(精选3份合集)2020届福建省福州市鼓山中学高考数学模拟试卷
2020年福建省福州市高考数学模拟试卷(理科)(4月份) (含答案解析)
2020年福建省福州市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={−3,−1,0，1，2}，N={−1,0，1，3}，则M∩N=()A. {−1,0，1}B. {−1,0，1，2}C. {−1,0，1，3}D. {−3,−1,0，1，2}⃗⃗⃗⃗⃗ ，O为坐标原点，则|z|为()2.己知复数z在复平面内对应的向量为OZA. 1B. √2C. √3D. 23.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为()A. 2√5+4√2+10B. 43C. 83D. 1634.某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年级425名学生选课情况，在高一年级下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误的是()A. 前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B. 前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C. 整个高一年级，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D. 整个高一年级，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数5. (x 2+1)(x −1)5的展开式中的x 5的系数为( )A. 1B. −9C. 11D. 216. 已知{a n }为等差数列，若a 3+6=2a 5，则a 4+a 10=( )A. 12B. 24C. 30D. 327. 若函数f(x)=(a −1)x 3+ax 2+cos(π2x)为偶函数，则曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为( )A. 3x −y −3=0B. 3x +y −3=0C. 4x −y −5=0D. 4x +y −5=08. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为l ，圆C ：x 2+(y −b)2=4与l 交于第一象限A 、B 两点，若∠ACB =π3，且|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |其中O 为坐标原点，则双曲线的离心率为( )A. 2√133B. √133C. 2√135D. √2139. 已知函数f(x)=sin(π4+2x)sin(π4−2x)，则函数f(x)的图象( )A. 关于点(π4,0)对称 B. 关于点(π8,0)对称 C. 关于直线x =−π8对称D. 关于直线x =−38π对称10. △ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是( ) A. −2B. −32C. −43D. −111.图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为()A. 332B. 1564C. 532D. 51612.已知球O的表面积为128π，点M，N，P在球O的球面上，其中MN=8，二面角P−MN−O的大小为60°，则三棱锥O−PMN的外接球半径为()A. 4√33B. 8√33C. 2√3D. 4√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x,y满足约束条件{x−2y≥−3,x−y≤0,x≥1,则z=2x−3y的最小值为________．14.(1)在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是________；(2)设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2a3…a n的最大值为________．15.已知抛物线C:x2=4y与直线y=12x+1相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB=．16.函数f(x)=e x−xlnx+12ax3−(a−1)x2−ax(a>0)，若f(x)>0在(0,+∞)恒成立，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且√2bcosC=acosC+ccosA．(1)求C；(2)若AB边上的中线CD长为1，求△ABC面积的最大值．18.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是边长为2的等边三角形，直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，CD=2AB=2BC=2√2，M，N分别为PD，BC的中点．(1)证明：MN//平面PAB;(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求平面PMN与平面PBC所成锐二面角的余弦值．19.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，圆O:x2+y2=2与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2√2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，试判断|PM|⋅|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．20. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的对应数据的散点图，如图所示．(1)依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明(若r >0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)；(2)求y 关于x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？ 附：r =i −x)(y i −y)n i=2√∑(x i −x)i=1√∑(y i −y)i=1=i i −nxyn i=1√∑x i 2−nx 2n i=1√∑y i 2n i=1−ny2，b ̂=i −x)(y i −y)n i=1∑(x −x)2n=i i −nxyni=1∑x 2−nx2n ，a ̂=y −b̂x ．21. 已知函数f(x)=lnx +(a −1)x +a +1(a ∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：当a ≤1时，e x −f(x)>0．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =tt+1,y =2t+1t+1(t 为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，以坐标原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(Ⅱ)射线θ1=β(0<β<π2)与曲线C 2交于O ，P 两点，射线θ2=π2+β与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ 的面积为1，求|OP|的值．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|x −a|(Ⅰ)若a =3，解不等式f(x)≥6；(Ⅱ)若不等式f(x)≥6对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：本题题考查集合的交集运算，属于基础题．利用交集的定义即可得出．解：由题意得：M={−3,−1,0，1，2}，N={−1,0，1，3}，则M∩N={−1,0，1}，故选：A．2.答案：B解析：本题考查的是复数的模，复数的几何意义，属于容易题．由题意可得复数z的坐标为(1,1)，即可得到答案．解：由题意可得复数z的坐标为(1,1)，∴|z|=√12+12=√2，故选B．3.答案：C解析：本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，然后由三棱锥的体积公式求解即可．解：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中三棱锥的高为2，底面三角形为直角三角形，两条直角边分别为4和2．∴这个几何体的体积是13×12×4×2×2=83．故选C．4.答案：D解析：本题主要考查利用图表信息进行简单的合情推理．对每个选项，分别进行分析．解：对于选项A，前 4 种组合中，选择生物学科的学生选择两理一文组合的学生有160人，选择一理两文组合的学生有101人，故A正确；对于选项B，前4种组合中，选择两理一文的人数为：284 ，选择两文一理的人数为：101 ，故选项B正确；对于选项C，整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数为311 ，显然多于选择其他任一学科的人数，故C正确；对于选项D，整个高一年段，选择物理学科的人数为198人，选择生物学科的人数为261 ，则选择物理学科的人数少于选择生物学科的人数，故D错误．故选D．5.答案：C解析：解：∵(x2+1)(x−1)5=(x2+1)(x5−5x4+10x3−10x2+5x−1)，故它的展开式中的x5的系数为10+1=11，故选：C．把(x−1)5按照二项式定理展开，可得(x2+1)(x−1)5的展开式中的x5的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6.答案：A解析：本题考查了等差数列的性质和通项公式，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，属于基础题．利用等差数列通项公式求解即可．解：∵a3+6=2a5，∴a1+2d+6=2(a1+4d)，即a1+6d=6，则a4+a10=a1+3d+a1+9d=2(a1+6d)=12．故选A ．7.答案：C解析：本题考查了函数的奇偶性，导数的几何意义，属于基础题．根据函数的奇偶性可求出a的值，进而求出函数的解析式，求得导数，可得切线的斜率，以及切点，由点斜式方程可得所求切线方程．解：因为函数f(x)=(a−1)x3+ax2+cos (π2x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，即，可得a−1=0，解得a=1，所以函数解析式为f(x)=x2+cos (π2x)，所以，所以f′(2)=4−0=4，f(2)=4−1=3，所以切点为(2,3)，斜率为4，所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y−3=4(x−2)，即4x−y−5=0．故选C．8.答案：D解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离推出ab关系式，然后求解离心率即可．解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为：y=bax，圆C：x2+(y−b)2=4的圆心坐标为(0,b)，半径为2，由∠ACB=π3，∴三角形ABC是边长为2的等边三角形，∴AB=2，OA=1，圆心到直线y=bax的距离为√3，在△OBC，△OAC中，由余弦定理得cos∠BOC=b2+1−42b =32+b2−46b，解得b2=7，由圆心到直线y=ba x的距离为√3，有abc=√3，∴ca =√7√3=√213．故选D．9.答案：B解析：解：原式化简，f(x)=sin(π4+2x)sin(π4−2x)=√22(cos2x+sin2x)⋅√22(cos2x−sin2x)=12(cos22x−sin22x)=12cos4x，由4x=kπ+π2可得x=14kπ+π8，k∈Z当k=0时，可得函数图象的一个对称点为(π8,0)故选：B．本题考查三角函数公式的应用，涉及三角函数图象的对称性，属基础题．化简可得f(x)=12cos4x，由三角函数的对称性可得．10.答案：B解析：【试题解析】本题考查向量的数量积，属于中档题．建立直角坐标系写出坐标，根据数量积转化为平方数进行解决．解：建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点， 则A(0,√3)，B(−1,0)，C(1,0)，设P(x,y)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,√3−y)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−x,−y)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,−y)， 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )=2x 2−2√3y +2y 2=2[x 2+(y −√32)2−34]， ∴当x =0，y =√32时，取得最小值2×(−34)=−32．故选B ．11.答案：D解析：本题考查独立重复试验概率求法，将实际应用问题转化为概率模型是解题的关键，属于基础题． 小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为12，并且相互对立，最终落入③号球槽两次向右，三次向左，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解． 解：设这个球落入③号球槽为事件A ， 落入③号球槽两次向右，三次向左，，所以P (A )=C 52(12)2(12)3=516．故选D ．12.答案：B解析：本题考查了球的表面积，二面角，考查学生的空间想象、逻辑推理能力以及数形结合思想，属于较综合的中档题．根据题意可得球O 的半径，设△MNP 所在截面圆的圆心为O 1，MN 的中点为D ，连接OD ，O 1D ，由二面角可得∠ODO 1=60°，进而可得△OMN 是等腰直角三角形，再根据勾股定理多次求解即可得三棱锥O −PMN 的外接球半径．解：依题意，4πr 2=128π，解得r =4√2，设△MNP 所在截面圆的圆心为O 1，MN 的中点为D ，连接OD ，O 1D ，则O 1O ⊥平面PMN ，因为OM=ON，所以OD⊥MN，由O1为△PMN外接圆圆心，所以O1D⊥MN，所以∠ODO1即为二面角P−MN−O的平面角，∠ODO1=60°，因为OM=ON=4√2，MN=8，所以△OMN是等腰直角三角形，∴OD=4，在Rt△ODO1中，由cos 60∘=O1D，得O1D=2，OD由勾股定理，得OO1=2√3，因为O1到M，N，P三点的距离相等，且OO1⊥平面PMN，所以三棱锥O−PMN外接球的球心E在射线OO1上，设三棱锥O−PMN外接球的半径为R，在Rt△O1NE中，O1N=√ON2−OO12=2√5，NE=R，O1E= |R−2√3|，由勾股定理可得O1N2+O1E2=NE2，即20+(R−2√3)2=R2，，解得R=8√33故选B．13.答案：−4解析：本题考查线性规划，解决问题的关键是做出可行域，结合截距型目标函数的几何意义求解最值．解：作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示：由图可知，当直线z =2x −3y 平移至点A 处时，z 取最小值． 由{x =1x −2y +3=0得{x =1y =2即A(1,2)， 所以z min =2×1−3×2=−4． 故答案为−4．14.答案：(1) 4；(2) 64解析：(1)本题考查等比数列的通项公式，根据条件联立求出q 2=4，即可求出a 6，属基础题． 解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2=1，a 8=a 6+2a 4得： q 6=q 4+2q 2，q 4−q 2−2=0，解得q 2=2， 则a 6=a 2q 4=4；(2)本题考查等比数列的通项公式的应用，根据条件联立方程组求出首项和公比，从而得到a 1a 2a 3…a n =8n·(12)1+2+3+⋯+(n−1)=23n·2−n (n−1)2=2−n 2+7n2，即可得出结论，属中档题．解：因为a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，所以公比q =a 2+a 4a 1+a 3=12，所以a 1+a 1×14=10⇒a 1=8，a 1a 2a 3…a n =8n·(12)1+2+3+⋯+(n−1)=23n·2−n (n−1)2=2−n 2+7n2，所以当n =3或4时，取最大值64．15.答案：√5解析：本题考查抛物线与直线相交，三角形面积公式，韦达定理，点到直线的距离公式，属于一般题． 可先根据已知抛物线C:x 2=4y 与直线y =12x +1有交点，联立可得到x 2−2x −4=0，可分别设出A 、B 两点坐标，可得到|AB|的值，根据点O 到直线的距离，得到三角形的高，进而根据三角形的面积公式得出即可． 解：联立{x 2=4y,y =12x +1得x 2−2x −4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2，x 1x 2=−4，则|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+14×√4+16=5，点O 到直线y =12x +1的距离d =√1+14=√5=2√55，所以S △OAB =12|AB|d =12×5×2√55=√5．故答案为√5．16.答案：(0,23(e +1))解析：本题考查利用导函数求函数的最值，考查利用导函数处理不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力，属于中档题．由题意f(x)>0在(0,+∞)恒成立，即e x x>lnx −12ax 2+(a −1)x +a 在x ∈(0,+∞)上恒成立，构造新函数g(x)=e xx，求出其导函数，利用导函数求解最值即可得a的范围．解：要使e x−xlnx+12ax3−(a−1)x2−ax>0，即e xx >lnx−12ax2+(a−1)x+a在x∈(0,+∞)上恒成立，设g(x)=e xx ，则g′(x)=exx2(x−1)，当x∈(0,1)时，g′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，则g(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，且g(x)min=g(1)=e，设ℎ(x)=lnx−12ax2+(a−1)x+a则ℎ′(x)=(1−x)(ax+1)x，当x∈(0,1)，ℎ′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，则ℎ(x)max=ℎ(1)=3a2−1，所以只需3a2−1<e，则0<a<23(e+1)，故答案为：(0,23(e+1))．17.答案：解：(1)根据正弦定理得，即，．∵0<C<π，∴C=π4．(2)根据余弦定理c2=a2+b2−√2ab①，在△ACD与△CBD中，由余弦定理得2a2+2b2=c2+4②，由①②得a2+b2=4−√2ab⩾2ab，∴ab⩽42+√2(当且仅当a=b时取“=”)，△ABC面积．解析：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得√2sinBcosC=sinB，结合sinB≠0，可求，结合范围C∈(0,π)，可求C的值；(2)△ABC 中，c 2=a 2+b 2−√2ab①，在△ACD 与△CBD 中，由余弦定理得2a 2+2b 2=c 2+4②，由①②，基本不等式可求ab 的最大值，根据三角形面积公式即可计算得解．18.答案：(1)证明：取AD 的中点O ，连接MO ，NO ，∵M 为PD 的中点， ∴OM//PA ，又∵OM ⊄平面PAB ，故OM//平面PAB 同理ON//平面PAB ， 又OM ∩ON =O ， ∴平面MNO//平面PAB ， ∵MN ⊂平面OMN ， ∴MN//平面PAB ； (2)∵AC ⊥AD ， ∴AC ⊥平面PAD ，以A 为坐标原点，以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y 轴的正方向，过A 垂直于平面ACD 的直线为z 轴，如图建立空间直角坐标系，在Rt △ACD 中，AC =2,CD =2√2， ∴AD =2，∴P(0,1,√3),D (0,2,0),M (0,32,√32)， B (1,−1,0),C (2,0,0),N (32,−12,0)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,−2,−√32)， 设平面PBC 的法向量为n →=(x,y,z )，∴{x −2y −√3z =0x +y =0, 取x =1，∴y =−1,z =√3，即n →=(1,−1,√3)， 同理可得平面PMN 的法向量m ⃗⃗⃗ =(5,3,√3)， 设平面PMN 与平面PBC 所成角为θ，．∴平面PMN 与平面PBC 所成角的余弦值为√18537．解析：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线面平行、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题． (1)取PC 中点O ，可证面NOM//面PAB ，得MN//面PAB ；(2)建立合适的坐标系，求出平面PMN 和平面PBC 的法向量，由此利用平面PMN 与平面PBC 法向量所成角的余弦值求出即可．19.答案：解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的离心率为√22知，b =c, a =√2b ， ∴椭圆C 的方程可设为x 22b2+y 2b 2=1，求得A(√2,0)，∴点(√2,√2)在椭圆上， ∴22b 2+2b 2=1，解得{a 2=6b 2=3，∴椭圆C 的方程为x 26+y 23=1；(Ⅱ)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =√2， 由(Ⅰ)知，M(√2,√2),N(√2,−√2)，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√2)，则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴OM ⊥ON ．当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y =kx +m ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， ∴√k 2+1=√2，即m 2=2(k 2+1)．联立直线和椭圆的方程得x 2+2(kx +m)2=6，∴(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0，得{ Δ=(4km)2−4(1+2k 2)(2m 2−6)>0x 1+x 2=−4km2k 2+1x 1x 2=2m 2−62k 2+1．∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2)，∴OM ⊥ON ． ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)⋅2m 2−62k 2+1+km ⋅−4km2k 2+1+m 2 =(1+k 2)(2m 2−6)−4k 2m 2+m 2(2k 2+1)2k 2+1=3m 2−6k 2−62k 2+1=3(2k 2+2)−6k 2−62k 2+1=0，综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，都有OM ⊥ON ． 在Rt △OMN 中，由△OMP 与△NOP 相似得，|OP|2=|PM|⋅|PN|=2为定值．解析：本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在椭圆中的应用，并结合向量运算一起考查，考查计算能力，属于难题．(Ⅰ)根据离心率得到a =√2b ，代入椭圆方程，根据题意得知点(√2,√2)在椭圆上，并将该点的坐标代入椭圆，可求出b 的值，进而得出a 的值，从而求出椭圆C 的方程； (Ⅱ)对圆O 在点P 处的切线的斜率是否存在进行分类讨论．一是斜率不存在时，可得出点M 、N 的坐标，从而求出|PM|⋅|PN|的值；二是斜率存在时，设该切线方程为y =kx +m ，设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由直线MN 与圆O 相切得出m 与k 之间所满足的关系式，并将直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的运算得出OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得出OM ⊥ON ，由△OMP 与△NOP 相似得，|OP|2=|PM|⋅|PN|，于是证出结论．20.答案：解：(1)因为x =2+4+5+6+85=5，y =3+4+5+6+75=5，∑(5i=1x i −x)(y i −y)=(−3)×(−2)+(−1)×(−1)+0×0+1×1+3×2=14，∑(x i −x)25i=1=(−3)2+(−1)2+02+12+32=20， ∑(y i −y)25i=1=(−2)2+(−1)2+02+12+22=10，所以相关系数r =5i=1i −x)(y i −y)√∑(i=1x i −x)2√∑(i=1y i −y)2=√20×√10=7√210>0.75，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系； (2)b ∧=5i=1i −x)(y i −y)∑(x −x)25=1420=0.7，那么a ∧=y −−b ̂x −=5−5×0.7=1.5，所以回归方程为y ∧=0.7x +1.5， 当x =12时，y ∧=0.7×12+1.5=9.9，即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克．解析：本题考查散点图，考查相关系数、回归直线方程、回归分析的初步应用，考查分析与计算能力，属于中档题．(1)利用数据计算得相关系数r =7√210>0.75，即可得到答案；(2)由题计算得回归方程为y ∧=0.7x +1.5，计算求解即可得到答案．21.答案：解：(1)f ′(x)=1x +a −1=1+ax−xx，x >0，①当a≥1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，②当a<1时，由f′(x)=0得x=11−a，当x∈(0,11−a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(11−a,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，综上讨论得：①当a≥1时，f(x)在(0,+∞)单调递增，②当a<1时，f(x)在(0,11−a)上单调递增，在(11−a,+∞)上单调递减；(2)当a=1时，(a−1)x+a+1=2，当a<1时，y=(a−1)x+a+1在x>0上单调递减，(a−1)x+a+1<a+1<2，综上当a≤1时，(a−1)x+a+1≤2，要证e x>f(x)，即证e x>lnx+(a−1)x+a+1，而lnx+(a−1)x+a+1≤lnx+2，只要满足e x>lnx+2成立即可，令ℎ(x)=e x−lnx，则ℎ′(x)=e x−1x，令H(x)=e x−1x ，则H′(x)=e x+1x2>0，则H(x)在(0,+∞)单调递增，即ℎ′(x)在(0,+∞)单调递增，而ℎ′(12)=√e−2<0，ℎ′(1)=e−1>0，故方程e x−1x =0有唯一解x0，且x0∈(12,1),从而e x0=1x，，当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0,x0)递减，x∈(x0,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(x0,+∞)递增；，∴e x>lnx+2，故当a≤1时，e x−f(x)>0．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式恒成立问题的证明，属于较难题．(1)对f(x)求导得f ′(x)=1+ax−x x ，分a ≥1时，和a <1讨论，利用导数判断函数的单调性即可；(2)当a ≤1时要证e x >f(x)只需让e x >lnx +2，令ℎ(x)=e x −lnx ，求导研究ℎ(x)的单调性和最值即可．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1的参数方程为{x =t t+1,y =2t+1t+1(t 为参数)，转换为直角坐标方程为：x −y +1=0． 曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0， 根据{x =ρcosθy =ρsinθ，转换为极坐标方程为ρ=4cosθ．(Ⅱ)由于ρ=4cosθ，设点P(4cosβ,β)，由于直线C 1的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ+1=0．得到Q(1cosβ+sinβ,π2+β)，所以S △POQ =12×4cosβ×1cosβ+sinβ=1，解得cosβ=sinβ，所以β=π4，所以|OP|=4cosβ=2√2．解析：本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点的极坐标和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)若a =3，不等式f(x)≥6，即|x +1|+|x −3|≥6．根据绝对值的意义，|x +1|+|x −3|表示数轴上的x 对应点到−1、3对应点的距离之和， 而数轴上−2和4对应点满足对应点到−1、3对应点的距离之和正好等于6，故|x +1|+|x −3|≥6的解集为(−∞,−2]∪[4,+∞)．(Ⅱ)根据绝对值的意义，|x +1|+|x −a|表示数轴上的x 对应点到−1、a 对应点的距离之和， 它的最小值为|a +1|，若不等式f(x)≥6对任意的实数x 恒成立，则|a +1|≥6，求得a ≥5，或a ≤−7，故实数a的取值范围为(−∞,−7]∪[5,+∞)．解析：(Ⅰ)若a=3，不等式即|x+1|+|x−3|≥6，根据绝对值的意义求得|x+1|+|x−3|≥6的解集．(Ⅱ)根据绝对值的意义，|x+1|+|x−a|的最小值为|a+1|，由|a+1|≥6，求得实数a的取值范围．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．。
2020年福建福州高三下学期高考模拟数学试卷(理科)
是以
为顶角的等腰直角三角形．若 在直线 右下方，求 的值．
21. 已知函数
，
（ 1 ） 求函数 的极值点．
（2） 当
时，当函数
． 恰有三个不同的零点，求实数 的取值范围．
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
5
22. 已知直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
，（ 为参数），以 为极点， 轴的
，
所以 是以 为首项，以 为公差的等差数列．
所以
．
（ 2 ）由（ ）及题设得，
，
所以数列 的前 项和
18.（ 1 ） （2）
．
．估计这 名学生的平均成绩为 ． 优秀
非优秀
12
合计
男生
女生
合计
有 的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．
解析:
（ 1 ）由题可得
，
解得
．
因为
所以估计这 名学生的平均成绩为 ．
优秀
非优秀
合计
男生
女生
合计
参考公式及数据：
，
．
19. 在底面为菱形的四棱柱
， 平面
．
中，
，
，
，
（ 1 ） 证明： （ 2 ） 求二面角
平面
． 的正弦值．
20. 已知椭圆 ：
（
）的离心率为 ，以 的短轴为直径的圆与直线
相切．
（ 1 ） 求 的方程．
（ 2 ） 直线
交椭圆 于
，
两点，且
，已知 上存在点 ，使得
D. 既不充分也不必要条件
，则“ ”是“ ”的（ ）．
6. 若 A.
