欧拉方程求解线性非齐次高阶方程的特解待定系数法
最新几类特殊非齐次线性微分方程的特殊解44
几类特殊非齐次线性微分方程的特殊解44目录第一章引言 (2)第二章一阶非齐次线性微分方程 (3)第三章 n阶常系数齐次线性微分方程 (5)第四章 n阶常系数非齐次线性微分方程 (7)1.常数变易法 (7)2.待定系数法 (9)3.微分算子法 (13)4.拉普拉斯变换法 (18)参考文献 (21)致谢 (21)几类特殊非齐次线性微分方程的特殊解法周园园数学与信息学院数学与应用数学专业2004级指导教师：李中平摘要：本文主要阐述了求解常系数非齐次线性微分方程的四种方法：常数变易法、待定系数法、微分算子法、拉普拉斯变换法。
常数变易法是求解微分方程的一种较为完善的方法，在其发展中起着重要的作用而其也被广泛的应用到了动力系统。
当«Skip Record If...»具有某些特殊形状，可用待定系数法和拉普拉斯变换法来求解。
它们的特点是不需要通过积分而用代数方法来可求得非齐次线性方程的特解,即将求解微分方程的问题转化为代数问题来处理,因而比较简便。
微分算子法实际上是一种直接灵活运用的公式法。
关键字：线性；非齐次；通解；特解；微分算子；拉普拉斯变换Special solution of special categories of non-homogeneous linear differential equationsZhou YuanyuanCollege of Mathematics and Information, Mathematics and Applied Mathematics, Grade 2004, Instructor: Li ZhongpingAbstract: This article mainly focuses on four methods of solving non- homogenous linear differential equation with constant coefficients: method of variation of constant; method of undetermined coefficient; method of Laplace transformation and method of differential operator. The method of variation of constant is more perfect method in solving differential equation .Not only is it plays the vital role in its development, but also widely applied in dynamic system. When f(t) have some special shapes, we can use the method of undetermined coefficient and the method of Laplace transformation to solve it. Their characteristic is that it does not need to use integral but use algebraic method to obtain the particular solution of non-homogeneous linear differential equation .It can convert the problem of solving differential equations to the problemof solving algebra equation, and then becomes simpler. The method of differential operator is actually a kind of formula method used directly and flexibly.Keyword: linear; non-homogenous; general solution; particular solution; differential operator; Laplace transform第一章引言微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，它是各种精确自然科学中表达基本定律和各种问题的根本工具之一。
非齐次方程的解法
]
(1
e
n a
l
2
t
) sin
n
l
x
若f(x，t)仅含x，例如f(x)，还有更简便方法: ut a2uxx f ( x), 0 x l, t 0
设方程的解为
u( x, t) v( x, t) w( x)
则
vt
a 2v xx
v |x0 0, v |xl 0
vt
|t 0
满足:
Vtt a2Vxx f ( x, t ) V |x0 V |xl 0
(a)
V |t0 Vt |t0 0
而W(x，t)表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它
满足:
Wtt a2Wxx W |x0 W |xl 0
(b)
W |t0 ( x), Wt |t0 ( x)
若V是(a)的解，W是(b)的解，则u=V+W一定就是 原定解问题的解。
t0
u |t0 ( x), ut |t0 ( x) 0 x l
弦的振动可以分成两部分，一是强迫力，一是初 始状态，所以此时振动可以看作为仅由强迫力引起的 振动和仅由初始状态引起的振动的合成。
可设解为:
u( x, t) V ( x, t) W ( x, t) 其中V(x，t) 表示仅由强迫力引起弦振动的位移,它
n
f ( x, t) fn(t)sin
n1
l
x
(d)
其中
fn (t )
2 l
l
n
f ( x, t)sin
0
l
xdx
将(c)及(d)代入(a)的第一个式子,得到:
n1
vn(t
)
(
anπ l
常系数线性非齐次方程组特解的求法—待定系数法
+
⎜⎛ ⎜
−4 2
⎟⎞ ⎟e
t的一个特解
.
dt ⎜⎝ 1 −17 12⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠
解Q特征方程为
4－λ − 9
5
det(A－λE) = 1 −10－λ 7 = −(λ－1)(λ－2)(λ－3) = 0
1 −17 12－λ
-2-
∴ λ = 1是A的单特征根.
由定理3，令X ∗
=
⎜⎛ x ⎟⎞ ⎜ y⎟,
⎜⎝ z ⎟⎠
设特解为X∗ = (D1t 2 + D2 t + D3 )e3t (D1, D2 , D3为待定向量),
-4-
记 ⎜⎜⎛
3 ⎟⎞ − 1⎟
=
B1，
⎜⎝ 2 ⎟⎠
将特解代入原方程组：
（2D1t + D2）e3t + 3(D1t 2 + D2 t + D3 )e3t = A(D1t 2 + D2 t + D3 )e3t + B1e3t 两边约掉 e 3t ,比较 t的同次幂系数可得：
可见欲使上面矩阵的秩为 2，应取 k=14.
∴可得 d 01 = 14, d 02 = 28, d 03 = 42, 代入第二组可得：
⎧ ⎪ ⎨
3d11－9d12 d11－11d12
+ 5d13 + 7d13
= =
18 26
⎪⎩d11－17d12 + 11d13 = 41
解得： d12
=
4d13－15 6
解 Q 方程组的特征方程为
det(A－λE) =
1－λ 1 －1 1－λ
= (1－λ)2
+ 1 =0
待定系数法裂项
待定系数法裂项一、概述待定系数法是一种求解非齐次线性微分方程的常用方法之一。
它的基本思想是，假设方程的解为某些未知函数的线性组合，然后代入原方程中，通过比较各项系数得到这些未知函数的值，从而得到原方程的通解。
在待定系数法中，裂项是指非齐次项为多个函数之和的情况。
例如，对于一个形如y''+2y'+y=x^2+e^x的非齐次线性微分方程来说，它的非齐次项就是x^2和e^x两个函数相加而成，因此需要采用裂项的方法来求解。
二、裂项方法1. 一般裂项法对于形如y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的非齐次线性微分方程来说，在待定系数法中采用一般裂项法可以得到以下步骤：（1）先考虑f(x)中只含有一个函数g(x)时的情况。
根据g(x)所属类型选择相应的猜测函数u(x)，并将其代入原方程中。
（2）如果u(x)恰好满足原方程，则u(x)就是原方程的一个特解；否则需要将u(x)与其导数和二阶导数的线性组合相加，得到另一个猜测函数v(x)，再将v(x)代入原方程中。
（3）重复上述过程，直到得到一个满足原方程的猜测函数。
（4）将特解与齐次方程的通解相加，即可得到原方程的通解。
2. 叠加裂项法对于形如y''+p(x)y'+q(x)y=f1(x)+f2(x)+...+fn(x)的非齐次线性微分方程来说，在待定系数法中采用叠加裂项法可以得到以下步骤：（1）先分别考虑f1(x)、f2(x)、...、fn(x)中只含有一个函数g1(x)、g2(x)、...、gn(x)时的情况。
根据各个g(x)所属类型选择相应的猜测函数ui(x)，并将其代入原方程中，得到对应的特解yi(xi)(i=1,2,...,n)。
（2）将所有特解相加，即可得到原方程的通解。
三、常见猜测函数在待定系数法中，选择合适的猜测函数是关键之一。
下面列举几种常见类型及其对应的猜测函数：1. 常数型：f(x)=C此时猜测函数为u(x)=A。
常微分方程3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法
3
d 2x dx L[x] = 2 + p + qx = b0 + b t +L+ bntn. 1 dt dt 当 q = 0, p ≠ 0 时, 零为方程的单特征根，令 为方程的单特征根，
ϕ(t) = t(B0 + B1 +L+ Bnt )
n
为方程的二重特征根， 当 q = 0, p = 0 时, 零为方程的二重特征根，
x(t) = eα t y(t), 则方程变为: 则方程变为: 做变换
d2 y dy 2 n + (2α + p) + (α + pα + q) y = b0 + b1t +L+ bnt . 2 dt dt B0 + B1t +L+ Bnt n , α2 + pα + q ≠ 0, ϕ(t) = t(B0 + B1t +L+ Bnt n ), α2 + pα + q = 0,2α + p ≠ 0, 2 t (B0 + B1t +L+ Bnt n ), α2 + pα + q = 0,2α + p = 0,
l = max{m, n}
不是对应齐次方程 特征根时 取 对应齐次方程的 当 α + iβ 不是对应齐次方程的特征根时,取 k = 0. 特征根时 当 α + iβ 是对应齐次方程的特征根时,取 k =1.
