天津理工电路习题及答案第十五章电路方程的矩阵形式
第15章 电路方程的矩阵形式
本章重点 （1）图的矩阵表示 关联矩阵A 单连支回路矩阵B 单树支割集矩阵Q （2）矩阵形式的 KCL、KVL （3）节点电压方程的建立
§15-1 图的基本概念
i1 i2 i3 i1 i2 i3 i = 0
抽象
i1 i2 i3
+
抽象
支路
-
无
一. 图的基本概念
抽象
向
L
图
uS
由一条树支和部分连支可以构成割集。对于一个有n个 节点和b条支路组成的电路，树支数有（n-1）个，因此可 以构成（n-1）单树支割集。称之为基本割集组。
②
②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q1: { 2 , 3 , 6 }
1
2
①5
③
43 ④6
Q2: { 3 , 5 , 4}
1
2
①5
③
43 ④6
Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
un1 un2
un3
1
un1 un2
un2
un3
un3 un1
un2
un1 un3
u1
u2
u3
u4
u5 u6
ATun u
结点电压
支路电压
二. 基本回路矩阵B 用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质
４
５
３
２
６
1
B = {b ij} lb
基本回路数 支路数 约定：
由于KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说， 组成割集的所有支路的电流应满足KCL。
对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等 的KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。
第15章 电路方程的矩阵形式
Chapter 15 电路方程的矩阵形式主要内容 1.关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵; 2.KCL, KVL 的矩阵形式；3.回路电流（网孔电流）方程、结点电压方程、割集电压方程的矩阵形式；§15-1 割集KCL 和KVL 所表示的电路中各电压、电流之间的约束关系取决于电路中各元件的连接方式。
电路的拓扑 ---- 电路中各元件的连接方式。
电路拓扑性质用图论及矩阵代数进行研究（图，回路，树，割集等）。
1. 割集：是G 的一个支路集合，移去这些支路，将使G 分离为两个部分，如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的。
可以用在连通图G 上作闭合面的方法来判断确定一个割集，与闭合面相切割的所有支路构成一个割集（因移去这些支路，G 被分离为两部分）。
割集：),,,( ),,,,( ),,,,( ),,,( ),,,( ),,,( ),,,(d c b a f c e a f d e b c e d f c b b e a f d a 非割集：),,,(),,,(c b e a e d aKCL 适用于任何一个闭合面，属于同一割集的所有支路的电流满足KCL ，若一个割集的所有支路都连接在同一个接点上，割集的KCL 方程即变为结点上的KCL 方程2. 独立割集：一组线性独立的KCL 方程对应的割集。
应用割集法，首先必须选择一组独立割集。
① 选定连通图的一个树，则任何连支集合不能构成一个割集；因移去全部连支，剩下的子图（树）仍是连通的，故任何连支集合不能构成割集.② 连通图的每一个树支与一些相应的连支可以构成一个割集。
因移去全部连支，剩下子图为树，再移去一个树支，则树被分离成 21 T T 和两部分，于是联结 21 T T 和的那些连支和这条树支必构成一个割集。
③ 单树支割集（基本割集）由树的一条树支与相应的一些连支所构成的割集为单树支割集。
如下图中 ),,( ),,,( ),,,(d f a f c b e b a④n 个结点和b 条支路的连通图，其树支数为 (n -1)，有(n -1)个单树支割集，称为基本割集组。
第十五章 电路方程矩阵形式
qik =+1，表示支路 k 与割集 j 关联并且具有同一方向； qik =-1，表示支路 k 与割集 j 关联但是它们的方向相反；
2
qik =0，表示支路 k 与割集 j 无关；
（2） 基本割集矩阵 Q f 基本割集矩阵 Q f 对应于一组基本割集组，在写 Q f 时，注意安排其行列如下： 把（n-1）条树支依次排列在对应于 Q f 的第一行第（n-1）列，然后排列连支，再取每 一单树支割集的序号与相应的树支所在列的序号相同，且选割集方向与响应的方向一 致，则 Q f = [I t （3）
