房贷计算推导及其现值计算方法

n
(24)
故等额本金还款法第 i 期的月供还贷本息的现值为 vr,i = 将其整理，得 vr,i = A 1 + nα Aα i − 1 − ∙ i n 1+β n 1+β
i
A Aα 1 + nα − i−1 n n
∙
i
(25)
这可看成是一个等比数列加上一个等差数列与等比数列的乘积。可求得其前 n 项和，即整个 n 期的 还款期内的还贷本息的现值总额为 vr,total = A 1 1 1 + nα ∙ 1 − n β 1+β
r α
第一期， (1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
将其展开，对比(8)式，则可解得 k = −
r r
因此，数列 ui − α 是一个首项为u1 − α ，公比为 1 + α 的等比数列。结合(4)式可得 ui − r r = A 1+α −r− 1+α α α r 1+α i −1 α
假设贷款总额为 A，分 n 期还款，每期利率为α。设每期还款本息为 r (repayment)，其中的本金为 Ii (interest)，利息为Ii (interest)。第 i 期还款后，剩余本金为ui (unpaid)。 1. 等额本息还款法: I1 = Aα p1 = r − I1 u1 = A − p1 由以上 3 式，可得 u1 = A 1 + α − r 自第二期开始，都有 Ii = αui−1 ， pi = r − Ii ， ui = ui −1 − pi 由以上 3 式，可得 ui = ui −1 1 + α − r 现根据以上条件，计算每期还款本息 r。 根据(8)式的形式，可设 ui + k = 1 + α ui −1 + k ，
n
−
Aα 1 1 + βn ∙ 2 1− n β 1+β n
(26)
−r
1+α n −1 α
= 0，
由此解得每期应还本息的表达式 Aα 1 + α n r= 1+α n −1 解得 r 后，将其代入到上面的(9)式，可得到第 i 期还款后，剩余本金ui 的表达式 ui = A 1 + α i − A 1 + α 现计算第 i 期还款利息Ii 及还款本金pi 。 将上述ui 和 r 的表达式，代入（5）式，整理得 Ii = Aα 1 + α n − 1 + α 1+α n −1 Aα 1 + α i −1 1+α n −1
1+α n 1+α n −1
i −1 n
∙
1+α i −1 1+α n −1
(11)
(12)
将上述表达式，以及 r 的表达式，代入（6）式，整理得 pi = (13)
根据等额本息还款法的定义及（10）式，显然可知，整个还款期内的本息总额为
rtotal = Aαn ∙
(14)
显然，整个还款期内的利息总额为
i
ri 1+β
i
(22)
Aα 1 + α n 1+α 成 3 项的乘积，分别为本金、利率对还贷的影响、折现对还贷的影响。 这是一个等比数列，可求得其前 n 项和，即整个 n 期的还款期内的还贷本息的现值总额为 vr,total = A ∙ 2) 对于等额本金还款法， 其ri 的表达式为 ri = A Aα 1 + nα − i−1 n n 1 1+β （19） α 1+α n 1 1 ∙ 1− n 1+α −1 β 1+β
A i −1 n A
(16)
(17)
i−1 n
(18)
，整理得 (19)
ri = 整个还款期内的利息总额为
A Aα 1 + nα − i−1 n n Aα n+1 2
Itotal =
(20)
整个还款期内的本息总额为 rtotal = A 1 + 3. 还款现值 α n+1 2 (21)
考虑到未来的通货膨胀， 现将未来所有的还款折算到放贷日的现值。 在每期时长为一个月的情况下， 设整个还款期内的平均月通胀率为 β，即折现率为β，将未来第 i 期的还贷本息ri 折算到放贷日的现 值为 vi ，则显然有 vi = 1) 对于等额本息还款法， ri 为定值 r，其表达式为 r= 第 i 期的月供还贷本息的现值为 vr,i = A ∙ α 1+α n 1 ∙ n 1+α −1 1+β
Itotal = A αn ∙ 1+α n −1 1+α n −1
(15)
上述Ii 的表达式（12）为一等比数列，计算该等比数列的前 n 项和，也可得到上式。 2. 等额本金还款法： A n A i n 每期还款本金为 p= 第 i 期还款后，剩余本金为 ui = A − 第 i 期还款利息为 Ii = α A − n i − 1 ，整理得 Ii = Aα 1 − 第 i 期还款本息为 ri = n + Aα 1 −
i −1
将其整理，得第 i 期还款后，剩余本金ui 的表达式 ui = A 1 + α i − (9)
显然，当最后一期还款结束后，剩余欠款为 0，故un = 0。将其带入上式，得 A 1+α 由此可解得每期应还本息的表达式 Aα 1 + α n r= 1+α n −1 此即为每期应还本息。 以上关于 r 的计算式也可由以下方法求解。 由前面的(4)式和(8)式，可得 u1 = A 1 + α − r u2 = 1 + α u1 − r = 1 + α A 1 + α − r − r = A 1 + α u 3 = 1 + α u2 − r = 1 + α A 1 + α ……
2 2 n
−
r 1+α α
n
−1 =0
(10)
−r 1+α −r
3
−r 1+α −r −r= A 1+α
−r 1+α
2
−r 1+α −r
ui = A 1 + α i − r 1 + α + 1 + α 显然，un = 0，即 A 1+α
n
2
+ 1+α
3
+ ⋯+ 1 + α
i
=A 1+α i −r
1+α i −1 α