11.略 12.113.令x=0,得y=-3,故B 点坐标为(0,-3). 解方程-x 2+4x-3=0,得x 1=1,x 2=3. 故A 、C 两点的坐标为(1,0),(3,0).所以AC=3-1=2,AB=221310+=,BC=223332+=, OB=│-3│=3. C △ABC =AB+BC+AC=21032++. S △ABC =12AC ·OB=12×2×3=3.14.(1)设y=a(x-6)2+5,则由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a=112-. 故y=112-(x-6)2+5. (2)由 112-(x-6)2+5=0,得x 1=26215,6215x +=-.结合图象可知:C 点坐标为(6215+ 故OC=6215+13.75(米)即该男生把铅球推出约13.75米15..(1)解方程组1212413x xxx+=⎧⎪⎨=⎪⎩, 得x1=1,x2=3故2210330b cb c⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩,解这个方程组,得b=4,c=-3.所以,该抛物线的代数表达式为y=-x2+4x-3.(2)设直线BC的表达式为y=kx+m.由(1)得,当x=0时,y=-3,故C点坐标为(0,-3).所以330mk m=-⎧⎨+=⎩, 解得13km=⎧⎨=-⎩∴直线BC的代数表达式为y=x-3 (3)由于AB=3-1=2,OC=│-3│=3.故S△ABC =12AB·OC=12×2×3=3.16．解：设函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将A(6，10)代入，得10＝36a＋6b＋c①，当y＝0时，ax2＋bx＋c=0，又x1＋x2＝－ba=6②，x1x2＝ca＝5③，由①②③解得a=2，b＝－12，c＝10．所以解析式为y＝2x2－12x＋10．17．解：该直线不经过点A．理由如下：∵方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有两个不相等的实数根，∴△=(2m＋1)2－4(m2＋2)=4m－7＞0，∴2m－72＞0，∴2m－3＞0．又由4m－7＞0，得－4m＋7＜0，∴直线y=(2m－3)x－4m＋7经过第一、三、四象限，而A(－2，4)在第二象限，∴该直线不经过点A.18．解：(1)由二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可知，抛物线与x轴交于(1，0)，B(3，0)两点，即x＝1或x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集，即是求y＞0的解集，由图象可知l＜x ＜3．(3)因为a＜0，故在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即当x＞2时，y随x的增大而减小．(4)由图可知，22,242,43,baac baca⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,8,6.abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩代入方程得－2x2＋8x－6－k＝O．又因为方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即82－4×(－2)×(－6－k)＞0，解得k＜2．19．解法l：(1)任取x，y的三组值代入y=ax2＋bx＋c(a≠0)，求出解析式为y＝12x2＋x－4．令y＝0，得x1＝－4，x2＝2；令x＝0，得y=－4，∴A，B，C三点的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)．解法2：(1)由抛物线P过点(1，－52)，(－3，－52)可知，抛物线P的对称轴为x＝－1．又∵抛物线P过(2，0)，(－2，－4)，则由抛物线的对称性可知，点A，B，C的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)． (2)由题意，知AD DG AO OC=，而AO=2，OC=4，AD=2－m，故DG=4－2m．又BE EFBO OC=，EF=DG，得BE=4－2m，∴DE＝3m，∴S矩形DEFG ＝DG·DE＝(4－2m)·3m=12m－6m2(0＜m＜2)． (3)∵S矩形DEFG=12m－6m2(0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，－2)，F(－2，－2)，E(－2，0)．设直线DF的解析式为y＝kx＋b，易知k＝23，b＝－23.∴y=23x－23.又抛物线P的解析式为y＝12x2＋x－4．令23x－23=12x2＋x－4，解得x161-±.如图2－132所示，设射线DF与抛物线P相交于点N，则N161--．过N作x轴的垂线交x轴于H，得1612561339FN HEDF DE-----+===.∵点M不在抛物线P上，即点M不与N重合，此时k的取值范围是k561-+且k＞0． (4)由(3)知S矩形DEFG＝6．。
22.2《二次函数与一元二次方程》练习题(含答案)
22.2 二次函数与一元二次方程01 基础题知识点1 二次函数与一元二次方程1．(柳州中考)小兰画了一个函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象如图，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是(D )A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝－4D ．x ＝－1或x ＝42．(青岛中考)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是m ＞9． 3．二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象如图，若一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围为m ≤3．4．(1)已知一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2.求二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标；(2)若二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点，求a 的值．解：(1)∵一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2， ∴二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)． (2)∵二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点， 令y ＝0，则－x 2＋x ＋a ＝0有两个相等的实数根， ∴1＋4a ＝0，解得a ＝－14.知识点2利用二次函数求一元二次方程的近似解5．(兰州中考)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(C)A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3知识点3二次函数与不等式6．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是(C)A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜2D．x＜－1或x＞27．画出二次函数y＝x2－2x的图象．利用图象回答：(1)方程x2－2x＝0的解是什么？(2)x取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.解：列表：描点并连线：(1)方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2.(2)当x<0或x>2时，函数值大于0.(3)当0<x<2时，函数值小于0.易错点1漏掉函数是一次函数的情况8．(吕梁市文水县期中)若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a 的值为－1或2或1.易错点2忽视坐标轴包含x轴和y轴9．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是(C)A．0 B．1C．2 D．310．已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为y＝x2－6x＋9或y＝x2＋6x＋9或y＝x2＋9．02中档题11．(牡丹江中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(C)A．x＜2 B．x＞－3C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞112．(大同市期中)二次函数y＝(x－2)2＋m的图象如图所示，一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B(4，3)，则满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围是(A) A．1≤x≤4 B．x≤1C．x≥4 D．x≤1或x≥413．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y＞2时，自变量x 的取值范围是(B )A ．0＜x ＜12B ．0＜x ＜1 C.12＜x ＜1 D ．－1＜x ＜214．(济南中考)二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为直线x ＝1.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是(C )A ．t ≥－1B ．－1≤t ＜3C ．－1≤t ＜8D ．3＜t ＜815．(阳泉市平定县月考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．(杭州中考)把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t (秒)时该足球距离地面的高度h (米)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度； (2)当足球距离地面的高度为10米时，求t ；(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (米)，求m 的取值范围．解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝20×3－5×9＝15， ∴此时足球距离地面的高度为15米． (2)当h ＝10时，20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋2或t ＝2－ 2.答：经过2＋2或2－2秒时，足球距离地面的高度为10米． (3)由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m (m ≥0)的两个不相等的实数根，则 Δ＝202－20m >0.解得m <20. ∴m 的取值范围是0≤m <20. 03 综合题17．有这样一个问题：探究函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)下表是y 与x 的几组对应值．函数y ＝12x 2＋1x 的自变量x 的取值范围是x ≠0，m 的值为296；(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象；(3)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有1个交点，所以对应方程12x 2＋1x ＝0有1个实数根；②方程12x 2＋1x＝2有3个实数根；③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．解：(2)函数图象如图所示．(3)③答案不唯一，如：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象不经过第四象限．。
初二数学二次函数与一元二次方程练习题及答案20题
初二数学二次函数与一元二次方程练习题及答案20题1. 解一元二次方程：2x^2 - 5x - 3 = 0解答：首先，我们可以使用求根公式来解一元二次方程。
假设方程为ax^2 + bx + c = 0，求根公式可以表示为： x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
对于这个方程，系数为 a = 2, b = -5, c = -3。
代入求根公式，我们可以计算出两个解：x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)= (5 ± √(25 + 24)) / 4= (5 ± √49) / 4所以，方程的解为 x = (5 + 7) / 4 或 x = (5 - 7) / 4，即 x = 3 或 x = -1/2。
2. 求二次函数的顶点坐标和对称轴：y = 3x^2 + 6x + 2解答：二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c。
其中，顶点坐标可以使用公式 (-b/2a, c - b^2/4a) 求得。
对称轴为 x = -b/2a。
对于给定的函数 y = 3x^2 + 6x + 2，我们可以计算出顶点坐标和对称轴：顶点坐标：x = -6 / (2*3) = -1y = 3*(-1)^2 + 6*(-1) + 2 = -1所以，该二次函数的顶点坐标为 (-1, -1)。
对称轴：x = -6 / (2*3) = -1所以，该二次函数的对称轴为 x = -1。
3. 求二次函数的图像与 x 轴的交点：y = x^2 - 4x + 3解答：要求二次函数的图像与 x 轴的交点，我们需要解方程 y = 0。
对于给定的函数 y = x^2 - 4x + 3，我们有：x^2 - 4x + 3 = 0这里我们可以使用因式分解或求根公式来解方程。
通过因式分解，我们可以将方程化简为 (x - 3)(x - 1) = 0。
一元二次方程和一元二次函数真题及答案
一元二次方程和一元二次函数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠（1） 若方程没有实根：判别式240b ac ∆=-< （2） 若方程有两个相等实根：判别式240b ac ∆=-=（3） 若方程有两个不等的实根：判别式240b ac ∆=->注：若方程有两个实根：判别式240b ac ∆=-≥ 若方程有两个实根，记为12x x 、则：12b x a -+=、22b x a--=2121222221212122212121240()22()()b ac c x x a b x x a b c x x x x x x a a x x x x x x ⎧∆=-≥⎪⎪=⎪⎪⎪+=-⎨⎪⎪⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-=+-⎩g g g g一元二次函数： 函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
配方写成顶点式：a b ac a b x a y 44)2(22-++=（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线ab x 2-=。