15．2 重点和难点分析 15．2．1 本章重点 1. 割集、关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵是很基本的 概念，要理解其含义并列写。 2. 回路电流方程的矩阵形式，结点电压 方程的矩阵形式，割集电压方程的矩阵形式 的列写及导出，理解等式两边的意义。 3. 状态方程的列写应掌握。 15．2．2 本章难点 1. 割集的确定应建立在充分理解割集的含义的基础上，往往容易出错。可以检验， 即看构成割集的支路的电流代数和是否为零。 2. 在列写电路矩阵方程时，在支路间有耦合或有受控源的情况下，支路导纳矩阵 和支路阻抗矩阵的列写是一个难点，尤其是矩阵中各元素的正负的确定，应注意各 支路电流、电压的方向，支路电流源、电压源的方向与复合支路作比较。 15．3 典型例题 例 15-1 电路的有向图如图 15-4 所示， （1） 以结点⑤为参考写出其关联矩阵 A， （2） 以实线 为权枝，虚线为连支，写出其单连支回路矩阵 B f (3)写出单树支割集矩阵 Q f 。
t = t 0 时这组变量和
t ≥ t 0 时的输入，就能完全确定系统在任何时间的行为；
（2）状态变量：能够表示系统状态的一组最少数目的变量称为状态变量。用一组状态变 量确定系统的状态， 犹如一组矢量的分量来确定一个矢量， 所以系统的状态常用状态矢量来 表示。状态矢量所包含的状态变量的个数是状态空间的维数，也是系统的阶数；
天津理工电路习题及答案第十五章电路方程的矩阵形式
天津理工电路习题及答案第十五章电路方程的矩阵形式(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第十五章电路方程的矩阵形式内容总结——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型1、教学基本要求初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。
关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。
回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。
2、重点和难点(1) 关联矩阵(2) 结点电压方程的矩阵形式(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法(4) 电路状态方程列写的直观法和系统法.三种主要关联矩阵形式：①结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有N个结点、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素a jk的定义为：a jk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；a= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结jk点；a= 0，表示结点j与支路k不关联；jk②回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下：lⅹb其中任意元素b jk的定义为：b jk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；bjk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；bjk= 0，表示回路j与支路k相不关联；③割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素q jk的定义为：q jk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；qjk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；qjk= 0，表示割集j与支路k相不关联；注意：★对于结点关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
第15-17章习题课
6、若某电路中含有1个电容、2个电感，则该电路有 3 个 状态变量。
7、列写状态方程前，先画特有树，取电容支路为 树支 ， 取电感支路为 连支 。 8、列写状态方程时，对单电容树支列写 KCL 方程，对单 电感连支列写 KVL 方程。
8
二端口网络小结
一、基本要求：
1、端口的概念； 2、二端口网络的参数； 3、二端口网络的连接； 4、二端口元件的伏安特性。
+
I1
5S
3U 1 I 2
15S
+
U1
U2
-
-
13
如图所示电路中，虚线框内为一直流二端口网络，（1）求 虚线框内二端口网络的Z参数矩阵；（2）若在11'端口加电 压U1＝100V，22'接电阻RL=15Ω，求I1和I2。 解：(1) U1 Z11I1 Z12 I 2 I1 10Ω 20Ω I2
