等效重力场

等效重力场专题

物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。那么，如何实现这一思想方法呢？

一、概念的全面类比

为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。具体对应如下：

等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场

等效重力重力、电场力的合力

等效重力加速度等效重力与物体质量的比值

等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置

等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置

等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积

二、处理方法的迁移

练习：

1. 在光滑水平面上的O 点系一长为L 的绝缘细线，线的另一端系一质量为m 、带电量为q 的小球，如图所示．当沿细线方向加上场强为E 的匀强电场后，小球处于平衡状态，现给小球一垂直于细线的初速度0v ，使小球在水平面上开始运动．若0v 很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为

A ．2ml

qE

π

B ．ml qE π

C ．

2ml

qE

π

D ．无法确定

2. 如右图所示，在方向水平的匀强电场中，一个不可伸长的不导电细线一端连着一个质量为m 的带电小球，另一端固定于O 点．把小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速释放．已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为θ，若在此过程中线始终绷紧，求

（1）小球经过最低点时细线对小球的拉力． （2） 小球在什么位置时速度最大．

3. 已知如图，匀强电场方向水平向右，场强m v E /105.16⨯=，丝线长L=40cm ，上端系

于O 点，下端系质量为4

1.010m kg -=⨯，带电量为10

4.910q C -=+⨯的小球，将小球从最低

点A 由静止释放，求：

⑴小球摆到最高点时丝线与竖直方向的夹角多大？ ⑵摆动过程中小球的最大速度是多大？

4. 如图所示，固定的半圆形绝缘光滑轨道置于正交的匀强电场和匀强磁场叠加的区域中。轨道半径为R，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，电场强度为E，方向水平向左。（1）一个质量为m的小球（可视为质点）放在轨道上的C点恰好处于静止，圆弧半径OC 与水平直径AD的夹角为α（sinα=0.8，cosα=0.6）。求小球所电荷量；试说明小球带何种电荷并陈述理由。

（2）如果将小球从A点由静止释放，小球在圆弧轨道上运动时，对轨道的最大压力是多少？

（3）若将小球从A点由静止释放，小球沿圆弧轨道运动到最低点时，与另一个质量也为m且静止在O点正下方P点的不带电小球（可视为质点）发生碰撞，设碰撞过程历时可以忽略且无机械能损失也无电荷转移。两小球在运动过程中始终没有脱离圆弧轨道。求第一次碰撞后到第二次碰撞前，两小球在圆弧轨道上上升的最大高度各是多少？

答案：

[1] B [2]

[3]

[4]

（1）小球在C 点受重力、电场力和轨道的支持力处于平衡，电场力的方向一定是向左的，与电场方向相同，如图所示。因此小球带正电荷。

F N cosα＝qE F N sinα＝mg

小球带电荷量

E

mg

q 43

（2）小球从A 点释放后，沿圆弧轨道下滑，还受

方向指向轨道的洛伦兹力F 洛，力F 洛随速度增大而增

大，小球通过C 点时速度（设为v ）最大，力F 洛最大，且qE 和mg 的合力方向沿半径

qE

mg O

C

E B R

α F N A

D

OA ，因此小球对轨道的压力最大。 由 2

1sin (1cos )2

mgR qER mv αα--= 通过C 点的速度v ＝gR

小球在重力、电场力、洛伦兹力和轨道对它的支持力作用下沿轨道做圆周运动，有

F －mgsinα－qEcosα－qvB =R

v m 2

最大压力等于支持力F ＝

E mg

Rg B E 4)39(+。

（3）小球1从A 点滑下到达P 点时速度为v p ，由动能定理 212

p mgR qER mv -=

可得 p v =

小球1与小球2发生无机械能损失的碰撞，碰后速度分别设为v 1和v 2，由动量守恒和能量关系

12p mv mv mv =+

22212111222

p mv mv mv =+

解方程可得 v 1=0，2p v v ==

碰后小球2仍不带电，向右沿圆轨道上滑，小球2上升的最大高度设为h 2，由机械能守恒定律

2

2212

mv mgh = 可得 21

4

h R =

碰后小球1质量和电量都不变，从P 点开始无初速向左沿圆轨道上滑至最高点F ，设∠AOF 为β，小球1上升的最大高度为h 1，由动能定理 1cos 0qER mgh β-= 由几何关系可得

1sin h R R β=- 由以上两式可得 11825

h R =