机械臂正运动学方程的DH表示法及逆运动学
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R 1 2
18
n1
其中n是关节数
19
来自百度文库
20
l a d 3 21 2 4 ii
21
22
• 在机器人的基座和手之间的总变换为：
R
TH A1 A2 A3 A4 A5 A6
S12 C12 l4 S12 l3 S12 l6 S12 l5C4C12 l3 S12 l4C12 l6C12 l5C4 S12 0 l2 l5 S 4 0 1
7
关节变量
• 在图（a）中， 角表示绕Z轴的旋转角，d表示在
Z轴上两条相邻的公垂线之间的距离，a表示每一 条公垂线的长度（也叫关节偏移量），角 表示
两个相邻的Z轴之间的角度（也叫关节扭转）
8
坐标变换
• 假设现在位于本地坐标系
xn zn ，那么通
过四步标准运动即可到达下一个本地坐标 系 xn 1 zn 1 旋转平移平移旋转
• 上式中：C n 1=cos n 1 S n 1 =sin
n 1
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• 比如，一般机器人的关节2与关节3之间的 变换可以简化为：
C 3 S 3 2 T3 A3 0 0 S 3C 3 C 3C 3 S 3 0 S 3 S 3 C 3 S 3 C 3 0 a3C 3 a3 S 3 d3 1
0 1 0 0 0 an1 1 0 0 0 C 0 0 n 1 S n 1 1 0 0 S n1 C n1 0 1 0 0 0 0 0 0 1
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C n1 S n1C n1 S n1S n1 an1C n1 S C n1C n1 C n1S n1 an1S n1 n 1 An1 0 S n1 C n1 d n1 0 0 1 0
• 如果关节是旋转的，Z轴位于按右手规则旋转的
方向。绕Z轴的旋转角 是关节变量；
• 如果关节是滑动的，Z轴为沿直线运动的方向。
沿Z轴的连杆长度d是关节变量；
注意：在每一种情况下，关节n处的Z轴下标为n-1。
例如，表示关节n+1的Z轴是Zn
5
给每个关节指定本地参考坐标系
——确定x轴
• 当关节不平行或相交时，z轴通常是斜线，
C n1 S n1 S C n1 n 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 d n1 0 0 0 1
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推广到n个自由度
• 在机器人的基座上，可以从第一个关节开始变换 到第二个关节，然后到第三个关节……，再到机 器人的末端执行器。 • 若把每个变换定义为 i 1T ，则可以得到许多 i 表示变换的矩阵。在机器人的基座与手之间的总 变换则为：
R
TH T1 T2 T3 Tn A1 A2 A3 An
2
基本思路
• 首先给每个关节指定一个参考坐标系，然 后，确定从一个关节到下一个关节（一个 坐标到下一个坐标）来进行变换的步骤。
• 如果从基座到第一个关节，再从第一个关 节到第二个关节直至到最后一个关节的所 有变换结合起来，就得到了机器人的总变 换矩阵。
3
4
给每个关节指定本地参考坐标系
——确定z轴
9
1.旋转
10
2.平移
11
3.平移
12
4旋转
13
• 在n+1和n+2坐标系间严格地按照同样的四
个运动顺序可以将一个坐标变换到下一个 坐标系。 • 从参考坐标系开始，我们可以将其转换到 机器人的基座，然后到第一个关节，第二 个关节… …，直至末端执行器。
14
• 从而得到结果如下：
n
Tn1 An1 Rotz,n1 Tran0,0, dn1 Tranan1,0,0 Rotx, an1
C12C46 C12 S46 S C S12 S 46 12 46 S46 C46 0 0
23
机械臂的逆运动学
• 当机器人的末端姿态以 RPY 角( a , b, g)给 定后，可得与之相对应的旋转矩阵，再结 合末端位置输入，即给定了机器人末端相 对于基础坐标系的相对变换矩阵 0T 6 为：
=
25
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但总有一条距离最短的公垂线，它正交于 任意两条斜线。在公垂线方向上定义本地 参考坐标系的x轴。 • 如果an表示Zn-1与Zn之间的公垂线，则xn的 方向将沿an
6
给每个关节指定本地参考坐标系
——特殊情形
• 两关节Z轴平行，就会有无数条公垂线，此 时可挑选与前一关节的公垂线共线的一条， 可简化模型； • 两关节Z轴相交，它们之间没有公垂线（或 者说公垂线距离为零）。这时可将垂直于 两条轴线构成的平面的直线定义为X轴（相 当于选取两条Z轴的叉积方向作为X轴）， 可简化模型；
机械臂正运动学方程的D-H表 示法及逆运动学
学校：沈阳理工大学 专业：2011级模式识别与智能系统 报告人：刘晓莉
1
前提
• 假设机器人由一系列关节和连杆组成。这 些关节可能是滑动（线性）的或者是旋转 （转动）的，它们可以按任意的顺序放置 并处于任意的平面。 • 连杆可以是任意的长度（包括零），它可 能被弯曲或扭曲，也可能位于任意平面上。 • 所以任何一组关节和连杆都可以构成一个 我们想要建模和表示的机器人。
24
RPY角（a，b，g）
Rxyz (a, b, g ) R( z, a) R( y, b) R( x, g )
0 0 cos(a) sin(a) 0 cos(b) 0 sin(b) 1 0 cos( g ) sin( g ) sin(a) cos(a) 0 1 0 0 0 sin( g ) cos( g ) 0 0 1 sin( b ) 0 cos( b )
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n1
其中n是关节数
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来自百度文库
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l a d 3 21 2 4 ii
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• 在机器人的基座和手之间的总变换为：
R
TH A1 A2 A3 A4 A5 A6
S12 C12 l4 S12 l3 S12 l6 S12 l5C4C12 l3 S12 l4C12 l6C12 l5C4 S12 0 l2 l5 S 4 0 1