5、两个线性无源二端口P1和P2，它们的导纳参数矩阵分 别为Y1和Y2，阻抗参数矩阵分别为Z1和Z2，则它们按并联 方式连接后的新二端口的导纳矩阵Y = Y1+Y2 。按 串联方式连接后的新二端口的阻抗矩阵Z = Z1+Z2 。
6、对所有时间t，通过回转器的两个端口的功率之和为 0 10 。
7、回转器具有把一个端口上的 电流 “回转”为另一个 电压 端口上的 或相反过程的性质。正是这一性质，使 回转器具有把电容回转为一个电感 的功能。 8、负阻抗变换器具有 将正阻抗变为负阻抗 的功能，从 而为电路设计 负R、L、C 实现提供了可能性。 9、在一个回转系数为r = 20Ω的回转器的负载端，接以10 Ω的电阻，则回转器的输入端等效电阻为 40Ω 。
AYATU n AI S AYU S 5、把求得的矩阵代入式
第015章_电路方程的矩阵形式
u1 u2
6 1 3 6 31
i
i1 i2 i3 i4 i5 i6
i
这正是回路电流 法的基本思想。
i B T il
i i i
i i
i i i
即为用B表示 KCL的矩阵形式。
17
五、割集矩阵：
1、割集矩阵： 即独立割集矩阵，它反映电路的支 Q1 路与所取的独立割集的关联性。 矩阵元素的取值：
（2）某些列仅有一个非零元素，表示该支路与参考结点相关联。 ②A的物理意义：反映电路的拓扑结构
支路与结点的关联性。
11
3、用A表示的KL的矩阵形式： ①KCL：
i1 i
2 3 4 5 6
证明： G
T1
l1 l2 l3
bt
T2
而且，每一条树支与相应的连支都会构成一个单树支割集。 这种单树支割集又称为基本割集。对于一个G，树支数为 n -1， ∴有n -1个基本割集，称为对一个树的基本割集组。 基本割集组必是独立割集组，但独立割集组不一定是单树 支割集组，因树是一个相对概念，人家可以先（用树）定义一 组独立割集，而后又可以重新定义树。
② 4 6 5 ④ ③
0 k支路与 j 结点不关联 关联，且方向背离该结点 a jk 1 1 关联，但方向为指向结点
② 0 Aa ③ 1 ④ 0
1 ① -1 2 -1 0 3 1 4 0
电路第五版第十五章电路方程的矩阵形式
②(降阶)关联矩阵A
支路b
用关联矩阵A表示的KCL,KVL: ①用A阵表示的KCL(矩阵形式): ①
② ３ ４
６ ２ ④
Ai=0
其中: i i1 i2 ib 支路电流列向量。 例如 以结点④为参考结点 i1
T
５ 1
③
n-1个独立方程
Ai =
-1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0
第15章 电路方程的矩阵形式
本章重点
15.1 15.2 15.3* 15.4 15.5 15.6* 15.7* 割集 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系 回路电流方程的矩阵形式 结点电压方程的矩阵形式 割集电压方程的矩阵形式 列表法 首页
重点 1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩 阵和基本割集矩阵的概念
３ ① ４
注意
u A un
T
６ ２ ④
返 回
体现了结点法的基本思想。
５ 1
上 页
③
下 页
用关联矩阵A表示的KCL,KVL: ①用A阵表示的KCL(矩阵形式): n-1个独立方程
Ai=0
其中: i i1 i2 ib
T
,支路电流列向量。 体现了结点法 的基本思想
②用A阵表示的KVL(矩阵形式):
３ Ⅰ1 ２ ④ Ⅲ 6 ４ Ⅱ ５
B u = 0, 或 Bf u = 0
例如
Bu =
1 1 1 0 0 0 -1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 -1 1
0 u1 u2 u3 u1 u4 u5 0 0 u1 u3 u5 u6
第15章电路方程的矩阵形式
.
.
..
U.1 = Z1Ie1 ±jw. M12 Ie.2 ±jwM13 Ie.3±···±jwM1g I.eg -U.S1
U2 =±jwM21Ie1+Z2 Ie2 ±jwM23 Ie3±··±· jwM2g Ieg -US2
. ············.
.
.
..
U. g =±. jw. Mg1.Ie1±.jwM. g2 Ie2 ±jwMg3 I·e3±··+Zg Ieg-USg
情况1 2019/9/23 电路无互感
则 U = Z (I + IS) -US 20
. .. .
U = Z (I + IS) -US
Z称为支路阻抗矩阵， Z是对角 矩阵，对角元素是各支路阻抗。
Z=
Z1 Z2
0
0
...
结束
Zb
情况2 电路有互感
设在b条支路中，1～g支路之间相互有耦合，则有
..