（2）当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，ab ac y 442min-=，无最大值。
函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-ab上是增函数。
2ba=-24)4ac b a-(3) 当0a <，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max-=，无最小值。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。
2ba-244ac b a-两点间距离公式：11(,)A x y 、22(,)B x yd =图像的移动：x 的系数为正先加后减 先左后右 先上后下例1：2(0)y ax a =≠怎么样变为)0(2≠++=a c bx ax y第一步：将被平移的二次函数的x 系数变为正,并化为顶点式。
2(0)0y a x =-+ 移动为： ab ac a b x a y 44)2(22-++=先左移2b a ，变为2()2b y a x a=+ 再上移244ac b a -，变为ab ac a b x a y 44)2(22-++=另：先上移244ac b a -，变为2244ac b y ax a -=+再左移2ba，变为a b ac a b x a y 44)2(22-++=例2：23y x =-+先向右平移3个单位，再向下平移2个单位。
一元二次方程二次函数测试(含答案)
一.选择题1．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x+1=0 B．5x2﹣6y﹣3=0 C．ax2﹣x+2=0 D．3x2﹣2x﹣1=02．关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤03．若关于x的方程2x2﹣ax+2b=0的两根和为4，积为﹣3，则a、b分别为（）A．a=﹣8，b=﹣6 B．a=4，b=﹣3 C．a=3，b=8 D．a=8，b=﹣34．把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（）A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，195．方程x2﹣=0的根的情况为（）A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．有两个相等的实数根6．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位7．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．28．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x﹣1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2+3 C．y=﹣（2x+1）2+3 D．y=﹣（2x﹣1）2+3 9．对于函数y=x2+1，下列结论正确的是（）A．图象的开口向下B．y随x的增大而增大C．图象关于y轴对称 D．最大值是010．在同一直角坐标系中y=ax2+b与y=ax+b（a≠0，b≠0）图象大致为（）A．B．C．D．二.填空题11．把方程3x（x﹣1）=（x+2）（x﹣2）+9化成ax2+bx+c=0的形式为．12．已知二次函数y=（x﹣1）2+4，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是．13．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有人参加聚会．14．三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8=0的根，则三角形的周长是．15．已知抛物线y=x2﹣2（k+1）x+16的顶点在x轴上，则k的值是．三.解答题16．解方程（1）（x+1）（x﹣2）=x+1；（2）3x2﹣x﹣1=0．17．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．18．关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣6=0的一个根是2，求k的值和方程的另一根．19．抛物线y=ax2与直线y=2x﹣3交于点A（1，b）．（1）求a，b的值；（2）求抛物线y=ax2与直线y=﹣2的两个交点B，C的坐标（B点在C点右侧）；（3）求△OBC的面积．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．21．某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？22．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？23．一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点（﹣1，2）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）画出这个二次函数的图象；（3）当x＞0时，y值随x的增减情况；（4）指出函数的最大值或最小值．24．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．2015-2016学年湖北省潜江市积玉口中学九年级（上）第一次月考数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一.选择题1．下列方程是一元二次方程的是（）A．3x+1=0 B．5x2﹣6y﹣3=0 C．ax2﹣x+2=0 D．3x2﹣2x﹣1=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、是一元一次方程，故本选项错误；B、是二元二次方程，故本选项错误；C、当a≠0时，是一元二次方程，当a=0时，是一元一次方程，故本选项错误；D、是一元二次方程，故本选项正确．故选D．2．关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0【考点】根的判别式．【分析】由一元二次方程有实数根得出△=02﹣4×1×k≥0，解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，∴△=02﹣4×1×k≥0，解得：k≤0；故选：D．3．若关于x的方程2x2﹣ax+2b=0的两根和为4，积为﹣3，则a、b分别为（）A．a=﹣8，b=﹣6 B．a=4，b=﹣3 C．a=3，b=8 D．a=8，b=﹣3【考点】根与系数的关系．【分析】由关于x的方程2x2﹣ax+2b=0的两根和为4，积为﹣3，直接利用根与系数的关系的知识求解即可求得答案．【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣ax+2b=0的两根和为4，积为﹣3，∴﹣=4，=﹣3，解得：a=8，b=﹣3．故选D．4．把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（）A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：∵x2﹣8x+3=0∴x2﹣8x=﹣3∴x2﹣8x+16=﹣3+16∴（x﹣4）2=13∴m=﹣4，n=13故选C．5．方程x2﹣=0的根的情况为（）A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．有两个相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】要判定方程根的情况，首先求出其判别式，然后判定其正负情况即可作出判断．【解答】解：∵x2﹣=0=0，∴△=b2﹣4ac=8﹣8=0，∴方程有两个相等的实数根．故选D．6．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选：B．7．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，解得：m=﹣2，n=﹣8，∴m+n=﹣10，故选A．8．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x﹣1）2+3 B．y=﹣2（x+1）2+3 C．y=﹣（2x+1）2+3 D．y=﹣（2x﹣1）2+3 【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】直接利用顶点式写出抛物线解析式．【解答】解：抛物线解析式为y=﹣2（x+1）2+3．故选B．9．对于函数y=x2+1，下列结论正确的是（）A．图象的开口向下B．y随x的增大而增大C．图象关于y轴对称 D．最大值是0【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数y=x2+1的性质进行判断即可．【解答】解：∵a=1＞0，图象的开口向上，对称轴为y轴；∴当x＞0时，y随x的增大而增大，当x=0时，y=1．故选：C．10．在同一直角坐标系中y=ax2+b与y=ax+b（a≠0，b≠0）图象大致为（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】本题由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确．故选D．二.填空题11．把方程3x（x﹣1）=（x+2）（x﹣2）+9化成ax2+bx+c=0的形式为2x2﹣3x﹣5=0．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】方程整理为一般形式即可．【解答】解：方程整理得：3x2﹣3x=x2﹣4+9，即2x2﹣3x﹣5=0．故答案为：2x2﹣3x﹣5=0．12．已知二次函数y=（x﹣1）2+4，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是x≤1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．【解答】解：∵二次函数的解析式的二次项系数是，∴该二次函数的开口方向是向上；又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（1，4），∴该二次函数图象在[﹣∞1m]上是减函数，即y随x的增大而减小；即：当x≤1时，y随x的增大而减小，故答案为：x≤1．13．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有5人参加聚会．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设有x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手x﹣1次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有x（x﹣1）次，设出未知数列方程解答即可．【解答】解：设有x人参加聚会，根据题意列方程得，=10，解得x1=5，x2=﹣4（不合题意，舍去）；答：有5人参加聚会．故答案为：5．14．三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8=0的根，则三角形的周长是6或12或10．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8=0的根，进行分情况计算．【解答】解：由方程x2﹣6x+8=0，得x=2或4．当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去；当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10．综上所述此三角形的周长是6或12或10．15．已知抛物线y=x2﹣2（k+1）x+16的顶点在x轴上，则k的值是3或﹣5．【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线y=ax2+bx+c的顶点纵坐标为，当抛物线的顶点在x轴上时，顶点纵坐标为0，解方程求k的值．【解答】解：根据顶点纵坐标公式，抛物线y=x2﹣2（k+1）x+16的顶点纵坐标为，∵抛物线的顶点在x轴上时，∴顶点纵坐标为0，即=0，解得k=3或﹣5．故本题答案为3或﹣5．三.解答题16．解方程（1）（x+1）（x﹣2）=x+1；（2）3x2﹣x﹣1=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，分解因式得：（x+1）（x﹣3）=0，解得：x=﹣1或x=3；（2）这里a=3，b=﹣1，c=﹣1，∵△=1+12=13，∴x=．17．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．18．关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣6=0的一个根是2，求k的值和方程的另一根．【考点】一元二次方程的解．【分析】将x=2代入原方程，可求出k的值，进而可通过解方程求出另一根．【解答】解：把x=2代入x2﹣（k+1）x﹣6=0，得4﹣2（k+1）﹣6=0，解得k=﹣2，解方程x2+x﹣6=0，解得：x1=2，x2=﹣3．答：k=﹣2，方程的另一个根为﹣3．19．抛物线y=ax2与直线y=2x﹣3交于点A（1，b）．（1）求a，b的值；（2）求抛物线y=ax2与直线y=﹣2的两个交点B，C的坐标（B点在C点右侧）；（3）求△OBC的面积．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．【分析】（1）将点A代入y=2x﹣3求出b，再把点A代入抛物线y=ax2求出a即可．（2）解方程组即可求出交点坐标．（3）利用三角形面积公式即可计算．【解答】解：（1）∵点A（1，b）在直线y=2x﹣3上，∴b=﹣1，∴点A坐标（1，﹣1），把点A（1，﹣1）代入y=ax2得到a=﹣1，∴a=b=﹣1．（2）由解得或，∴点C坐标（﹣，﹣2），点B坐标（，﹣2）．（3）S△BOC=•2•2=2．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系．【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=4，又5x1+2x2=2求出函数实数根，代入m=x1x2，即可得到结果．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m≥0，∴m≤4；（2）∵x1+x2=4，∴5x1+2x2=2（x1+x2）+3x1=2×4+3x1=2，∴x1=﹣2，把x1=﹣2代入x2﹣4x+m=0得：（﹣2）2﹣4×（﹣2）+m=0，解得：m=﹣12．21．某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【考点】一元二次方程的应用．【分析】可设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，∴共7×4=28场比赛．设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为：=28．解得：x1=8，x2=﹣7（舍去），答：比赛组织者应邀请8队参赛．22．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出300+100×只粽子，利润为（1﹣m）元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．