14
的通解. 例5 求 x'' + x' − 2x = et (cos t −9;' + x' − 2x = 0的通解 特征方程
常系数非齐次高阶线性微分方程
整 个 链 条 滑 过 钉 子,即 x 8
2
代入上式得 t 3 ln(9 80) (秒)
g
9
2、 f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
解 设链条的线密度为,经过时间t, 链条下滑了x 米, 8m 10m
则由牛顿第二定律得
m d 2 x (10 x)g (8 x)g,
o
dt 2
即 x g x g , x(0) 0, x(0) 0.
x
99
解得 x(t)
1
(e
1 3
gt
1
e3
gt
) 1,
11
第二步 求如下两方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x
②
y p y q y Pm (x) e(i) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
6
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数, 得
b0
1 2
,
b1
1
因此特解为
y*
形式e为xPym*(x)e xQm (x) . 3
线性非齐次常系数方程待定系数法
bnt n
)et .（4.3.7）
做变换 x(t) et y(t), 则方程（4.3.7）变为
d2y dt 2
(2
p)
dy dt
(
2
p
q) y
b0
b1t
bnt n.
由方程（4.3.2）的结果, 我们有(4.3.8) 有如下的
特解.
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所以方程的特解 (t) 形式为
(t ) t k D(t )e( i )t t k D(t )e( i )t t k [P(t) cos t Q(t) sin t]et , (k 0,1)
其中 D(t) 为t 的m次多项式,
P(t) 2 Re{D(t)},Q(t) 2 Im{D(t)}.
原方程的通解为
x
c1et
c2e5t
3 4
tet
t2
12 5
t
62 . 25
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• 作业：习题4.2： 2(6,7,8,9,14,15,18,20)
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B2 4, B1 4, B0 2.
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因此, 原方程的一个特解为
(t) 2 4t 4t 2.
例2 求方程
d2x dt 2
dx dt
4t 3
的通解.
解: 对应的齐次方程的特征根为 1 0, 2 1.
因此, 齐次方程通解为
x(t) c1 c2et .
非齐次线性微分方程的几种解法
摘要我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。
关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，目录摘要 (1)引言 (3)1.n阶线性齐次微分方程的一般理论: (3)2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论: (6)2.1常数变易法 (6)2.2待定系数法: (9)2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 (9)2.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 (11)2.3拉普拉斯变换法 (13)总结 (15)参考文选 (16)致谢 (17)引言非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。
非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。
这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。
下面我们主要介绍求特解的方法。
1.n 阶线性齐次微分方程的一般理论:()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++= （1） ()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++= （2）定理1：设方程（2）有n 个线性无关的解，这n 个线性无关的解称为方程的基本解组。
定理2：方程（2）的基本解组一定存在。
方程（2）的基本解组的个数不能超过n 个。
定理3：n 阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。
定理4：齐次方程（2）的n 个解12,,,n y y y 在其定义区间I 上线性无关的充要条件是在I 上存在点0x ，使得它们的朗斯基行列式0()0W x ≠。
目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。
下面我们研究几个例子。
例：方程2)(1220x y xy y '''--+=的两个解是121,ln 121x xy x y x+==-- ∴ 它的通解为121ln 121x x y C x C x+=+-- 定理5：设12,,,n y y y 是方程（2）的任意n 个解。
高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法
高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法
高阶常系数线性非齐次微分方程的解法比一般的非齐次微分方程复杂的多，而采用正规的分步法或积分复原法来求解，效率低下易出现错误，所以需要采用非常规的解法来加快求解的效率，提高解的准确性。
经过一系列的研究，目前已经形成了三种主要的非常规解法：
一是拉格朗日多元展开法。
该法是将微分方程展开成多元多项式求解，计算结果精确，但计算比较复杂，不适合大规模计算。
二是Kowalewsky-Trunov展开法。
该法是通过对称性质对“元胞”或者“子空间”进行展开，以求解非齐次线性微分方程，这一方法有很强的鲁棒性，同时可以有效避免数值计算错误。
三是Padé拆分法。
该法将线性常系数微分方程根据代数特性进行拆解和重新组合，从而达到快速精确求解的目的。
这三种非常规解法都具有自身独特的优点，以及不同的应用场景，有效的提高了求解高阶常系数线性非齐次微分方程的效率，也为科学研究提供了更好的解决方案。
欧拉方程的求解
欧拉方程的求解1.引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕.但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉（Leonhard Euler,1707--1783）.几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数”欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用π表示圆周率、e 表示自然对数的底、()f x 表示函数、∑表示求和、i 表示虚数单位以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献[1]中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法.变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如K y x =的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难.本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理.最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2.几类欧拉方程的求解定义1 形状为()1(1)110n n n n n n y a x y a xy a y x ---'++++= （1）的方程称为欧拉方程. （其中1a ，2a ，，1n a -，n a 为常数）2.1二阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）二阶齐次欧拉方程： 2120x y a xy a y '''++=. （2） (其中1a ,2a 为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边y ''、y '和y 的系数都是幂函数（分别是2x 、1a x 和02a x ），且其次依次降低一次.所以根据幂函数求导的性质，我们用幂函数K y x =来尝试，看能否选取适当的常数K ，使得K y x =满足方程（2）. 对K y x =求一、二阶导数，并带入方程（2），得212()0K K K K K x a Kx a x -++=或212[(1)]0K K a K a x +-+=,消去K x ，有 212(1)0K a K a +-+=. （3）定义2 以K 为未知数的一元二次方程（3）称为二阶齐次欧拉方程（2）的特征方程.