②
A = 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0
3 ① i3
i6 4 i4 ③ 结束
(3)用A表示KCL的矩阵形式
b(=6)条支路电流可以用列向量表示
i = [i1, i2 , ···, i6 ]T
i1
2 i2
6 i5 5
④
1 i1
-1 -1 +1 0 0 0 Ai = 0 0 -1 -1 0 +1
=
Zk
. (Ik+
. ISk)
. -USk
式中各量为第 k 条支路的阻 抗、独立电流源和独立电压 源。无独立源时将其置零。
电路第15章电路方程的矩阵形式
利用矩阵形式的电路方程，可以对电路中的元件参数进行 识别和估计，例如通过测量节点电压和支路电流来计算元 件的电阻、电容、电感等参数。
系统分析和控制
矩阵形式的电路方程可以用于系统分析和控制，例如稳定 性分析、频率响应分析、最优控制等。
02 电路元件的矩阵表示
电阻元件的矩阵表示
总结词
电阻元件在矩阵形式中表示为对角线矩阵，对角线上的元素为电阻值。
矩阵元素的选取
矩阵中的元素根据电路元件的类 型和连接方式进行选取，通常包 括电阻、电容、电感等元件的参 数。
矩阵形式的优点
矩阵形式能够简化电路的分析和 计算过程，提高计算效率和精度， 适用于大规模复杂电路的分析。
矩阵形式的电路方程
节点电压方程
在电路中选取节点电压作为未知 量，根据基尔霍夫定律建立节点 电压方程，并将其表示为矩阵形
线性
电路的输出信号与输入信号成正比，满足叠加定 理。
3
时不变
电路的参数不随时间变化。
线性时不变电路的矩阵形式
矩阵形式的电路方程
将电路中的元件参数和连接关系表示为矩阵形式，以便于分析和 计算。
状态变量
描述电路中电压和电流变化的变量，通常用向量表示。
状态方程
描述电路中状态变量之间关系的方程，通常表示为矩阵形式。
矩阵形式的电路方程广泛应用于电子工程、通信工程、控制工程等多个领域，尤其在处理大规模复杂电 路时表现出显著的优势。
电路方程的矩阵形式的展望
01
矩阵形式的进一步研究
随着电子技术和计算机技术的不断发展，对电路方程的矩 阵形式的研究将更加深入。未来研究将更加注重矩阵形式 的数学基础、算法优化和数值稳定性等方面。
02 03
15电路方程的矩阵形式(简)
本章主要内容：主要介绍电路方程的矩阵形式及其系统建 立法。简单介绍电路的状态方程。 包括：关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵。 15-1 割集
对于复杂的电路系统，需要研究系统化建立电路方程的方 法——电路方程的矩阵形式及其系统建立法。
图G ——是结点和支路的一个集合，每条支路的两端都连到 相应的结点上。电路的支路是实体，结点是支路的汇集点。 连通图G ——图G中任意两个结点间至少有一条支路。 割集——连通图G的一个割集是G的一个支路集合。①把一个 割集的所有支路移去将使G分为两个部分。②如果少移去一条 支路，则G仍是连通的。
1
Bf = [ 1l ¦ Bt ]
显然， Bf 中有一个l 阶的单位子矩阵
11
用一个b阶列向量
u u1 u2 ub 表示b个支路电压
T
用矩阵B左乘电压列向量u， 得到一个l 阶列向量
显然，B u =0 —— （15-5） 是用B矩阵表示的KVL方程
12
2
3
1
u1 u 2 1 0 1 0 1 1 u1 u3 u5 u6 0 u 3 0 Bu 0 1 1 0 0 1 u2 u3 u6 u 4 u u u 0 0 0 0 1 1 1 4 5 u 5 u6 13
矩阵中，列对应支路，行对应结点 分析以上矩阵，每一列只有两个非零元 素，(即每一条支路只与两个结点有关) 任何一行可以由其他(n-1)行导出。 将Aa中划去任一行，得到如下降阶关联矩阵 A
注意：被划去的行所 对应的结点可以作为 参考结点
6
用一个b阶列向量
i i1 i2 ib
第十五章 电路方程的矩阵形式
u （支路方向与回路绕向一致为正，反之为负）
由KVL可知，任一闭合回路电压的代数和恒为零
即有 B f u 0 或 Bf U 0 称为矩阵形式的KVL。
如上图中，u u1 u2 u3 u4 u5 u6 T
1 1 1 1 0 0
4
Bf 1 1 0 0 1 0
1 l1
l2
6
0
1
100 u1
1
5 2 3 l3
us5 -
R5
b5
1
b1 2 b2 3
Is1
R2
+
+
b4
b3
b6
u4 - R4
R3
kuu4 _
4
电路
拓扑图（线图）
支路电压和支路电流的正方向与支路方向一致-----
有向图
连通图：是指拓扑图中任意两节点间都至少有一条通路。
子图：是指原拓扑图的一部分，可包括原图的一些边和顶 点。
树：在连通图中包含连通图中的全部节点和部分支路，不 包含回路。
b4
b5 b3
4
特点：
a.每一列的代数和均为零。其中的行不是彼 此独立的，其任意一行都与（n-1）行的和 的相反的数相等。
