天津理工电路习题及答案第十五章电路方程的矩阵形式

第十五章电路方程的矩阵形式内容总结——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型1、教学基本要求

初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。

2、重点和难点

(1) 关联矩阵

(2) 结点电压方程的矩阵形式

(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法

(4) 电路状态方程列写的直观法和系统法

.三种主要关联矩阵形式：

①结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有N个结点、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：

(n-1)ⅹb

其中任意元素a jk的定义为：a jk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；

a jk= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结点；

a jk= 0，表示结点j与支路k不关联；

②回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下：

lⅹb

其中任意元素b jk的定义为：b jk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；

b jk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；

b jk= 0，表示回路j与支路k相不关联；

③割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：

(n-1)ⅹb

其中任意元素q jk的定义为：q jk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；

q jk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；

q jk= 0，表示割集j与支路k相不关联；

注意：

★对于结点关联矩阵有：

基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。

基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u =A T u n；u =[u i u2u3……u b]T。u n=[u n i u n2u n3……u n(n-1)]T。

★对于回路关联矩阵有：

基尔霍夫电流定律的矩阵形式：i = B T i l；i =[i i i2i3……i b]T。i l=[i l i i l2i l3……

i ll]T

基尔霍夫电压定律的矩阵形式：Bu = 0；u =[u i u2u3……u b]T。

★对于割集关联矩阵有：

基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Qi = 0；i =[i i i2i3……i b]T。

基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u =Q f T u t；u =[u i u2u3……u b]T。u t=[u t i u t2u t3……

u t(n-1)]T。

④三种矩阵之间的关系（略）

2. 三种分析方法的方程的矩阵形式

①回路电流方程的矩阵形式（略）

②割集电压方程的矩阵形式（略）

③结点电压方程的矩阵形式

基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。

基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=A T u n；u =[u i u2u3……u b]T。u n=[u n i u n2u n3……u n(n-1)]T。结点电压方程的矩阵形式的形成过程：

第一步：建立复合支路：

由于复杂电路的形式很难确定，在实际分析中只能采用具体电路具体分析。为建立复杂电路的一般分析方法，有必要假设复杂电路的复合支路，从而形成一个较为普遍的方法。复合支路即第k 条支路如下：

由基尔霍夫电流定律得：

所以：

对该式进行讨论，目的是得出一般规律。

⑴复合支路中无受控源时：

由KCL得：

变成将代入得：

又所以

对整个电路有：其中Y为支路导纳矩阵，它是一个对角矩阵。

同理可以分析一下两种情况

⑵复合支路中无受控源，但电感之间有互感时：

⑶复合支路中含有受控源时：

都可以推导出

第二步：写出A、Y、I S、U S等矩阵；

第三步：代入结点电压方程的矩阵形式：

3、典型例题分析

【例题1】：含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。

电路如图（a）所示，图中元件的下标代表支路编号，图（b）是它的有向图。写出结点电压方程的矩阵形式。

图（a）图（b）

解：由图（b）得节点关联矩阵A,

节点电压的列向量，

支路电流的列向量，

支路电压的列向量，

支路导纳矩阵，

节点导纳矩阵，

结点电压方程的矩阵形式为：

【例题2】：对于较为简单的电路，采用直观法和系统法均可，当电路较为复杂时，一般采用系统法。

电路如图（a）所示，以为状态变量，列出电路的状态方程。

图（a）图（b）解：方法 1直观法

KVL：

KCL ：

；

消去：；；

代入上式：

然后整理成矩阵形式（略）。

方法 2系统法

选图（b）中支路 1 、 3 、 4 、 6 为树支

含电感单连支回路的 KVL ：

含电容单树支割集的 KCL ：

【例题3】：求图所示电路的状态方程。

图解：设u c ,i1，i2为状态变量

其中：

从以上方程中消去非状态量，得：

写成矩阵形式：