由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幂函数K y x =就是方程（2）的解.于是，对于方程（2）的通解，我们有如下结论：定理1 方程（2）的通解为(i) 1112ln K K y c x c x x =+, （12K K =是方程（3）的相等的实根） (ii)1212K K x c x y c +=, (12K K ≠是方程（3）的不等的实根) (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（3）的一对共轭复根）（其中1c 、2c 为任意常数）证明 （i ）若特征方程（3）有两个相等的实根: 12K K =，则11K x y =是方程（2）的解, 且设2()u x y =，11()K y x u x =（()u x 为待定函数）也是方程（2）的解（由于21()y u x y =，即1y ，2y 线性无关），将其带入方程（2），得 11122111112[()2]()0K K K x K K u K xu x u a x K u xu a x u ''''-+++++=,约去1K x ，并以u ''、u '、u 为准合并同类项，得22111112(2)[(1)]0x u K a xu K a K a u '''++++-+=.由于1K 是特征方程（3）的二重根，因此21112(1)0K a K a +-+=或112(1)0K a +-=,于是，得20x u ux '''+=或0xu u '''+=,即 ()0xu ''=,故 12()ln u x c x c =+.不妨取()ln u x x =，可得方程（2）的另一个特解12ln K y x x =,所以，方程（2）的通解为1112ln K K y c x c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根: 12K K ≠，则11K x y =，22K y x =是方程（2）的解. 又2211()21K K K K y x x y x-==不是常数，即1y ，2y 是线性无关的. 所以，方程（2）的通解为1212K K x c x y c +=. （其中1c ，2c 为任意常数）（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：1,2K i αβ=±（0β≠），则 ()1i x y αβ+=，()2i y x αβ-=是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有()ln 1(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ+===+，()ln 2(cos(ln )sin(ln ))i i x x x e x x i x y αβαβαββ--===-,显然，12cos(ln )2y y x x αβ+= 和12sin(ln )2y y x x iαβ-=是方程（2）的两个线性无关的实函数解. 所以，方程（2）的通解为12cos(ln )sin(ln )x x x x y c c ααββ=+.（其中1c ，2c 为任意常数）例1求方程20x y xy y '''-+=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为(1)10K K K --+=，即 2(1)0K -=,其根为： 121K K ==,所以原方程的通解为12(ln )y c c x x =+.（其中1c ，2c 为任意常数）例2 求方程280x y xy y '''--=的通解.解 该欧拉方程的特征方程为2(11)80K K +---=，即 2280K K --=,其根为： 12K =-，24K =，所以原方程的通解为4122c y c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）例3 求方程的通解2350x y xy y '''++=.解 该欧拉方程的特征方程为(1)350K K K -++=，即 2250K K ++=,其根为： 1,212K i =-±,所以原方程的通解为121[cos(2ln )sin(2ln )]y c x c x x=+. （其中1c ，2c 为任意常数）2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：212()x y a xy a y f x ++='''. （4）（其中1a ，2a 为已知实常数，()f x 为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设1121a K K =--，212a K K =, （5）则方程（4）变为212122)(1()K a x y K K xy K y f x +--+='''，即212()()()x xy K y K xy K y f x ---=''', （6）根据韦达定理，由（5）式可知，1K ，2K 是一元二次代数方程 212(1)0K a K a +-+= （3） 的两个根.具体求解方法：定理2 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则方程（4）的通解为 212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰. （7）证明 因为1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，于是方程（4）等价于方程（6），令 2xy K y p '-=,代入方程（6）并整理，得1()K f x p x xp =-' 和 2K p y y x x '-=, 解之，得方程（4）的通解为212111[()]K K K K y x x x f x dx dx ----=⎰⎰.由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3 若1K ，2K 为方程（2）的两个特征根，则（i ）当12K K =是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为 11111[ln ()ln ()]K K K x x f x dx x x f x dx y x -----⋅=⎰⎰, （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解为112211121[()()]K K K K x x f x dx x x f x dx K K y ------=⎰⎰, （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为 111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]y x x x x f x dx x x x f x dx αααβββββ----=-⎰⎰ 证明 （ii ）当12K K ≠是方程（2）的互不相等的的实特征根时， 将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得21212112212121121111211212112111[()]1[()]1{[()]}1[]()()()K K K K K K K K K K K K K K K K K K K x x x f x dx dx x x f x dx dx K K x x x d x f x dx K K x x K K y x f x dx x f x dx x f x dx -------------------=-===--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（8） （iii ）当1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根时，122K K i β-=， 再由欧拉公式有1ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ+===+, 2ln [cos(ln )sin(ln )]K i i x x x e x x i x x αβαβαββ--===-, 将其代入(8)式，整理可得方程（4）的通解为111[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]x x x x f x dx x x x f x dx y αααβββββ-----=⎰⎰（i ）的证明和（ii ）类似.例1求方程22234ln y xy y x x x x '''-+=+的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2440K K -+=， 特征根为 122K K ==,所以由定理3，原方程的通解为23223222232122223212[ln (ln )ln (ln )]111{ln [(ln )ln ][(ln )(ln )]}23211ln [(ln )(ln )]62x x x x x dx x x x x x dx x x x c x x c x x c x x x x y x x c --+-⋅+++-+-+++===⎰⎰ （其中1c ，2c 为任意常数）例2求方程2322x x y xy y x e -+='''的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2320K K -+=，特征根为 12K =，21K =，所以由定理3，原方程的通解为23323212212()()x x x x x xx x e dx x x x e dxx e c x xe e c c x c x xe y x ---=+---=++=⎰⎰（其中1c ，2c 为任意常数）例3求方程2cos(ln )2x x x y xy y -+='''的通解. 