，
，
，则（ ）．
2020年4月福建省福州市普通高中2020届高三毕业班高考模拟考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前福建省福州市普通高中2020届高三毕业班下学期高考模拟考试数学(文)试题(解析版)2020年4月一、选择题（共12小题）1.若复数1z i =+，则z z i ⋅=（ ） A. 0B. 2C. 2iD. 2i - 【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算即可. 【详解】2(1)(1)222z z i i i i i i i i ⋅+-====-. 故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.2.已知集合{}2|4M x x =≤，{|20}N x x =->，则M N =（ ）A. {|22}x x -≤<B. {|02}x x <<C. {|22}x x -≤≤D. {|2}x x ≤- 【答案】A【解析】【分析】分别求出集合A 、B ，再按交集的定义运算即可.【详解】由24x ≤，得22x -≤≤，所以{}|22M x x =-≤≤，又{|2}N x x =<，所以MN ={|22}x x -≤<.故选：A 【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及到解一元二次不等式，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.3.已知01m <<，设3a m =，3m b =，3log c m =，则（ ）A. b a c >>B. a b c >>C. c b a >>D. b c a >>【答案】A【解析】【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的性质即可得到答案.【详解】由已知，3(0,1)a m ∈=，(1,3)3m b ∈=，3log (,0)c m =∈-∞，所以b a c >>. 故选：A【点睛】本题考查指、对、幂的大小比较，考查学生的逻辑推理与基本计算能力，是一道容易题.4.下列函数中为奇函数的是（ ）A. sin y x x =B. x x y e e -=+C. 1ln lny x x =- D. ln ,0ln(),0x x y x x >⎧=⎨--<⎩ 【答案】D【解析】【分析】分别对所给选项按奇函数的定义进行验证.【详解】对于选项A ，()()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，故sin y x x =是偶函数； 对于选项B ，()()x x f x e e f x --=+=，故x x y e e -=+是偶函数；对于选项C ，定义域为(0,)+∞，不关于原点对称，故1ln ln y x x=-不是奇函数；。
2020年福建省高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案解析)
2020年福建省高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 己知集合A ={x|x ≤−1}，B ={x|x >0}，则∁R (A ∪B)=( )A. {x|x >−1}B. {x|x ≤0}C. {x|−1≤x <0}D. {x|−1<x ≤0}2. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=6，a 1=4，则S 5等于( )A. −2B. 0C. 5D. 103. 若实数x ，y 满足约束条件{x +y ≥0x −y ≥−12x −y ≤2，则目标函数z =x −2y 的最小值是( )A. −5B. −32C. 0D. 24. (x 3−1)(√x +2x )6的展开式中的常数项为( )A. −60B. 240C. −80D. 1805. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行阶梯水价，每人月用水量中不超过a 立方米的部分按2.5元/立方米收费，超出a 立方米的部分按7元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某年的月均用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：如果a 为整数，那么根据此次调查，为使80％以上居民在该月的用水价格为2.5元/立方米，a 至少．．定为( )A. 2B. 2.5C. 3D. 46. 在△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ .若点D 为AC 中点，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −a⃗ +12b ⃗ B. a⃗ +12b ⃗ C. a⃗ −12b ⃗ D. −a⃗ −12b ⃗ 7. 已知双曲线4x 2−3y 2=12，则双曲线的离心率为( )A. 73B. √213 C. √77 D. √728.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，此时圆柱、圆锥、球的体积之比为()A. 3:1:2B. 3:1:4C. 3:2:4D. 2:1:39.已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x+4)=f(x)；②对于任意的x1，x2∈R，且0≤x1<x2≤2，都有f(x1)<f(x2)；③函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称则下列结论中正确的是()A. f(4.5)<f(7)<f(6.5)B. f(7)<f(4.5)<f(6.5)C. f(7)<f(6.5)<f(4.5)D. f(4.5)<f(6.5)<f(7)10.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A′、B′两点，以线段A′B′为直径的圆C过点(−2,3)，则圆C的方程为()A. (x+1)2+(y−2)2=2B. (x+1)2+(y−1)2=5C. (x+1)2+(y+1)2=17D. (x+1)2+(y+2)2=2611.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是()(lg2=0.3010,lg3=0.4771,lg109=2.0374,lg0.09=−2.9543)A. 2015年B. 2011年C. 2010年D. 2008年12.已知函数f(x)={−x,x≤0−x2+2x,x>0，若方程f2(x)+bf(x)+14=0有六个相异实根，则实数b的取值范围()A. (−2,−1)B. (−54,−1) C. (−54,0) D. (2,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数z=−2+i，则z⋅zi=______ ．14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积是______．15.四名高二学生报名参加数学、物理、化学三门学科竞赛，要求每名学生都参加且只参加1门学科竞赛，则3门学科都有学生参赛的种数有______种．(结果用数字表示)16.已知在数列{a n}中，a1=2，2n(a n+a n+1)=1，设T n=a1+2a2+⋯+2n−1a n，b n=3T n−n−1a n，数列{b n}的前n项和S n=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，B=π3，c=8，cosC=−17.求：(1)求b的值；(2)求△ABC的面积．18.如图，矩形ABCD中，AD=2AB=4，E为BC的中点，现将△BAE与△DCE折起，使得平面BAE及平面DEC都与平面ADE垂直．(Ⅰ)求证：BC//平面ADE；(Ⅱ)求二面角A−BE−C的余弦值19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，A(a,0)，B(0,b)，O(0,0)，△OAB的面积为√22．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设斜率为k的直线l与椭圆交于P、B两点，与x轴交于N点，直线PA与y轴交于点M.求证：|AN|·|BM|为定值．20.为了解某地区某种农产品的年产量x(单位：吨)对价格y(单位：千元/吨)的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：已知x和y具有线性相关关系．(1)求y关于x的线性回归方程ŷ=b̂x+â；(2)若年产量为4.5吨，试预测该农产品的价格．(参考公式：b ̂=i ni=1i −nx⋅y ∑x 2n −nx2=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2，a ̂=y −b ̂x.)21. 已知函数f(x)=lnx −x 2+x −m ．(Ⅰ)求函数f(x)的极值； (Ⅱ)若函数在x ∈(0,3)上恒成立，求实数m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα+1(α为参数)，曲线C 2：{x =−√22s +1y =√22s −1(s 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线C 3的极坐标方程为ρcos θ−ρsin θ=2，记曲线C 2与C 3的交点为P ． (1)求点P 的极坐标；(2)设曲线C 1与C 2相交于A ，B 两点，求|PA|2+|PB|2的值．23.已知f(x)=|x+3|+|x+a|(a∈R)．(1)当a=1时，解不等式f(x)>4；(2)若f(x)的最小值为6，求a的值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：A∪B={x|x≤−1，或x>0}；∴∁R(A∪B)={x|−1<x≤0}．故选：D．进行并集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及并集、补集的运算．2.答案：B解析：解：根据题意，设等差数列的公差为d，则S3=6=32(a1+a3)且a3=a1+2d，又a1=4，解得d=−2，a3=0；所以S5=5a3=5×0=0．故选：B．根据题意，利用等差数列的通项公式与前n项和公式，即可求出S5的值．本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，是基础题目．3.答案：A解析：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解：由z=x−2y得y=12x−z2作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC)：平移直线y =12x ，由图象可知当直线y =12x −z2，过点B 时，直线y =12x −z2的截距最大，此时z 最小， 由{x −y =−12x −y =2，解得B(3,4)． 代入目标函数z =x −2y ， 得z =3−8=−5，∴目标函数z =x −2y 的最小值是−5， 故选：A ．4.答案：D解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 把(√x +2x )6按照二项式定理展开，可得(x 3−1)(√x +2x )6的展开式中的常数项．解：(x 3−1)(√x +2x)6=(x 3−1)(C 60⋅x 3+C 61⋅2⋅x 32+C 62⋅4+C 63⋅8x −32+C 64⋅16x −3+C 65⋅32x −92+C 66⋅64x −6)，故它的展开式中的常数项为C 64⋅16−C 62⋅4=180，故选D ．5.答案：C解析：本题主要考查的是频率分布直方图及其应用，属于基础题． 根据频率分布直方图判断即可．解：用水量在[0,3)的频率为：(0.08+0.16+0.30+0.44+0.50+0.28)×0.5=0.88>0.8， 用水量在[0,2.5)的频率为：(0.08+0.16+0.30+0.44+0.50)×0.5=0.74<0.8， 所以为使80%以上居民在该月的用水价格为2.5元/立方米， a 至少定为3立方米． 故选C ．6.答案：A解析：解：BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ −a ⃗ 故选：A ．利用已知点D 为AC 中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和向量减法的知识运算可得． 本题考查平面向量基本定理的简单应用．7.答案：B解析：解：双曲线4x 2−3y 2=12可化为x 23−y 24=1，所以a =√3，b =2，c =√7， 所以离心率e =ca =√213． 故选：B ．双曲线方程化为标准方程，可得a =5，b =3，c =4，从而可求双曲线的离心率．本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，确定双曲线的几何量是关键属于基础题．8.答案：A解析：本题考查圆柱、圆锥、球的体积，根据体积公式直接计算即可．解：由题意设球的半径为r ，则圆柱的底面半径为r 、高为2r ，圆锥的底面半径为r 、高为2r ，则V 圆柱=πr 2·2r =2πr 3，V 圆锥=13πr 2·2r =23πr 3，V 球=43πr 3， 所以V 圆柱：V 球：V 圆锥=3:1:2， 故选A ．9.答案：A解析：解：定义在R 上的函数y =f(x)满足以下三个条件：由①对于任意的x ∈R ，都有f(x +4)=f(x)，可知函数f(x)是周期T =4的周期函数；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1<x 2≤2，都有f(x 1)<f(x 2)，可得函数f(x)在[0,2]上单调递增；③函数y =f(x +2)的图象关于y 轴对称，可得函数f(x)的图象关于直线x =2对称． ∴f(4.5)=f(0.5)，f(7)=f(3)=f(1)，f(6.5)=f(2.5)=f(1.5)． ∵f(0.5)<f(1)<f(1.5)， ∴f (4.5)<f (7)<f (6.5)． 故选：A ．由①可知函数f(x)是周期T =4的周期函数；由②可得函数f(x)在[0,2]上单调递增；由③可得函数f(x)的图象关于直线x =2对称．于是f(4.5)=f(0.5)，f(7)=f(3)=f(1)，f(6.5)=f(2.5)=f(1.5).即可得出．本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：B解析：解：抛物线的准线方程为x =−1，焦点F(1,0)．设AB 的方程为y =k(x −1)，联立方程组{y 2=4x y =k(x −1)，得y 2−4k y −4=0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4． ∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√1k 2+1． ∴以A′B′为直径圆的圆C 的圆心为(−1,2k )，半径为2√1k 2+1．圆C 的方程为(x +1)2+(y −2k )2=4(1k 2+1)．把(−2,3)代入圆的方程得1+(3−2k )2=4(1k 2+1).解得k =2． ∴圆C 的方程为：(x +1)2+(y −1)2=5． 故选：B ．设AB 的斜率为k ，得出AB 的方程，与抛物线方程联立方程组，根据根与系数的关系得出圆的圆心坐标和半径，把(−2,3)代入圆方程解出k ，从而得出圆的方程．。
福建省福州市2020届高考数学模拟试卷1(4月份) (含答案解析)
福建省福州市2020届高考数学模拟试卷1（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数z =1−3i1−i，则zz −=( ) A. √2 B. 2 C. √5 D. 5 2. 已知集合M ={x|x 2≤9}，N ={x|x ≤1}，则M ∩N =( )A. [−3,1]B. [1,3]C. [−3,3]D. (−∞,1]3. 设a =log 32，b =ln2，c =5−12，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. c <b <a 4. 下列函数为奇函数的是( )A. x 2+2xB. 2cosx +1C. x 3sinxD. 2x −12x5. 在ΔOAB 中，点C 满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +1y=( ) A. 13 B. 23C. 92D. 296. 下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类 冰箱类 小家电类其它类 营业收入占比 90.10% 4.98% 3.82% 1.10% 净利润占比95.80%− 0.48%3.82%0.86%则下列判断中不正确的是( )A. 该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 7. 哈六中数学兴趣小组的同学们为了计算六中数学组二维码中黑色部分的面积，在如图一个边长为4的正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为( )A. 11B. 10C. 9D. 88. 已知双曲线x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为l ，圆C ：x 2+(y −b)2=4与l 交于第一象限A 、B 两点，若，且|OB|=3|OA|其中O 为坐标原点，则双曲线的离心率为( )A. 2√133B. √133C. 2√135D. √2139.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，f(π6)=f(π3)，且f(x)在区间(π6,π3)上有最小值，无最大值，则ω的值为()A. −103B. 143C. 83D. 2310.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P−ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A. 8πB. 12πC. 20πD. 24π11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，若AF，BF的中点在y轴上的射影分别为M，N，且|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√3，则抛物线C的准线方程为()．A. x=−32B. x=−2C. x=−3D. x=−412.若sinαsinβ=1，则cos(α−β)的值为()A. 0B. 1C. ±1D. −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=sinx+x−1在x=0处的切线方程是________．14.若x,y满足约束条件{x+2y−2≥0x−y+1≥0x≤1，则z=x−2y的最小值为___________．15.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为棱AD，D1D的中点，则异面直线MN与AC所成的角大小为____．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，满足2(S+ab)=(a+b)2−c2，则tanC=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是等差数列，a1=2，a3=6．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2n(a n+2)，求数列{b n}的前n项和S n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=5，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若∠PBA=60°，求四棱锥P−ABCD的体积．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，△AF1F2的周长为6，离心率等于12．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点(4,0)的直线l交椭圆C于M、N两点，且OM⊥ON，求直线l的方程．20.一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如表所示：学生A1A2A3A4A5数学(x分)8991939597物理(y分)8789899293(1)要从5名学生中选2名参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率(2)请在图中的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归方程；参考公式：线性回归方程ŷ=b∧x+a∧，其中b̂=ni=1i−x)(y i−y)∑(n x−x)2=ini=1i−nxy∑x2n−nx2，â=y−b̂x．21.已知函数f(x)=x−1−e x．(1)求f(x)的单调区间；(2)设−1<x1<0，x2>0，且f(x1)+f(x2)=−5，证明：x1−2x2>−4+1e．22.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=2+2cosα,y=2sinα(α为参数)，以点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)过极点O作直线与圆C交于点A，求OA的中点所在曲线的极坐标方程．23.已知f(x)=|x−a|+|x−3|．(1)当a=1时，解不等式：f(x)≥5；(2)若不等式f(x)≤3的解集非空，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：z=1−3i1−i =(1−3i)(1+i)(1−i)(1+i)=4−2i2=2−i，则zz−=(2−i)(2+i)=5．故选：D．把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数，是基础题．2.答案：A解析：本题考查了集合的交集运算，考查不等式求解，是一道基础题．求解不等式化简集合M，再根据定义求交集即可．解：M={x|x2≤9}={x|−3≤x≤3}，N={x|x≤1}，则M∩N={x|−3≤x≤1}，故选：A．3.答案：C解析：本题考查指数函数、对数函数和幂函数的性质，属中档题．解：∵b=ln2>0，，，又，c=5−12=√5<12，∴c<a<b．故选C．4.答案：D解析：解：A.f(−1)=1+12，f(1)=2，则f(−1)≠−f(1)，B.f(x)=2cosx+1为偶函数．C .f(x)=x 3sinx 为偶函数，D .f(−x)=(2−x −12−x )=12x −2x =−(2x −12x)=−f(x)，则函数为奇函数，故选：D根据函数奇偶性的定义进行判断．本题主要考查函数的奇偶性的判断，根据定义是解决本题的关键．5.答案：C解析：本题主要考查平面向量的基本定理与应用，属于一般题． 解析：解：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故x =13,y =23⇒1x +1y =92， 故选C6.答案：B解析：本题考查数据分析，属基础题． 根据表格信息逐项求解即可．解：由表知冰箱类净利润占比为负值，所以该公司2018年度冰箱类电器销售亏损，故A 对； 该公司2018年度小家电类电器营业收入所占比与净利润所占比相同，但收入与净利润不一定相同，故B 不对；由表知空调类净利润占比为95.80%，所以该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，故C 对；剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，故D 对． 故选B .7.答案：C解析：计算正方形二维码的面积，利用面积比等于对应的点数比求得黑色部分的面积． 本题考查了用模拟实验的方法估计概率的应用算问题，是基础题．解：边长为4的正方形二维码面积为42=16，设图中黑色部分的面积为S ，则S16=225400，解得S=225400×16=9，据此估计黑色部分的面积为9．故选：C．8.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系以及双曲线的几何意义，属于中档题．根据直线与圆的位置关系得到三角形ABC是边长为2的等边三角形，则圆心到直线y=bax的距离为√3，在△OBC中，由余弦定理得b2=7，进而求出离心率的值．解析：解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为：y=bax,圆C：x2+(y−b)2=4的圆心坐标为(0,b)，半径为2，由，所以三角形ABC是边长为2的等边三角形，故AB=2，OA=1，圆心到直线y=bax的距离为√3，在△OBC中，由余弦定理得解得b2=7，圆心到直线y=ba x的距离为√3，有abc=√3,∴ca=√7√3=√213,故选D．9.答案：B解析：【分析】本题考查y=Asin(ωx+φ)图象和性质，属于基础题．由题意得直线x=π4为f(x)的图像的一条对称轴，ω·π4+π3=−π2+2kπ(k∈Z)，又ω>0，k=1时，ω=143，验证f(x)在区间(π6,π3)上存在最大值．【解答】解：∵f(π6)=f(π3)，∴直线x=π6+π32=π4为f(x)的图像的一条对称轴．∵f(x)在(π6,π3)上有最小值，∴ω·π4+π3=−π2+2kπ(k∈Z)，。
2020年福建省福州市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)
第1页（共22页）2020年福建省福州市高考数学模拟试卷（理科） （5月份）一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的•C . 2 5则此正棱锥的高被分成的两段之比为（升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012 2018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图.则下面结论中正确的是 （ ）① 2012 2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；② 2013 2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；③ 中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和 2018年比2017年增加的滑雪人数均为 220 万人，因此这两年的同比增长率均有提高；1.(5 分)已知集合 A {x|9x 23 1} , B {y|y2}，则 @A)| B (A . [|，2)2 2 c . ( , 3]U 【3,2)(黑)2. （5分）复数z 满足（1 2i ）z 4 3i （i 为虚数单位） ，则复数z 的模等于（3.（5分）设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n . 若 a ? a, 2,S 4 9，则 a 504. A . 99B . 101C . 2500D . 9 245（5分）一个正棱锥被平行于底面的平面所截,若截得的截面面积与底面面积的比为 1:2 ,5. 6. A . 1：、2（5 分）（2x A .40 （5分）随着 B . 1:4c . 1：（2 1） 1)1)5 a 。