b.去掉以任意一个节点为参考节点所对应的 一行后记为（n-1） b阶矩阵称为降阶的关 联矩阵 简称关联矩阵 。用符号 A 表示。
在 Aa 中划去的行对应的节点即为参考节点。
如上图选节点④为参考节点则有：
b1 b5
b2
Q1
b4
b3
Q3 b6
Q2
规定基本割集的方向与其中的树支方向一致。
若将切割线Q1，Q2，Q3延伸成闭合面则有：
ib1 ib2 ib4 ib6 0 ib2 ib5 ib6 0 ib3 ib4 ib6 0
第十五章 电路方程的矩阵形式
4 4 3 2 1 (a) 1 (b) (c) 6
①
4 3
5 6
(a)(b)为割集，(c)为非割集
1. 关联矩阵
一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关 联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。
N个结点b条支路的图用nb的矩阵描述 支路b
Aa=
结点n
n b
每一行对应一个结点，每一列对应一条支路， 矩阵Aa的每一个元素定义为：
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 -1 0 1 -1 1 0 1 -1
Bl
Bt
u u u u u u
1 2 3 4 5 6
u4 u5 u1 u4 u5 u6 u2 0 u5 u6 u3
矩阵形式的KVL： [ B ][ u ]= 0
Bl
= [ 1 Bt ]
Bt
②
引入回路矩阵[B]的作用： ① 用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程 设
①
４ ３
５ ③
[u ] [ u1 u 2 u3 u 4 u5 u6 ]T
u u
l
２
６
④1
t
[ B ][ u ]=
0 -1
关联矩阵Aa的特点： ① ② 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1， Aa的每一列元素之和为零。 矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1 行是独立的。 支路b
引入降阶关联矩阵A A=
(n-1) b
结点（n-1）
② ４ ①
２ ５
设④为参考节点,得降阶关联矩阵
③ ６
第15章电路方程的矩阵形式
矩阵形式的KCL：[ Q ][i ]=0
it Ql il
[1
Ql
] iilt
0
回路矩阵表示时 BTt il it
Ql BtT
４
５
３
２
６
1
割集支 4
C1 1
Q= C2 0
C3 0
56123
0 0 -1 -1 0
1 0 1 1 -1
0 1 0 -1 1
Qt
Ql
回支 4 5 6 1 2 3
1 1 -1 0 1 0 0 B = 2 1 -1 1 0 1 0 = [ Bt 1 ]
6
2 13
1
3
基本回路数=连支数=b-(n-1)
3.割集Q (Cut set )
Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
6
12
5
4
3
{2,4,5,6} 12
3
{2,3,6}
1 5•
4
{1,3,5,6}是否割集？
•
Idk gkj Uej gkj (U j Usj )
•
•
•
•
•
•
Ik Yk (Uk Usk ) gkj (U j Usj ) Isk
•
(2) I dk 为 CCCS
•
•
设 I dk kj I ej
•
•
•
I ej
Yj
(U
j
Usj
)
•
•
•
•
•
•
Ik Yk (Uk Usk ) kjYj (U j Usj ) Isk
《电路》第15章电路方程的矩阵形式解析
2
i2 i1
i5
5
1 i1 i2 - i1 - i2 + i3 0 i3 i 4 = - i3 - i4 + i6 = 0 + i 1 + i4 + i5 0 i5 i6
结点1的KCL 矩阵形式 结点 2 的 KCL [A][i] = … … 的KCL 结点(n-1)的KCL
14:45:53
[A][ i ] = 0
14:45:53 12
(3)关联矩阵A的作用
①表示矩阵形式的KCL方程； 设：[ i ] = [i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 ]T 以结点④为参考结点 -1 -1 +1 0 0 0 [A][i] = 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0
①
② i3 3 i6 6 ④ 4 i 4 ③
14:45:53
u1 u3 u4 u2 u5 u6
② ①
i3 3
2 5 Ⅰ ④ i1 1
i6 Ⅲ Ⅱ i2 6 i5
4 i 4
③
KVL的矩阵形式： [B][u] = 0
21
