第2讲 整式与因式分解

(1)先看各项有无公因式,有公因式先提公因式. (2)提公因式后看多项式的项数,若多项式有两项,则考虑用平方差公式因 式分解;若多项式有三项,则考虑用完全平方公式因式分解. (3)因式分解最终的结果必须是各因式不能再分解为止.
1.(2019甘肃)计算(-2a)2·a4的结果是( B ) (A)-4a6 (B)4a6 (C)-2a6 (D)-4a8
解析:(-2a)2·a4=4a2·a4=4a6.故选B.
2.(2018河北)将9.52变形正确的是( C ) (A)9.52=92+0.52 (B)9.52=(10+0.5)(10-0.5) (C)9.52=102-2×10×0.5+0.52 (D)9.52=92+9×0.5+0.52
解析:∵9.52=(10-0.5)2=102-2×10×0.5+0.52,或 9.52=(9+0.5)2=92+2×9×0.5+0.52, ∴C选项正确,故选C.
6.整式的乘法
(1)单项式乘以单项式:把它们的 系数 , 同底数幂 分别相乘,对于只
在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. (2)单项式乘以多项式:m(a+b+c)= ma+mb+mc . (3)多项式乘以多项式:(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb .
(4)乘法公式:(常考点)
平方差公式:(a+b)(a-b)= a2-b2 .
完全平方公式:(a±b)2= a2±2ab+b2
.
7.整式的除法 (1)单项式除以单项式:把 系数 与 同底数幂 分别相除作为商的因式,
Байду номын сангаас
对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
(2)多项式除以单项式:把这个多项式的 每一项 除以这个单项式,再
因式分解
[例5] 分解因式: (1)a2(a-b)-4(a-b)= (2)2a3b-4a2b2+2ab3=
(a-b)(a-2)(a+2) ; 2ab(a-b)2 .
思路点拨:(1)先提取公因式,再应用平方差公式;(2)先提取公因式,再应用 完全平方公式.
解析:(1)a2(a-b)-4(a-b) =(a-b)(a2-4) =(a-b)(a-2)(a+2). (2)2a3b-4a2b2+2ab3 =2ab(a2-2ab+b2) =2ab(a-b)2.
5.因式分解:
(1)(2019绵阳)m2n+2mn2+n3= n(m+n)2 ;
(2)(2019广安)3a4-3b4= 3(a2+b2)(a+b)(a-b)
.
解析:(1)m2n+2mn2+n3=n(m2+2mn+n2) =n(m+n)2. (2)3a4-3b4=3(a2+b2)(a2-b2) =3(a2+b2)(a+b)(a-b).
3.(2019德州)下列运算正确的是( D ) (A)(-2a)2=-4a2 (B)(a+b)2=a2+b2 (C)(a5)2=a7 (D)(-a+2)(-a-2)=a2-4
解析:(-2a)2=4a2,故选项A不正确;(a+b)2=a2+2ab+b2,故选项B不正确; (a5)2=a10,故选项C不正确;(-a+2)(-a-2)=a2-4,故选项D正确.故选D.
解:(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4) =a2+6a+9-(a2-1)-(4a+8) =a2+6a+9-a2+1-4a-8 =2a+2.
当 a=- 1 时,原式=2× ( 1 ) +2=1.
2
2
(1)整式的混合运算,熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键,同时注意 运算符号和漏项问题. (2)符合公式的要应用乘法公式去简化运算.
4.(2018 淄博)若单项式 am-1b2与 1 a2bn 的和仍是单项式,则 nm 的值是( C ) 2
(A)3 (B)6 (C)8 (D)9
解析:∵单项式 a b m-1 2 与 1 a2bn 的和仍是单项式, 2
∴单项式 a b m-1 2 与 1 a2bn 是同类项, 2
∴m-1=2,n=2, ∴m=3,n=2, ∴nm=23=8. 故选 C.
(2)项:多项式中的每个 单项式 叫做多项式的项,其中不含 字母 的项
叫做常数项. (3)次数:多项式里次数最 高 项的次数,叫做这个多项式的次数.
3.整式
单项式 与 多项式 统称整式.
整式的运算
1.同类项 所含 字母 几个 常数
相同,并且相同字母的 项也是同类项.
指数
也相同的项叫做同类项,
2.合并同类项
4.整式的加减
有括号就先 去括号
,再 合并同类项
.
