高中数学开放题赏析
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分析一：要使f（θ）的值不随θ的变化而变化，即函数f（θ）为常值函数，则可赋予特殊的自变量值探求。
解一：令θ=0， 得
f（0）= sin2α+ sin2β
依题意可设f（0）= = =m，（m为常数），则由f（0）+ =2m，解得m= 。
再代入f（0）= = =
解得 。
分析二：要使f（θ）的值不随θ变化而变化，可以通过分离主变量的方法，视主变量的系数为零，这样就可以把问题转化。
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；
（3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.
(ii)当 时， ，代 入 上 式 得
综上可知，存在常数 ，使 成等比数列。
等比数列n项求和公式中公比的分类,极易忘记公比 的情 形,可不要忽视啊!
解析：条件探索性开放型问题是指命题中结论明确而需要完备使结论成立的充分条件的题目。这类问题大致可分为：其一是条件未知，需要探注；其二是条件不足，要求寻求充分条件。解答这类问题，一般从结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，逐一推导，从中找出满足结论的条件。
（注：第三种情形的存在性可以这样来验证：先作三角形ABD，使∠ADB是钝角，然后过D作直线DC垂直于面ABD。以AB为直径作一球，则D必在球的内部，设C是直线DC与球面的一个交点，则∠ACB是直角，图3的四面体存在）。
题目2：设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和。
（I）证明： ＜lgSn+1；
cos∠ADB= ＜0
∴∠ADB＞900，△ABD是钝角三角形，③正确。
显然在第二种情形下，AB和BC可以相等，所以三角形ABC可以是等腰直角三角形，⑤正确，从而④也正确。故答案是①②③④⑤⑥。
注：此题是一道高考模拟试题，是一道考查学生空间想象能力、探索能力的好试题。其中第三种情形容易被忽视，标准答案中也没有“钝角三角形”。
解二：
∵f（θ）恒为定值，即f（θ）的值与θ无关。
∴1+2cos（α+β）cos（α－β）=0
sin（α+β）cos（α－β）=0
∴ sin（α+β）=0
考虑到0≤α＜β≤π，有0＜α+β＜2π,
∴α+β=π①
∴cos（α－β）=
∵－π≤α－β＜0，∴α－β=－ ②
①、②联立可得： 。
题目6：
某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元。
高中数学开放题赏析
题目1：如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。请说出你认为正确的那些序号。
解：分三种情形
第一种情形从同一顶点出发的三个面都是直角三角形，且都以该顶点为直角顶点，如图1。
设AD、BD、CD的长分别是a、b、c，
题目4：
某选择题已知条件缺漏，原题为：已知α、β均为锐角，且sinα－sinβ=－ ，
则得 ，
即cosα+cosβ=－ ，
此与α、β均为锐角矛盾。
若 ，
则得
即cosα+cosβ= ，
这一结果与另一已知条件sinα－sinβ=－ 在形式上了比较接近。
故所缺失的条件可能为cosα+cosβ= 。
评析：此类题可模仿分析法的解题方法，将结果加入条件，逆推导出需要寻求的条件，但一般情况下答案不惟一。
∵∠ADB=∠ADC=∠BDC=900，
∴AB，BC，AC的长分别为
在△ABC中，由余弦定理
cos∠BAC=
=
= ＞0
∴∠BAC是锐角，同理∠ABC、∠ACB也是锐角
∴△ABC是锐角三形。②正确。当a=b=c时△ABC是等边三角形，⑥正确。
第二种情形如图2，∠ADB=∠ADC=∠DBC=900
∵AD⊥BD，AD⊥DC，
题目3:设等比数列 的公比为q ，前 n 项和为 Sn ，是否存在常数C ，使数列 也成等比数列？若存在，求出常数C；若不存在，请说明理由。
