【精品初二数学试卷】石景山区 2019—2020 学年第一学期初二期末试卷+答案

2 = 3
1. 本试卷共 6 页，共三道大题，28 道小题．满分 100 分，考试时间 100 分钟．
2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3. 试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，
选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
石景山区 2019—2020 学年第一学期初二期末试卷
数 学
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
下面各题均有四个选项，符合题意的选项只．有．一个． 1. 2 的平方根是
A. ±4
B. 4
C ． ±
D ． 2. 下列照片分别是新首钢大桥、大兴机场、中国尊、丽泽夜空之眼，照片中主体建筑的 平
面图形不．是．
轴对称图形的是 A
B C D
3. 下列说法正确的是
A ．可能性很大的事件在一次试验中一定发生
B ．可能性很大的事件在一次试验中不一定会发生
C ．必然事件在一次试验中有可能不会发生
D ．不可能事件在一次试验中也可能发生
m - 2
4. 使得分式
m + 3
有意义的 m 的取值范围是
A. m ≠ 0
B. m ≠ 2
C. m ≠ -3
D.
m > -3
5. 下列各式中，运算正确的是
x 6
A.
x 2
x B. x + a =
x
y + a
y
C ．
- x + y = -1
y - x
x - 2 1
D ．
2x 2 - 4x =
2x
2
考生须知
6. 若最简二次根式 与最简二次根式 是同类二次根式，则 的值为
A. x = 0
B. x = 1
C. x = 2
D. x = -2
7. 如图，△ABC 中，AB = AC ，过点 A 作 DA ⊥ AC 交
BC 于点 D ．若∠B = 2∠BAD ，则∠BAD 的度数为
A ．18° C ． 30°
B ． 20° D ． 36°
8. 如图，已知∠O ，点 P 为其内一定点，分别在∠O 的 两边上找点 A 、 B ，使△ PAB 周长最小的是
A. B ． C ． D ．
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9. 写出一．个．满足 的整数 a 的值为 ．
1
1
10. 下面是小军同学计算
-
的过程.
x 2 - 2x x 2 + 2x
其中运算步骤[2] 为：
，该步骤的依据是 ．
3 1
3
11. 如果等腰三角形的一个角比另一个角大30︒ ，那么它的顶角是
°
． 12. 用一组 a , b 的值说明式子“
b = .
= 2
a 2
b ”是错误的，这组值可以是 a
=
，
13.
桌子上有 6 杯同样型号的杯子，其中 1 杯白糖水，2 杯矿泉水，3 杯凉白开，从 6 个
杯子中随机取出1 杯，请你将下列事件发生的可能性从大到小排列： ．（填序号即可）
①取到凉白开 ②取到白糖水 ③取到矿泉水 ④没有取到矿泉水
14. 如图，三角形纸片 ABC 中， ∠ACB = 90 ，
BC = 6 ， AB = 10 ．在 AC 边上取一点 E ，
以 BE 为折痕，使 AB 的一部分与 BC 重合， A 与 BC 延长线上的点 D 重合，则CE 的长
为
．
15. 对于任意不相等的两个实数 a 、b ，定义运算⊗ 如下：
a ⊗ b=
a -
b ，如：3 ⊗ 3 - 2
．那么
8 ⊗ 12 的运算结果为
．
16. 如图，△ OAB 是腰长为 1 的等腰直角三角形， ∠OAB = 90°，延长OA 至
B 1 ，使 AB 1 = OA ，以OB 1 为底，在△ OAB 外侧作等腰直角三角形OA 1B 1 ，再延长OA 1 至 B 2 ，
使 A 1B 2 = OA 1 ，以OB 2 为底，在△ OA 1B 1 外侧作等 腰直角三角形OA 2 B 2 ，……，按此规律作等腰直角三角形OA n B n （ n ≥ 1 ， n 为正整数），回答下列问题：
（1）
A 3
B 3 的长是 ；
（2）△
OA 2020 B 2020 的面积是 ．
三、解答题（本题共 68 分，第 17-21 题每题 5 分，第 22-27 题每题 6 分，第 28 题 7 分）
17．计算： 2 --
) .
18．计算：
x - 15 -
2
x 2 - 9 3 - x
3 19.
解方程： x - 1 = 2 -
2 x
． x + 1
20.
已知： x 2
+ 3x = 1，求代数式
1 x - 1 ⋅ x
2 - 2 x +1 - x + 2 x - 2
的值 x + 1
6
21.如图，在4 ⨯ 4 的正方形网格中，有5 个黑色小正方形.