解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为2220k k -+=，特征根为 1,21K i =±,所以由定理3，原方程的通解为212122cos(ln )]cos(ln )cos(ln )11sin(ln )cos(ln )cos(ln ))sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )sin(ln )[sin(ln )]{sin(ln )(ln )cos(ln )[ln(cos(ln )]}[][sin(ln )ln x x x x dx dx x x x dx x dx x x x x c x y x x x x x x x x x x c x x c x c x x x ----+===+++=++⎰⎰⎰⎰cos(ln )ln(cos(ln ))]x x （其中1c ，2c 为任意常数）在定理3中，若令()0f x =，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解.推论 方程（2）的通解为(i)1112ln K K x c x x y c +=, （12K K =是方程（2）的相等的实特征根） (ii)1212K K x c x y c +=, （12K K ≠是方程（2）的不等的实特征根） (iii)12cos(ln )sin(ln )x x c x x y c ααββ+=.（1,2K i αβ=±是方程（2）的共轭复特征根）（其中1c ，2c 为任意常数）2.3三阶非齐次欧拉方程的求解（常数变易法）三阶非齐次欧拉方程：32123()x y a x y a xy a y f x +++=''''''.（9） （其中1a ，2a ，3a 为常数）（9）对应的齐次方程为321230x y a x y a xy a y +++=''''''. （10） 特征方程为321123(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=.（11）定理4 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程22122112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=的根，则（9）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰ . （12） 证明 根据条件1K y cx =（c 为任意常数）是方程（10）的解. 设1()K y c x x =是方程（9）的解（其中()c x 是待定的未知数）， 将其代入方程（9），整理得1121111112(3)3231111213()(3)()[3(1)2]()[(3)(2)]()()K c x K a x c x K K a K a x c x K a K a a K a x c x x f x ---+-''''''+++-++++-+-++= （13）因为1K 是（11）的根，则321111213(3)(2)0K a K a a K a +-+-++=,于是（13）式化为1(3)121111112()(3)()[3(1)2]()()K c x K a x c x K K a K a x c x x f x -+--''''''+++-++=（14）这是以()c x '为未知函数的二阶欧拉方程. 设2K 为（14）对应的齐次方程的特征方程21111112(31)[3(1)2]0K K a K K K a K a ++-+-++=, （15）的根，则221121(23)(2)()[()]K K K a K K c x x x x f x dx dx -+++-'=⎰⎰.从而2211211(23)(22){[()]}()K K K a K K a x x x f x dx dx dx c x -++++-=⎰⎰⎰. 故方程（1）的通解为12211211(231)(22){[()]}K K K K a K K a x x x f x dx dx dx y x -++-++-=⎰⎰⎰.定理5 设1K 是方程（11）的根，2K 是方程（15）的根，则（i ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单实根，则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++=-++-⎰⎰⎰（ii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的单虚根，则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β=(iii ）当1K 是方程（11）的单实根，2K 是方程（15）的重实根，则（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰,（iv ）当1K 是方程（11）的三重实根，方程（15）变为2210K K ++=，有21K =-，则（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K y x x x x f x dx x x f x dx dx -+-+-=-⋅⎰⎰⎰. 证明 （i ）因为2K 是方程（15）的单实根，得（14）的通解为212121121(2)1(3)(2)31211[()()](32)1()K K K K K a K K a x x f x dx x x f x dx K K a c x -++-++++--++-='⎰⎰则（9）的通解为1212121121(2)1(3)(2)3121[()()](32)1K K K K K K a K K a x y x x f x dx x x f x dx dx K K a -++-++++-=-++-⎰⎰⎰（ii ）因为2K 是方程（14）的单虚根，此时方程（15）有一对共轭虚根1,22K =得（14）的通解为11(2)(2)[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]()K K x x x x f x dx x x x f x dx c x αααβββββ-++-++-='⎰⎰则（9）的通解为111(2)(2){[sin(ln )cos(ln )()cos(ln )sin(ln )()]}K K K x x xx f x dx x x x f x dx dxy xαααβββββ-++-++-=⎰⎰⎰（其中11132K a α--=，β=（iii ）因为2K 是方程（15）的重实根，得（9）的通解为121212(2)(2){[ln ()ln ()]}K K K K K K x x x f x dx x x f x dx dx y x -++-++-⋅=⎰⎰⎰.（iv ）当1K 是方程（10）的三重实根（1133a K =-），方程（15）变为222210K K ++=，有21K =-，将1133a K =-，21K =-代入（12）式得11(1)11{[()]}K K y x x x x f x dx dx dx -+--=⎰⎰,对上式分部积分得（9）的通解为111(1)(1)1{[ln ()ln ()]}K K K x x x x f x dx x x f x dx dx y -+-+-⋅-⋅=⎰⎰⎰.例1 求三阶欧拉方程32366x y x y xy y x -+-=''''''的通解. 解 原方程对应的齐次方程为323660x y x y xy y -+-='''''',其特征方程为3261160K K K -+-=，解得其特征根为1，2，3，取 11K =， 将11K =，13a =-，26a =，代入方程（15），得2220K K -=,解得21K =或0，利用定理5（i ）的通解公式有323212311[]ln 22y x x x dx x dx dx x x c x c x c x --=-=+++⎰⎰⎰. （其中1c ，2c ，3c 为任意常数）例2 求三阶欧拉方程3241313x y x y xy y x ''''''-+-=的通解. 解 原方程对应的齐次方程为32413130x y x y xy y ''''''-+-=,其特征方程为21613()()0K K K -+-=，从而解得特征单实根为11K =，将11K =，14a =-，213a =代入方程（15），得到222250K K -+=，解得 1,2212i K =±. 