中考数学第24题专题训练答案

2015年中考数学第24题专题训练-圆

1. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC 于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．

（1）求证：△BGD∽△DMA；

（2）求证：直线MN是⊙O的切线．

证明：（1）∵MN⊥AC于点M，BG⊥MN于G，

∴∠BGD=∠DMA=90°．

∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，∴AD⊥BC，∠ADC=90°，

∴∠ADM+∠CDM=90°，

∵∠DBG+∠BDG=90°，∠CDM=∠BDG，

∴∠DBG=∠ADM．

在△BGD与△DMA中，，∴△BGD∽△DMA；

（2）连结OD．∵BO=OA，BD=DC，

∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．∵MN⊥AC，BG⊥MN，

∴AC∥BG，∴OD∥BG，∵BG⊥MN，∴OD⊥MN，

∴直线MN是⊙O的切线．

2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线．

（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．

证明：（1）连接OE．

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，

∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，

∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，

∴AC是⊙O的切线；

（2）如图，连结DE．

∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，

∴EC=EH．

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，

∴∠CDE=∠HFE．

在△CDE与△HFE中，

，

∴△CDE≌△HFE（AAS），

∴CD=HF．

3. （2014•山东枣庄）如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．

（1）求OD的长；

（2）求CD的长．

解：（1）设⊙O的半径为R，

∵AB切⊙O于点B，∴OB⊥AB，

在Rt△ABO中，OB=R，AO=OC+AC=R+8，AB=12，

∵OB2+AB2=OA2，∴R2+122=（R+8）2，解得R=5，

∴OD的长为5；

（2）∵CD⊥OB，∴DE=CE，而OB⊥AB，

∴CE∥AB，

∴△OEC∽△OBA，∴=，即=，

∴CE=，∴CD=2CE=．

4.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =900，以AB 为直径作⊙O ，恰与另一腰CD 相切于点E ，连接OD 、OC 、BE ．

(1)求证：OD ∥BE ；

(2)若梯形ABCD 的面积是48，设OD =x ，OC =y ，且x +y =14，

求CD 的长．

解：(1)证明：连接OE ,

∵CD 是⊙O 的切线， ∴OE ⊥CD ，

在Rt △OAD 和Rt △OED 中，OA =OE , OD =OD ，

∴Rt △OADcR ≌t △OED ， ∴∠AOD =∠EOD =21∠AOE ， 在⊙O 中，ABE =2

1∠AOE , ∴∠AOD =∠ABE ， ∴OD ∥BE (2)同理可证：Rt △COE ≌Rt △COB ．∴∠COE =∠COB =2

1∠BOE , ∴∠DOE +∠COE =900，∴△COD 是直角三角形，

∵S △DEO =S △DAO , S △COE =S △COB ,

∴S 梯形ABCD =2(S △DOE +S △COE )=2S △COD =OC ·OD =48，即xy =48，

又∵x +y = 14，∴x 2 +y 2=(x +y )2－2xy =142－2×48=100,

在Rt △COD 中,101002222==+=+=

y x OD OC CD

即CD 的长为10． 5.如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过x 轴上一点C ，与y 轴分别交于A 、B

两点，连接AP 并延长分别交⊙P 、x 轴于点D 、E ，连接DC 并延长交y 轴于点F ，若点F 的坐标为(0 ,1),点D 的坐标为(6 ,－1).

⑴ 求证：DC FC =

⑵ 判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由.

⑶ 求直线AD 的解析式.

解：(1)如图1，

作DH ⊥x 轴于点H,

∵F(0,1),D(6,-1) ∴OF=DH=1,

在⊿OCF 和⊿HCD 中，

FCO DCO FOC DHC OF DH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩

90

∴⊿OCF ≌⊿HCD(AAS), DC=FC.

(2)如图2，

⊙P 与x 轴相切.

连接PC,∵DC=FC, PD=PA, ∴CP 是⊿DFA 的中位线，∴PC ∥

y 轴， ∴PC ⊥x 轴 , 又C 是⊙P 与x 轴的交点 ，

∴⊙P 切

x 轴于点C. (3)如图3，

作PG ⊥y 轴于点G,

由(1)知：C(3,0), 由(2)知：AF=2PC,

设⊙P 的半径为r , 则：（r-1)2+32=r 2 , ∴r=5, ∴A(0,-9)；

设直线AD 的解析式为y ax =-9，把D(6,-1)代入得：a =43

， ∴直线AD 的解析式为：y x =-493

6. 已知：AB 是⊙O 的直径，直线CP 切⊙O 于点C ，过点B 作BD ⊥CP 于D ．

（1）求证：△ACB ∽△CDB ；

（2）若⊙O 的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．

解：（1）证明：∵直线CP 是⊙O 的切线，

∴∠BCD=∠BAC ，

∵AB 是直径，

∴∠ACB=90°，

又∵BD ⊥CP

∴∠CDB=90°，

∴∠ACB=∠CDB=90°

∴△ACB ∽△CDB ；

（2）解：如图，连接OC ，

∵直线CP 是⊙O 的切线，∠BCP=30°，

∴∠COB=2∠BCP=60°，

∴△OCB 是正三角形，

∵⊙O 的半径为1，

∴S △OCB =，S 扇形OCB ==π，

∴阴影部分的面积=S 扇形OCB ﹣S △OCB =π﹣