a^x 1) a 2(x B . 40 1)2a 5(x 1)5，则 a 3 (C . 80802022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上第2页(共22页)④2016 2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4% .11A .①②③B .②③④C .①②D .③④7. (5分)习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛•如 图，“大衍数列”：0, 2，4，8，12 来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.如图是求大衍数列前n 项和的程序框图•执行该程序框图，输入 m 10，则输出的S ( )A . 100B . 140C . 190D . 250i1&（ 5 分）若 a 44,b log s 12 , cIog1 则(）3 9A . b a cB . a b cC . a c bD . cab天—■具•i 叫Q1 M 仪 地二%utiEnQQQ" > »*甜次黛七aae<T »»»»MA4 0 4^0 »11第4页(共22页)9. (5分)将函数f(x) 2sin (3x —)的图象向右平移-个周期后得到函数g(x)的图象，则3 2g(x)图象的一条对称轴可以是()11r rrr r r13. （ 5分）已知向量a 与b 的夹角为60，|a| 2，|b| 3，则|3占2b | ____________ .2 214. （5分）椭圆C:笃 爲1（a b 0）的左，右焦点分别为F , F 2，焦距为2 3，点E 在a bC 上，EF EF 2，直线ER 的斜率为b （c 为半焦距），则C 的方程为 ___________ .c x y, 415. （5分）已知点P （x,y ）满足 y (x)，过点P 的直线l 与圆C:x 2 y 2 14相交于A 、B两点，贝U AB 的最小值为 ____ .16 . （5分）已知三棱锥 A BCD 的棱长均为6,其内有n 个小球，球与三棱锥A BCD 的 四个面都相切，球 。
2020年福建省高考数学(理科)模拟试卷(5)
（ 1）若 z 是非零复数，则 ??- ?一? 定是纯虚数； （ 2）若复数 z 满足 z2＝﹣ |z|2，则 z 是纯虚数；
（ 3）若复数 z1、 z2 满足 ?1?2 + ??22 = 0，则 z1＝ 0 且 z2＝ 0；
（ 4）若 z1、 z2 为两个虚数，则 ??1?2? + ?1??2?一定是实数；
3．（ 5 分）某超市抽取 13 袋袋装食用盐， 对其质量 （单位： g）进行统计， 得到如图茎叶图， 若从这 13 袋食用盐中随机选取 1 袋，则该袋食用盐的质量在 [499 ，501] 内的概率为（ ）
第 7页（共 21页）
5 A．
13
6 B．
13
7 C．
13
【解答】 解：这 13 袋中位于 [499 ， 501]的个数为 6，
则 3a﹣1＞ 1，
解得
a＞
2 3
；
2 所以实数 a 的取值范围是（ ， +∞）．
3
故选： A．
5．（ 5 分）函数 ??(??=) ????2?-1???的?大??致? 图象是（
）
A．
B．
C．
第 8页（共 21页）
D． 【解答】 解：函数 f （x）的定义域为 { x∈R |x≠± 1} ，且为偶函数，排除选项 C， D； 当 x∈（ 1， π）时， f（ x）＞ 0，排除 B， 故选： A．
其中正确的命题个数有（
）
A ．1 个
B．2 个
C． 3 个
D．4 个
【解答】 解：（ 1）若 z 是非零复数，则 ??- ??一定是纯虚数；正确， （ 2）若复数 z 满足 z2＝﹣ |z|2，则 z 是纯虚数；反例 z＝ 0，所以（ 2）不正确；
2020年福建省福州市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(附答案详解)
2020年福建省福州市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若复数z =1+i ，则z⋅z −i=( )A. 0B. 2C. 2iD. −2i2. 已知集合M ={x|x 2≤4}，N ={x|2−x >0}，则M ∩N =( )A. {x|−2≤x <2}B. {x|0<x <2}C. {x|−2≤x ≤2}D. {x|x ≤−2}3. 已知0<m <1，设a =m 3，b =3m ，c =log 3m ，则( )A. b >a >cB. a >b >cC. c >b >aD. b >c >a4. 下列函数中为奇函数的是( )A. y =xsinxB. y =e x +e −xC. y =lnx −ln 1xD. y ={lnx,x >0−ln(−x),x <05. 在△ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BD DC=( ) A. 13B. 12C. 23D. 26. 2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是( )A. 甲的物理成绩领先年级平均分最多B. 甲有2个科目的成绩低于年级平均分C. 甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理化学、历史D. 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果7. 如图来自古希腊数学家阿基米德所研究的几何图形．此图形由三个半圆构成，两个小半圆外切，又同时内切于大半圆，三个半圆弧围成曲边三角形(黑色部分)，由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，又称此图形为“皮匠刀”图形．若AC =2CB ，在整个图形中随机取一点，则此点取自曲边三角形(黑色部分)的概率为( )A. 29B. 49C. 12D. 598. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与圆x 2+(y −2√3)2=4相交于A ，B 两点，若|AB|=2，则C 的离心率为( )A. 2√33B. √3C. 2D. 49. 已知f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0)，且f(−π4)=2，f(π4)=0，则( )A. ω有最小值1B. ω有最大值1C. ω有最小值3D. ω有最大值310. 我国古代名著《九章算术》中，将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体称之为阳马．已知阳马P −ABCD 的顶点都在球O 的表面上，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB =AD =AP =1，则球O 的半径为( )A. 12B. √32C. 1D. √311. 已知两条抛物线C ：y 2=2x ，E ：y 2=2px(p >0且p ≠1)，M 为C 上一点(异于原点O)，直线OM 与E 的另一个交点为N.若过M 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且△ABN 的面积是△ABO 面积的3倍．则p =( )A. 8B. 6C. 4D. 212. 已知α，β是函数f(x)=sinx +cosx −13在[0,2π)上的两个零点，则cos(α−β)=( )A. −1B. −89C. −√22D. 0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)=x 2−lnx ，则曲线y =f(x)在x =1处的切线方程为______． 14. 设x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0,x −2y +4≥0,x ≤2则z =x −3y 的最小值为______15. 已知三棱锥P −ABC 的各棱长均为2，M ，N 分别为BC ，PA 的中点，则异面直线MN与PC 所成角的大小为______．16. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积S =a 2+b 2−c 28，D 为线段BC 上一点．若△ABD 为等边三角形，则tan∠DAC 的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }为递减的等差数列，a 1，a 6为方程x 2−9x +14=0的两根．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =a n −2n ，求数列{b n }的前n 项和．18. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，∠ABC =45°，AB =AA 1=2，P 为CC 1的中点． (1)证明：AB 1⊥平面PA 1B ；(2)设E 为BC 的中点，线段AB 1上是否存在一点Q ，使得QE//平面A 1ACC 1？若存在，求四棱锥Q −AA 1C 1C 的体积；若不存在，请说明理由．19. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(1,√22)，F 1，F 2是C 的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为4√2． (1)求C 的方程；(2)若F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3，求l 的方程．20. 如图是某校某班44名同学的某次考试的物理成绩y 和数学成绩x 的散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B.经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计量的值：∑x i 42i=1=4641，∑y i 42i=1=3108，∑x i 42i=1y i =350350，∑(42i=1x i −x −)2=13814.5，∑(42i=1y i −y −)2=5250，其中x i ，y i 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i =1，2，…，42.y 与x 的相关系数r =0.82．(1)若不剔除A 、B 两名考生的数据，用44数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为r 0，试判断r 0与r 的大小关系，并说明理由；(2)求y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.01)，并估计如果B 考生参加了这次物理考试(已知B 考生的数学成绩为125分)，物理成绩是多少？(精确到个位)．附：回归方程y ̂=a ̂+b ̂x 中b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．21. 已知函数f(x)=(x +sinx −cosx)e x ，f′(x)为f(x)的导函数．(1)设g(x)=f′(x)−f(x)，求g(x)的单调区间； (2)若x ≥0，证明：f(x)≥x −1．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√5cosφ+1,y=√5sinφ(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求C1的极坐标方程；(2)若C1与曲线C2：ρ=2sinθ交于A，B两点，求|OA|⋅|OB|的值．23.已知函数f(x)=|x−1|+|2x−a|．(1)当a=3时，解不等式f(x)≤2；(2)若不等式|x−1|+f(x)<3的解集非空，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z =1+i ，∴z ⋅z −=|z|2=(√2)2=2， 则z⋅z −i=2i=−2i −i 2=−2i ．故选：D ． 把z =1+i 代入z⋅z −i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】A【解析】解：M ={x|x 2≤4}={x|−2≤x ≤2}，N ={x|2−x >0}={x|x <2}，则M ∩N ={x|−2≤x <2}， 故选：A ．可以求出集合M ，N ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、表示集合的定义，不等式的解法，以及交集的运算．3.【答案】A【解析】 【分析】利用幂函数、对数函数和指数函数的单调性即可求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数、对数函数和指数函数的性质的合理运用． 【解答】解：∵函数y =x 3在R 上单调递增，且0<m <1，∴0<m 3<1，即0<a <1， ∵函数y =3x 在R 上单调递增，且0<m <1，∴30<3m <31，即1<b <3， ∵函数y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，且0<m <1，∴log 3m <log 31=0，即c <0， ∴b >a >c ， 故选：A ．【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =xsinx ，其定义域为R ，有f(−x)=(−x)sin(−x)=xsinx =f(x)，则函数f(x)为偶函数，不符合题意；对于B ，y =e x +e −x ，其定义域为R ，有f(−x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数，不符合题意；对于C ，y =lnx −ln 1x ，其定义域为(0,+∞)，是非奇非偶函数，不符合题意； 对于D ，y ={lnx,x >0−ln(−x),x <0，其定义域为{x|x ≠0}，当x >0时，−x <0，有f(x)=lnx =−f(−x)，当x <0时，−x >0，有f(x)=−ln(−x)=−f(−x)，则对于定义域中任意一个x ，都有f(−x)=−f(x)，f(x)为奇函数，符合题意； 故选：D ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案． 本题考查函数的奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：如图，设BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−k)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴k =13， ∴BDDC =12． 故选：B ．可设BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而可得出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−k)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而得出k =13，从而可得出BDDC 的值．本题考查了共线向量基本定理，平面向量基本定理，向量数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．【解析】【分析】本题考查对图表数据的分析，进行判断，属于基础题．根据图表进行选项判断，可知C错误．【解答】解：甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物(物理)，C选项错，故选：C．7.【答案】B【解析】解：设AC=2r1，BC=2r2，则AB=2r1+2r2，r1=2r2，于是阴影部分的面积为：π(r1+r2)22−πr122−πr222=π⋅r1⋅r2，于是所求概率为P=π⋅r1⋅r2π(r1+r2)22=4r22(3r2)2=49．故选：B．分别求出各自的面积，转化为面积比即可．本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，根据直线与圆的位置关系得到(√3a√a2+b2)2+ 12=22，然后求解离心率即可．【解答】解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为：bx+ay=0，圆x2+(y−2√3)2=4的圆心(0,2√3)，半径为：2，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆x2+(y−2√3)2=4相交于A，B两点，若|AB|=2，可得(2√3a√a2+b2)2+12=22，12a2a2+b2=3，即：b2=3a2，可得c2−a2=3a2，解得e=ca=2．故选：C．9.【答案】A【解析】解：f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)，且f(−π4)=2，f(π4)=0，∴f(−π4)=2sin(−π4ω+φ)=2，f(π4)=2sin(π4ω+φ)=0，∴−π4ω+φ=π2+2k1π，π4ω+φ=k2π，k1，k2∈Z，∴π2ω=k2π−2k1π−π2，k1，k2∈Z，∴ω=2k2−4k1−1，k1，k2∈Z，当k2=1，k1=0时，实数ω的最小值为1．故选：A．直接利用f(−π4)=2，f(π4)=0，列出方程，然后求解ω的值，求出最小值．本题考查三角函数解析式的求法，三角函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．10.【答案】B【解析】解：由题意可得将阳马P−ABCD的顶点的四棱锥放在长方体中，可得长方体的对角线为外接球的直径，所以2R=√1+1+1=√3，所以外接球的半径为√32，故选：B．由题意可得将阳马P−ABCD的顶点的四棱锥放在长方体中，由长方体的对角线等于外接球的直径，可得外接球的半径．本题考查四棱锥放在长方体中，长方体的棱长与外接球的半径的关系，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由S △ABNS △ABO=3，得|MN||MO|=3，故|y N −y M y M|=3(∗)，设直线OM 的方程为y =kx(k ≠0)， 分别代入y 2=2x 和y 2=2px ，得y M =2k ，y N =2p k，代入(∗)式得|p −1|=3，解得p =−2(舍去)或p =4， 所以p =4． 故选：C ．由三角形的面积的公式可得|MN|=3|MO|，转化为M ，N 的纵坐标之间的关系，设直线OM 的方程，联立两个抛物线的方程，求得M ，N 的纵坐标，解方程可得所求值． 本题考查抛物线的方程和性质，同时考查直线方程和抛物线方程联立，求交点，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：解法一：依题意，f(α)=f(β)=0，故sinα+cosα=13，由{sinα+cosα=13sin 2α+cos 2α=1，得9sin 2α−3sinα−4=0，9cos 2α−3cosα−4=0且sinα≠cosα， 所以sinα，cosα是方程9x 2−3x −4=0(∗)的两个异根．同理可证，sinβ，cosβ为方程(∗)的两个异根．可以得到sinα≠sinβ，理由如下：假设sinα=sinβ，则cosα=cosβ，又α，β∈[0,2π)，则α=β，这与已知相悖，故sinα≠sinβ．从而sinα，sinβ为方程(∗)的两个异根，故sinαsinβ=−49.同理可求cosαcosβ=−49，所以cos(α−β)=cosαcosα+sinαsinβ=−89．解法二：令f(x)=0，得sinx +cosx =13.令g(x)=sinx +cosx ，即g(x)=√2sin(x +π4)， 则α，β即为g(x)与直线y =13在[0,2π)上交点的横坐标，由图象可知，α+β2=5π4，故β=5π2−α，又√2sin(α+π4)=13，所以cos(α−β)=cos(2α−5π2)=cos[2(α+π4)−3π]=−cos2(α+π4)=−1+2sin 2(α+π4)=−89．解法三：依题意，不妨设0≤β<α<2π，则点A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ)为直线x +y −13=0与单位圆的两个交点，如图所示．取AB 中点为H ，则OH ⊥AB ，记∠AOH =θ.则α−β=2π−2θ， 所以，cos(α−β)=cos(2π−2θ)=cos2θ=2cos 2θ−1． 另一方面，OH =|0+0−13|√12+12=√26，OA =1，故cosθ=√26，从而cos(α−β)=2×(√26)2−1=−89．故选：B ．利用函数与方程之间的关系，结合三角函数的诱导公式，同角的三角函数的关系以及两角和差的三角公式分别进行转化求解即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用函数与方程的关系，以及利用三角函数辅助角公式，同角关系以及两角和差的三角公式进行转化计算是解决本题的关键．难度中等．13.【答案】y =x【解析】解：由已知f′(x)=2x −1x ， 所以f(1)=1，f′(1)=1， 故切线方程：y −1=x −1， 即y =x 即为所求．所以答案为：y =x ．先对函数f(x)求导数，然后分别求出f(1)，f′(1)，代入直线的点斜式即可． 本题考查导数的几何意义，利用导数求切线方程的基本思路．属于基础题．14.【答案】−7【解析】 【分析】本题考查利用线性规划求最值，属于基础题．先根据条件画出可行域，设z =x −3y ，再利用几何意义求最值即可． 【解答】解：在坐标系中画出x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0,x −2y +4≥0,x ≤2的可行域，如图所示：由z =x −3y 可得y =13x −13z ，则−13z 表示直线z =x −3y 在y 轴上的截距，截距越大，z 越小平移直线y =13x −13z ，当经过点A 时，z 最小， 由{x =2x −2y +4=0可得A(2,3)， 此时z 取最小值−7，则目标函数z =x −3y 的最小值为−7． 故答案为：−7．15.【答案】45°【解析】解：取AB中点O，PB中点D，连结PO，CO，MD，ND，∵三棱锥P−ABC的各棱长均为2，M，N分别为BC，PA的中点，∴ND//AB，且ND=12AB=1，MD//PC，且MD=12PC=1，∴∠NMD是异面直线MN与PC所成角(或所成角的补角)，PO⊥AB，CO⊥AB，∵PO∩CO=O，∴AB⊥平面POC，∵PC⊂平面POC，∴AB⊥PC，∴DN⊥DM，∵DN=DM，∴∠NMD=45°，∴异面直线MN与PC所成角的大小为45°．故答案为：45°．取AB中点O，PB中点D，连结PO，CO，MD，ND，则∠NMD是异面直线MN与PC所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线MN与PC所成角的大小．本题考查异面所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】−8+5√3【解析】解：由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcosB，∴a2+b2−c2=2abcosC，∵S=12absinC，∴12absinC=2abcosC8，∴tanC=sinCcosC =12，∵△ABD为等边三角形，∴tan∠DAC=tan(60°−C)=√3−tanC1+√3tanC =2√3−12+√3=−8+5√3．故答案为：−8+5√3．由题设、三角形面积公式及余弦定理得12absinC=2abcosC8，所以tanC=sinCcosC=12，所以tan∠DAC=tan(60°−C)=√3−tanC1+√3tanC =√3−12+√3=−8+5√3．本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及三角函数的计算，考查了运算能力和求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，因为a1，a6为方程x2−9x+14=0的两根，且数列{a n}为递减的等差数列，所以a1=7，a6=2，(2分)所以d=a6−a16−1=2−76−1=−1，(4分)所以a n=a1+(n−1)d=7−(n−1)=8−n，即数列{a n}的通项公式为a n=8−n.(6分)(2)由(1)得a n=8−n，所以b n=8−n−2n，(7分)所以数列{b n}的前n项和S n=[7+6+⋯+(8−n)]−(2+22+⋯+2n)(8分)=n(7+8−n)2−2−2n×21−2(11分)=15n−n22+2−2n+1.(12分)【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，根据a1，a6为方程x2−9x+14=0的两根，且数列{a n}为递减的等差数列，解得a1，a6，再利用通项公式即可得出．(2)由(1)得a n=8−n，所以b n=8−n−2n，利用求和公式即可得出．本题主要考查等差数列、等比数列、一元二次方程等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养，属于中档题．18.【答案】解：解法一：(1)证明：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=2，∴AC=BC=√2，又直三梭柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，则A1ABB1为正方形，设A1B交AB1于点O，则O为AB1的中点，且A1B⊥AB1．连接PA，PB1，PO，∵侧棱CC1⊥底面ABC，P为CC1的中点，则PA=√AC2+PC2=√2+1=√3，B1P=√B1C12+C1P2=√2+1=√3，故PA=PB1．∴PO⊥AB1，∵PO∩A1B=O，且PO，A1B⊂平面PA1B，∴AB1⊥平面PA1B.(2)当Q为AB1中点，即点Q与点O重合时，QE//平面A1ACC1．理出如下：连接A1C，∵E为BC的中点，∴则QE//A1C，∵QE∉平面AA1C1C，A1C⊂半面AA1C1C，∴QE//平面AA1C1C.此时，Q到平面A1ACC1的距离等于B到平面A1ACC1的距离的一半，又V B−A1C1C =23V ABC−A1B1C1=23×12×√2×√2×2=43，∴V Q−AA1C1C =12V B−AA1C1C=23．解法二：(1)证明：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=2，∴AC=BC=√2，(1分)又直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，则A1ABB1为正方形，设A1B交AB1于点O，则O为AB1的中点，且A1B⊥AB1．连接B1C交BP于F点，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1．又AC⊥BC，BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BB1C1C，∴AC ⊥平面BB 1C 1C ，∵BP ⊂平面BB 1C 1C ，∴AC ⊥BP ，在矩形BB 1C 1C 中，P 为CC 1的中点，则PB =√BC 2+PC 2=√2+1=√3，B 1C =√BC 2+BB 12=√2+4=√6，由CC 1//BB 1得△CPF∽△BB 1F ，∴PF FB =CF FB 1=PC BB 1=12，∴PF =√33，CF =√63，∴PF 2+CF 2=PC 2，故B 1C ⊥PB ，又AC ⊥BP ，AC ∩B 1C =C ，AC ，B 1C ⊂平面AB 1C ，∴BP ⊥平面AB 1C ， ∵AB 1⊂平面AB 1C ，∴AB 1⊥BP ．又A 1B ⊥AB 1，A 1B ∩BP =B ，A 1B ，BP ⊂平面PA 1B ，∴A 1B ⊥平面PA 1B . (2)当Q 为AB 1中点，即点Q 与点O 重合时，QE//平面A 1ACC 1． 理由如下：取AB 中点M ，连接QM ，ME ，又CE =BE ，∴ME//AC ，∵ME ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1， ∴ME//平面A 1ACC 1． 同理可得QM//平面A 1ACC 1．又∵ME ∩QM =M ，ME ，QM ⊂平面QME ， ∴平面QME//平面A 1ACC 1， 又∵QE ⊂平面QME ， ∴QE//平面A 1ACC 1．此时，Q 到平面A 1ACC 1的距离等于E 到平面A 1ACC 1的距离， 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ， ∵BC ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥BC ，又AC ⊥BC ，AC ∩CC 1=C ，AC ，CC 1⊂平面AA 1C 1C ，∴BC ⊥平面AA 1C 1C ， ∴EC 为四棱锥Q −AA 1C 1C 的高，EC =√22．∴V Q−AA 1C 1C =V E−AA 1C 1C =13S AA 1C 1C ⋅EC =13×(2×√2)×√22=23．解法三：(1)证明：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，AB=2，∴AC=BC=√2，设A1B交AB1于点O，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2，A1ABB1为正方形，∴O为AB1中点，且A1B⊥AB1．