令212i K =+，则1α=，2β=， 利用定理5（ii ）的通解公式有33213{[sin(2ln )cos(2ln )cos(2ln )sin(2ln )]}211ln [sin(2ln )cos(2ln )]816xx x x dx x x x dx dxx x c x c x c x y x ---=+-+=⎰⎰⎰（其中1c ，2c ，3c 为任意常数）2.4 n 阶齐次欧拉方程的求解（求形如K y x =的解）令K y x =是方程（1）的解，将其求导（需要求出y '、y ''(1)n y -、()n y ）代入方程（1），并消去K x ，得 1(1)(1)(1)(1)(2)0n n K K K n a K K K n a K a ---++--++++=. (16）定义3 以K 为未知数的一元n 次方程（16）称为n 阶齐次欧拉方程（1）的特征方程.由此可见，如果选取k 是特征方程（16）的根，那么幂函数k y x =就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：定理6 方程（1）的通解为112211n n n n y c y c y c y c y --=++++（其中1c ，2c 1n c -，n c 为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：例1 求方程4(4)3(3)281550x y x y x y xy '''+++=的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)8(1)(2)15(1)50K K K K K K K K K K ---+--+-+=,整理，得2(22)0K K K ++=，其根为]cos(ln k β120K K ==，3,41K i =-±，所以原方程的通解为3412ln cos(ln )sin(ln )c cy c c x x x x x=+++. （其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）例2 求方程(4)(3)432670x y x y x y xy y ++++='''的通解. 解 该欧拉方程的特征方程为(1)(2)(3)6(1)(2)7(1)10K K K K K K K K K K ---+--+-++=，整理，得410K +=，其根为1,2K i =-，3,4K i =（即一对二重共轭复根），所以原方程的通解为1234cos(ln )sin(ln )ln cos(ln )ln sin(ln )y c x c x c x x c x x =+++.（其中1c ，2c ，3c ，4c 为任意常数）3.结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在0x >范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在0x <范围内对其求解，则文中的所有ln x 都将变为ln()x -，所得的结果和0x >范围内的结果相似.4.致谢经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础.其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.最后，自己一定要有坚持不懈的精神.毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持.要相信“有付出就一定会有所收获”的.在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授.胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！5、参考文献[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].第3版.北京：高等教育出版社，2006:142-144.[2]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第3版.北京：高等教育出社,1999:87-199.[3]钟玉泉.复变函数论[M].第3版.北京：高等教育出版社，2003:10-11.[4]胡劲松.一类欧拉方程特解的求解.重庆科技学院学报[J],2009,11(2):143-144.[5]胡劲松，郑克龙.常数变易法解二阶欧拉方程.大学数学[J],2005,21(2):116-119.[6]米荣波，沈有建，汪洪波.三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法.海南师范大学学报[J]，2008,21(3):260-263.[7]胡劲松.齐次欧拉方程的另一种求解方法.重庆工学院学报[J],2004,18(1):4-748.[8]冀弘帅.认识伟大的数学家----欧拉.数学爱好者[J],2006，10：52-53.[9]卓越科学家欧拉.中学生数理化(北师大版)[J],2007,Z2: 101-102.。
非齐次欧拉-柯西微分方程的一种初等解法
2016年12月岭南师范学院学报Dec. 2016第37 卷第 6 期JOURNAL OF LINGNAN NORMAL UNIVERSITY V o l. 37 N o. 6非齐次欧拉-柯西微分方程的一种初等解法邓 勇(喀什大学数学与统计学院，新疆喀什844006)摘要：探讨了具有特殊非齐次项的非齐次欧拉一柯西方程的待定系数解法，给出了相应方程的特解形式，从而使常系数线性微分方程的相关理论在一类变系数线性微分方程上得到了推广.关键词：非齐次欧拉-柯西方程；待定系数法；特解中图分类号：〇175.1文献标志码：A文章编号：1006 — 4702(2016)06 — 0028 — 04欧拉-柯西方程是本科《常微分方程》课程中最先引入的高阶变系数微分方程（见[1] 一[3 ]).在讲授这门课程的一次习题课中，作者引入了 一个特殊的非齐次欧拉一柯西方程作为思 考题，结果相当一部分学生都采用了待定系数法求解.对此，笔者感到很惊讶！按道理，待定系 数法只适用于解常系数线性微分方程，但同学们坚持用待定系数法却得到了正确答案.这是机 缘巧合，还是一种必然？为此，笔者通过深入研究发现：若欧拉一柯西方程右边的函数具有某 种特殊形式，则其特解也有类似于常系数线性微分方程标准待定系数法规定的形式.可见，对 某些特定的非齐次欧拉一柯西方程，在不使用参数或变量替换的情况下，依然可将其转化为常 系数线性微分方程后获解.假设工>0,通过简单的变量代换=^，齐次欧拉-柯西方程可化为常系数线性方程.因 此，若非齐次欧拉-柯西方程x2 y，-\~a x y，-\~b y~ f i x),x^>0(1)右边的函数/(工）是单项式，则/(e〇是一个指数函数；若非齐次欧拉-柯西方程右边的函数/ (■r)是单项式和ln_r的非负整数幂的乘积，则/(e O是单项式和指数函数的乘积.同时，因为变 换后的方程已经是一个常系数线性非齐次方程，且非齐次项是指数函数与单项式的乘积，属于 常系数线性非齐次方程待定系数法中的特殊函数，所以可直接应用待定系数法来求其特解.这 样就得到了求变系数非齐次欧拉一柯西方程特解的待定系数法.首先，考虑右边的函数是单项式的二阶非齐次欧拉一柯西方程收稿日期：2016 — 09 —18作者简介：邓勇，男，喀什大学数学与统计学院教授，硕士生导师.第6期邓勇：非齐次欧拉-柯西微分方程的一种初等解法29x2y，-\~a x y，~\~b y~A x a,x^>0(2)(I )如果《e R不是（2)的特征方程的根，那么根据如上讨论，可设h=C f为方程的特 解.将心代入（2)可得(a(a—1) aa~\~b)Cxa~A x a因为已假设工>〇且《不是特征方程的根，所以由上式可直接解出c=-一^^A,,,.a(a—丄）十aa十6 (n)如果《是特征方程的根，那么按如上方法，用变量代换工=e'，欧拉-柯西方程（2 )可转 化为常系数线性方程：y，Jr a i y/Jrb iy=A ea l(3)显然（3)的特解形式是&(〇=C一e%其中&是特征根《的重数.于是，二阶非齐次欧拉-柯西 方程（2)的特解形如(ln:^.经过上述分析和讨论，可得如下定理：定理1对二阶非齐次欧拉-柯西方程:c2/+虹_y'+6_y=A f(工>0 )，其中a e R，其特解 心（工)具有以下形式：(1)若《不是特征方程的根，则心（工）;(1〇若《是特征方程的&重根，则心（工）=<^^(1!1：^.对更为复杂的非齐次欧拉-柯西方程x2yu a x y；-\~b y~A x a P m(\n x),x^>0(4)其中a e U d r n)是以ln:c为变量的m次多项式，m为正整数.对其进行类似的分析讨论可 得：定理2对二阶非齐次欧拉-柯西方程（4)，其特解&U)具有如下形式心（工）=(C。
常微分方程3.4线性非齐次常系数方程的待定系数法
高阶线性非齐次常系数方程的待定系数法
总结词
通过比较方程的系数和初始条件，求解出待定系数的 值。
详细描述
对于高阶线性非齐次常系数方程，我们可以将其表示为 $y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + p_2(x)y^{(n-2)} + cdots + p_n(x)y = q(x)$ 的形式。通过比较方程的系数和初始 条件，我们可以求解出待定系数的值。具体来说，将方 程两边同时除以 $y$，得到 $frac{y^{(n)}}{y} + p_1(x)frac{y^{(n-1)}}{y} + p_2(x)frac{y^{(n-2)}}{y} + cdots + p_n(x) = frac{q(x)}{y}$。然后，将等式两边积 分，得到 $ln |y| + int p_1(x) dx = int frac{q(x)}{y} dx$。 最后，通过求解这个方程，我们可以得到 $y$ 的通解。