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关节变量
• 在图（a）中， 角表示绕Z轴的旋转角，d表示在
Z轴上两条相邻的公垂线之间的距离，a表示每一 条公垂线的长度（也叫关节偏移量），角 表示
两个相邻的Z轴之间的角度（也叫关节扭转）
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坐标变换
• 假设现在位于本地坐标系
xn zn ，那么通
过四步标准运动即可到达下一个本地坐标 系 xn 1 zn 1 旋转平移平移旋转
• 上式中：C n 1=cos n 1 S n 1 =sin
n 1
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• 比如，一般机器人的关节2与关节3之间的 变换可以简化为：
C 3 S 3 2 T3 A3 0 0 S 3C 3 C 3C 3 S 3 0 S 3 S 3 C 3 S 3 C 3 0 a3C 3 a3 S 3 d3 1
0 1 0 0 0 an1 1 0 0 0 C 0 0 n 1 S n 1 1 0 0 S n1 C n1 0 1 0 0 0 0 0 0 1
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C n1 S n1C n1 S n1S n1 an1C n1 S C n1C n1 C n1S n1 an1S n1 n 1 An1 0 S n1 C n1 d n1 0 0 1 0
• 如果关节是旋转的，Z轴位于按右手规则旋转的
方向。绕Z轴的旋转角 是关节变量；
• 如果关节是滑动的，Z轴为沿直线运动的方向。
沿Z轴的连杆长度d是关节变量；
注意：在每一种情况下，关节n处的Z轴下标为n-1。
例如，表示关节n+1的Z轴是Zn
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给每个关节指定本地参考坐标系
——确定x轴
• 当关节不平行或相交时，z轴通常是斜线，
C n1 S n1 S C n1 n 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 d n1 0 0 0 1
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推广到n个自由度
• 在机器人的基座上，可以从第一个关节开始变换 到第二个关节，然后到第三个关节……，再到机 器人的末端执行器。 • 若把每个变换定义为 i 1T ，则可以得到许多 i 表示变换的矩阵。在机器人的基座与手之间的总 变换则为：
R
TH T1 T2 T3 Tn A1 A2 A3 An
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基本思路
• 首先给每个关节指定一个参考坐标系，然 后，确定从一个关节到下一个关节（一个 坐标到下一个坐标）来进行变换的步骤。
• 如果从基座到第一个关节，再从第一个关 节到第二个关节直至到最后一个关节的所 有变换结合起来，就得到了机器人的总变 换矩阵。
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给每个关节指定本地参考坐标系
——确定z轴
9
1.旋转
10
2.平移
11
3.平移
12
4旋转
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• 在n+1和n+2坐标系间严格地按照同样的四
个运动顺序可以将一个坐标变换到下一个 坐标系。 • 从参考坐标系开始，我们可以将其转换到 机器人的基座，然后到第一个关节，第二 个关节… …，直至末端执行器。
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• 从而得到结果如下：
n
Tn1 An1 Rotz,n1 Tran0,0, dn1 Tranan1,0,0 Rotx, an1
C12C46 C12 S46 S C S12 S 46 12 46 S46 C46 0 0
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机械臂的逆运动学
• 当机器人的末端姿态以 RPY 角( a , b, g)给 定后，可得与之相对应的旋转矩阵，再结 合末端位置输入，即给定了机器人末端相 对于基础坐标系的相对变换矩阵 0T 6 为：
=
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但总有一条距离最短的公垂线，它正交于 任意两条斜线。在公垂线方向上定义本地 参考坐标系的x轴。 • 如果an表示Zn-1与Zn之间的公垂线，则xn的 方向将沿an
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给每个关节指定本地参考坐标系
——特殊情形
• 两关节Z轴平行，就会有无数条公垂线，此 时可挑选与前一关节的公垂线共线的一条， 可简化模型； • 两关节Z轴相交，它们之间没有公垂线（或 者说公垂线距离为零）。这时可将垂直于 两条轴线构成的平面的直线定义为X轴（相 当于选取两条Z轴的叉积方向作为X轴）， 可简化模型；
机械臂正运动学方程的D-H表 示法及逆运动学
学校：沈阳理工大学 专业：2011级模式识别与智能系统 报告人：刘晓莉
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前提
• 假设机器人由一系列关节和连杆组成。这 些关节可能是滑动（线性）的或者是旋转 （转动）的，它们可以按任意的顺序放置 并处于任意的平面。 • 连杆可以是任意的长度（包括零），它可 能被弯曲或扭曲，也可能位于任意平面上。 • 所以任何一组关节和连杆都可以构成一个 我们想要建模和表示的机器人。
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RPY角（a，b，g）
Rxyz (a, b, g ) R( z, a) R( y, b) R( x, g )
0 0 cos(a) sin(a) 0 cos(b) 0 sin(b) 1 0 cos( g ) sin( g ) sin(a) cos(a) 0 1 0 0 0 sin( g ) cos( g ) 0 0 1 sin( b ) 0 cos( b )