连接PA，PB1，PO，∵侧棱CC1⊥底面ABC，P为CC1的中点，则PA=√AC2+PC2=√2+1=√3，B1P=√B1C12+C1P2=√2+1=√3，故PA=PB1．∴PO⊥AB1，同理可得PO⊥A1B.又A1B∩AB1=O，A1B，AB1⊂平面ABB1A1，PO⊥平面ABB1A1．∵PO⊂平面PA1B，∴平面PA1B⊥平面ABB1A1．∵平面PA1B∩平面ABB1A1=A1B，AB1⊂平面ABB1A1，∴AB1⊥平面PA1B.(2)同方法一【解析】解法一：(1)证明A1ABB1为正方形，设A1B交AB1于点O，则O为AB1的中点，且A1B⊥AB1．连接PA，PB1，PO，推出PO⊥AB1，然后证明AB1⊥平面PA1B.(2)当Q为AB1中点，即点Q与点O重合时，QE//平面A1ACC1.连接A1C，说明QE//平面AA1C1C.Q到平面A1ACC1的距离等于B到平面A1ACC1的距离的一半，转化求解几何体的体积即可．解法二：(1)证明A1ABB1为正方形，设A1B交AB1于点O，则O为AB1的中点，且A1B⊥AB1.连接B1C交BP于F点，推出BB1⊥平面ABC，AC⊥BB1.结合AC⊥BC，证明AC⊥平面BB 1C 1C ，证明BP ⊥平面AB 1C ，然后证明A 1B ⊥平面PA 1B . (2)当Q 为AB 1中点，即点Q 与点O 重合时，QE//平面A 1ACC 1．取AB 中点M ，连接QM ，ME ，说明Q 到平面A 1ACC 1的距离等于E 到平面A 1ACC 1的距离，利用等体积法V Q−AA 1C 1C =V E−AA 1C 1C 转化求解即可． 解法三：(1)设A 1B 交AB 1于点O ，说明A 1ABB 1为正方形，得到A 1B ⊥AB 1，连接PA ，PB 1，PO ，推出PO ⊥AB 1，证明PO ⊥平面ABB 1A 1.得到平面PA 1B ⊥平面ABB 1A 1.即可证明AB 1⊥平面PA 1B .(2)同方法一本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、空间几何体的体积等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养．19.【答案】解：解法一：(1)依题意，2a =4√2，故a =√2．将点(1,√22)代入椭圆方程得，1a 2+12b 2=1，所以b 2=1，所以C 的方程为x 22+y 2=1．(2)由(1)知F 1，F 2的坐标分别为(−1,0)，(1,0)． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =ty −1， 代入x 22+y 2=1得，(2+t 2)y 2−2ty −1=0．所以△=4t 2+4(2+t 2)=8t 2+8>0，y 1+y 2=2t2+t 2，y 1y 2=−12+t 2． 因为F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1)=(ty 1−2,y 1)，F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2)=(ty 2−2,y 2)，所以F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(ty 1−2)(ty 2−2)+y 1y 2=(t 2+1)y 1y 2−2t(y 1+y 2)+4=−t 2+12+t 2−4t 22+t 2+4=−5t 2−12+t 2+4，因为F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3， 所以−5t 2−12+t 2=−1，即5t 2+1=2+t 2，解得t =±12，综上，直线l 的方程为2x −y +2=0或2x +y +2=0． 解法二：(1)同解法一．(2)由(1)知F 1，F 2的坐标分别为(−1,0)，(1,0)． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，①当AB ⊥x 轴时，A ，B 的坐标为(−1,−√22)，(−1,√22)，则F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−√22)⋅(−2,√22)=72≠3，不满足题意．②当AB 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =k(x +1)， 代入x 22+y 2=1得：(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0．所以△=(4k 2)2−4(1+2k 2)(2k 2−2)=8k 2+8>0，x 1+x 2=−4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2， 因为F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1)，F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2)，所以F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=x 1x 2−(x 1+x 2)+1+y 1y 2． 因为y 1y 2=k(x 1+1)k(x 2+1)=k 2(x 1x 2+x 1+x 2+1)，所以F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+k 2)(x 1x 2+1)+(k 2−1)(x 1+x 2)=(1+k 2)(2k 2−21+2k 2+1)+(k 2−1)−4k 21+2k2=7k 2−11+2k 2． 依题意得：7k 2−11+2k 2=3，解得k 2=4，即k =±2．综上，直线l 的方程为2x −y +2=0或2x +y +2=0．【解析】(1)依题意，易得2a =4√2，1a 2+12b 2=1，进而得到a ，b ，由此可得椭圆C 的方程；(2)解法一：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 的方程为x =ty −1，与椭圆方程联立，可得F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1)=(ty 1−2,y 1)，F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2)=(ty 2−2,y 2)，再根据题设建立方程，可求得t =±12，由此求得直线l 的方程；解法二：分情况讨论，①当AB ⊥x 轴时，容易判断此时不符合题意；②当AB 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =k(x +1)，与椭圆方程联立，可得F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1)，F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2)，再根据题设建立方程，可求得k =±2，由此求得直线l 的方程． 本题主要考查椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养，属于中档题．20.【答案】解：(1)r 0<r ．理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系， ①异常点A ，B 会降低变量间的线性相关程度；②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小； ③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数史大； ④42个数据点更贴近其回归直线l ； ⑤44个数据点与其回归直线更离散．(以上理由写出任一个或其它言之有理均可得分)(2)由题中数据可得：x −=142∑x i 42i=1=110.5，y −=142∑y i 42i=1=74，=350350−42×110.5×74=6916， 所以b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=691613814.5≈0.501，a ̂=y −−b ̂x −=74−0.501×110.5≈18.64，所以y ̂=0.50x +18.64，将x =125代入，得y ̂=0.50×125+18.64=62.5+18.64≈81， 所以估计B 同学的物理成绩约为81分．【解析】(1)r 0<r.通过y 与x 成正相关关系，说明①异常点A ，B 会降低变量间的线性相关程度；②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小；③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数史大；④42个数据点更贴近其回归直线l ；⑤44个数据点与其回归直线更离散．(2)求出对称中心，求出回归直线方程的斜率，然后求解a ，得到回归直线方程，将x =125代入，即可求出估计B 同学的物理成绩．本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数据分析、数学运算等数学核心素养．21.【答案】解法一：(1)依题意得，f′(x)=(1+cosx +sinx)e x +(x +sinx −cosx)e x=(1+x +2sinx)e x ．所以g(x)=f′(x)−f(x)=(1+sinx +cosx)e x ，g′(x)=(1+2cosx)e x ． 令g′(x)>0，得cosx >−12，解得−2π3+2kπ<x <2π3+2kπ，k ∈Z令g′(x)<0，得cosx <−12，解得2π3+2kπ<x <4π3+2kπ，k ∈Z ．所以g(x)的单调增区间为(−2π3+2kπ,2π3+2kπ)；单调减区间为(2π3+2kπ,4π3+2kπ)，其中k ∈Z ．(2)要证f(x)≥x −1，只需证：f(x)+1−x ≥0．设ℎ(x)=f(x)+1−x ，x ≥0，则ℎ′(x)=f′(x)−1=(1+x +2sinx)e x −1． 记t(x)=ℎ′(x)=(1+x +2sinx)e x −1，则t′(x)=(2+x +2sinx +2cosx)e x ． 当x ∈[0,π]时，sinx ≥0，又2+2cosx ≥0，e x >0，所以t′(x)≥0；当x∈(π,+∞)时，x>π，2sinx≥−2，所以x+2sinx>π−2>0，又2+2cosx≥0，e x>0，所以t′(x)≥0．综上，当x≥0时，t′(x)≥0恒成立，所以t(x)在[0,+∞)上递增．所以，t(x)≥t(0)=0，即ℎ′(x)≥0，所以，ℎ(x)在[0,+∞)上递增，则ℎ(x)≥ℎ(0)=0，证毕．解法二：(1)同解法一，(2)要证f(x)≥x−1，只需证f(x)+1−x≥0：设ℎ(x)=f(x)+1−x，x≥0，则ℎ′(x)=f′(x)−1=(1+x+2sinx)e x−1．x∈[0,π]时，1+x≥1，sinx≥0，1+x+2sinx≥1，x∈(π,+∞)时，1+x>1+π，2sinx≥−2，故1+x+2sinx>1+π−2>1．综上，当x≥0时，1+x+2sinx>1，所以，当x≥0时，ℎ′(x)≥e x−1>0．所以，ℎ(x)在[0,+∞)上递增，则ℎ(x)≥ℎ(0)=0，证毕．【解析】解法一：(1)求出导函数f′(x)，通过g(x)，得到g′(x)=(1+2cosx)e x.求出极值点，判断函数的单调性即可．(2)要证f(x)≥x−1，只需证：f(x)+1−x≥0.设ℎ(x)=f(x)+1−x，x≥0，求出导函数ℎ′(x)，记t(x)=ℎ′(x)，通过t′(x)=(2+x+2sinx+2cosx)e x.判断函数的单调性，转化求解ℎ′(x)≥0，推出结果．解法二：(1)同解法一，(2)要证f(x)≥x−1，只需证f(x)+1−x≥0：设ℎ(x)=f(x)+1−x，x≥0，则ℎ′(x)=(1+x+2sinx)e x−1.x∈[0,π]时，1+x≥1，sinx≥0，1+x+2sinx≥1，x∈(π,+∞)时1+x+2sinx>1+π−2>1.然后转化推出ℎ(x)≥ℎ(0)=0即可．本题主要考查函数与导数及其应用等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．22.【答案】解：(1)曲线C1的参数方程为{x=√5cosφ+1,y=√5sinφ(φ为参数)，转换为直角坐标方程为(x−1)2+y2=5，转换为极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−4=0．(2)由于若C1与曲线C2：ρ=2sinθ交于A，B两点，曲线C2：ρ=2sinθ转换为直角坐标方程为x2+y2=2y所以{(x −1)2+y 2=5x 2+y 2=2y，解得{x =0y =2或{x =−1y =1，即A(0,2)，B(−1,1)， 所以|OA|⋅|OB|=2√(−1)2+12=2√2．【解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用两曲线间的位置关系的应用求出交点的坐标，进一步利用两点间的距离公式的应用求出结果．23.【答案】解：(1)当a =3时，f(x)≤2即为|x −1|+|2x −3|≤2，等价为{x ≥32x −1+2x −3≤2或{1<x <32x −1+3−2x ≤2或{x ≤11−x +3−2x ≤2， 解得32≤x ≤2或1<x <32或23≤x ≤1，则原不等式的解集为[23,2]；(2)不等式|x −1|+f(x)<3的解集非空等价为|2x −2|+|2x −a|<3有解．由|2x −2|+|2x −a|≥|2x −2+a −2x|=|a −2|(当且仅当(2x −2)(2x −a)≤0取得等号)，则|a −2|<3，解得−1<a <5，故a 的取值范围是(−1,5)．【解析】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力，属于中档题．(1)由a =3可得|x −1|+|2x −3|≤2，运用绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得|2x −2|+|2x −a|<3有解，运用绝对值不等式的性质可得此不等式左边的最小值，解a 的不等式可得所求范围．。
2020届福建省福州市高考数学模拟试卷(理科)(有答案)
福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞03．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣ B．﹣C．1 D．5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．26．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．3++B．6+2+2C．3+2D．2++7．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．48．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．4 B．12C．18D．3611．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2016，﹣2012）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=______．14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则______．15．以下命题正确的是：______．①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM 于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F 两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解复数的模．【解答】解：复数z满足zi=2i+x（x∈R），可得z==2﹣xi．若z的虚部为2，可得x=﹣2．z=2﹣2i．∴|z|=2故选：B．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞0【考点】特称命题；命题的否定．【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，∴命题￢p：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，故选：A3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是[0，7]．故选：D．4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣ B．﹣C．1 D．【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．【分析】法一、由已知推导出cosα+sinα=，cosα﹣sinα=﹣，解得cosα=，由此利用二倍角的余弦求得cos2α的值．法二、利用诱导公式及倍角公式把已知变形，求出cos（α）=﹣，由α得范围求出的范围，进一步求得sin（α），再由倍角公式得答案．【解答】解：法一、∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵2cos2α=sin（α﹣），∴2（cos2α﹣sin2α）=（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα=，①∴1+2sinαcosα=，则2sinαcosα=﹣，（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=1+，∴cosα﹣sinα=，②联立①②，解得cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2（）2﹣1=．法二、由2cos2α=sin（α﹣），得2sin（）=sin（α﹣），则4sin（）cos（α）=sin（α﹣），∴cos（α）=﹣，∵α∈（，π），∴∈（），则sin（）=﹣，则cos2α=sin（）=2sin（）cos（α）=2×．故选：D．5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x ﹣2y 的最大值为2，确定约束条件中a 的值即可． 【解答】解：画出约束条件表示的可行域 由⇒A （2，0）是最优解，直线x +2y ﹣a=0，过点A （2，0），所以a=2，故选D6．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．3++B ．6+2+2C ．3+2D ．2++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，画出该几何体的直观图，结合图形求出答案来．【解答】解：根据几何体的三视图得，该几何体是底面为直角三角形的三棱锥，如图所示；∴它的表面积为S=S 底+S 侧=××+（××2+×2×2+××）=1+（+2+）=3++．故选：A ．7．（1﹣x ）6（1+x ）4的展开式中x 2的系数是（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．3D ．4【考点】二项式系数的性质．【分析】把已知二项式变形，然后展开二项式定理，则展开式中x2的系数可求．【解答】解：（1﹣x）6（1+x）4 =（1﹣2x+x2）（1﹣x2）4=（1﹣2x+x2）．∴（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是．故选：B．8．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，直线y=k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∵k＞0，∴点B的坐标为（1，2），∴k==．故选：A．9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】求得x≥2时，x＜2时，可得函数f（x）的单调性和值域，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．通过图象观察，即可得到所求区间．【解答】解：f（x）=，可得x≥2时，f（x）=递减，且f（x）∈（0，1]；当x＜2时，f（x）=（x﹣1）3递增，且f（x）∈（﹣∞，1）．画出函数f（x）的图象，如图：令g（x）=f（x）﹣k=0，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．由图象可得，当0＜k＜1时，直线y=k和y=f（x）有两个交点，可得函数g（x）=f（x）﹣k的两个零点在（1，+∞）．故选：D．10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．4 B．12C．18D．36【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由勾股定理的逆定理得出AB⊥BC，故O在底面ABC上的投影为斜边AC的中点，利用勾股定理计算出棱锥的高，代入体积公式计算．【解答】解：∵AB=6，BC=2，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．过O作OD⊥平面ABC，则D为AC的中点．∴OD===2．===4．∴V O﹣ABC故选A．11．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】取PF2的中点A，利用=2，可得⊥，从而可得PF1⊥PF2，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．【解答】解：取PF2的中点A，则=2∵（）•=0，∴2•=0∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=（﹣1）|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴c=|PF2|，∴e===故选B12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2016，﹣2012）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过观察2f（x）+xf′（x）＞x2，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，∵x＜0，∴会得到2xf（x）+x2f′（x）＜x3，而这时不等式的左边是（x2f（x））′，所以构造函数F（x）=x2f（x），则能判断该函数在（﹣∞，0）上是减函数，根据函数f（x）的奇偶性，得到F（x）是偶函数，发现不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0可以变成F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2），从而|x+2014|＜2，解这个不等式便可．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0）；得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3即[x2f（x）]′＜x3＜0；令F（x）=x2f（x）；则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数；∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2）；即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＜0；∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数；偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，f（﹣x）=f（x），∴F（﹣x）=F（x），F（x）在（0，+∞）递增，∴由F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2）得，|x+2014|＜2，∴﹣2016＜x＜﹣2012．∴原不等式的解集是（﹣2016，﹣2012）．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=9．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．可得q2．于是a2+a8=．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．∴q2=2或．则a2+a8==9．故答案为：9．14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则10．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的几何意义即可得到答案．【解答】解：=（）=﹣•，如图，根据向量数量积的几何意义得）﹣•=6||﹣4||=6×3﹣4×2=10，故答案为：10．15．以下命题正确的是：①③④．①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据三角函数的图象平移关系进行判断．②根据几何概型的概率公式进行判断．③根据排列组合的计数原理进行判断．④根据正态分布的概率关系进行判断．【解答】解：①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y=3sin[2（x﹣）+]=3sin （2x﹣+）=3sin2x，即可得到y=3sin2x的图象；故①正确，②解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣；故②错误；③可分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种正确，故③正确，④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．则正态曲线关于x=2对称，若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在[1，2]的概率P（1＜x＜2）=0.5﹣0．=4，则在（2，3）内取值的概率P（2＜x＜3）=P（1＜x＜2）=0.4．故④正确，故答案为：①③④16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理． 【分析】由（3+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，a=3，利用正弦定理可得（a +b ）（a ﹣b ）=（c ﹣b ）c ，化简利用余弦定理可得A ，再利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出． 【解答】解：∵（3+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，a=3， ∴（a +b ）（a ﹣b ）=（c ﹣b ）c ， ∴b 2+c 2﹣a 2=bc ， ∴cosA==， ∵A ∈（0，π），∴A=．∴b 2+c 2=9+bc ≥2bc ，化为bc ≤9，当且仅当b=c=3时取等号． ∴S △ABC ==．故最大值为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =3a n ﹣1，其中n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设a n b n =，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（ I ）分n=1与n ≥2讨论，从而判断出{a n }是等比数列，从而求通项公式； （ II ）化简可得=3（﹣），利用裂项求和法求解．【解答】解：（ I ）∵，①当n=1时，a 1=a 1﹣，∴a 1=1， 当n ≥2时，∵S n ﹣1=a n ﹣1﹣，② ①﹣②得： a n =a n ﹣a n ﹣1， 即：a n =3a n ﹣1（n ≥2）， 又∵a 1=1，a 2=3， ∴对n ∈N *都成立，故{a n }是等比数列， ∴． （ II ）∵，∴=3（﹣），∴，∴，即T n =．