对未来研究的展望
01
进一步研究待定系数法在其他 类型微分方程中的应用，如高 阶微分方程、偏微分方程等， 以拓展该方法的应用范围。
02
探讨待定系数法的理论依据和 数学原理，深入研究其内在机 制和性质，为该方法的改进和 完善提供理论支持。
03
结合数值计算和计算机技术， 研究如何提高待定系数法的计 算效率和精度，以适应大规模 复杂问题的求解需求。
定义与性质
01
线性
方程中的未知函数和其导数都是 一次的，即形式为 y''+py'+qy=f(x)。
非齐次
02
03
常系数
与某个已知函数f(x)有关，即形 式为y''+py'+qy=f(x)。
待定系数法求解微分方程的特解的一点探究
课程教育研究Course Education Research2021年第30期待定系数法用于常系数微分方程ay″+by′+cy=g(t),a,b,c为任意常数(1)右端g(t)是某些基本函数的情况,常见的有多项式、指数函数、正弦(或余弦)函数以及它们的某种乘积组合。
这种方法的特点就在于不需通过积分运算,而用代数方法即可求得非齐次线性微分方程的特解,即将求解微分方程的问题转化为某一个代数问题来处理,因而比较简便。
同时,待定系数法是一种常见的求解常系数非齐次微分方程的方法,该方法推广到求解三阶,四阶甚至更高阶的微分方程。
值得注意,在此类型的求解过程中正确写出特解形式是待定系数法的关键问题。
在国内外许多教材中得出,若非齐次项g(t)为多项式与三角函数的乘积P n(t) eαt sin(βt)或P n(t)eαt cos(βt)的单个表达式,其中P n(t)是最高次幂为n的实值多项式,α,β为实数,结合三角函数的性质,方程(1)的特解需设为:[(c0t n+c1t n-1+…+c n)cos(βt)+(d0t n+d1t n-1+…+d n)sin(βt)]eαt(2)若无说明,本文均不考虑α±iβ是代数方程ay2+by+c=的共轭特征根。
将特解(2)带入方程(1)中,通过待定系数法求出实数c j,d j(j=0,1,…,n),继而获得微分方程的特解。
在此处,我们不可避免地提出疑问,对于g(t)=P n(t) eαt cos(βt),其特解是否能写成如下:(q0t n+q1t n-1+…+q n)·eαt(Acos(βt)+Bsin(βt))(3)三项相乘的形式,其中,q0,q1,…,q n,C,K均是实数。
事实上,通过具体例题,我们可以判断形式(3)是不合理的,后文我们将从理论上推导,证明特解形式(2)的正确性。
在文献[1]和[2]中,对于g(t)是两项相加的情形时,即g(t)=[P n(t)cos(βt)+Q m(t)sin(βt)]eαt,相应的特解假设为Y(t)=[2Re(D(t))cos(βt)+2Im(D(t))sin(βt)]eαt,其中,D(t)为t的l次多项式,l=max{n,m}。
微分方程解法的十种求法(非常经典)
微分方程解法的十种求法(非常经典)本文将介绍微分方程的十种经典求解方法。
微分方程是数学中重要的概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。
通过研究这十种求解方法，读者将更好地理解和应用微分方程。
1. 变量可分离法变量可分离法是最常见和简单的微分方程求解方法之一。
该方法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。
通过将方程两边分离变量，即把f(x)和g(y)分别移到不同的方程一边，然后进行积分，最后得到y的表达式。
2. 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)的微分方程。
通过令v=y/x，将微分方程转化为dv/dx=g(v)，其中g(v)=F(v)/v。
然后再使用变量可分离法求解。
3. 线性微分方程法线性微分方程法适用于形如dy/dx+a(x)y=b(x)的微分方程。
通过乘以一个积分因子，将该方程转化为可以进行积分的形式。
4. 恰当微分方程法恰当微分方程法适用于形如M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的微分方程。
通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数关系，如果满足一定条件，则可以找到一个函数u(x,y)，使得u满足偏导数形式的方程，并且通过积分得到原方程的解。
5. 一阶线性常微分方程法一阶线性常微分方程法适用于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，然后再利用待定系数法找到特解，最后求得原方程的通解。
6. 二阶常系数齐次线性微分方程法二阶常系数齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=0的微分方程。
通过设y=e^(mx)，将微分方程转化为特征方程，然后求解特征方程得到特征根，利用特征根找到原方程的通解。
7. 二阶非齐次线性微分方程法二阶非齐次线性微分方程法适用于形如d²y/dx²+a1dy/dx+a0y=F(x)的微分方程。
通过先求齐次线性方程的通解，再利用待定系数法找到非齐次线性方程的特解，最后求得原方程的通解。
高阶常系数非齐次微分方程特解的求法
高阶常系数非齐次微分方程特解的求法1 微分方程概述微分方程是表示具有时间和空间性质的模型系统的改变过程的数学方程。
它是建立在微分学基础上的一种数学描述，用来描述函数的时间变化的过程的数学工具，表达了可变量之间有关性的数学隐喻。
2 高阶常系数非齐次微分方程高阶常系数非齐次微分方程是在数学领域中一般称之为线性微分方程，其中微分阶次大于一，而系数都是常数。
高阶常系数非齐次线性微分方程是指右端为0，且其系数常数都不等于0的非齐次线性微分方程。
它与一阶常系数非齐次线性微分方程最大的不同是，一阶线性微分方程只含有一阶导数，而高阶常系数非齐次线性微分方程含有多个阶导数。
3 高阶常系数非齐次微分方程具体求法高阶常系数非齐次微分方程的求法是由一般解来确定特解。
通常可以采用欧拉法，即将微分方程化为一组常微分方程，再给出一组解析解，最后对解析解合成得到一般解，因而求得特解。
例如，考虑非齐次微分方程：y''（t）+cosx（t）y'（t）+sinx （t）＝te（t）将此方程化为一组常微分方程：y'（t）＝v（t）v'（t）＝-cosx（t）v（t）-sinx（t）+te（t）解得解析解：y（t）＝M1·te（t）+M2·tsinx（t）+M3·tcosx（t）+M4·sin²x（t）+M5·sinxcosx（t）+M6·cos²x（t）其中，M1，M2，M3，M4，M5，M6均为常数，合成出一般解，最后得到特解：y（t）＝te（t）+A·tsinx（t）+B·tcosx（t）+C·sin²x（t）+D·sinxcosx（t）+E·cos²x（t）以上就是求高阶常系数非齐次微分方程特解的求法。
它是比较常用的一种求法，可以用来求解高阶常系数非齐次微分方程。
非齐次常系数线微分方程的特殊解法(1)
非齐次常系数线性微分方程的特殊解法摘要：本文首先给出了升阶法的定义，以及利用升阶法求常微分方程的特解，然后给出几个定理及其证明，运用这些定理可以求解非齐常系数线性微分方程，此为一般的方法.最后将所有常见的几种类型的微分方程归纳为一类，使得解方程的过程得到了有效的简化.关键词：非齐次；常系数；线性；解法1.引言线性微分方程在常微分方程学中占有一定的地位，其中，研究非齐常系数线性微分方程的解法对进一步研究其他更复杂的常微分方程具有指导意义.微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。
牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。
后来瑞士数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究近几年，国内外学者对非齐常系数线性微分方程的解法也有许多研究：2005年11月，唐烁在安徽教育学院学报第二十三卷第六期发表的《常系数线性非齐次微分方程组的初等解法》中利用初等方法，直接得到两个未知函数的一阶常系数线性非齐次微分方程组的通解方式.2007年4月，赵辉在安徽电子信息职业技术学院学报第六期发表的《二阶常系数线性非齐次微分方程的一种特殊解法》中对二阶常系数非齐微分方程运用了一种特殊的解法，使得求解此方程变的方便快捷.2008年6月，陈新明、胡新姣在大学数学第二十四卷第三期发表的《常系数线性非齐次微分方程的简单解法》中得到的求n阶常系数线性非齐次微分方程一般解更方便的方法，以及几种特殊情形的表达式.对于非齐次方程，我们的解法是通解加特解得方法，所谓通解，就是先解出非齐次方程组所对应其次方程组的基础解系，然后再随便找一个特解满足非齐次方程组即可，然后把它们相加组合起来，就是非其次方程的解本文将给出非齐次常系数线性微分方程的一些解法，有助于以后更简便的求解这类方程。
高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程的解法微积分是现代数学的一个十分重要的分支，而微分方程则是微积分最为重要的应用之一。
微分方程可以描述随时间或空间变化的物理量之间的关系，如小球的运动轨迹、电路中电流变化等等。
其中，常微分方程是指未知函数与该函数的导数之间的关系，而高阶常微分方程则是指未知函数与其高阶导数之间的关系。