注意：连支电压可以用树支电压表示。 ② 3 4 i ul i 3 4 证 [ Bf ][ u ] =[ 1 Bt ] =0 i ① ③ 6 ut Ⅲ Ⅱ i2 6 i5 ul + Btut = 0 ul = - Btut ②用回路矩阵[B]T表示矩阵 形式的KCL方程。 设： [ i ] = [i1 , i3 , i4 , i2 , i5 , i6 ]T 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 1 0 -1 0 -1 0 1 1 [ B ]T
注意：
电路理论课后习题解答15
第十五章 电路方程的矩阵形式 15-1 按下列步骤列出图示电路节点电压方程的矩阵形式：1.拓扑图;2.写出关联矩阵A ；支路导纳矩阵Y ；支路电流源列向量⋅s I 及支路电压源列向量⋅s U ；3.出节点电压方程的矩阵形式。
解：110000111000101A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦12350000000000100000000R j L j M j M j L Z j C R ωωωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦50000T S S U U ⎡⎤=-⎣⎦ 10000T S S I I ⎡⎤=⎣⎦n n S SY U AI -AY U =15-2按下列步骤列出图示电路节点电压方程的矩阵形式：1.拓扑图;2.写出关联矩阵A ；支路导纳矩阵Y ；支路电流源列向量⋅s I 及支路电压源列向量⋅s U ； 3.出节点电压方程的矩阵形式。
i S5L 2解：[]000111011011000A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦[]50000TS S I i ⎡⎤=⎣⎦[]00000T S U ⎡⎤=⎣⎦2134500000000000000000m L M L M Y j C g G G ω⎡⎤-⎢⎥∆∆⎢⎥-⎢⎥⎢⎥∆∆=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中223j (L L M )ω∆=- T m n S m S AY A U AI AY U =-15-3对图示电路建立状态方程。
u 2C解：2C 11221112c L sc s L c R R L s R c du C i i dt du C i i dt di L u Ri dt i i i u Ri u ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎪⎪⎪=-⎨⎪=-+⎪⎪=+⎪⎪⎪⎩21211s c R s c L u u i R i u u i R R-⎧=⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ 整理，得111222************c L s c s c L s L c s c du i i dt C C du u u i i dtC R R C di R u u u dt LL R R ⎧=-+⎪⎪⎪⎛⎫=--+⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎩1111222222110001111011100c c s c c s L L du C C dt u u du R u R i dt C C C C i di dt L L L ⎛⎫⎡⎤⎡⎤- ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=--+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎪⎢⎥⎢⎥- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦。
第十五章电路方程的矩阵形式
第十五章 电路方程的矩阵形式一、本章的核心、重点及前后联系 （一）本章的核心列出结点电压方程的矩阵形式。
（二）本章重点1. 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵；2. 结点电压方程的矩阵形式。
（三）本章前后联系本章是第三章电阻电路一般分析方法的扩充。
二、本章的基本概念、难点及学习方法指导 （一）本章的基本概念 1. 割集定义定义：连通图G 的一个割集是G 的一个支路集合，把这些支路移去将使G 分离为两个部分，但是如果少移去其中一条支路，图仍将是连通的。
割集：Q 1（a 、d 、f ）；Q 2（a 、b 、e ）；Q 3（b 、c 、f ）；Q 4（c 、d 、e ）；Q 5（b 、d 、e 、f ）；Q 6（a 、c 、e 、f ）；Q 7（a 、b 、c 、d ）。
图G 的割集2. 关联矩阵定义定义：对于具有n 个节点、b 条支路的图，其关联矩阵（节点、支路关联矩阵）为一个)(b n ⨯的矩阵，用a A 表示。