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）设各组的频率为f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，由此求出视力在5.0以上的频率，从而能估计该校高三学生视力在5.0以上的人数．（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（I）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，∴视力在5.0以上的频率为1﹣（0.03+0.07+0.27+0.26+0.23）=0.14，估计该校高三学生视力在5.0以上的人数约为1000×0.14=140人．…（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，，，，．…X的分布列为X 02 31PX的数学期望．…19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）连结AB、A1B1，则可证明几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，以O为原点建立坐标系，设AA1=2，求出和的坐标，通过计算得出AB1⊥A1D；（II）求出平面A1B1D的法向量，则AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（Ⅰ）连结AB、A1B1，∵C1，C分别是矩形A1ABB1边A1B1、AB的中点，∴AC⊥CC1，BC⊥CC1，AC∩BC=C∴CC1⊥面ABC∴∠ACB为二面角A﹣CC'﹣A'的平面角，则∠ACB=60°．∴△ABC为正三角形，即几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，则OA⊥平面BB1C1C，OO1⊥BC．以O为原点，以OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设AA1=2，则A（0，0，），B1（1，2，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，）．∴=（1，2，﹣），，∴=1×（﹣1）+2×（﹣1）+（﹣）×（﹣）=0，∴∴AB1⊥A1D．（Ⅱ）=（1，0，﹣），设平面A1B1D的法向量为=（x，y，z）．则，．∴，令z=1，得．∴cos＜＞===﹣．∴AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM 于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，从而推导出点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，由此能求出E的轨迹方程．（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合题意能求出|DE|+|FG|的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，所以PB+PA=PM=8所以点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，所以a=4，c=2，，所以E的轨迹方程是．…（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），设D（x1，y1），E（x2，y2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0…，，所以DE===，…设直线l2的方程为，所以，所以，…设t=k2+1，所以t＞1，所以，因为t＞1，所以，所以|DE|+|FG|的取值范围是．…21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的概念求解即可；（Ⅱ）构造函数，只需求出函数的最小值小于零即可，求出函数的导函数，对参数m进行分类讨论，判断函数的单调性，求出函数的最小值，最后得出m 的范围．．【解答】解：（Ⅰ）∵，函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．∴f'（1）=1﹣a=2∴a=﹣1（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得成立，构造函数的最小值小于零．…①当m+1≥e时，即m≥e﹣1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，…由可得，因为，所以；…②当m+1≤1，即m≤0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，由h（1）=1+1+m＜0可得m＜﹣2；…③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，最小值为h（1+m），因为0＜ln（1+m）＜1，所以，0＜mln（1+m）＜m，h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2此时，h（1+m）＜0不成立．综上所述：可得所求m的范围是：或m＜﹣2．…四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F 两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BF⊥FH，DH⊥BD，由此能证明B、D、F、H四点共圆．（2）因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，解得AD=4，BF=BD=1，由△AFB∽△ADH，得DH=，由此能求出△BDF的外接圆半径．【解答】（Ⅰ）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BF⊥FH，…又DH⊥BD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，所以B、D、F、H四点共圆．…（2）解：因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，即（2）2=2•AD，解得AD=4，…所以BD=，BF=BD=1，又△AFB∽△ADH，则，得DH=，…连接BH，由（1）知BH为DBDF的外接圆直径，BH=，故△BDF的外接圆半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出圆的普通方程，然后求解圆C的参数方程；（Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出x+y，通过两角和与差的三角函数，求解最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）利用绝对值的意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标，从而得出结论．（2）转化不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≤，利用函数恒成立以及绝对值的几何意义，求出x的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2的解集为﹛x|x≤或x≥﹜，（2）由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]，故答案为[，]．。
2020年福建省福州市高考数学模拟试卷(5月份) (含答案解析)
2020年福建省福州市高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数z1+i所对应的点为(2,−1)，i是虚数单位，则z=()A. −3−iB. −3+iC. 3−iD. 3+i2.已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2−3x+2<0}，则A∩∁R B=()A. {x|0≤x≤1}B. {x|0≤x≤1或x≥2}C. {x|1<x<2}D. {x|0≤x<1或x>2}3.已知a=(12019)2019，b=201912019，c=log120192019，则()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<c<a4.样本中共有五个个体，其值分别为1，m，n，2.5(m,n∈N∗).若该样本的中位数与平均数都为3，则mn=()A. 6B. 8C. 10D. 125.如图是计算12+14+16+⋯+120的值的一个程序框图，其中在判断框中应填入的条件是()A. i<10B. i>10C. i<20D. i>206.一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 2π3B. 43π C. 2π D. 8π37. 函数f(x)=2+ln|x|x 2的图象大致为( )A.B.C.D.8. 已知抛物线y 2=2px(p >o)的焦点为F ，过点M(p,0)的直线交抛物线于A ，B 两点，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AF||BF|=( ) A. 2B. 52C. √2D. 与p 有关9. 若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )A. 11B. 9C. 5D. 310. 已知f(x)是R 上的可导函数，其导函数为f′(x)，若对任意实数x ，都有f(x)>f′(x)，且f(x)−1为奇函数，则不等式f(x)<e x 的解集为( )A. (−∞,0)B. (−∞,e 4)C. (e 4,+∞)D. (0,+∞)11. 在锐角△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且bcosA =a +acosB ，则1tanA −1tanB 的取值范围为( )A. (1,23√3)B. (√2,23√6)C. (1,√3)D. (1,+∞)12. 方程x +|y −1|=0表示的曲线是( )A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，取得白球得2分，两人总分和为X ，则X =3的概率是______ ．14. 已知△ABC 中，BC =4，AC =8，∠C =60°，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =________． 15. 函数y =2cos(−14x −π6)周期为______ ．16. 设ΔABC 的三边长分别为a ，b ，c ，ΔABC 的面积为S ，内切圆的半径为r ，则r =2Sa+b+c ，类比这个结论可知，四面体S −ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为R ，四面体S −ABC 的体积为V ，则R =________ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设数列{a n }满足：a 1=1，且2a n =a n+1+a n−1(n ≥2)，a 3+a 4=12．(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{1an a n+2}的前n 项和．18. 如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB =BC =BD =2，∠ABC =∠DBC =120°， E 、F 分别为AC 、DC 的中点． (Ⅰ)求证：AD ⊥BC ；(Ⅱ)求四棱锥B −ADFE 的体积．19. 如图是某企业2013年至2019年污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2013～2019．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 和t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程，预测2020年该企业污水净化量；附注：参考数据：y =54,∑(t i −t − )7i=1(y i −y − )=21，√14≈3.74，∑(y i −y − )7i=12=18参考公式：相关系数r =i −t)n i=1i −y )√∑(t i −t)ni=1∑(y i −y )2n i=1回归方程y ̂=a ̂+b ̂t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(t i −t −)2n i=1,â=y −b ̂t20. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是椭圆C 上的一个动点，且△PF 1F 2面积的最大值为√3． (1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率存在的直线PF 2与椭圆C 的另一个交点为Q ，是否存在点T(0,t)，使得|TP|=|TQ|？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．21. 设函数f(x)=1−e −x ，证明：当x >−1时，f(x)≥xx+1．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 证明下列不等式；(1)a(a −b)≥b(a −b).(2)已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证：(ab +cd)(ac +bd)≥4abcd ．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的四则运算，属于基础题．根据复数z1+i 在复平面内对应的点为(2,−1)可得z1+i=2−i，化简即可求出z．【解答】解：因为复数z1+i在复平面内对应的点为(2,−1)，所以z1+i=2−i，所以z=(1+i)(2−i)=3+i．故选D．2.答案：B解析：解：A={x|2x≥1}={x|x≥0}，B={x|x2−3x+2<0}={x|(x−1)(x−2)<0}={x|1< x<2}，则∁R B={x|x≥2或x≤1}，则A∩∁R B={x|0≤x≤1或x≥2}，故选：B．求出集合A，B的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．3.答案：C解析：【分析】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题．由指数函数、对数函数的性质易知，0<a<1，b>1，c=−1，比较大小即可．【解答】解：∵0<a=(12019)2019<(12019)0=1，b=201912019>20190=1，c=log120192019=−log20192019=−1，∴c<a<b．故选C．4.答案：D解析：【分析】本题考查了中位数he和平均数，根据题意kede可得m或n有一个为3，再根据平均数算出另一个值，即可得出结果．【解答】因为中位数为3，可知m或n中有一个为3，假设m为3，又因为平均数也是3，则有1+2+3+n+55=3，可知n=4，故mn=12，故选D．5.答案：B解析：解：根据算法的功能是计算12+14+16+⋯+120的值，∴终止程序运行的i=11，∴判断框中应填入的条件是：i>10或i≥11．故选：B．根据算法的功能是计算12+14+16+⋯+120的值，确定终止程序运行的i=11，由此可得判断框中应填入的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程确定终止程序运行的i值是关键．6.答案：B解析：解：综合正视图，侧视图和俯视图可以判断出这个几何体是半个圆锥体，且底面半圆的半径2，高为2，则该几何体的体积是：12V 圆锥=12×(13×π×22×2)=43π， 故选B ．根据三视图可判断这个几何体为半个圆锥体，根据题意可知底面半径以及高，易求体积． 本题要先根据三视图确定出是什么几何体然后再根据其体积公式进行求解．7.答案：B解析： 【分析】分析函数的奇偶性和零点，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性和函数的零点，难度中档． 【解答】解：函数f(x)=2+ln|x|x 2满足f(−x)=f(x)，即函数为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除D ； 又f(1)=2≠0，故排除A 、C ， 故选：B ．8.答案：B解析： 【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识，考查抛物线的定义，属于中档题．设直线方程为x =my +p ，代入y 2=2px ，可得y 2−2pmy −2p 2=0，利用向量条件，求出A 、B 的坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论． 【解答】解：设直线方程为x =my +p ，代入y 2=2px ，可得y 2−2pmy −2p 2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=2pm ，y 1y 2=−2p 2， ∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(p −x 1,−y 1)=2(x 2−p,y 2)，∴x 1=−2x 2+p ，y 1=−2y 2， 可得y 2=p ，y 1=−2p ， ∴x 2=12p ，x 1=2p ，∴|AF||BF|=2p+12p12p+12p =52．故选B ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查双曲线中线段长的求法，是基础题，解题时要注意双曲线定义及简单性质的合理运用．设|PF 2|=x ，由双曲线的定义及性质得|x −3|=6，由此能求出|PF 2|. 【解答】解：设|PF 2|=x ， ∵双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，∴a =3，b =4.c =5，∴|x −3|=6，解得x =9或x =−3(舍)． ∴|PF 2|=9． 故选B ．10.答案：D解析：解：设g(x)=f(x)e x，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x<0，∴g(x)是减函数，∵f(x)−1为奇函数，∴f(0)−1=0，即f(0)=1， ∴g(0)=1， ∴当x >0时，g(x)=f(x)e x <1，即f(x)<e x ，故选D ．构造函数g(x)=f(x)e x，利用导数判断g(x)的单调性，根据单调性得出g(x)<1的解．本题考查了导数与函数单调性的关系，属于中档题．11.答案：A解析：解：因为：bcosA=a+acosB，可得：sinBcosA−sinAcosB=sinA，所以：sin(B−A)=sinA，可得：B=2A．结合在锐角△ABC中，有π3<B<π2，由1tanA −1tanB=cosAsinA−cosBsinB=sin(B−A)sinAsinB=sinAsinAsinB=1sinB∈(1,2√33)．故选：A．由正弦定理，两角差的正弦函数公式化简已知等式可得sin(B−A)=sinA，可得B=2A.结合在锐角△ABC中，有π3<B<π2，化简所求即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．12.答案：B解析：【分析】本题主要考查了方程所表示的曲线，属于基础题．方程x+|y−1|=0可化为|y−1|=−x≥0，可得x≤0，即可得结果．【解答】解：方程x+|y−1|=0可化为|y−1|=−x≥0，则x≤0．所以曲线方程为x+y−1=0(x≤0,y≥1)或x−y+1=0(x≤0,y<1)故选B．13.答案：35解析：【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，是基础题．利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解．【解答】解：当X =3时，甲取到黄球，乙取到白球或甲取到白球，乙取到黄球，故P(X =3)=25×34+35×24=35．故答案为35．14.答案：−16解析：【分析】本题考查向量的数量积的运算，考查计算能力．直接利用向量的数量积的运算法则求解即可．【解答】解：因为△ABC 中，BC =4，AC =8，∠C =60°，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120°=−16． 故答案为−16．15.答案：8π解析：解：函数y =2cos(−14x −π6)=2cos(14x +π6)的周期为T =2π14=8π，故答案为：8π．由条件根据函数y =Acos(ωx +φ)的周期为2πω，可得结论．本题主要考查诱导公式、函数y =Acos(ωx +φ)的周期性，利用了函数y =Acos(ωx +φ)的周期为2πω，属于基础题．16.答案：3VS1+S2+S3+S4解析：【分析】本题主要考查了类比推理，属于中档题型．根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V=13(S1+S2+S3+S4)R，∴R=3VS1+S2+S3+S4．故答案为3VS1+S2+S3+S4．17.答案：解：(1)由2a n=a n+1+a n−1(n≥2)，则a n−a n−1=a n+1+a n(n≥2)，可知数列{a n}是等差数列，设公差为d，∵a1=1，且a3+a4=12，∴2a1+5d=12，解得d=2，∴{a n}的通项公式为a n=1+2(n−1)=2n−1(n∈N∗).(2)由(1)知a n=2n−1，则1a n a n+2=1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，设数列{1a n a n+2}的前n项和为S n，则S n=14[(1−15)+(13−17)+(15−19)+⋯+(12n−1−12n+3)]=14(1+13−12n+1−12n+3)=13−n+1(2n+1)(2n+3)解析：本题主要考查了数列的通项公式，利用列项相消法进行数列的求和，考查学生的计算能力和推理能力，难度适中．(1)根据题意可知a n−a n−1=a n+1+a n(n≥2)，从而可得数列{a n}为等差数列，从而即可得{a n}的通项公式．(2)根据(1)中a n=2n−1，利用列项相消法即可求得数列{1a n a n+2}的前n项和．18.答案：证明：(Ⅰ)取AD的中点M，连结BM，CM，∵AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC=DC，AM=MD，∴AD⊥CM，∵AB=BD，AM=MD，∴AD⊥BM，∵CM∩BM=M，∴AD⊥平面BCM，∵BC⊂平面BCM，∴AD⊥BC．解：(Ⅱ)过A作AN⊥BC，交CB延长线于N，由题意AN⊥平面BCM，且AN=√3，∴V A−BCD=13×12×2×2×sin120°×√3=1，∴V E−BCF=13×(12×S△BCD)×12AN=14，∴棱锥B−ADFE的体积：V=V A−BCD−V E−BCF=1−14=34．解析：本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)取AD的中点M，连结BM，CM，推导出AD⊥CM，AD⊥BM，由此能证明AD⊥平面BCM，从而AD⊥BC．(Ⅱ)过A作AN⊥BC，交CB延长线于N，棱锥B−ADFE的体积V=V A−BCD−V E−BCF，由此能求出结果．19.答案：解：(1)由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，∵t =4 ，∑(t i −t)2n i=1=28, ∑(t i −t)n i=1(y i −y )=21，∑(y i −y )2n i=1=18， ∴r =i −t)n i=1i −y )√∑(t i −t)n i=1∑(y i −y )2n i=1=√28×18≈0.935，∵0.935>0.75，故y 与t 之间存在较强的正相关关系； (2)由y =54及(1)得b ∧=i −t)n i=1i −y )∑(t −t)2n i=1=2128=34， a ∧=y −b ̂t =54−34×4=51． 所以，y 关于t 的回归方程为：y ∧=34t +51． 将2020年对应的t =8代入回归方程得：y ∧=57，所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约57亿吨．解析：本题考查的知识点是线性回归方程，考查线性相关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要细心．(1)由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；(2)根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2020年对应的t 值为8，代入可预测2019年我国生活垃圾无害化处理量．20.答案：解：(Ⅰ)∵椭圆离心率为12，当P 为C 的上顶点时，△PF 1F 2的面积有最大值√3．∴{ca =1212×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，∴a =2，b =√3，c =1．故椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1．(Ⅱ)设直线PQ 的方程为y =k(x −1)，当k ≠0时，y =k(x −1)代入x 24+y 23=1，得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0； 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，线段PQ 的中点为N(x 0,y 0)，x 0=x 1+x 22=4k 23+4k 2，y 0=y 1+y 22=k(x 0−1)=−3k 3+4k 2， 即N(4k 23+4k 2,−3k 3+4k 2)，∵|TP|=|TQ|，∴直线TN为线段PQ的垂直平分线；∴TN⊥PQ，则k TN⋅k PQ=−1．所以−3k4k2+3−t4k24k2+3⋅k=−1，⇒t=k4k2+3=14k+3k，当k>0时，因为4k+3k ≥4√3，∴t∈(0,√312];当k<0时，因为4k+3k ≤−4√3，∴t∈[−√312,0);当k=0时，t=0符合题意．综上，t的取值范围为[−√312,√312]．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的方程的求法，圆锥曲线的范围的求法，考查转化思想以及计算能力．(Ⅰ)根据椭圆离心率为12，△F1PF2的面积为√3.列式计算a，b，c即可．(Ⅱ)设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，得出关于x的一元二次方程；再设出P、Q的坐标，表示出线段PQ的中点R，根据k TN⋅k PQ=−1.，求出T点的横坐标t的取值范围，即可得出结论．21.答案：证明：由1−e−x≥xx+1⇔e x≥1+x．当x>−1时，f(x)≥xx+1当且仅当e x≥1+x．令g(x)=e x−x−1，则g′(x)=e x−1．当x≥0时，g′(x)≥0，g(x)在[0,+∞)上为增函数，当x≤0时，g′(x)≤0，g(x)在(−∞,0]上为减函数，于是g(x)在x=0处达到最小值，因而当x∈R时g(x)≥g(0)，即e x≥1+x．所以当x>−1时，f(x)≥xx+1．解析：把给出的不等式f(x)≥xx+1等价变形，然后构造函数，求出函数的导函数，利用导函数的符号判断原函数的单调性，从而求出最小值，原不等式得到证明．本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了数学转化思想方法，考查了函数构造法，是中档题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，经过伸缩变换{x′=x y′=y 2得到曲线C 2．得到：x 24+y 2=1．(Ⅱ)曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，转换为直角坐标方程为√3x −y −√3=0，由于点P(1,0)在直线l 上，故{x =1+12t y =√32t (t 为参数)．所以把直线的参数方程代入x 24+y 2=1，得到13t 2+4t −12=0，(t 1和t 2为M 、N 对应的参数) 所以t 1+t 2=−1413，t 1⋅t 2=−1213，所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√103．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． (Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：证明：(1)a (a −b )−b (a −b )=(a −b )2⩾0，所以a(a −b)≥b(a −b)；(2)由a ，b ，c ，d 都是正数，得ab+cd 2≥√ab ·cd ，ac+bd 2≥√ac ·bd ，所以(ab+cd)(ac+bd)4≥abcd ，即(ab +cd)(ac +bd)≥4abcd ．解析：(1)本题主要考查作差法证明不等式．(2)本题主要考查均值不等式证明不等式．。