5.幂的运算(常考点)
(1)同底数幂的乘法:am·an= (2)幂的乘方:(am)n= amn (3)积的乘方:(ab)n= anbn
(4)同底数幂的除法:am÷an=
am+n (m,n为整数). (m,n为整数).
(n为整数). am-n (a≠0,m,n为整数).
(B)a4·a2=a8 (D)a2+a2=a4
思路点拨:直接利用合并同类项法则以及幂的运算法则分别计算,再作出 判断.
解析:a6÷a3=a3,故A选项正确;a4·a2=a6,故B选项错误;(2a2)3=8a6,故C 选项错误;a2+a2=2a2,故D选项错误;故选A.
(1)同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则不能混淆,切记:am·an=am+n, (am)n =amn.
n(n 1)
可知规律为 n(n 1) ,∴an= 2
2 2n 1
= n(n 1) . 2 2n1
同类项 1
[例 2] 如果单项式 2xm+2n yn2m2 与 x5y7 是同类项,那么 nm 的值是 3 .
思路点拨:根据相同字母的指数相等列出二元一次方程组,求出m,n的值,再
代入计算.
解析:根据题意,得
整体 代入求值法.
整式的概念
1.单项式
(1)概念:只含有数字与 字母 乘积的代数式叫单项式,单独的一个 数 或
字母 也是单项式.
(2)系数:单项式中的 数字因数
叫做单项式的系数.
(3)次数:单项式中所有的字母的 指数 的和叫做这个单项式的次数.
2.多项式 (1)概念:几个单项式的 和 叫做多项式.
按一定规律排列的,请利用其中规律,写出第 n 个数 an=
n(n 1) 2 2n1
(用含 n
的式子表示).
思路点拨:观察分母 3,5,9,17,33,…,可知规律为 2n+1;观察分子 1,3,6,10,15,…,可
知规律为 n(n 1) ,即可求解. 2
解析:观察分母 3,5,9,17,33,…, 可知规律为 2n+1,观察分子 1,3,6,10,15,…,
3.步骤 一提:有公因式要先 提公因式 ;
二套:再考虑应用 公式法
;
三检查:因式分解的结果要彻底,每个因式要分解到 不能再分解
果必须是整式).
为止(结
代数式
[例 1] (2019 滨州)观察下列一组数:a1= 1 ,a2= 3 ,a3= 6 ,a4= 10 ,a5= 15 ,…,它们是 3 5 9 17 33
把所得的商相加.
因式分解(常考点)
1.概念
把一个多项式化成几个整式的 积 的形式,叫做这个多项式的因式分解,
因式分解与 整式乘法
是方向相反的变形.
2.方法
(1)提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c).
(2)公式法:a2-b2=(a+b)(a-b).
a2±2ab+b2=(a±b)2.
(3)十字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
(2)进行幂的有关混合运算时要注意三个方面:一是运算顺序,二是正确选 择法则,三是运算符号.
整式的运算 [例 4] (2019 凉山)先化简,再求值:(a+3)2-(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中 a=- 1 .
2
思路点拨:先利用完全平方公式、平方差公式及多项式的乘法法则计算,再 将同类项合并,最后代入化简后的式子求值.
6.(2019宁波)先化简,再求值:(x-2)(x+2)-x(x-1),其中x=3.
解:(x-2)(x+2)-x(x-1) =x2-4-x2+x =x-4, 当x=3时,原式=3-4=-1.
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第2讲 整式与因式分解
代数式
1.代数式 用基本运算符号把 数 或表示数的 字母 连接而成的式子叫代数式. 2.列代数式 把问题中与数量有关的词语,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来, 就是列代数式. 3.代数式的值(常考点) (1)用 数值 代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值. (2)常用的求代数式的值的方法:直接代入求值法,化简代入求值法和
m 2n n 2m
5, 2
7,
解得
m 1, n 3.
则 nm=3-1= 1 . 3
(1)同类项中,相同字母的指数相等; (2) 同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关.
幂的运算(易错点)
[例3] (2019泰安)下列运算正确的是( A )
(A)a6÷a3=a3 (C)(2a2)3=6a6
(1)概念:把多项式中的 同类项 合并成一项,叫做合并同类项. (2)法则:把同类项的 系数 相加,所得的结果作为系数,字母和字母的 指数 不变 .
3.去括号法则
如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号
相同 ;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原 来的符号 相反 .