【解答】解：（1）300+100×，（1﹣m）．（2）令（1﹣m）=420．化简得，100m2﹣70m+12=0．即，m2﹣0.7m+0.12=0．解得m=0.4或m=0.3．可得，当m=0.4时卖出的粽子更多．答：当m定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．23．一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点（﹣1，2）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）画出这个二次函数的图象；（3）当x＞0时，y值随x的增减情况；（4）指出函数的最大值或最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数的图象；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）根据题意设出抛物线解析式，把已知点坐标代入求出a的值，即可确定出解析式；（2）画出函数图象即可；（3）利用二次函数的增减性得到结果即可；（4）利用二次函数的性质确定出最小值与最大值即可．【解答】解：（1）根据题意设抛物线解析式为y=ax2，把（﹣1，2）代入得：a=2，则二次函数解析式为y=2x2；（2）画出函数图象，如图所示；（3）当x＞0时，y随x的增大而增大；（4）函数的最小值为0，没有最大值．24．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）利用交点式得出y=a（x﹣1）（x﹣3），进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=﹣x2，进而得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得：3a=﹣3，解得：a=﹣1，故抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）（x﹣3），即y=﹣x2+4x﹣3，∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=﹣x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=﹣x上．百度文库2016年5月26日11。
初中数学_二次函数和一元二次方程_习题及解析123
二次函数与一元二次方式练习题附答案一、选择题（共15小题）1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3C、2a﹣b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a﹣b+c＞0C、b=﹣4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=53、已知抛物线y=ax2+bx+c中，4a﹣b=0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（）A、abc＜0B、c＞0C、4a＞cD、a+b+c＞04、抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，则所要满足的条件是（）A、a＜0，b2﹣4ac＜0B、a＜0，b2﹣4ac＞0C、a＞0，b2﹣4ac＜0D、a＞0，b2﹣4ac＞05、如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac．其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个6、已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A、B、C、D、7、已知y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2且满足．则称抛物线y1，y2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（）A、y1，y2开口方向、开口大小不一定相同B、因为y1，y2的对称轴相同C、如果y2的最值为m，则y1的最值为kmD、如果y2与x轴的两交点间距离为d，则y1与x轴的两交点间距离为|k|d8、已知二次函数的y=ax2+bx+c图象是由的图象经过平移而得到，若图象与x轴交于A、C （﹣1，0）两点，与y轴交于D（0，），顶点为B，则四边形ABCD的面积为（）A、9B、10C、11D、129、根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A、8＜x＜9B、9＜x＜10C、10＜x＜11D、11＜x＜1210、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）A、﹣1.6B、3.2C、4.4D、以上都不对11、如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（）A、x＞1B、x＜﹣1C、0＜x＜1D、﹣1＜x＜012、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式bx+a＞0的解集是（）A、x＜B、x＜C、x＞D、x＞13、方程7x2﹣（k+13）x+k2﹣k﹣2=0（k是实数）有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k的取值范围是（）A、3＜k＜4B、﹣2＜k＜﹣1C、3＜k＜4或﹣2＜k＜﹣1D、无解14、对于整式x2和2x+3，请你判断下列说法正确的是（）A、对于任意实数x，不等式x2＞2x+3都成立B、对于任意实数x，不等式x2＜2x+3都成立C、x＜3时，不等式x2＜2x+3成立D、x＞3时，不等式x2＞2x+3成立二、解答题（共7小题）15、已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．16、已知：二次函数y=（2m﹣1）x2﹣（5m+3）x+3m+5（1）m为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；（2）m为何值时，这两个交点在原点的左右两边；（3）m为何值时，此抛物线的对称轴是y轴；（4）m为何值时，这个二次函数有最大值．17、已知下表：（1）求a、b、c的值，并在表内空格处填入正确的数；（2）请你根据上面的结果判断：①是否存在实数x，使二次三项式ax2+bx+c的值为0？若存在，求出这个实数值；若不存在，请说明理由．②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图，由图象确定，当x取什么实数时，ax2+bx+c＞0．18、请将下表补充完整；（Ⅱ）利用你在填上表时获得的结论，解不等式﹣x2﹣2x+3＜0；（Ⅲ）利用你在填上表时获得的结论，试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式；（Ⅳ）试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）时的解题步骤．19、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．20、阅读材料，解答问题．例．用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．解：设y=x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x ＜﹣1或x＞3．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＜0的解集是_________；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣5x+6＜0．（画出大致图象）．三、填空题（共4小题）21、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根．x1=_________，x2=_________；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集．_________；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．_________；（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．_________．22、如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是_________．23、二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是_________．24、如图，已知函数y=ax2+bx+c与y=﹣的图象交于A（﹣4，1）、B（2，﹣2）、C（1，﹣4）三点，根据图象可求得关于x的不等式ax2+bx+c＜﹣的解集为_________．答案与评分标准一、选择题（共15小题）1、（2011•山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3C、2a﹣b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点。
初中数学：二次函数与一元二次方程练习(含答案)
初中数学：二次函数与一元二次方程练习（含答案）知识点1 二次函数与一元二次方程之间的对应关系图1－4－151．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图1－4－15所示,且关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个根x1＝3,则另一个根x2＝( ) A．1 B．－1 C．－2 D．02．根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0,a,b,c为常数)的一个根x的范围是( )A.6<x<6.17 B．6.17<x<6.18C．6.18<x<6.19 D．6.19<x<6.20图1－4－163．如图1－4－16是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象,使y≤1成立的x的取值范围是( )A．－1≤x≤3B．x≤－1C．x≥1D．x≤－1或x≥34．(1)请在如图1－4－17所示的平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－2x 的大致图象；(2)观察图象,试写出方程x2－2x＝1的根(精确到0.1)．图1－4－17知识点2 二次函数在抛物线型问题中的应用5．某公园有一个圆形喷水池,喷出的水流呈抛物线,一条水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的函数表达式为h＝30t－5t2,那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s6．廊桥是我国古老的文化遗产．如图1－4－18是某座抛物线型廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y＝－140x2＋10,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离EF 是________米．图1－4－187．如图1－4－19,一名男生推铅球,铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是二次函数的关系．铅球行进起点的高度为53m,行进到水平距离为4 m时达到最高处,最大高度为3 m.(1)求二次函数的表达式(化成一般形式)；(2)求铅球推出的最大距离．图1－4－198．若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1,0),则方程ax2－2ax＋c ＝0的解为( )A．x1＝－3,x2＝－1 B．x1＝1,x2＝3C．x1＝－1,x2＝3 D．x1＝－3,x2＝1图1－4－209．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图1－4－20所示,若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根,则m的最大值为( )A．－3 B．3C．－6 D．910．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1－4－21所示,根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根；(2)写出不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围．图1－4－2111．甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图1－4－22,甲在O 点上正方1 m 的P 处发出一球,羽毛球飞行的高度y (m)与水平距离x (m)之间满足函数表达式y ＝a (x －4)2＋h .已知点O 与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.55 m.(1)当a ＝－124时,①求h 的值；②通过计算判断此球能否过网． (2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7 m,离地面的高度为125m 的点Q 处时,乙扣球成功,求a 的值．图1－4－2212．若x 1,x 2是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根,则方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系：x1＋x2＝－ba,x1·x2＝ca,我们把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0)．利用一元二次方程根与系数关系定理可以得到A,B两个交点间的距离：AB＝|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫－ba2－4ca＝b2－4aca2＝b2－4ac|a|.参考以上定理和结论,解答下列问题：如图1－4－23,设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为C,显然△ABC为等腰三角形．(1)当△ABC为等腰直角三角形时,求b2－4ac的值；(2)当△ABC为等边三角形时,求b2－4ac的值．图1－4－23详解详析1．B 2.C 3.D 4．解：(1)如图．(2)方程x 2－2x ＝1的根为x 1≈－0.4,x 2≈2.4.5．A [解析] 水流从喷出至回落到地面时高度h 为0,把h ＝0代入h ＝30t －5t 2,得5t 2－30t ＝0,解得t 1＝0(舍去),t 2＝6.故水流从喷出至回落到地面所需要的时间为6 s ．故选A.6．8 5 [解析] 把y ＝8代入y ＝－140x 2＋10,得8＝－140x 2＋10,解得x ＝±4 5,∴EF ＝8 5米．7．解：(1)设二次函数的表达式为y ＝a (x －4)2＋3, 把⎝⎛⎭⎪⎫0，53代入y ＝a (x －4)2＋3,解得a ＝－112, 则二次函数的表达式为y ＝－112(x －4)2＋3,即y ＝－112x 2＋23x ＋53.(2)由－112x 2＋23x ＋53＝0,解得x 1＝－2(舍去),x 2＝10, 则铅球推出的最大距离为10 m.8．C [解析] ∵二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c 的图象经过点(－1,0), ∴方程ax 2－2ax ＋c ＝0一定有一个解为x ＝－1. 又∵二次函数图象的对称轴为直线x ＝1,∴二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c 的图象与x 轴的另一个交点为(3,0), ∴方程ax 2－2ax ＋c ＝0的解为x 1＝－1,x 2＝3.故选C. 9．B10．(1)x 1＝1,x 2＝3(2)1<x <3 (3)x >2(或x ≥2) (4)k <211．解：(1)①把(0,1),a ＝－124代入y ＝a (x －4)2＋h ,得1＝－124×16＋h ,解得h ＝53.②把x ＝5代入y ＝－124(x －4)2＋53,得y ＝－124×(5－4)2＋53＝1.625. ∵1.625>1.55,∴此球能过网．(2)把(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫7，125代入y ＝a (x －4)2＋h ,得⎩⎨⎧16a ＋h ＝1，9a ＋h ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，h ＝215，故a 的值为－15.12．解：(1)当△ABC 为等腰直角三角形时,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,则AB ＝2CD .由题意,得AB ＝b 2－4ac ||a ＝b 2－4aca .又∵抛物线与x 轴有两个交点, ∴b 2－4ac >0,则||4ac －b 2＝b 2－4ac ,∴CD ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4ac －b 24a ＝b 2－4ac4a , ∴b 2－4ac a ＝2×b 2－4ac4a∴b 2－4ac ＝b 2－4ac 2,∴b 2－4ac ＝（b 2－4ac ）24.∵b 2－4ac >0, ∴b 2－4ac ＝4.(2)当△ABC 为等边三角形时,CD ＝32AB ,∴b 2－4ac 4a ＝32×b 2－4aca .∵b 2－4ac >0, ∴b 2－4ac ＝12.。
