电磁场波动方程

定态波动方程
vv
2E k 2E 0
2
v B
k
2
v B
0
其中：
Helmhotz方程
▪ 定态情况下的电磁场方程可以写成：
vv 2E k2E 0
v
E 0
v B
i
v E
Helmhotz 方程
或者
vv 2B k2B 0
v B 0
v E
i
k2
v B
其中：
是定态下介质电磁特性参数
此处的 Ev、Bv 是电磁场的振幅，时间变化部分不包含在内
v B
0
v 2E
0 0
v 2E t 2
0
v
v 2B
0 0
2B t 2
0
在真空中电磁场满足 “波动方程”
▪ 真空中电、磁场形式上可以分离：
v 2E
1
v 2E
0
c2 t 2
v 2B
1
v 2B 0
c2 t 2
v E 0
v B 0
电波动方程＋横波条件 磁波动方程＋横波条件
其中
称为真空中光速
但不能替代麦克斯韦方程，还需要考虑电场与磁场的联系
二、时谐波（又称定态波）及其方程
▪
任一时域函数
v
Et
，可以视为由频域函数
v
E
叠加而成，反之亦
然。这就是富里叶（Fourier）变换：
v
E t
v E
eit
d
Ev
1
v E
t
eit
dt
2
正变换 逆变换
▪ 对电磁场作富里叶变换：
v
E
v X,t
v E
v
X ,
eit d
v
i
E
i
E0eik x
i
eik x
E0
k
E
几
a) B 与 E 同相位；
点 说 明
b)
E
B
E
B
E
kE
0
E, B, k 构成右手螺旋关系
c) E v，振幅比为波速（因为
Bk
E, B, k
相互垂直且 B k E
）。
平面电磁波的特性
(1)电磁波为横波,电场和磁场与传播方向垂直; (2)电场与磁场垂直,同传播方向构成右手螺旋; (3)电场和磁场同位相,振幅比为相速度.
B
v X,t
v B
v X,t
eit d
v
D
v X,t
v D
v
X ,
eit d
v E
v
X ,
eit d
v
H
v X,t
v H
v
X ,
eit d
1
v B
v
X ,
eit d
定态波动方程
▪ 若电磁场以特定频率随时间作简谐变化，称为定态，即富里叶分解的
一个基态：
v
E
v E
v B
t
v
B
1 c2
E t
对介质的考虑
介质中，电磁场方程能否写成波动方程的形式？
如果可以，有无条件？条件是什么？
c2 1/2
?
v H
v D
t
v B
t
Ev
v D 0
Ev 0Βιβλιοθήκη EvtBv
t
v E t
?
v B
v E
t
?
v
E 0
?
v 2E t 2
均匀、稳定的介质也不行！！
引言
当
存在：
时，电场和磁场相耦合，相互为源，可以脱离电荷、电流而
v E
v B 0 t
v B
v E 0 t
电磁波
v
v
v
v
vE vE vE vE
B
B
B
B
传播问题是指：研究电磁场在空间存在一定介 质和导体的情况下的波动。在真空与介质、介质与 介质、介质与导体的分界面上，电磁波会产生反射 、折射、衍射和衰减等等，因此传播问题本质上是 边值问题。
v
v
Dt Et
Bvt
v
H
t
一般不成立
介质的色散性质
▪ 一般的介质具有色散性质，即介质对电磁场的响应性质与电磁场
的变化频率有关：
v
v
v
v
D E B H
v
v
Dt Et
v
v
Bt H t
对一般的介质中的电磁场，不满足波动方程
0
0
介质中的微观粒子（如电子）由于其惯性，来不及响应外场
Rs
2
k
波长、波
k
k 2
速、频率
v
v f 2
间的关系 T 1 2 v
f
T
（3）横波特性(TEM波） k E k B 0
证明：
E
(
E0
)eikx
(eikx)E0
ik
E0eikx
0
k E 0 同理 k B 0
（4） B 与 E的关系
证明：
B
k
E
B
电磁波传播问题在无线电通讯、光信息处理、 微波技术、雷达和激光等领域都有着重要的应用。
本章主要内容
1、电磁场波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波 2、反射和折射定律的导出、振幅的位相关系 3、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应 4、了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式
§4.1 平面电磁波
电磁场波动方程 时谐电磁波 平面电磁波 电磁波的能量和能流
2
E
E
( E0eikx)
i (kE) i[( k )E k E]
[(ikEi0k)Eeikxk2 EeikxE0 ]
ik
eikx
[(ik
x)]eikx
ikeikx
2．平面电磁波的传播特性
（1）解为平面波
Ex,t E0ei kxt
设
S
面S上为相与位k垂k直 x的平k面R。s 在
v X,t
v E
v X
eit
v
B
v X,t
v B
v X
eit
v
D
v X,t
v D
v X
eit
v E
v X
eit
v
H
v X,t
v H
v X
eit
1
v B
v X
eit
▪ 代入麦克斯韦方程：
vv
E iB
v B v
i
v E
E v B
0 0
vv
E v
i
B
v
B i E
一、自由空间的电磁场波动方程
▪ 麦克斯韦方程组
v E
v H v
v
B
t v J
v D
t
D
v B
0
无源情况下
▪
v vv v
真空中： D 0E, B 0H
v
v E
t
v B
0 0
2E t 2
Ev
Ev
2
v E
2
v E
v E
v H v
v B
vt D
t
D 0
= 常数，因此在同一时刻，
S
平面为等相面，而波沿
k
方向传播。
平面波：波前或等 相面为平面，且波 沿等相面法线方向
传播。
x
Rs S
相速度: v 1
k
（2）波长与周期
波长
2
k
周期 T 1 2 f
波长定义：两相位差为 2 的等相面间的距离。
两等相面相位差：k(Rs Rs ) 2
Rs
k
四、电磁波的能量和能流
▪ 平面电磁波能量密度：
w 1 E2 1 B2 E2 B2
2
2
电场、磁场能量相等
▪ 平面电磁波能流密度：
三、平面电磁波
研究平面波解的意
1．平面波解的形式
义：①简单、直观、
亥姆霍兹方程有多种解： 物理意义明显；②一
平面波解，球面波解，高斯 般形式的波都可以视
波解等等。其中最简单、最 为不同频率平面波的
基本的形式为平面波解。
线性叠加。
Ex,t E0ei kxt
Bx,t B0ei kxt
证明上面的解满足亥姆霍兹方程：