福建省福州市2020届高三6月高考模拟考试数学(文)试卷
文科数学（完卷时间120分钟满分150分） （请将选择题和填空题的答案写在答案卷上）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，若A B =RR ，则实数a 的取值范围是A ．1a ≤B ．1a <C ．2a ≥D ．2a >2.复数||iz i i=-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为 A ．2i -B ．2+iC ．4i -D ．4+i3．已知平面向量(1,)a x =，(2,3)b =，若向量2a b +与向量b 共线，则x = A ．72B ．52C ．32D ．124.已知,m n 是两条不同的直线，α是一个平面，且m α⊥，则“m n ⊥”是“//n α”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知12434,log 9,log 2a b c -===，则,,a b c 的大小关系是A.a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<6.已知正项等比数列{}n a 的首项和公比相等，数列{}n b 满足2log n n b a =，且123++12b b b =，则4=aA ．4B ．32C ．108D ．2567.已知函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则不等式1()2f x ≤的解集是A.(,ln 2]-∞-⋃B.(,ln 2)-∞-C. D.(,ln 2)-∞-⋃8.在区间[]1,1-上随机取一个数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为A.12B.13C.4 D.39.函数()22)sin cos xxf x x x -=-（的部分图像大致是ABCD10.已知函数()2sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><，对于满足12()()4f x f x -=的12,x x ，有12min32x x π-=，又()02f π=，则下列说法正确的是 A ．2ω=B ．函数2y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数 C .函数()f x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()y f x =的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 11.过抛物线22(0)C y p x p =>：的焦点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，且3AF FB =，直线AB 与抛物线C 的准线l 交于点D ,1AA l ⊥于1A ，若1AA D ∆的面积等于83，则p =A.32B.2C.52D.4 12.如图，正三棱锥P ABC -的侧棱长为2，底面边长为22，,D E 分别是,AC AB 的中点，M 是PD 上的动点，N 是平面PCE 上的动点，则AM MN +的最小值是 A.3B.6 C.2+6D.2+6第Ⅱ卷第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。
福州市2020年高三数学(文)5月高考模拟试卷附答案解析
福州市2020年高三数学（文）5月高考模拟试卷一、单选题1．集合{1,2,3}A =，2{|20}B x x x =-≤，则A B =I （ ）A ．{2}B ．{3}C ．{1，2}D ．{2，3}2．复数z 满足2iz 1i=-，那么z 是( )A B ．C ．2D ．3．函数2()ln (1)f x x x =--零点个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．04．把编号为1，2，3，4的四颗小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一颗小球． 若小球不能放入与小球有相同编号的盒子，则1号小球放入2号盒子的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．165． 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为( )A ．1B ．0C ．1D ．36．已知F 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一个焦点，过F 做y 轴的垂线，与双曲线的两条渐近线分别相交于,A B 两点．O 为坐标原点，若OAB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B C D ．7．AD 是ABC ∆的中线，若π4,3AD BC B ===，则ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．2C ．D ．48．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π9．F 为抛物线24y x =的焦点，过F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，AB 中点00(,)M x y ，若032x =，则（ ） A ．013y =±B ．012y =±C ．01y =± D ．032y =±10．函数π()2sin(2)6f x x =+的图象与()g x 图象关于点(0,(0))f 对称，则当π[0,]2x ∈时，()g x 的值域为（ ）A ．[1,4]B ．[1,3]C ．[2,1]-D ．[1,1]-11．一批学生（既有男生也有女生）报名参加志愿者公益活动． 初步估计女生人数的2倍比男生人数至多多8人，男生人数的2倍比女生人数至多多5人，则参加活动的男生人数女生人数的最大值为（ ）A ．67B ．74C ．4D ．312．若函数22()log (1)f x x ax =-+的定义域为R ，且当12x >时，(1)()f x f x -<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,2)- B ．(2,1)-C ．(,1)-∞D ．(1,2)-二、填空题13．已知12,e e →→是两个单位向量，12212,2a e e b e e →→→→→→=+=-． 若a b →→⊥，则向量12,e e →→的夹角为_______．14．()f x 与()g x 都是定义在R 上的函数，()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，(1)0g -=，则((1))f g =_____．15．已知222cos sin cos αααα-，则πcos(2)6α+=_______．16．已知(1,1),(1,1)A B --，动点(,)P m n 是圆221(2)(4)2x y -+-=内（含边界）一点． 记直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ，且满足ππtan()2tan()44βα-=-，则点P 的轨迹长度为________．三、解答题17．数列{}n a 满足：132a =，122n n a a n +=++．（1）求3a ；（2）记n n b a n =-，求证：数列{}n b 为等比数列； （3）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ．18．三棱锥P ABC -中，2,AB AC BC PA PB =====PAB ⊥面ABC ．（1）求PC 长； （2）求三棱锥体积；（3）PAC ∆内（含边界）上是否存在H 点，使BH ⊥面PAC ． 若存在H 点，求出H 点的位置；若不存在H点，说明理由．19．现从某学校中选出M 名学生，统计了M 名学生一周的户外运动时间（分钟）总和，得到如图所示的频率分布直方图和统计表格．（1）写出,,M m n 的值，并估计该学校人均每周的户外运动时间（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）假设2,2a b ≥≥，则户外运动时长为[90,110)的学生中，男生人数比女生人数多的概率．（3）若4,6a b ==，完成下列22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少运动130分钟与性别有关”？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．动点(,)M x y 与定点(1,0)F 的距离和该动点到直线4x =的距离的比是常数12． （1）求动点M 轨迹方程C ；（2）已知点(2,0)A -，问在x 轴上是否存在一点P ，使得过P 点的任一条斜率不为0的弦交曲线C 于,M N 两点，都有0AM AN ⋅=uuu r uuu r．21．定义在[0,]π上的函数()(sin cos )e cos x f x x x a x =-+，2a ≥． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有且仅有一个零点，求a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的普通方程为2240x y x +-=，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．以坐标O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点(4,0)P ，2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直线l 与12,C C 的交点分别为,O A ，,O B ．当PAB △为等腰直角三角形时，求直线l 的方程．23．函数()22f x x x a =--+，R a ∈． （1）当1a =时，求不等式()1f x ≥-的解集； （2）设函数1()42g x x =+，若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象只有一个公共点，求a 的值．解析福州市2020年高三数学（文）5月高考模拟试卷一、单选题1．集合{1,2,3}A =，2{|20}B x x x =-≤，则A B =I （ ）A ．{2}B ．{3}C ．{1，2}D ．{2，3}【答案】D【解析】先求解集合B 再求交集即可.(){|20}{|20}B x x x x x x =-≥=≥≤或,故{2,3}A B =I .故选：D .【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题. 2．复数z 满足2iz 1i=-，那么z 是( )A B ．C ．2D ．【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：()()()2i 1i 2i z 1i 1i 1i 1i +===-+--+Q ，z ∴=．故选A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 3．函数2()ln (1)f x x x =--零点个数是（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】数形结合分析函数ln y x =的图象与函数2(1),0y x x =->的图象的交点个数即可. 【详解】函数2()ln (1)f x x x =--的零点个数即为方程2ln (1)0x x --=的解的个数,即为函数ln y x =的图象与函数2(1),0y x x =->的图象的交点个数,画出对应函数图象,易知有两个交点.故选：B . 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出两个函数图像得到交点个数.属于基础题. 4．把编号为1，2，3，4的四颗小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一颗小球． 若小球不能放入与小球有相同编号的盒子，则1号小球放入2号盒子的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【解析】分析1号小球所有可能放入的情况求解即可. 【详解】因为1号小球不能放入1号盒子,所以只能从234,,三个盒子选一个,且每种情况对应的情况数相同.故放入2号盒子的概率为13.故选：B . 【点睛】本题主要考查了列举法求解古典概型的问题,属于基础题.5． 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为( )A ．1B ．0C ．1D ．3【答案】B【解析】经过第一次循环得到32s i ==，， 不满足4i ＞， 执行第二次循环得到43s i ==，，不满足4i ＞，， 执行第三次循环得到s=1，i=4，不满足4i ＞，， 经过第四次循环得到05s i ==，， 满足判断框的条件 执行“是”输出0S =．故选B ．6．已知F 是双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一个焦点，过F 做y 轴的垂线，与双曲线的两条渐近线分别相交于,A B 两点．O 为坐标原点，若OAB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BCD ．【答案】D【解析】根据OAB ∆是等边三角形可知渐近线的斜率为进而根据渐近线的方程求出ab=再根据,,a b c 的关系求解离心率即可.【详解】OAB ∆是等边三角形,渐近线的斜率为所以ab b a =,所以双曲线的离心率c e a ===故选：D . 【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法,需要根据题意建立,,a b c 的关系式求解.属于基础题.7．AD 是ABC ∆的中线，若π4,3AD BC B ===，则ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．2C ．D ．4【答案】A【解析】在ABD ∆中,由正弦定理可得π2BAD ∠=,再根据2ABC ABD S S ∆∆=求ABC ∆的面积即可. 【详解】在ABD ∆中,由正弦定理可得sin sin AD BD B BAD=∠,2sin sin 3BAD =∠,解得sin 1BAD ∠=,所以π2BAD ∠=.则1AB =,12212ABC ABD S S ∆∆==⨯⨯故选：A . 【点睛】本题主要考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的应用,需要根据边角关系确定所用的正弦定理与面积公式.属于基础题.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π【答案】C【解析】先画出直观图,再根据该几何体外接的正方体的外接球半径的求法求解即可. 【详解】还原该几何体的直观图,如图所示可见该几何体是四棱锥,5个顶点都是边长为2的正方体的顶点.所以外接球的半径就为=,所以外接球的表面积为12π. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了根据三视图求解外接球表面积的问题,需要根据题意确定正方体的外接球半径.属于基础题. 9．F 为抛物线24y x =的焦点，过F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，AB 中点00(,)M x y ，若032x =，则（ ） A ．013y =± B ．012y =±C ．01y =± D ．032y =±【答案】C【解析】利用点差法求解弦AB 的斜率,进而求得AB 方程,再代入032x =求解即可. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ,故21122244y x y x ⎧=⎨=⎩,相减可得()2212124y y x x -=-,故121212042y y x x y y y -==-+,即焦点弦AB 的斜率为02y ,又()1,0F .故AB 方程是()021y x y =-,化简可得0220x y y --=, 将03(,)2M y 代入该直线方程可得01y =±.故选：C . 【点睛】本题主要考查了点差法求解焦点弦方程的问题,属于中档题.10．函数π()2sin(2)6f x x =+的图象与()g x 图象关于点(0,(0))f 对称，则当π[0,]2x ∈时，()g x 的值域为（ ）A ．[1,4]B ．[1,3]C ．[2,1]-D ．[1,1]-【答案】A【解析】根据函数关于点对称的性质可得()g x 的解析式,再根据三角函数图像求解值域即可. 【详解】由题意函数π()2sin(2)6f x x =+的图象与()g x 图象关于点(0,1)对称,∴满足()()12g x f x +-=,∴ππ()22sin(2)22sin(2)66g x x x =--+=+-,当π[0,]2x ∈时,∴ππ5π2[,]666x -∈-,∴()[1,4]g x ∈.故选：A . 【点睛】本题主要考查了根据函数的性质求解解析式的问题,同时也考查了根据三角函数的定义域求值域的问题.属于中档题.11．一批学生（既有男生也有女生）报名参加志愿者公益活动． 初步估计女生人数的2倍比男生人数至多多8人，男生人数的2倍比女生人数至多多5人，则参加活动的男生人数女生人数的最大值为（ ）A ．67B ．74C ．4D ．3【答案】D【解析】设女生人数为x ,男生人数为y .再根据题意列出关于,x y 满足的不等式,再画出可行域,根据男生人数女生人数的几何意义求解即可. 【详解】设女生人数为x ,男生人数为y . 因为有男生和女生,所以男生女生至少有一个人,又因为人数必须是正整数,所以满足此约束条件28251(N )1(N )x y y x x x y y ++-≤⎧⎪-≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩,作出可行域如图所示,所以yx在(1,3)点处取得最大. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了线性规划的实际运用,需要根据题意画出可行域中的整点,再根据所求量的几何意义求解即可.属于中档题.12．若函数22()log (1)f x x ax =-+的定义域为R ，且当12x >时，(1)()f x f x -<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,2)- B ．(2,1)- C ．(,1)-∞D ．(1,2)-【答案】B【解析】根据二次函数以及对数函数的性质可知240a ∆=-<,再根据函数的性质可得对称轴与12x =的位置关系,再列式求解不等式即可. 【详解】由题知210x ax -+>在R 上恒成立,故240a ∆=-<,22a -<<. 容易得知()f x 有对称轴,即2ax =,又当12x >时,(1)()f x f x -<,所以对称轴在12x =左侧,122a ∴<,即1a <. 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的性质运用,包括值域以及二次函数的恒成立问题,以及对称轴与单调性和函数值大小的问题.属于中档题.二、填空题13．已知12,e e →→是两个单位向量，12212,2a e e b e e →→→→→→=+=-． 若a b →→⊥，则向量12,e e →→的夹角为_______．【答案】π2【解析】根据a b →→⊥可知0a b ⋅=r r ,计算可得120⋅=u r u u r e e ,进而可得向量12,e e →→的夹角.【详解】221221112212(2)(2)23230a b a b ⊥⇒⋅=+⋅-=-+⋅+=⋅=r r r r u r u u r u u r u r u r u r u u r u u r u r u u re e e e e e e e e e ,所以120⋅=u r u u r e e ,故12,u r u u re e 的夹角为π2. 故答案为：π2【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算,同时也考查了垂直的数量积表示.属于基础题.14．()f x 与()g x 都是定义在R 上的函数，()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，(1)0g -=，则((1))f g =_____． 【答案】0【解析】根据奇偶函数的性质代入求解即可. 【详解】()f x 定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =,由题知(1)(1)0=-=g g ,((1))(0)0f g f ∴==.故答案为：0 【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性求解抽象函数值的问题.属于基础题.15．已知222cos sin cos αααα-，则πcos(2)6α+=_______．【答案】6-【解析】看利用降幂公式化简可得3cos221αα=-,再根据辅助角公式求解即可. 【详解】因为222cos sin cos αααα-,∴1cos21cos222ααα-+-=, 3cos221αα∴=-,则ππcos sin 2sin )166αα-=-,即πcos(2)6α+=.故答案为：6-【点睛】本题主要考查了降幂公式与辅助角公式求解三角函数值的问题,需要根据题意确定所用的公式,属于中档题.16．已知(1,1),(1,1)A B --，动点(,)P m n 是圆221(2)(4)2x y -+-=内（含边界）一点． 记直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ，且满足ππtan()2tan()44βα-=-，则点P 的轨迹长度为________．【解析】根据斜率的公式可得PA k 与PB k ,再代入ππtan()2tan()44βα-=-化简求解即可得点P 的轨迹方程,继而根据动点(,)P m n 是圆221(2)(4)2x y -+-=内（含边界）一点求出长度即可. 【详解】设直线PA 的斜率为PA k ,直线PB 的斜率为PB k ,∴11tan ,tan 11PA PB n n k k m m αβ+-====+-, 又因为ππtan()2tan()44βα-=-,知tan 1(tan 1)21tan 1tan βαβα--=++,即111(1)112111111n n m m n n m m -+---+=-+++-+,()222n m n m m n m n --=+-++. 因为动点(,)P m n 是圆221(2)(4)2x y -+-=内一点,故m n ≠. 即()222m n m n +-=++,化简可得6m n +=,即(,)P m n 的轨迹为方程6x y +=.又圆心(2,4)在6x y +=上,所以P 的轨迹长度为圆221(2)(4)2x y -+-=.故答案为：【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解以及直线的斜率与圆的方程等.需要根据题意代入斜率公式化简求解,并根据直线与圆的位置关系确定轨迹长度.属于中档题.三、解答题17．数列{}n a 满足：132a =，122n n a a n +=++．（1）求3a ；（2）记n n b a n =-，求证：数列{}n b 为等比数列； （3）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S ．【答案】（1）258；（2）见解析；（3）22122n n n ++-【解析】(1)根据122n n a a n +=++,分别代入1,2n =求解即可. (2)根据n n b a n =-,在等号左侧构造出11(1)n n a b n ++-+=再证明即可. (3)根据(2)可得1()2n n a n =+,再分组根据等差等比数列的求和公式求解即可. 【详解】 （1）∵132a =,∴1212924a a ++==,23222528a a ++==. （2）∵122n n a a n +=++,∴12[(1)]n n a n a n +-+=-,∴112n n b b +=,∴数列{}n b 是以11112b a =-=,公比为12的等比数列. （3）由（2）知1()2nn n b a n =-=,∴1()2n n a n =+,2123211(1)111(1)212212122222212n n n n n n n n n S a a a a n -+++=++++=++++++=+=--L L .【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等比数列的问题,同时也考查了分组求和以及等差等比数列的求和.属于中档题.18．三棱锥P ABC -中，2,AB AC BC PA PB =====PAB ⊥面ABC ．（1）求PC 长； （2）求三棱锥体积；（3）PAC ∆内（含边界）上是否存在H 点，使BH ⊥面PAC ． 若存在H 点，求出H 点的位置；若不存在H点，说明理由．【答案】（1）3；（2）43；（3）H 存在，在棱PA 上，且5AH =． 【解析】(1)根据勾股定理可得CA AB ⊥,进而可得90CAP ∠=︒,再用勾股定理计算PC 即可.(2) 作AB 的中点M ,连接PM 可知PM ⊥平面ABC ,再求解体积即可. (3) 作BH PA ⊥于H ,再证明BH ⊥面PAC 即可.【详解】 （1）∵222AB AC BC +=,∴90,CAB CA AB ∠=︒⊥.∵平面PAB ⊥平面ABC ,平面PAB ⋂平面ABC AB =,CA ⊂平面ABC ,且CA AB ⊥,可知CA ⊥平面PAB ,90CAP ∠=︒.∴3PC ==.（2）作AB 的中点M ,连接PM ,由题意知PM⊥平面ABC ,∴13ABC V S PM ∆=⋅21142323=⨯⨯.（3）作BH PA ⊥于H ,H 在PA 上.sin sin AH AB ABH AB APM =∠=∠=. ∵CA ⊥平面PAB ,BH⊂平面PAB ,∴BH CA ⊥,且BH PA ⊥,CA ⊂平面PAC ,PA ⊂平面PAC ,CA PA A =I ,∴BH ⊥平面PAC ,即H 存在,在棱PA 上,且AH =.【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面线线与面面垂直的证明和性质,同时也考查了根据垂直求解线段长度以及体积的问题等.属于中档题.19．现从某学校中选出M 名学生，统计了M 名学生一周的户外运动时间（分钟）总和，得到如图所示的频率分布直方图和统计表格．（1）写出,,M m n 的值，并估计该学校人均每周的户外运动时间（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）假设2,2a b ≥≥，则户外运动时长为[90,110)的学生中，男生人数比女生人数多的概率．（3）若4,6a b ==，完成下列22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少运动130分钟与性别有关”？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）20M =，0.005n =，0.01m =，112分钟；（2）37；（3）列联表详见解析，没有90％的把握认为“每周至少运动130分钟与性别有关”.【解析】(1)根据频率分布直方图的面积和为1以及区间[)110,130与[)130,150间的比例关系列式求解即可.