（1）请你移动一个黑色小正方形，使移动后所形成的4 ⨯4 的正方形网格图形是轴对称图形．如：将8 号小正方形移至14 号；你的另
一种做法是将号小正方形移至号（填写
标号即可）；
（2）请你移动2 个小正方形，使移动后所形成的图形是
轴对称图形．你的一种做法是将号小正方形移
至号、将号小正方形移至号（填写标
号即可）.
22．已知：如图，AB =AE．∠C=∠F，∠EAC＝
∠BAF．求证：AC=AF.
23.下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1，线段a 和线段b．
求作：△ABC，使得AB = AC，BC = a，BC 边上的中线为b．
作法：如图2，
①作射线BM，并在射线BM 上截取BC = a；
②作线段BC 的垂直平分线PQ，PQ 交BC 于D；图1
③以D 为圆心，b 为半径作弧，交PQ 于A；
④连接AB 和AC．
则△ABC 为所求作的图形．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2 中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知BC = a，AD = b．
图 2
∵ PQ 为线段BC 的垂直平分线，点A 在PQ 上，
∴AB=AC（）（填依据）．
又∵线段BC 的垂直平分线PQ 交BC 于D，
∴BD=CD．（）（填依据）．
∴ AD 为BC 边上的中线，且AD = b．
2
24. 甲、乙两个施工队共同完成某区域绿化改造工程，乙队先单独做 3 天后，再由两队 合作 7 天完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项 工程所需天数的 2 倍，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
25.
如图，△ ABC 中， AB = 4 上一点，且 AD = AC ．若 ， ∠ABC = 45︒ ， D 是 BC 边 BD - DC = 1 ．求 DC 的长．
26.
已知：如图△ ABC ，直线l .
求作：点 P . 使得点 P 在直线l 上，且点 P 、点 A 、点 B 构成的三角形为等腰三角
形（保留作图痕迹，不必写出作法）. 解：（1）满足条件的点共有
个；
（2）在图中用尺规作图作出满足条件的点 P （保留作图痕迹，不必写出作法）.
27.
我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如： 3 2 =1+ 1
.
2
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时， 我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.
例如：像 x + 1 x - 2 2 ， x + 2
，…，这样的分式是假分式；像 1 ， x - 2 x
x 2 - 1 ，…，这样
的分式是真分式.类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式.
例如： x + 1 = ( x - 2 ) + 3 = 1 + 3 ；
x - 2 x - 2 x - 2
x
=
( x + 2
) ( x - 2 ) + 4 = x - 2 +
4 .
x + 2
解决下列问题:
x + 2
x + 2
（1） 将分式 x - 2
化为整式与真分式的和的形式为：
．（直接写出结果即可）
x + 3
x 2 + 2 x
（2） 如果分式 x + 3
的值为整数，求 x 的整数值.
2 x
28.如图，在等边△ABC 中，点D 是线段BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD
的对称点为E .连接EC 并延长，交射线AD 于点F .
（1）补全图形；
（2）求∠AFE 的度数；
（3）用等式表示线段AF 、CF 、EF 之间的数量关系，
并证明.
6 3
阅卷须知：
石景山区 2019—2020 第一学期初二期末
数学试卷答案
1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要 考
生将主要过程正确写出即可．
2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分.
3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9. 答案不唯一，如：2．
10. 通分；分式的基本性质．
11． 80°或40︒ ．
12．答案不唯一，如： a = 1,b = -1 ． 13．④,①,③,②． 14．3． 15． - ． 16． 2 2; 2
2019
．
三、解答题（本题共 68 分，第 17-21 题每题 5 分，第 22-27 题每题 6 分，第 28 题 7 分）
17．解：原式= 2 - 3 +
3
3
= -
2 3 3
…………………………………5 分
18．解： x - 15 - 2
x 2 - 9 3 - x = x - 15 +
2x + 6 ( x + 3)( x - 3) ( x + 3)( x - 3) =
3x - 9 ( x + 3)( x - 3) =
3 x + 3
…………………………………5 分
3
⎨ 19. 解方程：
3
x - 1 = 2 - 2 x
． x + 1
解：去分母，得3( x + 1) = 2( x -1)( x + 1) - 2x ( x -1) ． ..................... 2 分
去括号，得3x + 3 = 2x 2
- 2 - 2x 2
+ 2x ． ............................. 3 分
解得 x = -5 ． ...................................................... 4 分 经检验 x = -5 是原方程的解． ........................................ 5 分 ∴原方程的解是 x = -5 ．
20.