讲解:存在型开放题的求解一般是从假设存在入手,逐步深化解题进程的。
设存在常数C，使数列 成等比数列。
∵
∴
(i)当q=1时, 代入上式得
即 =0
但 ,于是不存在常数C，使 成等比数列。
（II）假设存在常数C＞0，使得 成立？并证明（1995年全国高考题）。
解：（I）证明略。得出Sn·Sn+2＜Sn+12。
（II）假设存在常数C＞0，使得 成立？并证明你的结论。
Sn－c＞0①
Sn+1－c＞0②
Sn+2－c＞0③
(Sn－c)(Sn+2－c)=(Sn+1－c)2④
由④得
SnSn+2－Sn+12= c (Sn+Sn+2－2Sn+1)⑤
由重要不等式及①②③④知
Sn+Sn+2－2Sn+1=（Sn―c）+（Sn+2―c）―2（Sn+1―c）
≥2
因为c＞0，故⑤式右端非负，即
SnSn+2－Sn+12≥0。而由（I）的证明可知
SnSn+2－Sn+12＜0，产生了矛盾。
故不存在常数，c＞0，
使
评析：这是一个台阶试题，在求解第（II）小题时，必然要用到第（I）题结论，也就是说第（I）题经过证明之后的结论将在解答第（II）小题时作为条件使用，而第（II）小题中究竟中是否存在常数c＞0？最终要看假设存在之后，是否与第（I）小题矛盾。
方法探索性开放型问题
这是一类条件、结论都不明确的问题，使得解题方法是开放的，需要探索出合适的解题方法，又需要进行严格的推理论证。
题目5：
已知f（θ）=sin2θ+ sin2（θ+α）+ sin2（θ+β），其中α、β适合0≤α＜β≤π的常数，试问α、β取何值时，f（θ）的值恒为定值。（日本御茶水女子大学入学试题）
∴AD⊥面DBC
∴BD是AB在平面DBC上的射影。
由三垂线定理知，BC⊥AB
∴第四个面△ABC是直角三角形。①正确。
第三种情形如图3，∠ADC=∠BDC=∠ACB=900
设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，
则AC2=a2+c2，BC2=b2+c2，
∴AB2=AC2+BC2=a2+b2+2c2
在△ABD中，由余弦定源自文库得
解一：令θ=0， 得
f（0）= sin2α+ sin2β
依题意可设f（0）= = =m，（m为常数），则由f（0）+ =2m，解得m= 。
再代入f（0）= = =
解得 。
分析二：要使f（θ）的值不随θ变化而变化，可以通过分离主变量的方法，视主变量的系数为零，这样就可以把问题转化。
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；
（3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：
(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；
(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.
(ii)当 时， ，代 入 上 式 得
综上可知，存在常数 ，使 成等比数列。
等比数列n项求和公式中公比的分类,极易忘记公比 的情 形,可不要忽视啊!
解析：条件探索性开放型问题是指命题中结论明确而需要完备使结论成立的充分条件的题目。这类问题大致可分为：其一是条件未知，需要探注；其二是条件不足，要求寻求充分条件。解答这类问题，一般从结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，逐一推导，从中找出满足结论的条件。
（注：第三种情形的存在性可以这样来验证：先作三角形ABD，使∠ADB是钝角，然后过D作直线DC垂直于面ABD。以AB为直径作一球，则D必在球的内部，设C是直线DC与球面的一个交点，则∠ACB是直角，图3的四面体存在）。
题目2：设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和。
（I）证明： ＜lgSn+1；
cos∠ADB= ＜0
∴∠ADB＞900，△ABD是钝角三角形，③正确。
显然在第二种情形下，AB和BC可以相等，所以三角形ABC可以是等腰直角三角形，⑤正确，从而④也正确。故答案是①②③④⑤⑥。
