初三中考数学三角形
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图 Z6-5
[思路分析]根据三角形外角的性质求得∠DAF＝30°，得 出AF＝DF＝10，在 Rt△FGA 中，根据正弦函数求出 AG 的 长，加上 BG 的长即为旗杆高度.
解：∵∠ADG＝30°，∠AFG＝60°， ∴∠DAF＝30°. ∴AF＝DF＝10. 在Rt△FGA中， AG＝AF·sin∠AFG＝10× 23＝5 3， ∴AB＝1.5＋5 3. 答：旗杆 AB 的高度为(1.5＋5 3)米.
点(点 P 与点 A，B 不重合)，矩形 PECF 的顶
点 E，F 分别在 BC，AC 上.
(1)探究 DE 与 DF 的关系，并给出证明；
(2)当点 P 满足什么条件时，线段 EF 的
长最短？(直接给出结论，不必说明理由)
图 Z6-4
[思路分析](1)连接 CD，首先根据△ABC 是等腰直角三角 形，∠C＝90°，点 D 是 AB 的中点得到CD＝AD，CD⊥AD， 然后根据四边形 PECF 是矩形得到△APE 是等腰直角三角形， 从而得到△DCE≌△DAF，证得 DE＝DF，DE⊥DF；
专题六 三角形
三角形是中考必考的内容.关于三角形的边、角和“三线” 是中考命题的热点，既可以出现在小题中，也可以融入大题中， 是研究几何综合题的基础，所以三角形的基本性质必须熟练掌 握.全等三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰(边) 三角形的判定与性质是中考命题的热点，既可以出现在简单的 解答题中，也可以与特殊四边形、圆和函数形成综合题.以三角 形为背景的应用题也是中考必考内容，一般考查解直角三角形 和勾股定理的应用居多.
BM＝FN， ∠BMH＝∠FNG， MH＝NG，
∴△BMH≌△FNG(SAS)， ∴BH＝FG.
[解题技巧]判定两个三角形全等或相似时，注意找准对应 边和对应角，根据已知条件选择合适的判定方法.
与三角形有关的综合题
例 3：(2015 年山东淄博)如图 Z6-4，△ABC 是等腰直角三
角形，∠C＝90°，点 D 是 AB 的中点，点 P 是 AB 上的一个动
又∵∠1＝∠3＋∠D，∴∠D＝12∠A＝12×30°＝15°. 答案：A [解题技巧]利用三角形的内角和外角性质求角的度数时， 注意找准所需要的每一个角，可以用数字标明所需要的角.
全等、相似和等腰三角形的证明与性质 例 2：(2015 年广东珠海 已知)ABC，AB＝AC，将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF. (1)如图Z6-2，连接BD，AF，则BD________AF ； ( 填 “＞”“＜”或“＝”) (2)如图 Z6-3，M 为 AB 边上一点，过 M 作 BC 的平行线 MN 分别交边 AC，DE，DF 于点 G，H，N，连接 BH，GF， 求证：BH＝GF.
图 Z6-2
图 Z6-3
[ 思路分析](1) 根据等腰三角形的性质，可得∠ABC 与 ∠ ACB 的关系，根据平移的性质，可得 AC 与 DF 的关系， 根据全等三角形的判定与性质，可得答案.
(2)根据相似三角形的判定与性质，可得GM 与HN 的关系， BM 与FN 的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案.
(2)根据 DE＝DF，DE⊥DF，得到 EF＝ 2DE＝ 2DF，从 而得到当 DE 和 DF 同时最短时，EF 最短得到此时点P 与点D 重合线段 EF 最短.
解：(1)DE＝DF，DE⊥DF. 证明如下：连接 CD. ∵△ABC 是等腰直角三角形，∠C＝90°，点D 是AB 的 中点，∴CD＝AD，CD⊥AD. ∵四边形 PECF 是矩形， ∴CE＝FP，FP∥CB. ∴△APF 是等腰直角三角形. ∴AF＝PF＝EC， ∴∠DCE＝∠A＝45°，
[名师点评]解直角三角形是中考必考内容.以生活实例为背 景，利用三角函数求高度、宽度或长度是最常见的题型.根据已 知条件选择合适的三角函数求边长是解题的关键.稍复杂的应 用题常常运用方程的思想解决实际问题.
[名师点评]与三角形相关的综合题一般与四边形、圆或函 数紧密相连，运用旋转、对称等图形变化方式加以对问题的进 一步探究是常见的命题方式.解决此类题型一般离不开三角形 的基本性质.
解直角三角形与勾股定理的应用 例4：(2015 年广东深圳)如图 Z6-5，小丽为了测旗杆 AB 的高度，小丽眼睛距地面 1.5 米，小丽站在 C 点，测出旗杆 A 的仰角为 30°，小丽向前走了 10 米到达点 E，此时的仰角为 60°，求旗杆的高度.
(1)解：由 AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB. 由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF＝AC，∠DFE ＝∠ACB. 在△ABF 和△DFB 中， AB＝DF， ∠ABF＝∠DFB， BF＝FB，
∴△ABF≌△DFB(SAS)，即 BD＝AF. 故答案为 BD＝AF.
源自文库
(2)证明：∵MN∥BF， ∴△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF. ∴MBCG＝AAMB ，HEFN＝DDNF. ∴MG＝HN，MB＝NF. 在△BMH 和△FNG 中，
∴△DCE≌△DAF. ∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE. ∵∠CDA＝90°， ∴∠EDF＝90°. ∴DE＝DF，DE⊥DF. (2)∵DE＝DF，DE⊥DF， ∴EF＝ 2DE＝ 2DF， ∴当 DE 和 DF 同时最短时，EF 最短. ∴当 DF⊥AC，DE⊥AB 时，二者最短. ∴此时点 P 与点 D 重合. ∴点 P 与点 D 重合时，线段 EF 最短.
与三角形有关的边角计算 例1：(2015年辽宁丹东)如图Z61，在△ABC中，AB＝AC， ∠A＝30°，E 为 BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线 相交于点 D，则∠D 的度数为( )
A.15°
B.17.5°
图 Z6-1 C.20°
D.22.5°
解析：∵∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点 D， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠ACE＝∠A＋∠ABC， 即∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A.∴2∠1＝2∠3＋∠A，
[思路分析]根据三角形外角的性质求得∠DAF＝30°，得 出AF＝DF＝10，在 Rt△FGA 中，根据正弦函数求出 AG 的 长，加上 BG 的长即为旗杆高度.
解：∵∠ADG＝30°，∠AFG＝60°， ∴∠DAF＝30°. ∴AF＝DF＝10. 在Rt△FGA中， AG＝AF·sin∠AFG＝10× 23＝5 3， ∴AB＝1.5＋5 3. 答：旗杆 AB 的高度为(1.5＋5 3)米.
点(点 P 与点 A，B 不重合)，矩形 PECF 的顶
点 E，F 分别在 BC，AC 上.
(1)探究 DE 与 DF 的关系，并给出证明；
(2)当点 P 满足什么条件时，线段 EF 的
长最短？(直接给出结论，不必说明理由)
图 Z6-4
[思路分析](1)连接 CD，首先根据△ABC 是等腰直角三角 形，∠C＝90°，点 D 是 AB 的中点得到CD＝AD，CD⊥AD， 然后根据四边形 PECF 是矩形得到△APE 是等腰直角三角形， 从而得到△DCE≌△DAF，证得 DE＝DF，DE⊥DF；
专题六 三角形
三角形是中考必考的内容.关于三角形的边、角和“三线” 是中考命题的热点，既可以出现在小题中，也可以融入大题中， 是研究几何综合题的基础，所以三角形的基本性质必须熟练掌 握.全等三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰(边) 三角形的判定与性质是中考命题的热点，既可以出现在简单的 解答题中，也可以与特殊四边形、圆和函数形成综合题.以三角 形为背景的应用题也是中考必考内容，一般考查解直角三角形 和勾股定理的应用居多.
BM＝FN， ∠BMH＝∠FNG， MH＝NG，
∴△BMH≌△FNG(SAS)， ∴BH＝FG.
[解题技巧]判定两个三角形全等或相似时，注意找准对应 边和对应角，根据已知条件选择合适的判定方法.
与三角形有关的综合题
例 3：(2015 年山东淄博)如图 Z6-4，△ABC 是等腰直角三
角形，∠C＝90°，点 D 是 AB 的中点，点 P 是 AB 上的一个动
又∵∠1＝∠3＋∠D，∴∠D＝12∠A＝12×30°＝15°. 答案：A [解题技巧]利用三角形的内角和外角性质求角的度数时， 注意找准所需要的每一个角，可以用数字标明所需要的角.
全等、相似和等腰三角形的证明与性质 例 2：(2015 年广东珠海 已知)ABC，AB＝AC，将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF. (1)如图Z6-2，连接BD，AF，则BD________AF ； ( 填 “＞”“＜”或“＝”) (2)如图 Z6-3，M 为 AB 边上一点，过 M 作 BC 的平行线 MN 分别交边 AC，DE，DF 于点 G，H，N，连接 BH，GF， 求证：BH＝GF.
图 Z6-2
图 Z6-3
[ 思路分析](1) 根据等腰三角形的性质，可得∠ABC 与 ∠ ACB 的关系，根据平移的性质，可得 AC 与 DF 的关系， 根据全等三角形的判定与性质，可得答案.
(2)根据相似三角形的判定与性质，可得GM 与HN 的关系， BM 与FN 的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案.
(2)根据 DE＝DF，DE⊥DF，得到 EF＝ 2DE＝ 2DF，从 而得到当 DE 和 DF 同时最短时，EF 最短得到此时点P 与点D 重合线段 EF 最短.
解：(1)DE＝DF，DE⊥DF. 证明如下：连接 CD. ∵△ABC 是等腰直角三角形，∠C＝90°，点D 是AB 的 中点，∴CD＝AD，CD⊥AD. ∵四边形 PECF 是矩形， ∴CE＝FP，FP∥CB. ∴△APF 是等腰直角三角形. ∴AF＝PF＝EC， ∴∠DCE＝∠A＝45°，
[名师点评]解直角三角形是中考必考内容.以生活实例为背 景，利用三角函数求高度、宽度或长度是最常见的题型.根据已 知条件选择合适的三角函数求边长是解题的关键.稍复杂的应 用题常常运用方程的思想解决实际问题.
[名师点评]与三角形相关的综合题一般与四边形、圆或函 数紧密相连，运用旋转、对称等图形变化方式加以对问题的进 一步探究是常见的命题方式.解决此类题型一般离不开三角形 的基本性质.
解直角三角形与勾股定理的应用 例4：(2015 年广东深圳)如图 Z6-5，小丽为了测旗杆 AB 的高度，小丽眼睛距地面 1.5 米，小丽站在 C 点，测出旗杆 A 的仰角为 30°，小丽向前走了 10 米到达点 E，此时的仰角为 60°，求旗杆的高度.
(1)解：由 AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB. 由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF＝AC，∠DFE ＝∠ACB. 在△ABF 和△DFB 中， AB＝DF， ∠ABF＝∠DFB， BF＝FB，
∴△ABF≌△DFB(SAS)，即 BD＝AF. 故答案为 BD＝AF.
源自文库
(2)证明：∵MN∥BF， ∴△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF. ∴MBCG＝AAMB ，HEFN＝DDNF. ∴MG＝HN，MB＝NF. 在△BMH 和△FNG 中，
∴△DCE≌△DAF. ∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE. ∵∠CDA＝90°， ∴∠EDF＝90°. ∴DE＝DF，DE⊥DF. (2)∵DE＝DF，DE⊥DF， ∴EF＝ 2DE＝ 2DF， ∴当 DE 和 DF 同时最短时，EF 最短. ∴当 DF⊥AC，DE⊥AB 时，二者最短. ∴此时点 P 与点 D 重合. ∴点 P 与点 D 重合时，线段 EF 最短.
与三角形有关的边角计算 例1：(2015年辽宁丹东)如图Z61，在△ABC中，AB＝AC， ∠A＝30°，E 为 BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线 相交于点 D，则∠D 的度数为( )
A.15°
B.17.5°
图 Z6-1 C.20°
D.22.5°
解析：∵∠ABC 的平分线与∠ACE 的平分线交于点 D， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠ACE＝∠A＋∠ABC， 即∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A.∴2∠1＝2∠3＋∠A，