(2)利用枚举法将所有可能的情况列举再求解即可. (3)根据图表补全列联表,再求出2K 分析即可.【详解】（1）由人数比可得2m n =,20(3)0.5n m +=,0.005n ∴=,0.01m =.2200.00520M ==⨯该校人均户外运动时间为800.11000.51200.21400.11600.1112⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分钟. （2）设“户外运动时长为[90,110)的男女人数分布”为总事件Ω,Ω={}(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2)共7种,“男生人数比女生人数多”为事件A ,包含{}(8,2),(7,3),(6,4)共三个, 则3()7P A =. （3）()222038180.808 2.706416119K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以没有90％的把握认为“每周至少运动130分钟与性别有关”. 【点睛】本题主要考查了枚举法解决古典概型的问题,同时也考查了频率分布直方图的应用以及独立性检验的问题.属于中档题.20．动点(,)M x y 与定点(1,0)F 的距离和该动点到直线4x =的距离的比是常数12． （1）求动点M 轨迹方程C ；（2）已知点(2,0)A -，问在x 轴上是否存在一点P ，使得过P 点的任一条斜率不为0的弦交曲线C 于,M N 两点，都有0AM AN ⋅=uuu r uuu r．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，坐标为2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】(1)根据题意列出点(,)M x y 满足的关系式,再化简方程即可.(2) 设(,0)P t ,再讨论当MN ⊥x 轴时可得127t =-,即若存在定点,则定点坐标为2(,0)7P -.再讨论斜率存在时,设MN 的方程为2()7y k x =+,联立椭圆方程,求出韦达定理,证明0AM AN ⋅=uuu r uuu r即可.【详解】（1）由题意,知12=,即2224(1)(4)x y x ⎡⎤-+=-⎣⎦.解得曲线C 的方程为22143x y +=.（2）法一：设(,0)P t ,易知||2t <,①若MN ⊥x 轴时,由0AM AN ⋅=uuu r uuu r ,此时(,2)M t t +,满足椭圆方程22(2)143t t ++=,∴271640t t ++=,解得122,27t t =-=-（舍）,可知若存在定点,则定点坐标为2(,0)7P -.②当直线MN 斜率存在时,设斜率为k ,1122(,),(,)M x y N x y设MN 的方程为2()7y k x =+,联立椭圆方程22143x y+=,消去y 得22221616(34)120749k x k x k +++-=,∴212221221673416124934k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩.1122(2,),(2,)AM x y AN x y =+=+uuu r uuu r ,∴1212122()4AM AN x x x x y y ⋅=++++uuu r uuu r2121212222()4()()77x x x x k x x =++++++22222221616(1)(12)()24497(2)403473449k k k k k k k +--=++++=++, 综合①②可知,存在点2(,0)7P -,使得0AM AN ⋅=uuu r uuu r .（2）（解法二）设(,0)P t ,易知||2t <,设1122(,),(,)M x y N x y .若MN 不垂直x 轴,MN 的斜率为k ,则直线MN 的方程为()y k x t =-, 1122(),()y k x t y k x t =-=-,22121212[()]y y k x x t x x t =-++,12120(2)(2)0AM AN x x y y ⋅=⇒+++=u u u u r u u u r,即是22221212(1)(2)()40k x x k t x x k t ++-+++=①,由22()3412y k x t x y =-⎧⎨+=⎩,得22222(34)84120k x k tx k t +-+-=,2221212228412,,3434k t k t x x x x k k -+==++代入①式得22222222(1)(412)(2)(8)(4)(34)0k k t k t k t k t k +-+-+++=化简,整理得22[7164]0k t t ++=②,为使0AM AN ⋅=uuu r uuu r 与斜率k 无关,由②式得出271640t t ++=,解得122,27t t =-=-（舍）,这说明MN 与x 轴不垂直时,MN 是过7(,0)2P -的弦,恒有0AM AN ⋅=uuu r uuu r ,若MN ⊥x 轴时,MN ：2x 7=-,AMN ∆是等腰三角形,AM AN =, 212(,)77M -,24||7MN =,||AM |||MN AM =,可见AMN ∆是等腰直角三角形,AM AN ⊥,综上,过2(,0)7P -的弦MN 总有0AM AN ⋅=uuu r uuu r .【点睛】本题主要考查了轨迹方程求解,以及联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理求解定点的问题.需要根据题意讨论直线没有斜率时定点坐标,再根据定点坐标分析当斜率不存在时是否满足条件.属于难题. 21．定义在[0,]π上的函数()(sin cos )e cos x f x x x a x =-+，2a ≥． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有且仅有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）3π42e a =或πe a >【解析】（1）求导可得()(2e )sin x f x a x '=-⋅，再求得极值点ln2a x =，并分析ln 2ax =与区间[0,]π端点的大小关系，进而求得在区间[0,]π上导函数的正负以及原函数的单调性即可；（2）根据（1）所得的单调性，分析极值点的正负或等于0是否满足条件，再结合区间端点的正负，利用零点存在性定理求解即可. 【详解】()(cos sin )e (sin cos )e sin (2e )sin x x x f x x x x x a x a x '=++--=-⋅.（1）[0,π]x ∈时，sin 0x ≥恒成立，令2e 0x a -=，得ln 02ax =≥. ①当ln02a=，即2a =时，2e 0x a -≥在[0,]π上恒成立， 则()0f x '≥在[0,]π恒成立，()f x 在[0,π]上单调递增； ②当lnπ2a≥,即π2e a ≥时,2e 0x a -≤在[0,π]上恒成立， 则()0f x '≤在[0,]π恒成立,()f x 在[0,]π上单调递减；③当0lnπ2a <<，即π22e a <<时，若[0,ln ],2e 02x ax a ∈-≤， 即[0,ln ]2a x ∈时,()0f x '≤，()f x 单调递减；若(ln ,π],2e 02xa x a ∈->，即(ln ,π]2a x ∈时，()0f x '>,()f x 单调递增.综上所述,当2a =时，()f x 在[0,]π上单调递增；π2e a ≥时，()f x 在[0,]π上单调递减；当π22e a <<时，()f x 在[0,ln ]2a 上单调递减，在(ln ,π]2a上单调递增；（2）①当2a =时，()f x 在[0,]π上单调递增，而(0)10f a =-+>，此时()f x 无零点；②当π22e a <<时，()f x 在[0,ln ]2a 上单调递减，在(ln ,π]2a上单调递增.若函数()f x 在[0,]π上有唯一零点，则有(ln )02af =或(π)0f <.ln 2(ln )0[sin(ln )cos(ln )]e cosln [sin(ln )cos(ln )]02222222a a a a a a a a f a =⇒-+=+=,解得3π43πln 2e 24a a =⇒=.π(π)0e 0f a <⇒-<，解得πe a >，故ππe 2e a <<.③当π2e a ≥时，()f x 在[0,]π上单调递减，(0)0,(π)0f f ><，()f x 在[0,]π上存在唯一零点. 综上可知，3π42e a =或πe a >.【点睛】本题主要考查了含参数的函数单调性的讨论，同时也考查了利用导数结合函数的单调性解决函数的零点问题，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的普通方程为2240x y x +-=，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．以坐标O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点(4,0)P ，2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，直线l 与12,C C 的交点分别为,O A ，,O B ．当PAB △为等腰直角三角形时，求直线l 的方程．【答案】（1）1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的普通方程tan y x α=⋅；（2）12yx =. 【解析】（1）根据极坐标以及直角坐标的关系化简1C ，再相除消去t 可得直线l 的普通方程； （2）画图结合极坐标的几何意义可知ABP △是直角三角形，BP 是斜边，再分0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭与,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα两种情况求解即可. 【详解】（1）222x y ρ=+，cos x ρθ=，故2240x y x +-=即24cos 0ρρθ-=，1:4cos C ρθ∴=，又因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin tan cos y t x t ααα==，tan y x α∴=⋅.所以，直线l 的普通方程为tan y x α=⋅；（2）由题可知4cos ,4sin OA OB αα==，OAP △是直角三角形，所以4sin PA α=.ABP ∆是直角三角形，BP 是斜边.当π(0,)4α∈时，若ABP ∆是等腰直角三角形，则4cos 4sin 4sin AB PA ααα=-==，得1tan 2α=. 当ππ(,)42α∈时，若ABP △是等腰直角三角形，则4sin 4cos 4sin AB PA ααα=-==，无解.综上可知，直线l 的方程为12y x =时，ABP △是等腰直角三角形.【点睛】本题主要考查了直角坐标方程和参数方程与极坐标方程的互化，同时也考查了极坐标的几何意义的运用，属于中档题.23．函数()22f x x x a =--+，R a ∈． （1）当1a =时，求不等式()1f x ≥-的解集； （2）设函数1()42g x x =+，若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象只有一个公共点，求a 的值． 【答案】（1）2{|4}3x x -≤≤；（2）83a =或24a =-【解析】(1)分当12x ≤-,122x -<<与2x ≥三种情况去绝对值,再分段求不等式()1f x ≥-即可.(2)因为绝对值中2y x =-与2y x a =+的零点分别为12x =与22ax =-.故分两根的大小关系确定讨论参数a21 的范围,再去绝对值求解()f x 与1()42g x x =+只有一个公共点的情况即可. 【详解】 （1）1a =时,()221f x x x =--+. 当12x ≤-时,()2213f x x x x =-++=+,令31x +≥-,得4x ≥-,所以142x -≤≤-； 当122x -<<时,()22131f x x x x =---=-+,令311x -+≥-,得23x ≤,所以1223x -<≤； 当2x ≥时,()2213f x x x x =---=--,令31x --≥-,得2x -≤,无解. 综上所述,()1f x ≥-的解集为2{|4}3x x -≤≤. （2）当4a >-时,222,2()2232,22222,2a x x a x a x a f x x x a x a x x x a x a x ⎧-++=++≤-⎪⎪⎪=---=-+--<<⎨⎪---=---≥⎪⎪⎩, ()y f x =与1()42g x x =+的图象只有一个交点,故可知2424a a a -++=-+,解得83a =；当4a =-时,()2242f x x x x =---=--,此时无交点； 当4a <-时,222,2()2232,22222,2x x a x a x a f x x x a x a x a x x a x a x ⎧⎪-++=++≤⎪⎪=-++=+-<<-⎨⎪⎪---=---≥-⎪⎩, ()y f x =与1()42g x x =+的图象只有一个交点,故可知2424a a a --=-+,解得24a =-.综上所述,83a =或24a =-. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及分类讨论分析函数零点的问题,需要根据绝对值中的零点去绝对值分析.属于中档题.。
2020年福建福州高三下学期高考模拟数学试卷(文科)
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
22. 已知直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
，（ 为参数），以 为极点， 轴的
正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（ 1 ） 写出 的普通方程和 的直角坐标方程．
（ 2 ） 设点 为 上的任意一点，求 到 距离的取值范围．
23. 已知
，
则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有 人选择素描，选项 ， ， 判断正确．
不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：
情形一 甲
乙
丙
丁 情形二 甲
乙
丙
丁
素描
素描
摄影
摄影
由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此 不正确．
故选 ．
10. B
解析:
依题意，
，
．
（1） 当
时，求曲线
在
（ 2 ） 若存在
，使得
处的切线方程． 成立，求 的取值范围．
21. 已知椭圆 ：
（
）的离心率为 ，以 的短轴为直径的圆与直线
相切． （ 1 ） 求 的方程．
（ 2 ） 直线 是以
交椭圆 于
，
两点，且
，已知 上存在点 ，使得
为顶角的等腰直角三角形．若 在直线 右下方，求 的值．
13
∴ ∴ 即 整理得 由
，故 得
， ，
， ，①
∴
，解得
∴
，②
，③
由① ②得，
，④
将④代入②得
，⑤
将④⑤代入③得
解得
．
综上， 的值为 ．
， ，
，
【附20套高考模拟试题】2020届福建省福州鼓楼区高考数学模拟试卷含答案
2020届福建省福州鼓楼区高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数(3)(2)z m i i =+-+在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,(1,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭2．设椭圆22221(0,0)x y m n m n+=>>的焦点与抛物线28x y =的焦点相同，离心率为12，则m n -=A ．234-B ．433-C ．438-D ．843-3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4B ．10C ．16D ．324．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边,,a b c 成等比数列，则a cb+的值为（ ） A ．2B ．2C ．2D ．45．函数()11xx f x e x -=++的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)F c -，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，直线EF 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率为A ．10B ．10C 10D 27．在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()(1)()f x =x - a x+b 为偶函数且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f -x <的解集为（ ） A ．(2,4)B ．(,2)(4,)-∞⋃+∞C ．(-1,1)D ．(,1)(1,)-∞-+∞U9．如图所示为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题： ①AF GC ⊥；②BD 与GC 成异面直线且夹角为60o ； ③//BD MN ；④BG 与平面ABCD 所成的角为45o . 其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知变量,x y 满足约束条件6,{32,1,x y x y x +≤-≤-≥若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为2，则13a b+的最小值为 A ．3B ．6 C ．8+15D ．2311．已知全集U =R ，集合{}|24,{|(1)(3)0}xA xB x x x =>=--<，则()U A B =I ð（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(1,3)D ．(,2]-∞12．已知i 为虚数单位，且复数z 满足1z 2i 1i-=- ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ） A ．132 B ．26 C ．10 D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年福建省福州市高考数学模拟试卷(4月份) (含答案解析)
2020年福建省福州市高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x≥0,x∈R}，B={x|x2+2x−3≥0,x∈R}，则(∁R A)∩B=()A. (−∞,0)∪[1，+∞)B. (−∞,−3]C. [1,+∞)D. [−3,0)2.复数z=|(√3−i)i|+i2018(i为虚数单位)，则|z|=()A. 2B. √3C. 1D. √23.等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6+a7−a9=18，则S6−S3=()A. 18B. 27C. 36D. 454.正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为()A. √32B. √22C. √2D. √35.若(1+2x)5+(a+2x)5=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a+a1+a3+a5=()A. 0B. −1C. 243D. 26.如图1为某省2018年1∼4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1∼4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是()A. 2018年1∼4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2018年1∼4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月底最高C. 从两图来看，2018年1∼4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1∼4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长7.阅读如图所示的程序框图，若输入m=6，则输出S等于()A. 4B. 9C. 16D. 258.已知a=2,b=log132,c=log1215，则()A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a9.将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向右平移π12个单位后得到的图象的一条对称轴是()A. x=π4B. x=3π8C. x=5π12D. x=7π2410.若双曲线E：x29−y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于()A. 11B. 9C. 5D. 311. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n+1=2S n ，则S 12=( )A. 310B. 311C. 1310D. 1311 12. 若函数f(x)=e 2x −ax 2+1在[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A. [e 44,+∞)B. (e 44,+∞)C. [e 42,+∞)D. (e 42,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |= ______ ． 14. 已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P 使|PF 2|=c(c 为半焦距)且∠F 1PF 2为锐角，则椭圆离心率的取值范围是______．15. 已知x ，y 满足条件{x −y ≤0x +y −4≤0x −1≥0，则点(0,0)到点(x,y)的距离的最小值是______．16. 在各项均为正数的数列{a n }中，数列的前n 项的和S n =12(a n +1a n ).通过计算a 1，a 2，a 3可以猜想____________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为√32accosB ，且sin A =3sin C ． (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若c =2，AC 的中点为D ，求BD 的长．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =120°，△PAD 为等边三角形，E 为棱PC 的中点．(1)证明：PB ⊥平面ADE ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角A −DE −B 的余弦值．19. 已知抛物线x 2=2py(p >0)与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，且满足OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2 (Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)过点P(t,−1)作抛物线的两条切线，切点分别为M ，N ，直线MN 与圆O 交于C ，D 两点，直线PF 与圆O 交于Q ，R 两点，如图所示，四边形CRDQ 的面积的取值范围．20.已知函数f(x)=e x−(mx2+x+1)．(1)若m=0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求m的取值范围．21.随着生活水平和消费观念的转变，“三品一标”(无公害农产品、绿色食品、有机食品和农产品地理标志)已成为不少人的选择，为此某品牌植物油企业成立了有机食品快速检测室，假设该品牌植物油每瓶含有机物A的概率为p(0<p<1)，需要通过抽取少量油样化验来确定该瓶油中是否含有有机物A，若化验结果呈阳性则含A，呈阴性则不含A.若多瓶该种植物油检验时，可逐个抽样化验，也可将若干瓶植物油的油样混在一起化验，仅当至少有一瓶油含有有机物A时混合油样呈阳性，若混合油样呈阳性，则该组植物油必须每瓶重新抽取油样并全部逐个化验．(1)若p=1，试求3瓶该植物油混合油样呈阳性的概率；3(2)现有4瓶该种植物油需要化验，有以下两种方案：方案一：均分成两组化验；方案二：混在一起化验；请问哪种方案更适合(即化验次数的期望值更小)，并说明理由．22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，求曲线C的参数方程．23.(1)若x>−1，求y=x2+7x+10的最小值；x+1(2)若a，b，c都是正数，且a+b+c=1，求证(1−a)(1−b)(1−c)≥8abc．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={x|x≥0,x∈R}，B={x|x2+2x−3≥0,x∈R}={x|x≤−3或x≥1，x∈R}=(−∞,−3]∪[1,+∞)，∴∁R A={x|x<0,x<R}=(−∞，0)，∴(∁R A)∩B=(−∞,−3]．故选：B．化简集合B，根据交集与补集的定义计算即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数模的求法，考查虚数单位i的性质，是基础题．由复数模的求法及虚数单位i的性质化简求值．【解答】解：∵z=|(√3−i)i|+i2018=|1+√3i|−1=√12+(√3)2−1=1，∴|z|=1．故选：C．3.答案：B解析：本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，设公差为d，则2a1+10d+a1+6d−a1−8d=18，∴a1+4d=9，∴S6−S3=a1+3d+a1+4d+a1+5d=27．故选：B．4.答案：B解析：【分析】本题考查了棱锥的结构特征，是基础题．由已知正四菱锥P−ABCD中，所有棱长都相等，设棱长为2，AC∩BD=O，连结PO，PO⊥平面ABCD，由此能求出它的高与底面边长之比．【解答】解：由已知正四菱锥P−ABCD中，所有棱长都相等，设棱长为2，AC∩BD=O，连结PO，PO⊥平面ABCD，则PE=√4−1=√3，OE=1，PO=√3−1=√2，∴PO:AB=√2，2∴高与底面边长之比为为√2．2故选B．5.答案：C【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项，二项式系数的性质，属于基础题.由已知结合二项式系数的性质逐一求得a，a1，a3，a5的值，则答案可求．【解答】解：由已知根据二项展开式的通项可得：1+a5=0，得a=−1．且a1=2C51+2C51=20，a3=23C53+23C53=160，a5=25C55+25C55=64．∴a+a1+a3+a5=−1+20+160+64=243．故选：C．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查统计中的数据图表，是基础题.从图中提取信息，逐一分析选项即可.【解答】解：对于选项A：2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为4397−2411=1986，接近2000万件，所以A是正确的；对于选项B：2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55％,53％,62％,58％，均超过50％，在3月最高，所以B是正确的；对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，2018年1，2，3，4月快递业务收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误．故选D.7.答案：C解析：解：∵输入m=6，∴当i=1时，S=1，满足进入循环的条件，故i=3；当i=3时，S=4，满足进入循环的条件，故i=5；当i=5时，S=9，满足进入循环的条件，故i=7；当i=7时，S=16，不满足进入循环的条件，故输出的S值为16．