注：此题是一道高考模拟试题，是一道考查学生空间想象能力、探索能力的好试题。其中第三种情形容易被忽视，标准答案中也没有“钝角三角形”。
解二：
∵f（θ）恒为定值，即f（θ）的值与θ无关。
∴1+2cos（α+β）cos（α－β）=0
sin（α+β）cos（α－β）=0
∴ sin（α+β）=0
考虑到0≤α＜β≤π，有0＜α+β＜2π,
∴α+β=π①
∴cos（α－β）=
∵－π≤α－β＜0，∴α－β=－ ②
①、②联立可得： 。
题目6：
某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元。
高中数学开放题赏析
题目1：如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。请说出你认为正确的那些序号。
解：分三种情形
第一种情形从同一顶点出发的三个面都是直角三角形，且都以该顶点为直角顶点，如图1。
设AD、BD、CD的长分别是a、b、c，
题目4：
某选择题已知条件缺漏，原题为：已知α、β均为锐角，且sinα－sinβ=－ ，
则得 ，
即cosα+cosβ=－ ，
此与α、β均为锐角矛盾。
若 ，
则得
即cosα+cosβ= ，
这一结果与另一已知条件sinα－sinβ=－ 在形式上了比较接近。
故所缺失的条件可能为cosα+cosβ= 。
评析：此类题可模仿分析法的解题方法，将结果加入条件，逆推导出需要寻求的条件，但一般情况下答案不惟一。
∵∠ADB=∠ADC=∠BDC=900，
∴AB，BC，AC的长分别为
在△ABC中，由余弦定理
cos∠BAC=
=
= ＞0
∴∠BAC是锐角，同理∠ABC、∠ACB也是锐角
∴△ABC是锐角三形。②正确。当a=b=c时△ABC是等边三角形，⑥正确。
第二种情形如图2，∠ADB=∠ADC=∠DBC=900
∵AD⊥BD，AD⊥DC，
题目3:设等比数列 的公比为q ，前 n 项和为 Sn ，是否存在常数C ，使数列 也成等比数列？若存在，求出常数C；若不存在，请说明理由。
讲解:存在型开放题的求解一般是从假设存在入手,逐步深化解题进程的。
设存在常数C，使数列 成等比数列。
∵
∴
(i)当q=1时, 代入上式得
即 =0
但 ,于是不存在常数C，使 成等比数列。
（II）假设存在常数C＞0，使得 成立？并证明（1995年全国高考题）。
解：（I）证明略。得出Sn·Sn+2＜Sn+12。
（II）假设存在常数C＞0，使得 成立？并证明你的结论。
Sn－c＞0①
Sn+1－c＞0②
Sn+2－c＞0③
(Sn－c)(Sn+2－c)=(Sn+1－c)2④
由④得
SnSn+2－Sn+12= c (Sn+Sn+2－2Sn+1)⑤
由重要不等式及①②③④知
Sn+Sn+2－2Sn+1=（Sn―c）+（Sn+2―c）―2（Sn+1―c）
≥2
因为c＞0，故⑤式右端非负，即
SnSn+2－Sn+12≥0。而由（I）的证明可知
SnSn+2－Sn+12＜0，产生了矛盾。
故不存在常数，c＞0，
使
评析：这是一个台阶试题，在求解第（II）小题时，必然要用到第（I）题结论，也就是说第（I）题经过证明之后的结论将在解答第（II）小题时作为条件使用，而第（II）小题中究竟中是否存在常数c＞0？最终要看假设存在之后，是否与第（I）小题矛盾。
方法探索性开放型问题
这是一类条件、结论都不明确的问题，使得解题方法是开放的，需要探索出合适的解题方法，又需要进行严格的推理论证。
题目5：
已知f（θ）=sin2θ+ sin2（θ+α）+ sin2（θ+β），其中α、β适合0≤α＜β≤π的常数，试问α、β取何值时，f（θ）的值恒为定值。（日本御茶水女子大学入学试题）
∴AD⊥面DBC
∴BD是AB在平面DBC上的射影。
由三垂线定理知，BC⊥AB
∴第四个面△ABC是直角三角形。①正确。
第三种情形如图3，∠ADC=∠BDC=∠ACB=900
设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，
则AC2=a2+c2，BC2=b2+c2，
∴AB2=AC2+BC2=a2+b2+2c2
在△ABD中，由余弦定源自文库得