已知： x 2
+ 3x = 1，求代数式 1 x - 1 ⋅ x 2 - 2 x +1 - x + 2 x - 2 x + 1
的值．
解：原式= 1 ⋅ ( x -1)2
- x - 2
x - 1
=
x + 2 x - 1 - x - 2
x + 1 x + 2
x + 1
x 2 - 1 - ( x 2 - 4)
= ( x + 1)( x + 2)
3
=
x 2 + 3x + 2 ................................................................................................ 3 分
∵ x 2
+ 3x = 1，
∴原式=1 .................................................................................................................. 5 分 21．解：（1）9，3； .................................................................................................... 2 分
（2）答案不唯一，如：9，6；8，11 或 9，3；10，4 等等 .......... 5 分
22. 证明：在△ABC 和△AEF 中，
∵∠EAC ＝∠BAF,
∴∠BAC ＝∠EAF, ................................................................................................ 1 分
⎧∠BAC = ∠EAF ，
∵ ⎪∠C = ∠F ， ⎪⎩
AB = AE ， ∴△ABC ≌△AEF . （AAS ） ...................................... 4 分 ∴AC =AF .（全等三角形对应边相等） ............................. 6 分
23.
解：（1）尺规作图正确； .................................................... 4 分 （2）填空正确． ............................... 6 分
24. 解：设甲施工队单独完成此项工程需 x 天，
则乙施工队单独完成此项工程需 2 x 天， ........................ 1 分
2
根据题意，得 7 + 10 = 1
……………………………………3 分 x 2x
解这个方程，得 x = 12
……………………………………4 分
经检验， x = 12 是原方程的根，并且符合实际问题的意义 .......... 5 分
2x = 24 ．
答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需 12 天、24 天． .......... 6 分
25. 解：过点 A 作 AE ⊥ BC 于 E ．
.................................. 1 分 ∵ AD = AC ，
∴ ∠AEB = 90︒ ， DE = EC .（等腰三角形底边上高线与底边上中线重合）……2 分又∠ABC = 45︒ ， ∴ ∠BAE = 45︒ ．
∴ AE = BE .（等角对等边） ........................................ 3 分 在 Rt △ ABE 中， AB = 4 ， ∴ AE 2 + BE 2 = AB 2 .（勾股定理） 即： BE 2
+ BE 2
= (4 2)2
，
∴ BE = 4 ． ................................ 4 分
1
即 BD + DC = 4 ，
2
又∵ BD - DC = 1 ，
∴ DC = 2 ． ............................... 6 分
26. 解：（1）满足条件的点共有 5 个； ................................. 1 分
（2）作图如下：
则点 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 为所求
点.
…………………………………………6 分 27．解：（1）1 -
5 x + 3
…………………………2 分
1
（2） x 2 + 2 x x + 3 = ( x + 3) ( x - 1) + 3
= x - 1 +
x + 3 3 x + 3
∴ x + 3 = ±1 或 x + 3 = ±3
∴ x 的取值可以是：
-4, -2, 0, -6 .................................................... 6 分
28．解：（1）补全图形（如图 1）
图 1
（2）连接 AE .（如图 2）
…………………………2 分
∵△ABC 是等边三角形，
∴ AB = AC = BC ， ∠BAC = ∠BCA = 60︒. ∵点 B 关于射线 AD 的对称点为 E ， ∴ AE = AB ， ∠FAB = ∠FAE .
图 2
设∠FAC = α，则∠FAB = ∠FAE = 60︒ -α ∴ ∠EAC = 60︒ -α-α= 60︒ - 2α， 又 AE = AC .
∴ ∠AEC = ∠ACE = 2
⎡⎣180︒ - (60︒ - 2α)⎤⎦ = 60︒ + α.
∴ ∠AFE = 180︒ - ∠FAE - ∠FEA = 60︒ 4 分 （3） AF = EF + CF
证明：如图 3，作∠FCG = 60︒ 交 AD 于点 G ，连接 BF .
∴△ FCG 是等边三角形.
∴ GF = CF = GC . ∠CGF = ∠GFC = ∠FCG = 60︒ .
∠ACG = 60︒ - ∠GCD
= ∠BCF
在△ ACG 和△ BCF 中，
⎨ ⎩
⎧CA = CB ， ⎪∠ACG = ∠BCF ，
⎪CG = CF ， ∴△ ACG ≌△ BCF .
∴ AG = BF .
∵点 B 关于射线 AD 的对称点为 E ，
∴ BF = EF .
∵ AF = AG + GF .
∴ AF = EF + CF ..................................................................... 7 分
11。