行对应节点，列对应支路，它的任意元素jk a 定义如下：1+=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向背离节点； 1-=jk a ，表示支路k 与节点j 关联并且它的方向指向节点； 0=jk a ，表示支路k 与节点j 不关联。
ab cdef5Q 6Q 7Q abcdef1Q 2Q 3Q 4Q⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---++-++--++=0111001001100100111010014321654321a A划去a A 中的任意一行，剩下的b n ⨯-)1(矩阵用A 表示，称为降阶关联矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-++--++=100110010011101001AA 阵表示的KCL 、KVL 方程：KCL ：0Ai =KCL ：n Tu A u =3. 回路矩阵定义回路矩阵（回路、支路关联矩阵）用B 表示，行对应回路，列对应支路，任意元素b jk 定义如下：1+=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向一至； 1-=jk b ，表示支路k 与回路j 关联，且他们的方向相反； 0=jk b ，表示支路k 与回路j 不关联。
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第十五章电路方程的矩阵形式内容总结——目的是建立计算机辅助分析复杂电路（网络）的数学模型1、教学基本要求初步建立网络图论的基本概念：图、连通图和子图的概念，树、回路与割集的拓扑概念，关联矩阵，基本回路，基本割集的概念，选取树和独立回路的方法。
关联矩阵，用降阶关联矩阵表示的KCL和KVL的矩阵形式。
回路与割集的拓扑概念，单连支回路，单树枝割集。
2、重点和难点(1) 关联矩阵(2) 结点电压方程的矩阵形式(3) 状态变量的选取及状态方程的建立方法(4) 电路状态方程列写的直观法和系统法.三种主要关联矩阵形式：①结点关联矩阵A：描述结点与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有N个结点、B条支路，其结点关联矩阵A表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素a jk的定义为：a jk= +1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流出结点；a jk= -1，表示结点j与支路k相关联且支路方向流入结点；a jk= 0，表示结点j与支路k不关联；②回路关联矩阵B：描述回路与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有L个回路、B条支路，其回路关联矩阵B表示如下：lⅹb其中任意元素b jk的定义为：b jk= +1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向一致；b jk= -1，表示回路j与支路k相关联且回路方向与支路方向向反；b jk= 0，表示回路j与支路k相不关联；③割集关联矩阵Q：描述割集与支路的关联关系的矩阵。
设复杂电路（网络）有Q个割集、B条支路，其割集关联矩阵Q表示如下：(n-1)ⅹb其中任意元素q jk的定义为：q jk= +1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向一致；q jk= -1，表示割集j与支路k相关联且割集方向与支路方向向反；q jk= 0，表示割集j与支路k相不关联；注意：★对于结点关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u =A T u n；u =[u i u2u3……u b]T。
u n=[u n i u n2u n3……u n(n-1)]T。
★对于回路关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：i = B T i l；i =[i i i2i3……i b]T。
i l=[i l i i l2i l3……i ll]T基尔霍夫电压定律的矩阵形式：Bu = 0；u =[u i u2u3……u b]T。
★对于割集关联矩阵有：基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Qi = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u =Q f T u t；u =[u i u2u3……u b]T。
u t=[u t i u t2u t3……u t(n-1)]T。
