二面角及其平面角 课件

定为［0,π］。
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３．二面角的 平面角的定义、范围及作法
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（２）二面角的平面角的作法：
A
o
l

B
根据定义作出来
注意：二面角的平面角必须满足： １、角的顶点在棱上。 ２、角的两边分别在两个面内。 ３、角的边都要垂直于二面角的棱。
（３）二面角的取值范围：［0,π］
（1）、以直线 l 为棱，以 , 为半平面的二面角记为： l （2）、以直线AB 为棱，以 , 为半平面的二面角记为： AB

l

β
面
Ｂ
棱
Ａ
l
α
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常用的二面角
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l α β l α
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β
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O l
O

B
A

B
A
注:（1）二面角的平面角与点的位置 等角定理：如果一个角的两边和另 无关，只与二面角的张角大小有关。 一个角的两边分别平行，并且方向相 （2）二面角是用它的平面角来度 同，那么这两个角相等。） 量的，一个二面角的平面角多大，就 说这个二面角是多少度的二面角。 （3）平面角是直角的二面角叫做 直二面角。 （4）二面角的取值范围一般规
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实例３:把门打开，门和墙构成二面 角；把书打开，相邻两页书也构成二 面角.随着打开的程度不同，可得到 不同的二面角，这些二面角的区别在 哪里？

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思考３:在二面角α -l-β 的棱上取一点O，
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ADO 就是二面角 － l － 的平面角.
A.

AO 2 3, AD 4
在Rt△ADO中，
D
O
∵sin∠ADO=
l

AO 2 3 AD 4
∴ ∠ADO=60°.
∴二面角 － l－ 的大小为60 °.
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例２ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求二面角B1-AC-B大小的正切值. C1 B1 C B
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引入：
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问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成 的角”、“直线和平面所成的角”又是 怎样定义的？它们有什么共同的特征？
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实例１：
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在铁路、公路旁，为防止山体滑坡， 常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与 水平面成适当的角度；
公路
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实例２：
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修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用， 必须使水坝面与水平面成适当的角度， 如何从数学的观点认识这种现象？
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概念1：半平面
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过点O分别在二面角的两个面内任作两条 射线OA，OB，能否用∠AOB来刻画二面角 的张开程度？能使∠AOB被二面角α-l-β唯 一确定吗？这个角的大小是否与顶点O在 棱上的位置有关？
β B l β
O
A
α
B l O
A
α
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概念３：二面角的 平面角的定义、范围及作法 （１）二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上 分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 叫做二面角的平面角。 AOB == ? AOB
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平面内的一条直线，把这个平面分成 两部分，每一部分都叫做半平面。
直线上的一点将直线分割成两部分， 每一部分都叫做射线.
射线 射线
思考1:平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一 部分叫什么名称？
半平面
半平面
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思考2:在平面几何中“角”是怎样定义的？
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面
半 平 面

l
半 平 面
面 棱 l

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３．二面角的 画法与记法
（１）二面角的画法：
（1）、平卧式
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（2）、直立式
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３．二面角的 画法与记法
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（２）二面角的记法： 面1－棱－面2
o
l
l

A

B
A
o
l
注意：求二面角的平面角的步骤： 作－－算－－答
B

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例1、已知二面角－ l － ，A为面内一点，A到 的 距离为 2 3 ，到 l 的距离为 4。求二面角 － l － 的大小。 注意：首先应找到或作出二面角的平面角 然后证明这个 ， 解： 过 A作 AO⊥于O，过 O作 OD⊥ l 于D，连,AD 角就是所求的平面角, 最后求出这个角的大小。 则由线面垂直定理得 AD⊥ . l
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答：从平面内一点出发的两条射线所组成的 图形叫做角。
将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角．
将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为什么？
你能画一个图形的直观图吗？
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概念２：二面角
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从一条直线引出的两个半平面所组成的图形 叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面。
0
D H A C G B
DH DG sin 60 0
CD sin 30 0 sin 60 0 100 sin 30 0 sin 60 0 25 3 43.3(m)
O
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D1
A1
D A
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例3、如图，山坡倾斜度是60度， 山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角. 沿这条路向上走100米,升高了多少?
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解:因为 CDG 是坡面,设 DH 是地平面的垂线 段,DH 就是所求的高度.作 HG⊥AB,垂足为 G, 那么 DG⊥AB,∠DGH 就是坡面和地平面所成 的二面角的平面角,所以∠DGH=60 .