初中数学专题复习一元二次方程及二次函数的图象和性质(含答案)
热点7 一元二次方程及二次函数的图象和性质（时间：100分钟 分数：100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的）1．抛物线y=x 2-2x-3的对称轴和顶点坐标分别是（ ）A ．x=1，（1，-4）；B ．x=1，（1，4）；C ．x=-1，（-1，4）；D ．x=-1，（-1，-4） 2．用配方法解一元二次方程x 2+8x+7=0，则方程可变形为（ ）A ．（x-4）2=9B ．（x+4）2=9C ．（x-8）2=16D ．（x+8）2=57 3．如图，已知二次函数y=a x 2+bx+c （a ≠0）的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x 轴于点A （m ，0）和点B ，且m>4，那么AB 的长是（ ） A ．4+m B ．m C ．2m-8 D ．8-2m4．若方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则关于二次函数y=ax 2+bx+c （•a≠0）与x轴的交点说法正确的是（ ）A ．有两个交点；B ．只有一个交点；C ．无交点；D ．交点的个数超过2 5．抛物线y=3x 2，y=-3x 2，y=13x 2+3共有的性质是（ ） A ．开口向上； B ．对称轴是y 轴； C ．都有最高点； D ．y 随x 的增大而增大 6．如图，四个二次函数的图象，哪一个函数在x=2时，有最大值（ ）7．如图四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=ax 2；②y=bx 2；③y=cx 2；•④y=dx 2，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ） A ．a>b>c>d B ．a>b>d>c C ．b>a>c>d D ．b>a>d>c8．已知二次函数y=x 2+4x+5，则函数值y 的取值范围为（ ）A ．任意实数B ．y ≤1C ．y ≥0D ．y ≥19．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a>0）的对称轴为x=1，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 2，x 3）是函数图象上的三点，且x 1<1<x 2<x 3，则下列说法正确的是（ ） A ．可判断出y 1<y 2<y 3 B ．只能判断出y 2<y 3C ．可判断出y 1>y 2>y 3D ．根本不能判断出y 1、y 2、y 3的关系10．在同一个直角坐标系中，一次函数y=ax+c ，二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．方程x 2-2x-3=0的解是_______．12．用长为16米的细绳围成一个矩形，矩形的长为x ，面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为______，y 的最大值为________．13．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，则代数式m 2-m 的值等于_______． 14．若抛物线y=m x m2-2+4x-1开口方向向上，则m=_______． 15．若函数y=x 2-23x+c 的图象的顶点在x 轴上，则c=_________． 16．已知二次函数y=x 2-6x+m 的最小值是1，则m=_________． 17．已知函数y =x 2-2001x+2002与x 轴的交点为（m ，0），（n ，0），则（m 2-2001m+2002）（n 2-2001n+2002）=_________．18．若抛物线y=-4x 2+16x-15的顶点为A ，与x 轴的交点为B 、C ，•则△ABC•的面积是________．三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过（1，0）与（2，5）两点，求这个二次函数的关系式．20．已知抛物线y=ax2与直线y=2x+3交于点A、B，已知A点的横坐标为3，求A、B•两点的坐标及抛物线的关系式．21．已知：二次函数y=a x2-5x+c的图象如图。
二次函数与一元二次方程二次函数的应用测试题(含答案)
二次函数与一元二次方程 二次函数的应用测试题3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A ．50mB ．100mC ．160mD ．200m 4. 向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y=ax 2+bx+c （a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A ．第8秒 B ．第10秒 C ．第12秒 D ．第15秒5.一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下列函数关系式：61t 5h 2+--=）（，则小球距离地面的最大高度是（ ） A ．1米 B ．5米C ．6米D ．7米 6. 已知抛物线m x m x y +-+=)1(52与x 轴两交点在y 轴同侧，它们的距离的平方等于2549，则m 的值为（ ） A 、－2 B 、12 C 、24 D 、－2或24 7. 如图，从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与 小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式为2530t t h -=，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是：( )（A ）6s （B ）4s （C ）3s （D ）2s（第3题） (第7题) (第8题)8. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米 B ．3米 C ．2米 D ．1米9.如图，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB =4，点E 、F 分别是线段CD ，AB 上的动点，设AF =x ，AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（ ）（第9题） CDEFA B （第9题分析C D E F A B P10.如图，等腰Rt △ABC （∠ACB ＝90º）的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）二.填一填（本题有8个小题，每空3分，共24分）11、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2．12. 9. 某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h (m)与时间t (s)的关系可以用公式h =-5t 2+150t +10表示．经过___ ___s ，火箭达到它的最高点．13.已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．14. 出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出（8-x ）个，则当x=______元时，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大.16.小汽车刹车距离s （m ）与速度v （km/h ）之间的函数关系式为21001v s =，一辆小汽车速度为100km/h ，在前方80m 处停放一辆故障车，此时刹车 有危险（填“会”或“不会”）.17. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.(第17题)O x y4 4 A ． O x y 4 4 B ． O x y 4 4 C ． O x y4 4 D ．三、解答题 (满分66分)19．（本题满分共8分）某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?20. （本题满分共8分）已知：如图在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2(1)40x m x m --++=的两根。
初中数学第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题 (26)(含解析)
第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题(26)一、解答题1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m ≠n ，请判断关于t 的方程t 2+mt +n ＝0是否有实数根，并说明理由． 2．已知二次函数的解析式是215322y x x =-+． （1）用配方法将215322y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式，并写出该二次函数的对称轴和顶点坐标； （2）二次函数215322y x x =-+的图象与x 轴相交吗？说明理由；若相交，求出交点坐标．3．已知二次函数()2221y x m x m =-++（m 是常数）的图象与x 轴有两个不同的交点()1,0A x ，()2,0B x ．（1）求m 的取值范围；（2）若22127x x +=，求m 的值．4．已知抛物线()256y x m x m =-+-+-．（1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围； （3）设抛物线()256y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值．5．（1）若关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x +1=0有实数根，求a 的取值范围． （2）若x 1，x 2是关于x 的方程kx 2+（k +2）x 4k+=0的两实数根，且k |21x x |=kx 1﹣12x 2+2，求k 的值．（3）若x 1，x 2，x 3，是关于x 的方程x （x ﹣2）2=t 的三个实数根，且x 1＜x 2＜x 3；则x 3﹣x 1的最大值为 ．6．已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象过点E （2，3），对称轴为1x =，它的图象与x 轴交于两点（1x ，0），B （2x ，0），且12x x <，221210x x +=．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．8．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：（1）点A、B的坐标；（2）抛物线的函数表达式；（3）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+BM的最小值及点M的坐标；（4）在抛物线对称轴上是否存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知抛物线y= x2-(m-2)x-12m2（1）求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个不同的交点．（2）若抛物线与x轴的两交点坐标分别是A(x1，0)，B(x2，0)，且满足|x2|=|x1|+2，求m 的值．10．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．（本题满分12分）如图，抛物线y=+3与x轴相交于A、B，与直线y=－x+b相交于B、C，直线y=－x+b与y轴交于点E．（1）求直线BC的表达式；（2）求△ABC的面积；（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A、B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积s与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？12．如图，已知抛物线y＝ax2＋32x＋4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右侧)，与y轴交于C点．(1)求抛物线的解析式；(2)求A，B两点的坐标；(3)若M是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与B，C重合)，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求M点的坐标．13．已知二次函数的图象经过点（0，-3），顶点坐标为（-1，-4）， （1）求这个二次函数的解析式； （2）求图象与x 轴交点A 、B 两点的坐标； （3）图象与y 轴交点为点C ，求三角形ABC 的面积．14．如图，二次函数2y x 2x 3=-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ，（1）求点A,B,C 的坐标． （2）求△BCD 的面积15．已知二次函数1(3)()y x x a a=-+-的图像与x 轴相交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ．一次函数y x a =-+的图像与y 轴相交于点D ，其中0a >．（1）分别求出A 、B 、C 三点的坐标（可以用含有字母a 的代数式表示）． （2）点P 与点C 关于抛物线的对称轴成轴对称，点Q 为抛物线上的一个动点． ①试说明点P 在直线y x a =-+的图像上．②若点Q 在抛物线上有且只有三个位置满足QPB APC S S ∆∆=，求a 的值．16．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣利用函数图象研究其性质﹣应用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了一个陌生函数的大致图象，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面问题：在函数y＝a x b⨯+中，当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝7．（1）求这函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的大致图象并写出这个函数的一条性质；（3）结合你所画的函数图象与y＝12x+32的图象，直接写出不等式组1322a xb xx⎧⨯++⎪⎨⎪⎩的解集．17．如图，已知抛物线y1＝﹣12x2+32x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线l 是抛物线的对称轴，一次函数y2＝kx+b经过B、C两点，连接AC．（1）△ABC是三角形；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）结合图象，写出满足y1＞y2时，x的取值范围．18．已知：抛物线．（1）写出抛物线的对称轴；（2）完成下表；x…﹣7﹣313…y…﹣9﹣1…（3）在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象．19．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；（3）当2≤x≤4时，求y的最大值．20．如图，在直角坐标平面内，直线y=﹣x+5与x轴和y轴分别交于A、B两点，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求sin∠OCA的值；（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且△ABP的面积为10，求点P的坐标．【答案与解析】一、解答题1．（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根． （1）将已知点的坐标代入二次函数列出方程组，解之即可； （2）因为（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点，所以+2m n＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2，于是 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0，所以此方程有两个不相等的实数根．（1）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3） 9a ﹣3b +c ＝0930312a b c c b a ⎧⎪-+=⎪=-⎨⎪⎪-=-⎩解得a ＝1，b ＝2，c ＝﹣3 ∴抛物线y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵点（m ，k ），（n ，k ）在此抛物线上， ∴（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点， ∴+2m n＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0 ∴此方程有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质与二次函数上点的坐标特征是解题的关键．2．（1）对称轴为直线x=3，顶点坐标为（3，-2）；（2）相交；交点为（1，0），（5，0）.（1）根据配方法可以将该函数解析式化为y=a （x-h ）2+k 的形式，从而可以得到该函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）计算∆的值即可判断图象是否与x 轴相交；令y=0求出相应的x 的值，即可求得该函数图象与x 轴的交点坐标． 解：（1）215322y x x =-+ ()21569922x x =-+-+21(3)22x =--， 即21(3)22y x =-- 该二次函数对称轴为直线3x =，顶点坐标为（3，-2）； （2）相交，理由如下： 令0y =，则2150322x x =-+， ∵22154(3)44022b ac -=--⨯⨯=>， ∴该二次函数图象与x 轴相交，且有两个交点； 解得11x =，25x =，∴与x 轴的交点为（1，0），（5，0）． 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数由一般式化为顶点式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．（1）14m >-；（2）m 的值为1 （1）利用根的判别式列出不等式，然后求解即可；（2）利用根与系数的关系用m 表示出x 12+x 22，然后列出方程，再求解即可． 解：（1）由题意，得：>0∆， ∴()222140m m -+-⨯>⎡⎤⎣⎦，∴410m +>， ∴14m >-； （2）由根与系数关系，得：1221x x m +=+，212x x m =．∵()2221212122x x x x x x +=+-，代入，得()222127m m +-=， 解得：13m =-，21m =； ∵14m >-， ∴m 的值为1． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了根的判别式，根与系数的关系，难点在于（2）利用根与系数的关系列出关于m 的方程．4．（1）详见解析；（2）13m <<；（3）m=5或m=6（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点；（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果； （3）根据抛物线y ＝−x2＋（5−m ）x ＋6−m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y ＝−x 的对称点的坐标，列方程可得结论． （1）证明：△＝（5−m ）2−4×（−1）（6−m ）＝m 2−14m ＋49＝（m−7）2≥0， ∴该抛物线与x 轴总有交点；（2）解：由（1）△＝（m−7）2，根据求根公式可知，方程的两根为：x即x 1＝−1，x 2＝−m ＋6，由题意，有3＜−m ＋6＜5， ∴1＜m ＜3；（3）解：令 x ＝0，y ＝−m ＋6， ∴M （0，−m ＋6），由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（−1，0）和（−m ＋6，0）， 它们关于直线y ＝−x 的对称点分别为（0，1）和（0，m−6）， 由题意，可得：−m ＋6＝1或−m ＋6＝m−6， ∴m ＝5或m ＝6． 【点睛】本题主要考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 5．（1）a ≤2；（2）k 43=；（3 （1）由题意可分当a =1时和当a ≠1时，然后分别求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 22k k +=-， 12144kx x k ==＞0，则有kx 12+（k +2）x 14k+=0，然后代入k |21x x |=kx 1﹣12x 2+2，进而可进行求解；（3）由题意得x （x ﹣2）2﹣t =（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3），然后整理化简可得x 1+x 2+x 3=4，x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=4，x 1x 2x 3=t ，进而可得x 3x 1=4﹣（x 1+x 3）x 2，x 3x 12tx =，最后根据二次函数的性质可求解．解：（1）①a =1，方程为一元一次方程，必有一根；②a ≠1，方程为一元二次方程，△=（﹣2）2﹣4×（a ﹣1）=4﹣4a +4=8﹣4a ≥0， 解得：a ≤2，即a ≤2且a ≠1， 综上，a ≤2；（2）∵x 1，x 2是关于x 的方程kx 2+（k +2）x 4k+=0的两实数根， ∴x 1+x 22k k +=-，12144kx x k ==＞0，kx 12+（k +2）x 14k+=0， ∴x 1，x 2同号，kx 12=﹣（k +2）x 14k -， ∵k |21x x |=kx 1﹣12x 2+2，∴kx 2=kx 12﹣12x 1x 2+2x 1， ∴kx 2=﹣（k +2）x 14k--12x 1x 2+2x 1， ∴k （x 1+x 2）4k++12x 1x 2=0， ∴﹣（k +2）4k ++3=0，解得：k 43=， △=（k +2）2﹣4k 4k⨯≥0，解得：k ≥﹣1， ∵二次项系数不为零k ≠0， ∴k ≥﹣1且k ≠0， ∴k 43=； （3）由题意得：x （x ﹣2）2﹣t =（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3）， ∴x 3﹣4x 2+4x ﹣t =x 3﹣（x 1+x 2+x 3）x 2+（x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1）x ﹣x 1x 2x 3， ∴x 1+x 2+x 3=4，x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=4，x 1x 2x 3=t ， ∴x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1的值为4， ∵x 1+x 2+x 3=4， ∴x 1+x 3=4﹣x 2， ∵x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=4， ∴x 3x 1=4﹣（x 1+x 3）x 2， ∵x 1x 2x 3=t ， ∴x 3x 12tx =， ∵（x 3﹣x 1）2=（x 3+x 1）2﹣4x 3x 1， ∴（x 3﹣x 1）2=（4﹣x 2）2﹣4[4﹣（x 1+x 3）x 2] =﹣3x 22+8x 2 =﹣3（x 243-）2161633+≤，∴当x 243=时，x 3﹣x 13=， ∴x 3﹣x 1的最大值为3，【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．6．（1）y=-x²+2x+3；（2）存在，P （9）或（9）.（1）把E 点代入、对称轴表示出来，再结合根与系数的关系可表示出x 12+x 22=10，可得到关于a 、b 、c 的方程组，求解即可求出二次函数的解析；（2）可先求得A 、B 的坐标，求得△EOB 的面积，可求得P 到OA 的距离，代入抛物线可求得P 点坐标．（1）∵图象过E （2，3）， ∴4a+2b+c=3①； ∵对称轴x=1，∴-2ba=1②， ∵图象与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）， ∴x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0两根， ∴x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a， ∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=22b a -2ca=10③， 由①②③可解1{23a b c =-==，∴二次函数解析式为y=-x 2+2x+3；（2）在y=-x 2+2x+3中，令y=0可得-x 2+2x+3=0，解得x=-1或x=3， ∴A 为（-1，0）、B 为（3，0）， ∴OA=1，OB=3，且E 为（2，3）， ∴S △EOB =12×3×3=92， 设P 点坐标为（x ，y ），则S △POA =12×1×|y|， ∵S △EOB =S △POA ， ∴|y|=9，解得y=±9， 当y=9时，代入后x 无解，当y=-9时，代入可得x=1+13或1-13，∴P点坐标为（1+13，-9）或（1-13，-9），∴在（1）中抛物线上是存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积，其坐标为（1+13，-9）或（1-13，-9）【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数与一元二次方程的关系，在（1）中用a、b、c表示出x12+x22=10是解题的关键，在（2）中求出P点的横坐标是解题的关键．7．（1）y=﹣+x+2；（2）；（3）当a=2（在0＜a＜3范围内）时，S最小值=．（1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）．设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．则，解得，∴．（2）由=．∴顶点坐标为G（1，）．过G作GH⊥AB，垂足为H．则AH=BH=1，GH=﹣2=．∵EA⊥AB，GH⊥AB，∴EA∥GH．∴GH是△BEA的中位线．∴EA=2GH=．过B作BM⊥OC，垂足为M．则MB=OA=AB．∵∠EBF=∠ABM=90°，∴∠EBA=∠FBM=90°﹣∠ABF．∴Rt△EBA≌Rt△FBM．∴FM=EA=．∵CM=OC﹣OM=3﹣2=1，∴CF=FM+CM=．3）设CF=a，则FM=a-1或1- a，∴BF2=FM2+BM2=(a-1)2+22=a2-2a+5 .∵△EBA≌△FBM，∴BE=BF.则，又∵，∴，即，∴当a=2（在0<a<3范围内）时，∴.8．（1）点A的坐标为（1，0）．点B的坐标为（0，3）．（2）y=x2﹣4x+3．（3）M （2，1）．（4）点P的坐标为（2，2）或（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．试题分析：（1）将x=0代入直线的解析式可求得点B的坐标，将y=0代入直线的解析式可求得点A的坐标；（2）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、k的方程组，求得a、k的值，从而可求得抛物线的解析式；（3）先求得抛物线的对称轴方程，从而可求得点C的坐标，由轴对称图形的性质可知AM+BM=BM+MC，当点B、M、C在一条直线上时，AM+BM有最小值，在Rt△BOC中，由勾股定理可求得BC的长，从而得到AM+BM的最小值，然后由△CDM∽△COB，可求得DM=1，从而得到点M的坐标；（4）设点P的坐标为（2，m），然后分为AP=PB，AP=AB，BA=BP三种情况列方程求解即可．解：（1）∵将x=0代入直线的解析式得：y=3，∴点B的坐标为（0，3）．∵将y=0代入直线的解析式得：﹣3x+3=0，解得：x=1．∴点A的坐标为（1，0）．（2）将A（1，0）、B（0，3）代入抛物线的解析式得：，解得：a=1，k=﹣1．抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（3）如图所示：连接BC交抛物线的对称轴于点M，连接AM．∵由题意可知抛物线的对称轴为x=2，∴点C的坐标为（3，0）．