函数的对称性与周期性(归纳总结)

解： ；
∴ ；
∴ ．
故答案为：﹣1．
15．（2018•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝ln（ x）+1，f（a）＝4，则f（﹣a）＝﹣2．
解：函数g（x）＝ln（ x）
满足g（﹣x）＝ln（ x） ln（ x）＝﹣g（x），
所以g（x）是奇函数．
函数f（x）＝ln（ x）+1，f（a）＝4，
可得f（a）＝4＝ln（ a）+1，可得ln（ a）＝3，
∴方程f（x）＝log3|x|的解个数等价于f（x）与y＝log3|x|图象的交点，由图象可得它们有4个交点，故方程f（x）＝log3|x|的解个数为4，
故选：C．
4．已知函数f（x）是R上的奇函数，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x+2）＝﹣f（x），且x∈（0，1]时，f（x）＝2x+1，则f（﹣2012）+f（2013）的值为（ ）
函数值相等
当取的自变量互为相反数时，
函数值也互为相反数
3.3函数的对称性
知识点睛
一般的轴对称：
⑴ 函数 的图象关于直线 对称 ；
⑵ 若函数 满足 ，则 的图象关于直线 成轴对称．
【练习1】（1）若函数 满足： ，则 的图象的对称轴为________；
（2）若函数 满足： ，则 的图象的对称轴为________；
证明： ．
⑶若函数 图象关于直线 对称，且关于点 对称，则函数 是周期为 的周期函数．
证明： ．
2．正弦、余弦函数的对称性及其结论
【结论】
（1）对称中心到离他最近的一条对称轴的距离为四分之一各周期；
（2）相邻两条对称轴之间的距离为半个周期；
（3）相邻两对称中心之间的距离为半个周期。
1．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）＝f（x）对x∈R恒成立，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x，则 （ ）
得f（﹣x+1）＝f（x+1），f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），即f（﹣x+2）＝f（x），f（﹣x﹣2）＝f（x），
则f（﹣x+2）＝f（﹣x﹣2），则f（x+2）＝f（x﹣2），则f（x+4）＝f（x），
则函数f（x）是周期为4的周期函数，
又当x＝0时，f（0）＝f（2），f（﹣2）＝f（0），f（0）＝f（4），∴f（2）＝f（4），
函数的对称性与周期性
3.1函数的单调性
知识回顾
1．一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ：
⑴ 增函数：如果对于 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上是增函数；
⑵ 减函数：如果对于 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上是减函数；
2．单调性：如果函数 在某个区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 在这个区间上具有单调性，区间 叫做 的单调区间．
f（4）＝f（﹣2）＝﹣（﹣2+2）2＝0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝1+2﹣1+0+（﹣1）+0＝1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）
＝[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）＝335×1+f（1）+f（2）
A． B． C． D．1
解：∵f（x+2）＝f（x）对x∈R恒成立，∴f（x）的周期为2，（x）是定义在R上的偶函数，
∴ f（ ）＝f（ ），
∵当x∈[0，1]时，f（x）＝2x，∴f（ ） ，
故选：B．
2．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）＝（ ）
3．判断函数单调性的基本方法：
⑴ 定义法：任取 ， ，判断 的正负；
⑵ 图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数；
⑶ 复合函数的单调性——同增异减．
3.2函数的奇偶性（一）
知识点睛
函数图象的对称性
轴对称
中心对称
函数示意图
奇偶性
偶函数
奇函数
满足的关系式
本质
当取的自变量互为相反数时，
A．1B．2C．3D．4
解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝f（x），即函数的周期是4，∴f（﹣2012）＝f（0），
f（2013）＝f（1），
∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝2x+1，∴f（1）＝2+1＝3，
∴f（﹣2012）+f（2013）＝f（0）+f（1）＝3．
故选：B．
6．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ）
A．﹣50B．0C．2D．50
解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，
则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
…
则有 （xi+yi）＝（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+ym）
[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣ym）]
＝m．
故选：B．
10．（2016•全国）定义域为R的偶函数f（x）为周期函数，其周期为8，当x∈[﹣4，0]时，f（x）＝x+1，则f（25）＝0．
＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，
故选：C．
7．（2017•全国）函数f（x）的定义域（﹣∞，+∞），若g（x）＝f（x+1）和h（x）＝f（x﹣1）都是偶函数，则（ ）
A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数
C．f（2）＝f（4）D．f（3）＝f（5）
解：∵g（x）＝f（x+1）和h（x）＝f（x﹣1）都是偶函数，∴g（﹣x）＝﹣g（x），h（﹣x）＝h（x），
A．335B．338C．1678D．2012
解：∵f（x+6）＝f（x），∴f（x）是以6为周期的函数，
又当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，
∴f（1）+f（2）＝1+2＝3，f（﹣1）＝﹣1＝f（5），f（0）＝0＝f（6）；
当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2，
∴f（3）＝f（﹣3）＝﹣（﹣3+2）2＝﹣1，
且f（1）＝1，f（2）＝f（﹣2）＝﹣f（2），
所以f（2）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣1，f（4）＝f（0）＝0，
f（i）＝504×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）＝1，
故答案为：1．
13．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x，都有f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x ，则f（21）＝ ．
解：∵定义域为R的偶函数f（x）为周期函数，其周期为8，当x∈[﹣4，0]时，f（x）＝x+1，
∴f（25）＝f（8×3+1）＝f（1）＝f（﹣1）＝﹣1+1＝0．
故答案为：0．
11．（2014•新课标Ⅱ）偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，f（3）＝3，则f（﹣1）＝3．
解：法1：因为偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（2+x）＝f（2﹣x）＝f（x﹣2），
故选：C．
8．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），若函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则 xi＝（ ）
A．0B．mC．2mD．4m
解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），故函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x＝1对称，
故函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x） 图象的交点也关于直线x＝1对称，故 xi 2＝m，
故选：B．
9．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y 与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则 （xi+yi）＝（ ）
注意区别如下四个关系式反映的函数性质：
① ： 有对称轴 ；
② ： 有对称中心 ；
③ ： 有周期 ；
④ ： 有周期 ．
3.6双对称
知识点睛
1．双对称性函数具有周期性．
⑴若函数 的图象关于点 ，及点 对称，则函数 是周期为 的函数．