解常微分方程的最基本方法是变量分离法，但是对于复杂的高阶常微分方程而言，这种方法可能并不适用。
在这篇文章中，我们将介绍几种解高阶常微分方程的方法。
一、特征方程法特征方程法适用于具有常系数的线性齐次方程，即形如$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_1 y'+a_0y=0$ 的方程。
通过假设其解形如 $y=e^{rt}$，我们可以得到特征方程 $r^n+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_1r+a_0=0$。
然后，我们可以使用代数方法解出 $r$，并得到解的通解。
例如，对于方程$y''+4y'+3y=0$，其特征方程为$r^2+4r+3=0$，解得 $r=-1,-3$。
因此，其通解为 $y=c_1e^{-t}+c_2e^{-3t}$，其中$c_1$ 和 $c_2$ 是常数。
二、欧拉方程法欧拉方程法适用于形如$ax^2y''+bxy'+cy=0$ 的方程，其中$a$、$b$、$c$ 为常数。
通过假设其解形如 $y=x^r$，我们可以将方程化为 $r(r-1)+\frac{b}{a}r+\frac{c}{a}=0$ 的形式，再使用代数方法解出 $r$ 并得到解的通解。
例如，对于方程 $x^2y''-5xy'+8y=0$，其欧拉方程为 $r(r-1)-5r+8=0$，解得 $r=2,3$。
因此，其通解为 $y=c_1x^2+c_2x^3$，其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是常数。
三、待定系数法待定系数法适用于具有特定形式的非齐次方程，即形如$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_1 y'+a_0y=f(x)$ 的方程。
4-18-求解线性非齐次高阶方程的特解-常数变易法
4.3非齐次高阶线性方程特解的常数变易方法、叠加原理(Use the method of Variation of Constants to find particular solution tononhomogeneous higher order Linear ODE)［教学内容］1.介绍非齐次线性方程特解的常数变易法• 2.介绍非齐次线性方程特解的叠加原理3介绍一些特殊求解方法(乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式)［教学重难点］重点是知道常数变易法求解非齐次线性方程的特解；难点是如何给出未知函数满足的方程•［教学方法］预习1、2、3;讲授1、2、3［考核目标］1.灵活运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解•2.知道非齐次线性方程特解的叠加原理3知道一些特殊求解方法(乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式) 1.常数变易法求解非齐次线性方程的特解(以二阶微分方程为例)(1)引例(1)求出方程y'_y 二esc x ; (2) t2x''-4tx'• 6x =36 ：上的通解. 这里f(x)=cs(x=^^和f (t) =36—不是多项式函数、不是指数函数、不是可以用形式特s i rx t解的待定系数法来求解方程的特解.2d x dx⑵解法思路：考察2 p(t) q(t)x =f(t) (**).为了求出方程(** )的一个特解，先dt dtd x dx考虑相应的二阶齐次线性方程费P⑴-q(t)x 5)，假定已知齐次线性方程的基本解组X1(t), X2(t)，则齐次线性方程的通解为x(t)二C1X1(t) C2x 2 (t)，其中C1,C2为常数.现假定方程(** )具有形如~(t^c1(t)x1(t) c2(t)x2(t)的特解(这就是常数变易法叫法由来！)经计算得到~'(t)珂S'(t)X1(t) C2'(t)X2(t)］［C1(t)Xjt) C2(t)X2'(t)］，注意到将其代入原方程(** )只得一个等式，而这里有两个未知函数C1(t),C2 (t)，因此我们添加一个限制条件［cjtjx/t) • c2'(t)x2(t)］ =0 ；进一步求二阶导数得到~''(t)二[C1(t)X「(t) C2(t)X2''(t)] [C1'(t)X「(t) C2'(t)X2'(t)]，将~(t), ~'(t), ~''(t)代入原方程得到,C1(t)[x「p(t)x「q(t)x』C2(t)【X2'' P(t)X2‘ q(t)X2] G'x, C2‘X2' = f(t),注意到x1(t), x2(t)为方程(* )的解，因此上述左端第一项和第二项都为零，即得到如下方XC'+XG' = 0 . 一 ...程组丿11 2 2,由此运用克莱姆法则得到x1'c1^x2'c2^f(t)0 X2f(t) X2'W[X i,X2]X10,X i' f(t),C2 = ------------------------W[XiX]里W[X i,X2] X iX iX2为Wronski行列式，是不为零的(为什么？)X2‘最后对上面两个等式两边同时关于变量t积分可得c1(t), c2(t).例56求解y''・y =csc X的一个特解解：第一步：注意到原方程已是标准形式了，相应的齐次方程为y'' • y = 0，其特征方程为九2 +1=0，特征值为打,2 =±i •于是相应的基本解组为y r = cos X, y2 =sin X .第二步：假定原方程具有如下特解~(x) = &(x)y r• c2(x)y 2，于是由常数变易法知, Ci")满足膵;:応)，解得C i'(x)0 sin Xcscx cosxcosx sinx-si nx cosxG'(x)二cosx—sin Xcscx cosxcosx sin X sin X一sin X cosx于是得到，s(x) =—x + a, c2(x) =ln |sinx | +伏其中a，为任意常数特别地，取a二0, B = 0得到所求特解为~(x)=-x cos X ln| sin X | sin X .例57. Find a particular solution to the differential equation y''+2y'+y = e^ln X .Solution (i) The equation has standard form and the associated homogeneous equation is y''七y'+y=0, whose characteristic equation is 丸+2^+i = 0. Then we get ^-y2 = -i and-X - X corresp onding fun dame ntal soluti ons to homoge neous equati on are y i = e , xe .*(2) Suppose the original equation has the following particular solution y = c (x)y i十c2(x)y 2,Then we get%即勺2。
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4.3 欧拉方程、非齐次高阶线性方程特解的待定系数方法(How to Solve Euler equation, Use the method of undetermined coefficients to find particular solution to nonhomogeneous higher order Linear ODE)[教学内容] 1. 介绍欧拉方程及其解法. 2. 介绍非齐次线性方程特解的待定系数求法. 3. 介绍非齐次线性方程特解的常数变易法.[教学重难点] 重点是知道欧拉方程的特征方程，并能获得原欧拉方程的基本解组；如何运用待定系数法或常数变易法求解非齐次线性方程的特解； 难点是如何由非齐次线性方程中f(t)的形式合适选择特解的形式.[教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3 [考核目标]1. 能写出欧拉方程的特征方程的形式2. 能由欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组;3. 知道待定系数法求解非齐次线性方程的特解；4. 知道运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解.1. 认识欧拉方程.(1) 称形如0qy px y''y'x 2=++为欧拉等量纲方程（Euler ’s equi-dimensional equation ），其中p 和q 都是常数.(2) 解法：令自变量替换te x =将原方程化为常系数方程：dt dy e (dx /dt)1dt dy dx dt dt dy dx dy t -=⋅=⋅=； dt dy dt dy xe dx dy x t ==-； )dxdt dt y d (e dt dy )dx dt e ()dt dy (e dx d dx y d 22t t t 22---+⋅-==； 2222t 2t 2222dt y d dt dy -)dx dt dt y d (e x dt dy )dx dt e (x dx y d x +=+⋅-=--； 因此，原方程化为0qy dtdy1)(p dt y d 22=+-+，这是一个常系数线性微分方程. 