∵点A与点M关于x=2对称，∴AN=MC．∴AM+BM=BM+MC．∵当点B、M、C在一条直线上时，AM+BM有最小值，AM+BM的最小值为BC的长．∴AM+BM的最小值==3．∵MD∥OB，∴△CDM∽△COB．∴，即．解得：MD=1．∴M（2，1）．（4）设点P的坐标为（2，m）．①当PA=PB时，由两点间的距离公式可知：（2﹣1）2+（m﹣0）2=（2﹣0）2+（m﹣3）2．整理得：6m=12．解得：m=2．点P的坐标为（2，2）．②当AP=AB时，由两点间的距离公式可知：（2﹣1）2+（m﹣0）2=（1﹣0）2+（0﹣3）2．整理得：m2=9．解得：m=3或m=﹣3（舍去）．点P的坐标为（2，3）．③当BA=BP时，由两点间的距离公式可知：（1﹣0）2+（0﹣3）2=（2﹣0）2+（m﹣3）2．整理得：（m﹣3）2=6．解得：m=3+或m=3﹣．点P的坐标为（2，3+）或（2，3﹣）．综上所述，点P的坐标为（2，2）或（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．考点：二次函数综合题．9．（1）见解析；（2）m＝4或m＝0．（1）只要证明b2－4ac＞0即可；（2）由一元二次方程根与系数的关系可知：x 1＋x 2＝m －2，x 1x 2＝－12m 2，进而可得x 12＋x 22＝（m －2）2＋m 2，再根据|x 2|＝|x 1|＋2可得x 12＋x 22－2|x 1x 2|＝4，最后代入计算即可．解：（1）令y ＝0， 得：x 2－（m －2）x －12m 2＝0， b 2－4ac ＝221(2)41()2m m --⨯⨯-＝m 2－4m ＋4＋2m 2 ＝3m 2－4m ＋4 ＝3（m －23）2＋83＞0， ∴无论m 取什么实数，抛物线总与x 轴有两个不同交点； （2）令y ＝0， 得：x 2－（m －2）x －12m 2＝0， 由一元二次方程根与系数的关系可知：x 1＋x 2＝m －2①，x 1x 2＝－12m 2②． 由①平方得：x 12＋x 22＋2x 1x 2＝（m －2）2， ∴x 12＋x 22＝（m －2）2＋m 2③． ∵|x 2|＝|x 1|＋2， ∴|x 2|－|x 1|＝2． ∴x 12＋x 22－2|x 1x 2|＝4， ∴（m －2）2＋m 2－2|－12m 2|＝4， 整理得：（m －2）2＝4． ∴m ＝4或m ＝0． 【点睛】本题主要考查的是二次函数与x 轴交点的问题，将函数问题转化为方程问题是解题的关键．10．（1）抛物线解析式为y=x 2﹣4x+3；（2）Q 点的坐标为（0，0）或（，0）． 试题分析：（1）先确定出点B ，C 坐标，再用待定系数法求函数解析式； （2）先求出BA=2，BC=3，BP=，然后分两种情况①由△ABC ∽△PBQ ，得到，求出BQ ，②由△ABC ∽△QBP 得，求出BQ ，即可．解：（1）∵直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，令x=0，得y=3， ∴C （0，3）， 令y=0，得x=3， ∴B （3，0），∵经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）由（1），得A（1，0），连接BP，∵∠CBA=∠ABP=45°，∵抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；∴P（2，﹣1），∵A（1，0），B（3，0），C（0，3），∴BA=2，BC=3，BP=，当△ABC∽△PBQ时，∴，∴，∴BQ=3，∴Q（0，0），当△ABC∽△QBP时，∴，∴，∴BQ=，∴Q（，0），∴Q点的坐标为（0，0）或（，0）．11．y=－x+；；．试题分析：根据二次函数求出A、B两点的坐标，然后根据点B在一次函数上得出b的值，得出直线BC的解析式；首先求出两个函数的交点坐标，得出点C的坐标，然后求出三角形的面积；过点N作NP⊥MB于点P，根据题意得出△BNP∽△BEO，根据直线解析式得出点E的坐标，根据△BEO得出BE的长度，然后根据三角形相似得出NP的长度，然后S与t的函数关系式，根据二次函数的性质得出最值．试题解析：（1）在y＝－＋3中，令y＝0，得－＋3＝0，解得x1＝2，x2＝－2，∴A（－2，0），B（2，0）．又∵点B在y＝－x＋b上，∴0＝－×2＋b，∴b＝．∴直线BC的表达式为y＝－x＋．（2）过点C作CD⊥AB于点D．由得∴C（－1，）．∴AB＝4，CD＝．∴S△ABC＝×4×＝．（3）过点N作NP⊥MB于点P．∵EO⊥MB，∴NP∥EO．∴△BNP∽△BEO，∴＝．由直线y＝－x＋可得：E（0，）．在△BEO中，∵OB＝2，EO＝，∴BE＝．∴＝，∴NP＝t ．∴S＝·（4－t）·t＝－t2＋t＝－（t－2）2＋（0＜t＜4）∵此抛物线开口向下，∴当t＝2时，S最大＝．∴当点M运动2秒时，△MNB的面积最大，最大面积是．考点：二次函数的综合应用．12．(1) y＝－14x2＋32x＋4； (2)点A的坐标为(－2,0)，点B的坐标为(8,0)；(3)点M的坐标为(2,6)或(6,4).（1）由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A、B的坐标；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点M的坐标为（m，-14m2+32m+4），则点N的坐标为（m，-12m+4），进而可得出MN=|-14m2+2m|，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论．(1)∵抛物线y＝ax2＋32x＋4的对称轴是直线x＝3，∴3232a-=，解得：a＝－14，∴抛物线的解析式为y＝－14x2＋32x＋4(2)当y＝0时，－14x2＋32x＋4＝0，解得：x1＝－2，x2＝8，∴点A的坐标为(－2,0)，点B的坐标为(8,0)(3)当x ＝0时，y ＝－14x 2＋32x ＋4＝4， ∴点C 的坐标为(0,4)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b (k≠0)．将B (8,0)，C (0,4)代入y ＝kx ＋b ，得804k b b +=⎧⎨=⎩，解得：124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线BC 的解析式为y ＝－12x ＋4 设点M 的坐标为213(,4)42m m m -++，则点N 的坐标为1(,4)2m m -+，其中0<m<8∴MN ＝2213114(4)24224m m m m m -++--+=-+，又∵MN ＝3，∴－14m 2＋2m ＝3，解得：m 1＝2，m 2＝6，∴点M 的坐标为(2,6)或(6,4). 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a 的值；（3）根据MN 的长度，找出关于m 的一元二次方程．13．（1）y=x 2+2x-3；（2）A （-3，0），B （1，0），（3）6.试题分析：（1）设顶点式y=a （x+1）2-4，然后把点（0，-3）代入求出a 即可得到抛物线解析式；（2）通过解方程可得到A 点和B 点坐标；（3）先写出C 点坐标，然后根据三角形面积公式计算． 试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a （x+1）2-4， 把点（0，-3）代入得a-4=-3，解得a=1， 所以函数解析式y=（x+1）2-4或y=x 2+2x-3； （2）当y=0时，x 2+2x-3=0，解得x 1=1，x 2=-3， 所以A （-3，0），B （1，0）， （3）C （0，-3）， △ABC 的面积=12×（1+3）×3=6． 14．（1）A （-1，0）B （3，0） C （0，3） （2）△BCD 的面积为3．试题分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A.B.C 点的坐标. （2）延长DC 交x 轴于E ，利用S △BCD =S △BED -S △BCE 计算即可 （1）令y=0，可得x=3或x=﹣1． 令x=0，可得y=3． ∴A （-1，0）B （3，0） C （0，3）（2）依题意，可得y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4． ∴顶点D （1，4）． 令y=0，可得x=3或x=-1． ∴令x=0，可得y=3． ∴C （0，3）． ∴OC=3，∴直线DC 的解析式为y=x+3． 设直线DE 交x 轴于E ． ∴BE=6．∴S △BCD =S △BED -S △BCE =3． ∴△BCD 的面积为3．15．（1）(3,0),(,0),(0,3)A B a C -；（2）①见解析；②32或32+ （1）令0,y = 求解,A B 的坐标，令0,x = 求C 的坐标；（2）①根据抛物线是解析式求解抛物线的对称轴，由轴对称求解P 的坐标，把P 的坐标代入y x a =-+可得结论，②点Q 在抛物线上有且只有三个位置满足QPB APC S S ∆∆=得到Q 在在直线PB 上方只能存在一个位置，即此时QPB S ∆的面积最大，利用函数的性质求解面积的最大值，分情况建立方程求解即可． （1）令0,y =则1(3)()0,x x a a-+-= 解得：123,,x x a =-=()()3,0,,0,A B a ∴-令0,x =()11(3)()33,y x x a a a a∴=-+-=-⨯⨯-=()0,3.C ∴∴ A （-3，0）、B （a ，0）、C （0，3）（2）①1(3)(),y x x a a=-+-∴ 抛物线的对称轴为32a x -=， 点P 与点C 关于抛物线的对称轴成轴对称， 则中点坐标公式得：P 坐标为（a -3,3） 将点P 坐标（a -3,3）代入到y x a =-+中，得33a a =--+（） 成立∴点P 在直线y x a =-+的图像上② 由题意得：13322APC S PC PC ∆=⋅⋅=⋅ 在直线PB 下方始终存在两个位置，使得QPB APC S S ∆∆= 则在直线PB 上方只能存在一个位置，使得QPB APC S S ∆∆=， 即QPB S ∆最大时成立由点Q 在在直线PB 上方，过点Q 作x 轴垂线，垂足为点M ， 交PB 于点H ，交PC 于点N ，如图，则1122QPB QHP QHB S S S QH PN QH BM ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅ ()1322QH PN BM QH =+=⋅， 2113(3)()3,a y x x a x x a a a -=-+-=--+∴ 设点213,3,a Q m m m a a -⎛⎫--+ ⎪⎝⎭()()3,3,,0,P a B a - ,P B ∴都在y x a =-+上，PB ∴为：y x a =-+，(),,H m m a ∴-+则213(2)3QH m m a a a=-⋅+-+- 当232a m -=时，QH 有最大值=94a，所以此时面积最大为3924QPB S a ∆=⋅ 当0<<3a 时，3PC a =-，得3393-)224a a ⋅=⋅（，则1232a a == 当3a >时，-3PC a =，得339-3)224a a ⋅=⋅（，则12322a a +==（舍去）综上所述：32a =或a =【点睛】本题考查的二次函数，考查二次函数与一元二次方程的关系，考查利用二次函数的性质求解面积的最大值，同时考查了一次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 16．（1）y 31x ⨯+2）关于y 轴对称；（3）0≤x ≤1．（1）根据在函数y a x b ⨯+x ＝0时，y ＝1；当x ＝2时，y 7，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的表达式列表、描点，连线可以画出该函数的图象并得到函数的性质； （3）根据图象可以直接写出所求不等式组的解集． 【解答】解：（1）∵在函数y a x b ⨯+x ＝0时，y ＝1；当x ＝2时，y 7．∴127b a b =+=31a b =⎧⎨=⎩，∴这个函数的表达式是y 31x ⨯+ 故答案为：y 31x ⨯+ （2）∵y 31x ⨯+∴y ＝31(0)31(0)x x x x +≥-+<， 列表： x ﹣5 ﹣2﹣1 0 1 25… y47 21274…函数的性质：关于y轴对称，故答案为：关于y轴对称；（3）∵13 22a xb x⨯++即是直线高于曲线，且0x，∴由函数图象可得，不等式组1322a xb xx⎧⨯++⎪⎨⎪⎩的解集是0≤x≤1．【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，画函数图象，函数图象的性质，不等式组与函数图象的关系.17．（1）直角;（2）P（32，54）;（3）0＜x＜4.（1）求出点A、B、C的坐标分别为：（-1，0）、（4，0）、（0，2），则AB2=25，AC2=5，BC2=20，即可求解；（2）点A关于函数对称轴的对称点为点B，则直线BC与对称轴的交点即为点P，即可求解；（3）由图象可得：y1＞y2时，x的取值范围为：0＜x＜4．解：（1）当x=0时，y1＝0+0+2=2，当y=0时，﹣1 2 x2+32x+2=0，解得x1=-1，x2=4，∴点A、B、C的坐标分别为：(﹣1，0)、(4，0)、(0，2)，则AB2＝25，AC2＝5，BC2＝20，故AB2＝AC2+BC2，故答案为：直角；（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：40k bb+=⎧⎨=⎩，解得122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的表达式为：y＝﹣12x+2，抛物线的对称轴为直线：x＝32，点A关于函数对称轴的对称点为点B，则直线BC与对称轴的交点即为点P，当x＝32时，y＝12-×32+2＝54，故点P(32，54)；（3）由图象可得：y1＞y2时，x的取值范围为：0＜x＜4，故答案为：0＜x＜4．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，轴对称最短的性质，勾股定理及其逆定理，以及利用图像解不等式等知识，本题难度不大．18．（1）抛物线的对称轴为直线x=﹣1．（2）见试题解析；（3）见试题解析试题分析：（1）根据抛物线21(1)4y x =-+，直接得出对称轴即可； （2）根据直线解析式分别得出对应函数的值即可； （3）利用（2）中所求的点，画出图象即可． 试题解析：（1）抛物线的对称轴为直线x=﹣1． （2）填表如下： x … ﹣7 ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3 5 … y … ﹣9 ﹣4 ﹣1 0 ﹣1 ﹣4 ﹣9 … （3）描点作图如下：【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．19．(1) y=﹣x 2+2x+3;(2) ﹣1＜x ＜3，y ＞0；(3) 当x=2时，y 的最大值是3．试题分析：（1）因为点（﹣1，0），（0，3）在抛物线y=﹣x 2+bx+c 上，可代入确定b 、c 的值；（2）求出抛物线与x 轴的交点坐标，根据图象确定y ＞0时，x 的取值范围；（3）根据二次函数的增减性，确定2≤x ≤4时，y 的最大值． 试题解析：（1）把（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x 2+bx+c ，得103b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得32c b =⎧⎨=⎩， 所以二次函数的解析式为：y=﹣x 2+2x+3（2）把x=0代入y=﹣x 2+bx+c 中，得﹣x 2+bx+c=0，解得x 1=﹣1，x 2=3， 所以当﹣1＜x ＜3，y ＞0；（3）由y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，抛物线的对称轴为直线x=1，则当2≤x ≤4时，y 随着x 的增大而减小，∴当x=2时，y的最大值是3．考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的图象；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．20．（1）y=x2﹣6x+5；（2）；（3） P（4，﹣3）．试题分析：（1）根据一次函数求出A、B两点的坐标，然后代入反比例解析式进行求解；（2）过点C作CH⊥x轴，求出CH、AH、AC、OC、OA的长度，将∠OAC转化成∠OCA，然后进行计算；（3）过点P作PQ⊥x轴并延长角直线于点Q，设出点P和点Q的坐标，求出PQ的长度，根据三角形的面积关系列出方程，然后进行求解，根据点P在x轴下方进行舍根．试题解析：（1）由直线y=－x+5得点B（0，5），A（5，0），将A、B两点的坐标代入，得，解得∴抛物线的解析式为（2）过点C作CH⊥x轴交x轴于点H 把配方得∴点C （3，-4），∴CH=4，AH=2，AC=∴OC=5，∵OA=5 ∴OA=OC ∴∠OAC=∠OCAsin∠OCA=sin∠OAC=（3）过P点作PQ x轴并延长交直线y=－x+5于Q设点P（m，－6m+5），Q（m，-m+5）∴PQ=－m+5－（－6m+5）=－+5m∵∴∴∴∴P（1，0）（舍去），P（4，-3）考点：（1）待定系数法求函数解析式；（2）三角形函数的计算；（3）一元二次方程的应用．。