故选：C由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8.答案：C解析：【分析】本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．【解答】解：由题意得：b=log132<log131=0，c=log1215>log1214=2=a，则c>a>b．故选C．9.答案：C解析：【分析】求出平移变换后的函数的解析式，然后判断函数的对称轴即可．本题考查三角函数的图象的平移变换，函数的对称轴方程的判断，考查计算能力．【解答】解：将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)=sin[2(x−π12)−π6]=sin(2x−π3)的图象，当2x−π3=kπ+π2，k∈Z时，函数g(x)取得最值，所以x=kπ2+5π12，k∈Z是函数g(x)图象的对称轴．取k=0，得到图象的一条对称轴是x=5π12．故选：C．10.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线中线段长的求法，是基础题，解题时要注意双曲线定义及简单性质的合理运用．设|PF2|=x，由双曲线的定义及性质得|x−3|=6，由此能求出|PF2|.【解答】解：设|PF2|=x，∵双曲线E：x29−y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，∴a=3，b=4.c=5，∴|x−3|=6，解得x=9或x=−3(舍)．∴|PF2|=9．故选B．11.答案：B解析：解：∵a1=1，a n+1=2S n，∴S n+1−S n=2S n，即S n+1=3S n，S1=1．∴数列{S n}是等比数列，首项为1，公比为3．∴S12=1×311=311．故选：B．a1=1，a n+1=2S n，S n+1−S n=2S n，即S n+1=3S n.S1=1.利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：f′(x)=2e 2x −2ax ， 若f(x)在[1,2]上是减函数， 则e 2x −ax ≤0在[1,2]上恒成立， 即a ≥e 2x x在[1,2]上恒成立，令ℎ(x)=e 2x x，x ∈[1,2]，ℎ′(x)=e 2x (2x−1)x 2>0，故ℎ(x)在[1,2]递增， 故ℎ(x)max =ℎ(2)=e 42，故a ≥e 42，故选：C ．求出函数的导数，问题转化为a ≥e 2x x在[1,2]上恒成立，令ℎ(x)=e 2x x，x ∈[1,2]，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最大值，求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．13.答案：6解析： 【分析】本题考查了平面向量的线性运算的问题，也考查了平面向量的数量积的运算问题，是基础题． 根据平面向量的线性运算表示出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据数量积的运算即可求出|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 【解答】解：根据题意，得；AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×12−12=2， ∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6． 故答案为：6．14.答案：(12,√3−1)解析： 【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，属基础题．利用∠F 1PF 2为锐角，列出不等式求解即可得到椭圆离心率的取值范围． 【解答】 解：F 1，F 2为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，由点P 在椭圆上，|PF 2|=c(c 为半焦距)且∠F 1PF 2为锐角， 可得{2c >2a −c −c(2a −c)2+c 2>4c 2，解得{e >120<e <√3−1，即椭圆离心率的取值范围是：(12,√3−1)． 故答案为(12,√3−1)．15.答案：√2解析：解：由x ，y 满足条件{x −y ≤0x +y −4≤0x −1≥0作出可行域如图， 点(0,0)到点(x,y)的最小距离为A 到原点的距离．{x =1x −y =0可得A(1,1)点(0,0)到点(x,y)的距离的最小值为：√2． 故答案为：√2．由约束条件作出可行域，再由点到点的距离公式求得点(0,0)到点(x,y)的最小距离．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16.答案：√n −√n −1(n ∈N ∗)解析：【分析】本题主要考查归纳推理、数列递推关系式的应用、数列的求和等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．由题设条件，分别令n=1，2，3，依据递推公式，求出a1，a2，a3，观察规律，猜数列{a n}的通项公式．【解答】解：由题意得，S n=12(a n+1an)，且a n>0，令n=1得，a1=12(a1+1a1)，得a1=1;令n=2得，a1+a2=12(a2+1a2)，即1+a2=12(a2+1a2)，a22+2a2−1=0，解得a2=√2−1;令n=3得，a1+a2+a3=12(a3+1a3)，即1+√2−1+a3=12(a3+1a3)，a32+2√2a3−1=0解得a3=√3−√2；猜想：a n=√n−√n−1(n∈N∗)；故答案为√n−√n−1(n∈N∗)．17.答案：解：(Ⅰ，∴tanB=√3．又0<B<π，∴B=π3．(Ⅱ)sin A=3sin C，由正弦定理得：a=3，c=6．由余弦定理得：b2=62+22−2×2×6×cos60°=28，∴b=2√7．∴cosA=b2+c2−a22bc =√7)2222×2×2√7=−√714．∵D是AC的中点，∴AD=√7．∴BD2=AB2+AD2−2AB⋅ADcosA=22+(√7)2−2×2×√7×(−√714)=13．∴BD=√13．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．(Ⅰ)利用正弦定理和三角形面积公式，可以求出结果； (Ⅱ)利用正弦定理和余弦定理，可以求出结果．18.答案：解：(1)证明：由题知PD =DB ，取PB 的中点G ，连接EG ，AG ，DG ，又E 为PC 的中点，所以EG//BC ， 又AD//BC ，所以AD//EG ，即A ，D ，E ，G 四点共面， 又PD =DB ，则DG ⊥PB ，同理PB ⊥AG ， 又DG ∩AG =G ，DG ，AG ⊂平面ADE ， 所以PB ⊥平面ADE;(2)解：取AD 的中点O ，连接OP ，OB ，则OP ⊥AD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，OP ⊂平面PAD ， 则OP ⊥平面ABCD ，又OB ⊂平面ABCD ，则OP ⊥OB ，易知OA ⊥OB ，故以O 为坐标原点，以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，不妨设OA =1，则A(1,0，0)，D(−1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,0,√3)，E(−1,√32,√32)，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,√3)，，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,√32)， 设平面BDE 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{x +√3y =0,√32y +√32z =0, 取y =√3，则x =−3，z =−√3， 则m ⃗⃗⃗ =(−3,√3,−√3)， 由(1)知PB ⊥平面ADE ，则平面ADE 的一个法向量为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,√3)， 设向量m ⃗⃗⃗ 与BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角为θ，则cos θ=m ⃗⃗⃗ ⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||BP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =√3×√3−√3×√3√15×√6=−√105， 由图知，二面角A −DE −B 的平面角是锐角， 故二面角A −DE −B 的余弦值为√105．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，属于中档题．(1)取PB 的中点G ，连接EG ，AG ，DG ，推导出EG//BC ，AD//BC ，所以AD//EG ，又PD =DB ，则DG ⊥PB ，同理PB ⊥AG ，由此能证明PB ⊥平面ADE ；(2)取AD 的中点O ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出二面角A −DE −B 的余弦值．19.答案：解：(Ⅰ)x 2=2py 的焦点F(0,p2).∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴F 为AB 的中点， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， ∴2⋅2⋅cos∠AOB =−2， ∴cos∠AOB =−12， ∴∠AOB =2π3，在△AOB 中，|OF|=12|OB|=1，∴p2=1， ∴p =2，∴抛物线的方程为x 2=4y ； (Ⅱ)设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，则 切线PM ：y −x 124=12x 1(x −x 1)，即y =12x 1x −x 124，同理切线PN ：y =12x 2x −x 224，联立求得P(x 1+x 22,x 1x 24)，则x 1+x 2=2t ，x 1x 2=−4，∴直线MN 的方程为y =x 1+x 24x −x 1x 24，即y =12tx +1，直线PF ：y −1=−2t (x −6)，即y =−2t x +1， ∵12t ⋅(−2t)=−1，∴MN ⊥PFO 到MN 的距离d 1=√4t 2+1，∴|CD|=2√4−d 12=2√4−114t 2+1； O 到PF 的距离d 2=√4t 2+1，∴|RQ|=2√4−d 22=2√4−14t 2+1，∴S =12|RQ||CD|=2√4−4t 2+4⋅√3+4t 2+4， 令4t 2+4=m(m ∈(0,1])，则S =2√(4−m)(3+m)， ∵(4−m)(3+m)=−(m −12)2+494，∴(4−m)(3+m)∈[12,494]， ∴S ∈[4√3,7]．解析：(Ⅰ)确定F 为AB 的中点，利用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，求出∠AOB =2π3，即可求抛物线的方程；(Ⅱ)求出切线PM 、PN 的方程，可得P 的坐标，证明MN ⊥PF ，求出|CD|，|RQ|，即可求得四边形CRDQ 的面积的取值范围．本题考查抛物线的方程，考查圆与圆锥曲线的综合，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．20.答案：解：(1)若m =0，f(x)=e x −x −1，f′(x)=e x −1．当x ∈(−∞,0)时，f′(x)<0；当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0． 故f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增． (2)f′(x)=e x −2mx −1．由(1)知e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立， 故f′(x)≥x −2mx =(1−2m)x ，从而当1−2m ≥0，即m ≤12时，f′(x)≥0(x ≥0)． 所以f(x)在[0,+∞)上单调增加． 而f(0)=0，于是当x ≥0时，f(x)≥0． 由e x >x +1(x ≠0)，可得e −x >1−x(x ≠0)，从而当m >12时，f′(x)=e x −1−2mx <e x −1+2m(e −x −1)=e −x (e x −1)(e x −2m)， 令e −x (e x −1)(e x −2m)<0，得1<e x <2m ，故0<x <ln2m ． 故当x ∈(0,ln2m)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,ln2m)上单调减少． 而f(0)=0，于是当x ∈(0,ln2m)时，f(x)<0，不符合要求． 综上可得m 的取值范围为(−∞,12]．解析：(1)若m =0，f(x)=e x −x −1，f′(x)=e x −1.然后利用导函数的符号判断函数的单调性求解单调区间．(2)f′(x)=e x −2mx −1.f′(x)≥x −2mx =(1−2m)x ，推出m ≤12时，f′(x)≥0(x ≥0)．m >12时，f′(x)=e −x (e x −1)(e x −2m)，令e −x (e x −1)(e x −2m)<0，0<x <ln2m.转化求解m 的取值范本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．21.答案：解：(1)设X 为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，所求的概率为P(X ≥1)=1−P(X =0)=1−(1−13)3=1927， 所以3瓶该种植物油的混合油样呈阳性的概率为1927． (2)设q =1−p ，则0<q <1．方案一：设所需化验的次数为Y ，则Y 的所有可能取值为2，4，6次，P(Y =2)=q 4,P(Y =4)=C 21(1−q 2)q 2,P(Y =6)=(1−q 2)2，E(Y)=2×q 4+4×C 21(1−q 2)q 2+6×(1−q 2)2=6−4q 2．方案二：设所需化验的次数为Z ，则Z 的所有可能取值为1，5次，P(Z =1)=q 4，P(Z =5)=1−q 4，E(Z)=1×q 4+5×(1−q 4)=5−4q 4．因为E(Y)−E(Z)=6−4q 2−(5−4q 4)=(2q 2−1)2≥0，即E(Y)≥E(Z)， 所以方案二更适合．解析：(1)设X 为3瓶该植物油中油样呈阳性的瓶数，利用相互对立事件的概率计算公式可得所求的概率为P(X ≥1)=1−P(X =0)． (2)设q =1−p ，则0<q <1．方案一：设所需化验的次数为Y ，则Y 的所有可能取值为2，4，6次，利用二项分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出．方案二：设所需化验的次数为Z ，则Z 的所有可能取值为1，5次，P(Z =1)=q 4，P(Z =5)=1−q 4，E(Z)=1×q 4+5×(1−q 4).进而得出数学期望．本题考查了相互对立与互斥事件的概率计算公式、二项分布列的概率计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：由题意得，ρ=2cosθ，所以ρ2=2ρcosθ，则x 2+y 2=2x ，化为(x −1)2+y 2=1， 所以曲线C 的参数方程为：{x =1+costy =sint(t ∈R)．解析：利用极坐标化为直角坐标方程的公式、同角三角函数基本关系式即可得出．本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、同角三角函数基本关系式、圆的标准方程，属于基础23.答案：解：(1)∵x>−1，∴x+1>0．∴函数y=(x+1)2+5(x+1)+4x+1=(x+1)+4x+1+5≥2√(x+1)(4x+1)+5+5=4+5=9，当且仅当x+1=2，即x=1时取等号．∴函数y=x2+7x+10x+1的最小值；(x>−1)的最小值为9；(2)证明：∵a+b+c=1，a，b，c都是正数；∴1−a=b+c≥2√bc；“=成立b=c”1−b=a+c≥2√ac时取“=成立a=c“；1−c=a+b≥2√ab时取“=成立a=b“；∴(1−a)(1−b)(1−c)≥8abc，a=b=c时取“=成立a=b=c=13“；解析：(1)x>−1，可得x+1>0.变形为函数y=(x+1)+4x+1+5，利用基本不等式的性质即可得出．(2)根据已知条件知：1−a=b+c≥2√bc；“=成立b=c”1−b=a+c≥2√ac时取“=成立a=c“；1−c=a+b≥2√ab时取“=成立a=b“；所以这三个不等式两边同时相乘就可以得到要证的结论本题考查了函数的最小值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。
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2021届新高考化学模拟试卷一、单选题（本题包括15个小题，每小题4分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知:CH3CH(OH)CH2CH CH3CH=CHCH3+H2O，下列有关说法正确的是A．CH3CH=CHCH3分子中所有碳原子不可能处于同一平面B．CH3CH=CHCH3和HBr加成产物的同分异构体有4种（不考虑立体异构）C．CH3CH(OH)CH2CH3与乙二醇、丙三醇互为同系物D．CH3CH(OH)CH2CH3、CH3CH=CHCH3均能使酸性高锰酸钾溶液褪色【答案】D【解析】【分析】【详解】A．乙烯为平面型结构，CH3CH=CHCH3所有碳原子可能处于同一平面上，选项A错误；B. CH3CH=CHCH3高度对称，和HBr加成产物只有2-溴丁烷一种，选项B错误；C. CH3CH(OH)CH2CH3与乙二醇、丙三醇都属于醇类物质，三者所含羟基的数目不同，通式不同，不互为同系物，选项C错误；D. CH3CH(OH)CH2CH3、CH3CH=CHCH3中分别含有醇羟基和碳碳双键，均能使酸性高锰酸钾溶液褪色，选项D正确。
答案选D。
2．拉曼光谱证实，AlO2－在水中转化为[Al(OH)4]－。
将一定量的Na2CO3、NaAlO2固体混合物溶于适量水中，再逐滴加入1mol/L盐酸，测得溶液中CO32－、HCO3－、[Al(OH)4]－、Al3+的物质的量与加入盐酸的体积变化关系如图所示，则下列说法正确的是A．CO32－、HCO3－和[Al(OH)4]－在水溶液中可大量共存B．d线表示的反应为：[Al(OH)4]－＋H＋=Al(OH)3↓＋H2OC．原固体混合物中CO32－与AlO2－的物质的量之比为1：1D．V1=150mL，V2=300mL；M点生成的CO2为0.05mol【答案】C【解析】【分析】将一定量的Na2CO3、NaAlO2固体混合物溶于适量水中，AlO2－转化为[Al(OH)4]－，除Na+外溶液中主要存在CO32-、[Al(OH)4]－；由于酸性：H2CO3＞HCO3－＞Al(OH)3，则结合H+的能力：[Al(OH)4]－＞CO32-＞HCO3－，向溶液中逐滴加入盐酸，[Al(OH)4]－首先与H+反应转化为Al(OH)3，因此a线代表[Al(OH)4]－减少，发生的反应为：[Al(OH)4]－＋H＋=Al(OH)3↓＋H2O，则[Al(OH)4]－的物质的量为1mol/L×0.05L=0.05mol，生成的Al(OH)3也为0.05mol；接下来CO32-与H+反应转化为HCO3－，b线代表CO32-减少，c线代表HCO3－增多，发生的反应为：CO32-+H+=HCO3－，可计算出n(CO32-)=n(HCO3－)=n(H+)=1mol/L×0.05L=0.05mol；然后HCO3－与H+反应生成H2CO3（分解为CO2和H2O），最后Al(OH)3与H+反应生成Al3+，d线代表HCO3－减少，e线代表Al3+增多。
【详解】A．由于酸性：HCO3-＞Al(OH)3，HCO3－会与[Al(OH)4]－发生反应生成Al(OH)3：HCO3－+[Al(OH)4]－=CO32-+Al(OH)3↓+H2O，HCO3－和[Al(OH)4]－在水溶液中不能大量共存，A项错误；B．d线代表HCO3－减少，发生的反应为：HCO3－+H+=CO2↑+H2O，B项错误；C．a线代表[Al(OH)4]－与H+反应：[Al(OH)4]－＋H＋=Al(OH)3↓＋H2O，b线代表CO32-与H+反应：CO32-+H+=HCO3－，由图象知两个反应消耗了等量的H+，则溶液中CO32-与[Al(OH)4]－的物质的量之比为1：1，原固体混合物中CO32－与AlO2－的物质的量之比为1：1，C项正确；D．d线代表HCO3－与H+的反应：HCO3－+H+=CO2↑+H2O，n(HCO3－)=0.05mol，消耗H+的物质的量为0.05mol，所用盐酸的体积为50mL，V1=100mL+50mL=150mL；e线代表Al(OH)3与H+反应：Al(OH)3+3H+=Al3++3H2O，Al(OH)3的物质的量为0.05mol，会消耗0.15molH+，所用盐酸的体积为150mL，V2=V1+150mL=300mL；M 点生成的是HCO3－而非CO2，D项错误；答案选C。
【点睛】在判断HCO3－、Al(OH)3与H+反应的先后顺序时，可用“假设法”：假设HCO3－先与H+反应，生成的H2CO3（分解为CO2和H2O）不与混合物中现存的Al(OH)3反应；假设Al(OH)3先与H+反应，生成的Al3+会与溶液中现存的HCO3－发生双水解反应，转化为Al(OH)3和H2CO3（分解为CO2和H2O），实际效果还是HCO3－先转化为H2CO3，因此判断HCO3－先与H+反应。
3．下列说法正确的是A．乙烯生成乙醇属于消去反应B．乙烷室温能与浓盐酸发生取代反应C．乙酸与甲酸甲酯互为同分异构体D．乙酸与溴乙烷均可发生加成反应【答案】C【解析】【详解】A.乙烯和水加成生成乙醇，是加成反应，故A不选；B.乙烷不能和浓盐酸发生取代反应，烷烃能和卤素单质在光照下发生取代反应，故B不选；C.乙酸和甲酸甲酯的分子式均为C2H4O2，两者结构不同，故互为同分异构体，故C选；D.乙酸中的羧基不能发生加成反应，溴乙烷没有不饱和键，也不能发生加成反应，故D不选。
故选C。
4．已知NaClO2在水溶液中能发生水解。
常温时，有1 mol/L的HClO2溶液和1mol/L的HBF4(氟硼酸)溶液起始时的体积均为V0，分别向两溶液中加水，稀释后溶液的体积为V，所得曲线如图所示。
下列说法错误的是A．HClO2为弱酸，HBF4为强酸B．常温下HClO2的电高平衡常数的数量级为10—4C．在0≤pH≤5时，HBF4溶液满足pH=lg(V/V0)D．25℃时1L pH=2的HBF4溶液与100℃时1L pH=2的HBF4溶液消耗的NaOH相同【答案】B【解析】【详解】A．lg+1=1时pH=0，则V=V0，即1mol/L HBF4溶液pH=0，说明HBF4是强酸；而NaClO2在水溶液中能发生水解，说明HClO2是弱酸，故A正确；B．对于HClO2溶液，当lg+1=1时pH=1，则V=V0，即1mol/L HClO2溶液中c(H+)=0.1mol，常温下HClO2的电离平衡常数Ka=1×10-2，即HClO2的电高平衡常数的数量级为10—2，故B错误；C．lg+1=1时pH=0，则V=V0，即1mol/L HBF4溶液pH=0，说明HBF4是强酸，pH=-lgc（H+），溶液稀释多少倍，溶液中c（H+）为原来的多少分之一，所以在0≤pH≤5时，HMnO4溶液满足：pH=lg，故C正确；D．25℃时pH=2的HBF4溶液与100℃时pH=2的HBF4溶液中c（H+）均为0.01mol/L，则体积均为1L的两溶液完全中和消耗的NaOH相同，故D正确；故答案为B。
5．将NaHCO3和Na2O2的固体混合物x g在密闭容器中加热至250℃，充分反应后排出气体．将反应后的固体溶入水无气体放出，再逐滴加入盐酸，产生气体（标准状况）与所加盐酸体积之间的关系如图所示．下列说法错误的是（）A．HCl的浓度0.2mol/LB．反应后固体的成分为NaOH与Na2CO3C．密闭容器中排出气体的成分为O2和H2OD．x的数值为6.09【答案】D【解析】【分析】【详解】A、由175mL到275mL是与碳酸氢钠反应，而n（N a2CO3）=n（NaHCO3）=n（CO2）=0.02mol，NaHCO3～～～HCl1mol 1mol0.02mol 0.02mol所以c（HCl）=0.02mol/(275−175)×10−3L=0.2mol/L，A正确；B、由图像可知，因为175＞275-175所以固体混合物为NaOH，Na2CO3，B正确；C、由方程式可知：2NaHCO3Na2CO3+CO2↑+H2O，生成0.02mol的二氧化碳和0.02mol的水，再根据2Na2O2+2CO2=2Na2CO3+O2，2Na2O2+2H2O=4NaOH+O2↑可知密闭容器中排出气体的成分O2，H2O，C正确；D、根据碳原子守恒可知，n（NaHCO3）= n（CO2）=" 0.02mol" =" 0.02mol" ，275ml时溶质是单一的氯化钠，根据钠守恒可知n（Na2O2）＝0.2 mol/L × 0.275L − 0.02 mol/L ＝0.0175mol，固体的质量为：0.02 × 84 + 0.0175 × 78 = 3.045g，故x=3.045g，D错误；答案选D。
【点晴】解答时注意掌握过氧化钠、碳酸氢钠的性质及根据化学方程式进行的简单计算方法，本题中分析、理解图像信息是解题关键。
另外明确二氧化碳、水蒸气与过氧化钠反应的先后顺序是解答的难点和易错点，一定量的Na2O2与一定量的CO2和H2O(g)的混合物的反应，可看做Na2O2先与CO2反应，待CO2反应完全后，Na2O2再与H2O(g)发生反应。
6．下列比较错误的是A．与水反应的剧烈程度：K<Ca B．稳定性：HF>HC1C．原子半径：Si>N D．碱性：Ca(OH)2> Mg(OH)2【答案】A【解析】【详解】A．金属性K＞Ca＞Na＞Mg，金属性越强，金属单质与水反应越剧烈，故A错误；B．元素的非金属性越强，其氢化物的稳定性越强，非金属性F＞S，所以氢化物的稳定性HF＞H2S，故B 正确；C．C、Si同主族，电子层依次增大，故原子半径Si＞C，C、N同周期，原子半径随原子序数增大而减小，故原子半径C＞N，因此原子半径：Si>N，故C正确；D．元素的金属性越强，其最高价氧化物的水化物碱性越强，金属性Ca＞Mg，所以碱性Ca(OH)2＞Mg(OH)2，故D正确；故选A。
7．一定温度下，在三个体积均为0.5 L的恒容密闭容器中发生反应：CO(g)+Cl 2(g)COCl2(g)，其中容器Ⅰ中反应在5 min时达到平衡状态。
容器编号温度/℃起始物质的量/mol 平衡物质的量/molCO Cl2COCl2COCl2Ⅰ500 1.0 1.0 0 0.8 Ⅱ500 1.0 a 0 0.5 Ⅲ600 0.5 0.5 0.5 0.7 下列说法中正确的是A．容器Ⅰ中前5 min的平均反应速率v(CO)=0.16 mol·L-1·min-1B．该反应正反应为吸热反应C．容器Ⅱ中起始时Cl2的物质的量为0.55 molD．若起始时向容器Ⅰ加入CO0.8mol、Cl20.8mol，达到平衡时CO转化率大于80% 【答案】C【解析】【详解】A．容器I中前5min的平均反应速率v(COCl2)=0.8mol0.5L5min=0.32mol/L•min-1，依据速率之比等于计量系数之比，则V(CO)=V(COCl 2)=0.32mol/L•min -1，故A 错误；B ．依据图中数据可知：Ⅱ和Ⅲ为等效平衡，升高温度，COCl 2物质的量减小，说明平衡向逆向移动，则逆向为吸热反应，正向为放热反应，故B 错误；C ．依据方程式：CO(g)+Cl 2(g)⇌C0Cl 2(g)，可知： CO(g)+Cl 2(g)⇌C0Cl 2(g) 起始浓度(mol/L) 2 2 0 转化浓度(mol/L) 1.6 1.6 1.6 平衡浓度(mol/L) 0.4 0.4 1.6 反应平衡常数K=1.60.40.4⨯=10，平衡时CO 转化率：1.6mol /L2mol /L×100%=80%；依据Ⅱ中数据，结合方程式可知： CO(g)+Cl 2(g)⇌C0Cl 2(g) 起始浓度(mol/L) 2 2a 0 转化浓度 (mol/L) 1 1 1 平衡浓度 (mol/L) 1 2a-1 1Ⅰ和Ⅱ温度相同则平衡常数相同则：K=()112a 1⨯-=10，解得：a=0.55mol ，故C 正确； D ．CO(g)+Cl 2(g)⇌C0Cl 2(g)为气体体积减小的反应，若起始时向容器I 加入CO0.8mol ，Cl 20.8mol ，相当于给体现减压，减压平衡向系数大的方向移动，平衡转化率降低，小于80%，故D 错误； 故答案为C 。