令)x (y e y λλt==代入方程得到，方程为0q)1)λ(p (λe 2t =+-+λ（或0q p λ1)λ(λ=++-），称0q p λ1)λ(λ=++-为欧拉方程的特征方程.由此得到新方程的基本解组为tλtλ21e,e 或tλtλ11 te,e ，或)sin(),cos(t e t e tt ββαα.返回原变量得到欧拉方程的基本解组为21λλx ,x 或11λλx|x |ln ,x ，或|)|ln sin(|),|ln cos(x x x x ββαα.例52. 求解微分方程0y dxdyx dx d x222=+-y . 解：注意到这是一个欧拉等量纲方程，令λtλe x y ==，得到欧拉方程的特征方程为01λ1)-λ(λ=+-，解得01)(λ2=-. 于是1λ=为二重根.于是得到欧拉方程的基本解组为ttte ,e ，返回原变量为11x |x |ln ,x ，因此原欧拉方程的通解为R c ,c |,x |x ln c x c y 2121∈+=.例53 Find the general solution of the following equation: (1) 010y 3x y''y' x 2=++;Solution (1) Let λλtx e y ==，then the associated characteristic equation of Euler equation is0103λ1)λ(λ=++-. By solving the algebraic equation, we get 3i 12i62λ1,2±-=±-=. Then two dependent solutions to the new equation is sin(3t)e cos(3t),e tt--, and fundamental solutions to Euler equation is |)x |sin(3ln x |),x |cos(3ln x 11--.Therefore, the general solution is given by |)x |sin(3ln x c |)x |cos(3ln x c y 1211--+=,21c ,c are two independent variables.作业47. Find the general solution of each of the following equation: (1) 012y 2x y''y'x 2=-+;(2) 04y 3x y''y'x 2=+-; (3) 05y dxdy3x dx y d x222=++. 2. 非齐次线性微分方程特解待定系数方法求解（undetermined coefficients ’ method)（1）非齐次线性微分方程通解结构：考察二阶非齐次线性微分方程f(t)q(t)dt dx p(t)dt x d 22=++. 若(t) x (t),x 21为0q(t)dtdxp(t)dt x d 22=++的基本解组且(t)x *为原非齐次方程的一个特解，则原 非齐次线性方程的通解为(t)x (t)x c (t)x c x (t)*2211++= 其中R c ,c 21∈. (一般地结论参见教材P127定理7) （2）待定系数方法求解非齐次方程的特解例54. 求解二阶非齐次方程(1)2t 6x dtdx dt x d 22=--; (2)2t dt xd 22=的一个特解.解：(1) 方程的特征方程为062=--λλ，得到2λ 3,λ21-==. 猜想：原方程具有如下形式特解：B At (t)x *+=（原因是2t C 经过两次求导最高次数为0，一次求导后最高次数为1，方程两边比较得到C=0），代入方程得到2t 6B 6At A =---，比较系数得到⎩⎨⎧=--=-06B A 26A ，得到181B ,31A =-=。
因此所求原方程的一个特解为181t 31-(t)x *+=. (2) 由题意可设特解形式为23*Bt At (t)x +=，2B 6At dtx d 2Bt,3At dt dx 2*22*+=+=（原因是2Ct 经过两次求导是常数，不可能等于2t ），代入原方程并比较t 的系数得到，2t 6At =，得到0B ,31A ==. 因此，所求特解为3*t 31(t)x =.小结：考察f(t)q(t)dtdxp(t)dt x d 22=++，c bt at f(t)2++=，（1）若0=λ不是相应齐次方程特征方程的特征根，则可设特解形式为C Bt At (t)x 2*++=；(2)若0=λ是微分方程的特征方程的k 重特征根，则可设特解形式为 C)Bt (At t (t)x 2k*++=.作业48 求方程13t 3y dtdy2dt y d 22+=--的通解.例55. 求解二阶非齐次方程(1) t 22e 2t 6x dt dx dt x d =--; (2)3t22e 2t 6x dtdx dt x d =--的通解. 解：(1) 方程的特征方程为06λλ2=--，特征根为1λ 3,λ21-==. 令y e x t=，则原方程可化为2t y q ~dt dy p ~dt y d 22=++. 由上例分析知，新方程具有如下形式特解B At y *+=，于是原方程具有形式特解B)(At e x t*+=， A e B)(At e dtdx t t *++=， A,e 2B)(At e t d x d tt 2*2++=代入原方程得到，⎩⎨⎧=---+=--06B A B 2A B 26A A A ，得到181B 1/3,A -=-=. 所求特解为)181t 31(-e x t*-=. 因此，原方程的通解为)181t 31(-e e c e c x t 2t -23t 1*-++=，R c ,c 21∈.(2) 方程的特征方程为06λλ2=--，特征根为1λ 3,λ21-==. 令y e x t=，则原方程可化为2t y q ~dtdy p~dt y d 22=++. 由前面齐次线性方程知识和上例分析知，新方程的特征方程具有零特征根且重数为k=1，于是新方程具有如下形式特解B)t(At y *+=，于是原方程具有形式特解Bt)(At e B) t(At e x 23t3t*+=+=，B)2At Bt 3(3At e dtdx 23t *+++=， 2A),6B 12A)t 9B ((9At e )A 23B (6At e 3B)6At 9Bt (9At e td x d 23t 3t 23t 2*2++++=++++++=代入原方程得到，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=---+=-0B 2A 6B 26B A 2B 3A 219B 06A 3A -9A ，得到252B 1/5,A -==. 所求特解为)251t 51(e x 3t *-=.作业49 求方程(1) 3te y 3y''2y'-=++; (2) 1)(3t e 3y dtdy2dt y d t 22+=---的通解.例55. 求解二阶非齐次方程(1) cos(2t)4x dt dx 4dt x d 22=++; (2) cos(2t)e 4x dtdx4dt x d 2t 22=++ 的通解. 解：(1) 方程的特征方程为0442=++λλ，得到二重根22,1-=λ，于是相应的齐次方程的基本解组为2t 2tte ,e--. 改写)Re(e cos(2t)f(t)i 2t ==.考察新方程 t 2i 22e 4x dtdx4dt x d =++，注意到i 2不是相应齐次方程特征方程的特征根，因此，由上例可设新方程的形式特解为 t2i *Aez =，于是 t 2i 22*2 t 2i *Ae 2i)( td z d ,2iAe dt dz ==， 代入方程得到，14A 8Ai 4A =++-，于是i 818i 1A -==，因此特解为cos(2t)81sin(2t)81z *i -=.注意到)Re(z x **=为方程)Re(e cos(2t)4x dtdx4dt x d 2it 22==++的解，因此，所求方程的一个特解为sin(2t)81x *=. 因此，原方程的通解为sin(2t)81te c e c x 2t 22t 1++=--，R c ,c 21∈.(2) 方程的特征方程为0442=++λλ，得到二重根22,1-=λ，于是相应的齐次方程的基本解组为2t 2tte ,e--. 改写)Re(e cos(2t)e f(t)i 2t)(22t +==.考察新方程)t 2i (222e 4x dtdx4dt x d +=++，注意到2i 2+不是相应齐次方程特征方程的特征根，因此，由上例可设新方程的形式特解为 t2i)(2*Aez +=，于是t 2i 22*2 t 2i *Ae 2i)2( td z d ,2i)Ae 2(dt dz +=+=， 代入方程得到，14A 8iA 8A 8Ai =+++，于是40016i-12i)61(121A =+=，因此特解为cos(2t))]251sin(2t)1003i(sin(2t)251cos(2t)1003[e z 2t *-++=.注意到)Re(z x **=为方程)Re(e cos(2t)e 4x dtdx4dt x d 2i)t (22t 22+==++的解，因此，所求方程的一个特解为sin(2t)]251cos(2t)1003[e x 2t*+=. 因此，原方程的通解为sin(2t)]251cos(2t)1003[e te c e c x 2t 2t 22t 1+++=--，R c ,c 21∈.作业50 求方程(1) t cos e y 32y''y't-=+-的通解.。