哈工大研究生数值分析试题及答案

1、 分别就是方程 得根;讨论用Ne ｗt ｏｎ迭代法求它们近似值得收敛阶。取初值计算根得近似值,要求迭代３次。（结果保留４位小数)

解: 设

,

则：就是得单根,故Ne ｗt ｏn 迭代在附近就是平方收敛；

就是得二重根,故N ｅｗｔon 迭代在附近就是线性收敛;

取，Newton 迭代:

2、 设常数 ,求出得取值范围使得解方程组

得Ja ｃｏｂｉ迭代法收敛。

解: Ja ｃo ｂｉ迭代:

迭代矩阵得特征方程:

021211120323013013J a E B a a a a λλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

即:

特征根：

谱半径: 时Ｊa ｃｏbi 迭代收敛

故:

3、 设(１)用Crout 三角分解法求解方程组 ;

(2）用乘幂法求方程组系数阵得按摸最大得特征值与对应得特征向量。

(取 ，计算迭代三次得值)

解： (1)Cr ｏut 三角分解:

，

求解得

求解得

(2) ，

,

，

,,

4、 试利用插值多项式证明:对恒有等式

ﻩ

证明： 设

由插值多项式得唯一性,比较La ｇrange 与Newto ｎ插值最高项系数得:

由差商与导数关系,有

将 代入上面两等式，有

(1)11

()[,,]0(1)(1)(1)()(1)!k n n n i i f f x x i i i i i i n n ξ-====--+----∑ 5、 求４次Her ｍit 插值多项式 ,满足:

并写出误差表达式。

解: 方法一:因 ,故设：

由 ，得

得

误差:

方法一:满足得插值多项式为:

设:

由

得：由

误差:

6、 试求求积公式 得求积系数 ,使得其有尽可能高得代数精度,就是否就是Gaus ｓ型得？并用此公式计算积分(结果保留5位小数)。

解: 令 求积公式准确成立,有:

得:

求积公式：

令 求积公式准确成立得,求积公式不就是准确成立得,

求积公式代数精度为３,就是Gauss 型得;

作变换

222022sin sin (2)sin (2)2228888[2sin (2)2sin 2))]88

80.99848xdx t dt t dt π

πππππ

ππ--=+=+≈≈++≈⎰

⎰⎰

7、

解: 拟合函数为

法方程为：

得:

拟合函数为

8、用共轭梯度方法解方程组:ﻩ（取初值 )。

共轭梯度方法：

解: 就是对称正定阵;

解为:

9、应用Heun方法：

解初值问题时，问步长应如何选取方能保证方法得绝对稳定性? 并在中选取数值稳定得步长计算得近似值、

解: 将Heuｎ方法应用到方程上,有:

其中

当时，方法就是绝对稳定得,

即时方法就是绝对稳定得;

故取，即,方法就是绝对稳定得

10、求解常微分方程初值问题得两步方法：

(1)求出局部截断误差;

（2)讨论方法得收敛性;

(３)讨论方法得绝对稳定性。

解：

（1）把局部截断误差在处Tayloｒ展开：

(2),方法就是相容得;

第一特征多项式:,两根为:

就是单根,方法满足根条件;

由收敛得充分必要条件知方法就是收敛得。

（2）稳定多项式：，

由绝对稳定性要求知故

由参考定理知：得两根

故，即当时方法就是绝对稳定得。

应用1、 试确定就是方程 得几重根;取初值用改进得具有二阶收敛速度得New ｔon 迭代法求得根得近似值。要求迭代2次（结果保留４位小数)。

解： ,

就是方程 得3重根；

改进得具有二阶收敛速度得Newton 迭代法:

应用4、 若用复化梯形公式计算积分 ,要求截断误差不超过 (舍入误差不计),问需要计算多少个节点上得函数值？

解: ()sin ,()(sin cos ),()2cos ,()3(cos sin )x x x x f x e x f x e x x f x e x f x e x x ''''''==+==- 复化求积公式余项为:

其中：

因 有

若 ,得:

即

取 ，

故至少需５19个节点才能保证截断误差不超过。

应用9、 写出经典4阶Run ｇｅ-Kutta 方法求解初值问题

得计算公式,并取步长,计算得近似值、(小数点后至少保留４位)

解: