随机向量自协方差阵

(1.2)
f ( x) 0
x R p

R
p
f (x)dx 1
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§1.1.3
多元变量的独立性
定义1.4：两个随机向量 X 和 Y 称为是相互独立的，若
P(X x, Y y) P(X x) P(Y y)
(1.3)
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例1-1
• 请注意：样本资料阵在形式 上与在MINITAB软件中的工 作表是完全一致的，工作表 的第i行表示第i个样品，工 作表的第j列表示对第j个变 量的观测值，变量名称常列 在表头
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§1.1.4
随机向量的数字特征
（3）设X为n维随机向量，期望和协方差存在记
则 E( X ), D( X ) , A为n n常数阵，
E ( X' AX) tr( AΣ) μ ' Aμ
对于任何随机向量 X ( X 1 , X 2 ,, X p )' 来说， 其协差阵∑都是对称阵，同时总是非负定（也称 半正定）的。大多数情形下是正定的。
• 因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:
x11 x12 x21 x22 X xn1 xn 2 x (/1) x1 p / x2 p x ( 2 ) (x1 , x 2 , , x p ) x / xnp (n)
设 X ( X 1 , X 2 ,, X n )' 和Y (Y1 , Y2 ,, Y p )' 分别为 n 维和 p 维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个 n p 矩 阵，其元素是 cov( X i , Y j )，即
cov( X , Y ) (cov( X i , Y j )), i 1,, n ; j 1,, p
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§1.1.1
随机向量
假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数 据是同时观测 p 个指标（即变量），又进行了 n 次 观测得到的，把这 p 个指标表示为 X 1 , X 2 ,, X p 常 用向量
X ( X 1 , X 2 ,, X p )'
表示对同一个体观测的 p 个变量。若观测了 n 个个体，则可得到如下表1-1的数据，称每一个个 体的 p 个变量为一个样品，而全体 n 个样品形成一 个样本。
描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述 随机向量的最基本工具还是分布函数。 定义1.2 设 X ( X 1 , X 2 ,, X p )' 是一随机向量，它 的多元分布函数是
F ( X ) F ( x1 , x2 ,, x p ) P( X 1 x1 ,, X p x p )
1.1
式中， X ( x1 , x2 , , x p ) R p，并记成X ~ F 。
多元分布函数的有关性质此处从略。
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§1.1.2
分布函数与密度函数
定义1.3：设 X ~ F ( X ) = F ( x1 , x 2 ,, x p ) ,若存在一个 非负的函数 f ,使得
rij也称为分量 X i 与 X j之间的（线性）相关系数。
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§1.1.4
随机向量的数字特征
在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分 析结果带来的影响，往往在使用某种统计分析方法之前，常 需将每个指标“标准化”，即做如下变换
j 1,2, p
表示对 j 第个变量 x j 的n次观测数值。下面为表1-1
变量
序号
1 2
…
x np
x11 x 21
x12 x22
… … …
x1 p x2 p

n
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x n1

xn 2

xnp
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§1.1.1
随机向量
对一切 x R 成立，则称 X （或 F X ）有分布 密度 f 并称 X 为连续型随机向量。 一个 p 维变量的函数 f 能作为 R p 中某个随机向量 的分布密度，当且仅当
(i) (ii )
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F ( x)

x1
xp
p
f (t1 ,t p )dt1 dt p ,
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§1.1.1
随机向量
横看表1-1，记 X( ) ( x 1 , x 2 ,, xp )' ， 1,2, n 它表示第 个样品的观测值。竖看表1-1,第 j 列的元素
X j ( x1 j , x2 j ,, xnj )' ,
对一切( X , Y )成立。若 F ( x, y ) 为( X , Y )的联合分布函 G( x) 和 H ( y)分别为 X 和 Y 的分布函数，则 X 与 Y 独立 数， 当且仅当 （1.4） F ( x, y ) G ( x ) H ( y ) 若 ( X , Y ) 有密度 f ( x, y)，用 g ( x) 和 h( y) 分别表示 X 和 Y 的分布密度，则 X 和 Y 独立当且仅当 (1.5) f ( x, y ) g ( x ) h( y ) 注意:在上述定义中， X 和 Y 的维数一般是不同的。
量样 的本 计均 算值 向
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样本协方差阵（也称为样本方差阵）的计算
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样本协方差阵（也称为样本方差阵）的计算
• 由于样本协方差阵是对称的，会话区窗口结果中只显示了 协方差阵的下三角部分，所以整个样本协方差阵全部写出 则应是：
第一章 多元正态分布
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 多元分布的基本概念 统计距离和马氏距离 多元正态分布 均值向量和协方差阵的估计
§1.5
常用分布及抽样分布
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第一章
多元正态分布
• 一元正态分布在统计学的理论和实际应用 中都有着重要的地位。同样，在多变量统 计学中，多元正态分布也占有相当重要的 位置。原因是： • 许多随机向量确实遵从正态分布，或近似 遵从正态分布； • 对于多元正态分布，已有一整套统计推断 方法，并且得到了许多完整的结果。
E ( X 1 ) 1 E ( X ) 2 2 μ E ( X) E ( X ) P P
1ห้องสมุดไป่ตู้. 6
是一个 p维向量，称为均值向量.
当 A 、B 为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质： 1.7 (1) E ( AX ) AE ( X ) (2) E ( AXB) AE ( X ) B (1.8)
• 如果采用存储功能，则存储的样本协方差阵就是整个方阵 而不是三角阵，这个矩阵对角线上的3个数74.6222、 70.2222、34.9，分别是基础焊接技术（BWT），焊接技 术提高（AWT）和焊接车间实践（PWW）三门课成绩的 样本方差。 • 样本离差阵等于样本协方差阵乘以n−1，所以例1-1样本离 差阵就是
若无特别说明，本书所称向量均指列向量
定义1.1 设 X 1 , X 2 ,, X p 为 p 个随机变量，由它们组成 的向量 X ( X 1 , X 2 ,, X p )' 称为随机向量。
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§1.1.2
分布函数与密度函数
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第一章
多元正态分布
多元正态分布是最常用的一种多元 概率分布。除此之外，还有多元对数正 态分布，多项式分布，多元超几何分布， 2 χ 多元 分布、多元 分布、多元指数 分布等。本章从多维变量及多元分布的 基本概念开始，着重介绍多元正态分布 的定义及一些重要性质。
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§1.1多元分布的基本概念
§1.1.1 §1.1.2 §1.1.3 §1.1.4 随机向量 分布函数与密度函数 多元变量的独立性 随机向量的数字特征
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称它为 p 维随机向量 X 的协方差阵，简称为 X 的协方差阵。称 cov( X , X ) 为 X 的广义方差，它 是 协 差 阵 的 行 列 式 之 值 。
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§1.1.4
随机向量的数字特征
3、随机向量X 和Y 的协差阵
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