二次函数与一元二次方程练习(含答案)
二次函数与一元二次方程 练习题1、抛物线2283y x x =--与x 轴有个交点，因为其判别式24b ac -=0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为． 答案：0 92-< 没有实数根．2、函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（）Ａ、0个Ｂ、1个Ｃ、2个 Ｄ、1个或2个 答案：Ｃ3、关于二次函数2y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图像开口向下时，方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a-；④当0b =时，函数的图像关于y 轴对称．其中正确命题的个数是（ ）Ａ、1个Ｂ、2个Ｃ、3个Ｄ、4个 答案：Ｃ4、关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于点，此时m =． 答案：一 45、抛物线2(21)6y x m x m =---与x 轴交于两点1(0)x ，和2(0)x ，，若121249x x x x =++，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位． 答案：4或96、关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（ ）Ａ、116m <-Ｂ、116m -≥且0m ≠ Ｃ、116m =-Ｄ、116m >-且0m ≠ 答案：Ｂ7、 已知抛物线21()3y x h k =--+的顶点在抛物线2y x =上，且抛物线在x 轴上截得的线段长是43，求h 和k 的值．答案：21()3y x h k =--+，顶点()h k ，在2y x =上，2h k ∴=，22221122()3333y x h h x hx h ∴=--+=-++．22∆求得2h =±，4k =，即2h =，4k =或2h =-，4k =．8、已知函数22y x mx m =-+-．（1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点； （2）若函数y 有最小值54-，求函数表达式．答案：（1）222()4(2)48(2)4m m m m m ∆=---=-+=-+，不论m 为何值时，都有0∆>， 此时二次函数图像与x 轴有两个不同交点．（2）2244(2)5444ac b m m a ---==-Q，2430m m -+=，1m ∴=或3m =， 所求函数式为21y x x =--或231y x x =-+．9、下图是二次函数2y ax bx c =++的图像，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于A 点．（1）根据图像确定a ，b ，c 的符号，并说明理由；（2）如果A 点的坐标为(03)-，，45ABC ∠=o ，60ACB ∠=o，求这个二次函数的函数表达式．答案：（1）抛物线开口向上，0a >；图像的对称轴在y 轴左侧，02ba-<，又0a >， 0b ∴>；图像与y 轴交点在x 轴下方，0c ∴<．0a ∴>，0b >，0c <．（2）(03)A -，，3OA =，45ABC ∠=o ，60ACB ∠=o ，3tan OAOB ABC==∠，3tan 60OAOC ==o，(30)B ∴-，，(30)C ，．设二次函数式为(3)(3)y a x x =+-， ＡＣＯ Ｂ xy把(03)-，代入上式，得33a =， ∴所求函数式为233(3)(3)(31)333y x x x x =+-=+--． 10、已知抛物线222m y x mx =-+与抛物线2234m y x mx =+-在直角坐标系中的位置如图所示，其中一条与x 轴交于A ，B 两点．（1）试判断哪条抛物线经过A ，B 两点，并说明理由； （2）若A ，B 两点到原点的距离AO ，OB 满足条件1123OB OA -=，求经过A ，B 两点的这条抛物线的函数式．答案：（1）抛物线不过原点，0m ≠，令2202m x mx -+=，2221()402m m m ∆=--⨯=-<，222m y x mx =-+∴与x 轴无交点，∴抛物线2234y x mx m =+-经过A ，B 两点．（2）设1(0)A x ，，2(0)B x ，，1x ，2x 是方程22304x mx m +-=的两根12x x m +=-，21234x x m =-，A 在原点左边，B 在原点右边，则1AO x =-，2OB x =．123OB OA 1-=Q ．211123x x ∴+=，121223x x x x +=，22334m m -=-，得2m =，∴所求函数式为223y x x =+-．11、已知二次函数2224y x mx m =-+．（1）求证：当0m ≠时，二次函数的图像与x 轴有两个不同交点； Ａ ＢＯ xy数表达式．答案：（1）22222(4)421688m m m m m ∆=--⨯⨯=-=．0m ≠Q ，280m ∴>，∴这个抛物线与x 轴有两个不同交点．（2）设1(0)A x ，，212(0)()B x x x >，，则1x ，2x 是方程22240x mx m -+=两根， 122x x m +=，2122m x x =，222221212112()()4422AB x x x x x x x x m m m =-=-=+-=-=，C 点纵坐标22224816442c ac b m m y m a --===-⨯， ∴△ABC 中AB 边上的高22h m m =-=．21124222ABC S AB h m m ===g g V ，2m =，2m =±， 2284y x x ∴=++或2284y x x =-+．12、如图所示，函数2(2)7(5)y k x x k =--+-的图像与x 轴只有一个交点，则交点的横坐标0x =． 答案：7-13、已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，，212(0)()B x x x <，两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程222(1)70x m x m --+-=的两根，且221210x x +=．（1）求A ，B 两点坐标；（2）求抛物线表达式及点C 坐标；（3）在抛物线上是否存在着点P ，使△PAB 面积等于四边形ACMB 面积的2倍，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由． Ｏyx答案：（1）由122(1)x x m +=-，2127x x m =-，22222121212()24(1)2(7)10x x x x x x m m +=+-=---=，得2m =，11x ∴=-，23x =，(10)A -，，(30)B ，．（2）Q 抛物线过A ，B 两点，其对称轴为1x =，顶点纵坐标为4-，∴抛物线为2(1)4y a x =--． 把1x =-，0y =代入得1a =，∴抛物线函数式为223y x x =--，其中(03)C -，．（3）存在着P 点．(10)A -Q ，，(03)C -，，(14)M -，，(30)B ，，∴9ACMB S =四形，18ABP S =V ， 即1182P y AB =．4AB =Q ，9P y ∴=．把9y =代入抛物线方程得1113x =-，2113x =+，(1139)P ∴-，或(1139)P +，．14、二次函数269y x x =-+-的图像与x 轴的交点坐标为 ． 答案：（3，0） 15、二次函数25106y x x =-+的图像与x 轴有 个交点． 答案：0 16、对于二次函数2135y x x =++，当12x =时，y = ． 答案：1132017、如图是二次函数2246y x x =--的图像，那么方程22460x x --=的两根之和 0．答案：>18、求下列函数的图像与x 轴的交点坐标，并作草图验证． （1）25166y x x =-+； （2）2336y x x =+-．答案：（1）（13，0），（12，0），图略 （2）（1，0），（2-，0），图略19、一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，在抛物线2y ax bx c=++上，求点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标． 答案：（1，8-） ＣＢＯ Ａ xy20、若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ）Ａ、a c + Ｂ、a c - Ｃ、c - Ｄ、c 答案：Ｄ21、下列二次函数中有一个函数的图像与x 轴有两个不同的交点，这个函数是（ ） 答案：Ｄ Ａ、2y x =Ｂ、24y x =+ Ｃ、2325y x x =-+Ｄ、2351y x x =+-22、二次函数256y x x =-+与x 轴的交点坐标是（ ） 答案：AＡ、（2，0）（3，0） Ｂ、（2-，0）（3-，0） Ｃ、（0，2）（0，3） Ｄ、（0，2-）（0，3-）23、试说明一元二次方程2441x x -+=的根与二次函数244y x x =-+的图像的关系，并把方程的根在图象上表示出来．答案：一元二次方程2441x x -+=的根是二次函数244y x x =-+与直线1y =的交点的横坐标，图略．24、利用二次函数图象求一元二次方程的近似根．210x x +-=答案：1 1.6x ≈-，20.6x ≈25、利用二次函数图象求一元二次方程的近似根．24834x x --=-答案：1 1.9x ≈，20.1x ≈26、函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根的情况是（）Ａ、有两个不相等的实数根 Ｂ、有两个异号的实数根 Ｃ、有两个相等的实数根 Ｄ、没有实数根答案：Ｃ27、利用二次函数的图象求一元二次方程的近似值．2530x x --=3Ｏxy28、抛物线2321y x x =-+-的图象与坐标轴交点的个数是（） 答案：Ａ Ａ、没有交点 Ｂ、只有一个交点 Ｃ、有且只有两个交点 Ｄ、有且只有三个交点29、 已知二次函数212y x bx c =-++，关于x 的一元二次方程2102x bx c -++=的两个实根是1-和5-，则这个二次函数的解析式为 答案：215322y x x =---30、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(1 3.2)--，及部分图象（如图４所示），由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是1 1.3x =和2x = ．答案： 3.3-1-2-3-4- 12y。
二次函数与一元二次方程(培优练习)含答案
A. 0B. 1C. 2D. 1 或 25 .二次函数y=aV+6χ+c,若acVO,则其图像与渊()A.有两个交点B.有一个交点C.没有交点D.可能有一个交点6 .若Xi, X2G1Vx2)是方程(x - m) (x - 3) = - l(mV3)的两根，则实数Xi, X2, 3, m 的大小关系是()A. m<xι<x 2<3 B∙ Xι<m<x 2<3C∙ Xι<m<3<x 2 D∙ X1<X2<mO7,若二次函数y=aχ2+bχ-l 的最小值为-3,则方程|ax?+bx —l | =2的不相同实数根的个数是A. 2B. 3C. 4D. 5二次函数y=ax 2+ bx + c(a≠0)的图像如图所示，下列结论正确是(A. abc > 0 B . 2a + b <0D. α%2 + hx + c-3 = 0有两个不相等的实数根9.已知二次函数，=。
0-刈)0-％2)与χ轴的交点是(1, o)和(3, 0),关于％的方程a(x-x 1}(x-x 2}= m (其中m>0)的两个解分别是一 1和5,关于文的方程8. C< 3α + c < 0C.没有交点D.可能有一个交点6 .若Xi, X2G1Vx2)是方程(x - m) (x - 3) = - l(mV3)的两根，则实数Xi, X2, 3, m 的大小关系是()A. m<xι<x 2<3 B∙ Xι<m<x 2<3C∙ Xι<m<3<x 2 D∙ X1<X2<mO7,若二次函数y=aχ2+bχ-l 的最小值为-3,则方程|ax?+bx —l | =2的不相同实数根的个数是A. 2B. 3C. 4D. 5二次函数y=ax 2+ bx + c(a≠0)的图像如图所示，下列结论正确是(A. abc > 0 B . 2a + b <0D. α%2 + hx + c-3 = 0有两个不相等的实数根9.已知二次函数，=。
22.2-二次函数与一元二次方程-同步练习(含答案)