④三种矩阵之间的关系（略）2. 三种分析方法的方程的矩阵形式①回路电流方程的矩阵形式（略）②割集电压方程的矩阵形式（略）③结点电压方程的矩阵形式基尔霍夫电流定律的矩阵形式：Ai = 0；i =[i i i2i3……i b]T。
基尔霍夫电压定律的矩阵形式：u=A T u n；u =[u i u2u3……u b]T。
u n=[u n i u n2u n3……u n(n-1)]T。
结点电压方程的矩阵形式的形成过程：第一步：建立复合支路：由于复杂电路的形式很难确定，在实际分析中只能采用具体电路具体分析。
为建立复杂电路的一般分析方法，有必要假设复杂电路的复合支路，从而形成一个较为普遍的方法。
复合支路即第k 条支路如下：由基尔霍夫电流定律得：所以：对该式进行讨论，目的是得出一般规律。
⑴复合支路中无受控源时：由KCL得：变成将代入得：又所以对整个电路有：其中Y为支路导纳矩阵，它是一个对角矩阵。
同理可以分析一下两种情况⑵复合支路中无受控源，但电感之间有互感时：⑶复合支路中含有受控源时：都可以推导出第二步：写出A、Y、I S、U S等矩阵；第三步：代入结点电压方程的矩阵形式：3、典型例题分析【例题1】：含有受控源时的结点电压方程矩阵形式的列写。
电路如图（a）所示，图中元件的下标代表支路编号，图（b）是它的有向图。
写出结点电压方程的矩阵形式。
图（a）图（b）解：由图（b）得节点关联矩阵A,节点电压的列向量，支路电流的列向量，支路电压的列向量，支路导纳矩阵，节点导纳矩阵，结点电压方程的矩阵形式为：【例题2】：对于较为简单的电路，采用直观法和系统法均可，当电路较为复杂时，一般采用系统法。
电路如图（a）所示，以为状态变量，列出电路的状态方程。
图（a）图（b）解：方法 1直观法KVL：KCL ：；消去：；；代入上式：然后整理成矩阵形式（略）。
方法 2系统法选图（b）中支路 1 、 3 、 4 、 6 为树支含电感单连支回路的 KVL ：含电容单树支割集的 KCL ：【例题3】：求图所示电路的状态方程。
图解：设u c ,i1，i2为状态变量其中：从以上方程中消去非状态量，得：写成矩阵形式：【例题4】：图所示图G 的关联矩阵A =________________________。
图1 2 3 4 5 6 7 8 9 A =------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥12345111000000000111000000000111100100100010010010 (每错一个元素扣2分，扣完为止)3、典型习题【题1】：已知图G 的关联矩阵如下，画出图G 。
【题2】：图所示电路的图中，可写出独立的KCL 、KVL 方程数分别为： 答（ ）个，3个； 个，4个； 个，3个； 个，4个。
图【题3】：图所示电路的图G 已给出，则该电路支路导纳矩阵为： 答（ ）图【题4】：图所示电路的G已给出，则其支路导纳矩阵为：答（）图【题5】：图所示电路支路编号和参考方向如图G所示，则其支路导纳矩阵Y b为：答（）图【题6】：当节点电压方程的矩阵形式为[][][][][][][]=-时，标准支路的形式为图中所Y U A Y U A In n b S S示的：答（）图【题7】：用矩阵法建立图所示电路的节点电压方程。
（直接写出无分）图【题8】：按下列步骤列出图所示电路节点电压方程的矩阵形式：1.有向图;（编号按元件参数下标）2.出所需的各矩阵;3.出节点电压方程的矩阵公式;4.出节点电压方程的矩阵形式。
图【题9】：用矩阵法建立图所示电路的节点电压方程（直接写出无分）。
图【题10】：试列出图所示电路的矩阵形式状态方程。
图【题11】：图所示电路中，R=5；C1=2F；C2=1F；L=2H.。
求该电路的状态方程。
图【题12】：试建立图所示电路的状态方程。
图【题13】：试建立图所示电路的状态方程。
图【题14】：图所示电路中，R 1=1000；R 2=3000；C =250F ；L =.。
试建立电路的状态方程。
图【题15】：图所示电路中，R 1=1000；R 2=30；R 3=10；C =4000F ；L =5mH.。
试建立电路的状态方程。
图第十五章 电路方程的矩阵形式答案题1︒︒︒︒︒()14)5()012356789︒(画错一条（包括方向错误）扣2分，错4条以上则无分) 题2：（C ）题3：（D ）题4：（C ）题5：（C ）题6：（A ）题7：题8：题9：题10：d ddd d d SititutiiuuC C1212122143121211⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥题11：ddutC1=-+0505..Si iLddutC2=-+022.u iC LdditL=-050512..u uC C题12：题13：题14：ddutC=--+u i uC L1000SdditL=-⨯+250075001075003u i uC L S 题15：。