22.2二次函数与一元二次方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，抛物线()²0y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A ，B ，对称轴为直线2x =-，若点A 的坐标为()50-，，则下列结论：①点B 的坐标为()10，；②420a b c ++<；③4a b =；④点()()x y x y ₁，₁，₂，₂在抛物线上，当2x x <<-₁₂时，则y y >₁₂，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，顶点为(3,6)--的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,4)--，则下列结论中正确的是（ ）A ．240b ac -<B ．若点(2,),(4,)--m n 在抛物线上，则m n >C ．当3x <-时，y 随x 的增大而减小D ．关于x 的一元二次方程27(0)++=-≠ax bx c a 有两个不相等的实数根3．下列抛物线中,过原点的抛物线是（ ）A ．y =4x 2- 1B ．y =4x 2+ 1C ．y = 4(x + 1) 2D ．y = 4x 2+ x4．无论k 为何值，直线22y kx k =-+与抛物线223y ax ax a =--总有公共点，则a 的取值范围是（ ）A ．0a >B ．23a ≤-C ．23a ≤-或0a >D ．23a ≥-5．二次函数y=mx 2+x ﹣2m （m 是非0常数）的图象与x 轴的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个6．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：①方程20ax bx c ++=的两根之和大于0； ②；y ③随x 的增大而增大；④，⑤2a-b>0． 其中正确的个数（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．已知二次函数2y x bx c =++的顶点为()2,1，那么关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定8．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是( )A ．B ．C ．D ．9．已知二次函数22y x x k =-+（k 为常数）的图象与x 轴的一个交点是()10-，，则关于x 的一元二次方程220x x k -+=的两个实数根是（ ）A ．11x =-，23x =-B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．11x =，23x =-10．如图1，抛物线y=-x 2+bx+c 的顶点为P ，与x 轴交于A ，B 两点．若A ，B 两点间的距离为m ，n 是m 的函数，且表示n 与m 的函数关系的图象大致如图2所示，则n 可能为（ ）A ．PA+AB B ．PA-ABC ．AB PAD ．PA AB11．已知二次函数()220y ax ax c a =++≠图象经过点()34，，则关于x 的方程()()2212214a x a x c ++++=的两个根是（ ）A ．3或5-B ．1或1-C ．3或0.5-D ．1或3-12．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是直线x ＝1，甲、乙、丙、丁得出如下结论：甲：abc ＞0；乙：方程ax 2+bx +c ＝﹣2有两个不等实数根；丙：3a +c ＞0；丁：当x ≥0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c 既有最大值，也有最小值．则以上正确的是（ ）A ．甲、乙B ．乙、丙C ．甲、丁D ．乙、丙、丁二、填空题13．如图，某运动员推铅球，铅球行进高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的关系是21162025y x x =-++，则此运动员将铅球推出的距离是m ．14．抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），且0a b c ++=，有下列结论：①该抛物线经过点（1，0）；②若a b =，则抛物线经过点（-2，0）；③若a ，c 异号，则抛物线与x 轴一定有两个不同的交点；④点()()1122,,,A x y B x y 在抛物线上，且121x x <<，若0a c <<，则12y y <．其中所有正确结论的序号是 ．15．如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，且对称轴为直线1x =，有下列结论：0abc <①；1030a b c ++>②；③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -，则12y y >；④方程20cx bx a ++=的一个解是1x =；20am bm a ++≥⑤，其中所有正确的结论是 ．的三、解答题18．已知二次函数y=x 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x…-11234…y …830-103…（1）求该二次函数的解析式；（2）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？（3）若A （m,y 1）,B(m+2,y 2)两点都在该函数的图象上，计算当m 取何值时，12y y >？19．定义：将二次函数20y ax bx c a =++>（）在x 轴下方部分沿x 轴向上翻折，翻折后部分与原来末翻折部分形成一个新的函数G ，那么称函数G 为原二次函数的有趣函数．(1)二次函数223y x x =++_______________（有/没有）有趣函数．(2)已知二次函数与x 轴交于点（1，0），（5，0），与y 轴交于点()0,5A ，求拋物线的解析式，并在坐标系中画出函数图像．(3)在（2）的条件下：①过点A 作x 轴的平行线与抛物线交于点B ，求线段AB 的长度．②若函数G 为原二次函数的有趣函数，画出函数G 的图像并求解当函数G 的函数值大于2时，自变量x 的取值范围（直接写出答案）．20点(1)(2)(3))，当21在点，点,A B 在抛物线上，,OA OB 关于轴对称．4OC =分米，点A 到轴的距离是2分米，,A B 两点之间的距离是12分米．(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量x 取值范围）；(2)如图③，分别延长,AO BO 交拋物线于点,E F ，请直接写出,E F 两点间距离的值；(3)如图③，以拋物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为1S ，将拋物线向左平移(0)m m >个单位，得到一条新拋物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为2S ．若2112S S =，求m 的值．22．利用二次函数的图象求一元二次方程22150x x +-=的近似根．23．已知二次函数21y x bx c =+++的图象过点()21P -，(1)求证：26c b =--；(2)求证：此二次函数的图象与x 轴必有两个交点；(3)若二次函数的图象与x 轴交于点()10A x ，、()20B x ，，4AB =，求b 的值．24．已知函数y =（m +14）x 2+（2m ﹣1）x ﹣3．求证：不论m 为何值，该函数图象与x 轴必有交点．参考答案：题号12345678910答案B C D C C B C D C C 题号1112 答案DB1．B 2．C 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．C 11．D 12．B 13．1214．①②③15．②⑤16．x ＜-1或x ＞317．11x =-，23x =18．（1）y=x 2-4x+3；（2）当x=2时，y min =-1；（3）m ＜1．19．(1)没有(2)265y x x =-+(3)①6；②3x <33x <<3x >20．(1)()()()()4,4,3,3,4,4,3,3----(2)1t <<-1(3)48m ≤≤21．(1)21418y x =-+(2)24分米(3)6m =或m =22．13x =-，252x =23．(1)略；(2)略；(3)14b =，24b =-；24．略．。
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初二数学一元二次方程与二次函数试卷(含答案)
一元二次方程与二次函数试卷
班级： 姓名 总分：
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）.
2222221
A.0
B.0
C.421
D.3250x ax bx c x
x x x xy y +
=++=-=--= 2．用配方法解方程 2
210x x --=，变形后的结果正确的是（ ）.
2
.(1)0x A += 2
.(1)0x B -= 2
C.(1)2x +=
2D.(1)2
x -=
3．抛物线 2
(2)2y x =-+ 的顶点坐标是（ ）.
A.(2,2)-
B.(2,2)-
C.(2,2)
D.(2,2)--
4．下列所给方程中，没有实数根的是（ ）.
2A.0x x += 2B.5410x x --= 2
C.3410x x -+= 2
D.4520x x -+=
5．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是 2
680x x -+= 的根，则这个三角形的周长是（ ）.
A.11
B.13
C.1113
D.1215
或 或
6．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）.
A.100(1)121x +=
B.100(1)121x -= 2
C.100(1)121x += 2
D.100(1)121x -=
7．要得到抛物线 2
2(4)1y x =-- ，可以将抛物线 2
2y x = （ ）.
A. 向左平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度
B. 向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度
C. 向左平移4个单位长度，在向上平移1个单位长度
D. 向右平移4个单位长度，在向上平移1个单位长度
8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米²，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（ ）.
2A.10080100807644B.(100)(80)7644C.(100)(80)7644D.100807644
x x x x x x x x x ⨯--=--+=--=+=
9．如图，2
210y ax a y ax x a a =+=-+≠函数和（是常数,且）在同一平
面直角坐标系中的图象可能是（ ）
.
10．二次函数 2
(0)
y ax bx c a =++≠的图像大致如图，
关于该二次函数，下列说法错误．．
的是
（ ）.
y
x
1
-1O
A.1
B.2
1
C.2
D.120
x x y x x y =<
-<<>函数有最小值对称轴是直线当，随的增大而减小当时，
第
10题图 第16题图
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11.写出解为3x =的一个一元二次方程： .
12.已知1x =是关于x 的一元二次方程2
0ax bx c ++=的一个根，则代数式a b c ++= . 13.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100
y x
1
23–1–2–1
–2–3
1
2
3O
人患了流感，设每轮传染中，平均一个人传染的人数为x，可列方程为： .
14.二次函数226
=-+的最小值
y x x
是： .
15.正方形的边长是3，若边长增加x，则面积y与x之间的关系是： .
16.抛物线2
=++的部分图象如图所示，则当
y ax bx c
y>时，x的取值范围是 .
三、解答题（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17.解方程：2320
-+=
x x
18.已知关于x的一元二次方程26210
x x m
-+-=有两
个相等的实数根，求m的值及方程的根.
19.已知抛物线的顶点为（1，-4），且经过点（3,0），求这条抛物线的解析式.
四、解答题（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20. 惠州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
21.如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．
22.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始，沿边AB向点B以2mm/s•的速度移动，动点Q从点B开始，沿边BC 向点C以4mm/s的速度移动，如果•P、Q都从A,B 点同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t
如何变化？写出S关于t的函数解析式及t的取值范围.
五、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同.
（1）求每月盈利的平均增长率.
（2）按照这个平均增长率，预计5月份家商店的盈利将达到多少元？
24. 石坝特产专卖店销售莲子，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种莲子想要平均每天获利2240元，请回答：
⑴每千克莲子应降价多少元？
⑵在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利
于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
25.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用1x2+4表示.
y=-
4
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
答案
一. 选择题
1-----5 C.D.C.D.B 6----10 C.B.C.B.D
二. 填空题 11. 29x =（ 答案不唯一） 12.0 13. 21(1)121(1)121x x x x +++=+=或 14.5 15. 2(3)y x =+ 16. 1<<3x - 三.解答题
12(2)(1)020102,1
x x x x x x --=-=-===17.解：因式分解得：于是得或
22222
221262104641(21)3684=05
5621062510690(3)03
x x x m b ac m m m m x x m x x x x x x x -+-=∴∆=-=-⨯⨯-=-+∴==-+-=-+⨯-=-+=-=∴==18.解：关于的方程有两个相等的实数根把代入得
222
2()11,4(1)4(3,0)0(31)41(1)4
y a x h k h k y a x a a y x =-+∴==-∴=--=--∴=∴=--19.解：设抛物线的解析式为顶点（，-4） 把代入得抛物线的解析式为
121=282
=8=7
8x x x x x --20.解：设应邀请支球队参加比赛,依题意得
（） 解得：，（不合题意，舍去）答：应邀请支球队参加比赛.
1223221.,232()1202
12,2020>162012x BC x x x x x x BC --===∴=解：设的长为米则AB 的长为（
）米，得 解得： （不合题意，舍去）
答：该矩形草坪边的长米. 29012 mm 24 mm
(12-2t) mm 4t mm
11=(12-2t)4t 22
244(0<<6)B BP S PB BP B S t t t ∠=︒==∴==∴∆••=-22.解:，AB ，BC ，BQ Q Q=化简得
21,2400(1)3450
0.2 2.25
3450(120%)=4147.220%54147.2x x x x +===-⨯+２23.解：（1）设每月盈利的平均增长率依题意得
解得，（不合题意，舍去）
（2）月份家商店的盈利：（元）
答：每月盈利的平均增长率，
月份家商店的盈利将达到元 212(6040)(10020)22402
10240
4,6
(2)6
60654
54100%90%60
46x x x x x x x x --+⨯=-+===∴=∴-=∴⨯=24.解：(1)设每千克莲子应降价元，依题意得
化简得：解得：尽可能让利于顾客
售价为：即：九折
答：每千克莲子应降价元或元；
该店应按原售价的九折出售.
22111,(1)4 3.75,4
3.752>4
12,(2)43,4
32>4
x y x y =±=-⨯±+=+∴=±=-⨯±+=+∴25.解：（）建立相应的直角坐标系，当货车在正中央时，
即对应的货车能通过该隧道.
（2)当隧道内设双行道时，就意味着货车只能走一边，
即对应的货车能通过该隧道.。