高等数学71多元函数的概念
高等数学中的多元函数的基础概念详解
高等数学中的多元函数的基础概念详解在高等数学中，多元函数是一种非常重要的概念。
它是研究多变量之间关系的数学工具，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将从多元函数的定义、连续性、导数、微分、偏导数和泰勒展开等方面进行详细的讲解。
一、多元函数的定义多元函数是指在数学上，将多个自变量与一个或多个因变量联系起来的一种函数。
通常表示为$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=y$，表示存在一种从输入向输出的映射关系。
例如，$f(x,y)=x^2+y^2$就是一个简单的多元函数，它将平面上的点$(x,y)$映射到一个实数值$z=x^2+y^2$上。
多元函数的定义域和值域分别是自变量的取值范围和因变量的取值范围。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指当自变量发生微小变化时，函数值的变化也应该非常微小。
具体来说，如果在多元函数$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的某一点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$附近，对于任意的$\epsilon>0$，都存在一个$\delta>0$，使得当$(x_1,x_2,\dots,x_n)$满足$|x_i-a_i|<\delta$时，有$|f(x_1,x_2,\dots,x_n)-f(a_1,a_2,\dots,a_n)|<\epsilon$，那么就称$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$在点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$处连续。
这与一元函数的连续性概念是类似的。
三、多元函数的导数多元函数的导数在概念上和一元函数的导数是类似的，它描述的是函数在某一点上的变化率。
但是多元函数的导数有一些特殊的性质，如方向导数、梯度等。
在二元函数的情况下，如果函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可导，则有：$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$$这两个导数称为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数。
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
一、多元函数的基本概念
多元函数是一种把多个变量结合起来的函数。
它的定义由一个有限个变量的有限个自变量组成，而这些变量所表达的函数又是满足某种关系式的。
多元函数由以下三个特征来定义：
1. 自变量个数：多元函数可以由一个自变量，也可以由多个自变量组成，而多元函数的具体形式由自变量个数决定。
2. 函数形式：多元函数可以是一元函数、二元函数、三元函数、四元函数和多元函数。
3. 变量关系：多元函数的定义就是根据一定的关系式，把多个自变量结合起来构成的函数。
二、多元函数的性质
多元函数的性质也就是函数的一些性质，这些性质对于函数的理解和应用都非常重要，在学习多元函数时，一定要掌握这些性质。
性质1：多元函数可以变换形式，但其多项式整体的幂次不变。
性质2：多元函数可以拆开成多个小函数，但总体的变量不变。
性质3：多元函数可以进行拟合，但只能用更加简单的函数拟合更加复杂的函数。
性质4：多元函数的单调性与函数的极值分布有关，函数的极值也是多元函数的最重要的一种性质。
三、多元函数的应用
多元函数在工程和科学中都有着广泛的应用，比如在机器学习、机器人控制学、信号处理、经济学、生物学等领域中都有着广泛的应用，以及在财务和统计学中的应用，例如多元回归分析，协方差分析等。
此外，多元函数也在计算机科学中有实际的应用，比如在计算机图形学中，可以用多元函数来描述三维空间中的形体，在模拟技术中，也可以用多元函数来模拟真实的系统。
第讲多元函数的概念课件
区域的边界
区域的边界图示
区域与其全部边界点的并集, 称为闭区域.
记为
闭区域
4. 多元函数及其图形
多元函数及其图形
例 长方体体积 V 依赖于其长度 x ，宽度 y 及高 z ：
V xyz
这里 x , y , z 各自独立变化，所以 V 是“自变量” x、y、z 的
例
空间Rn 中, 空集 与全集 Rn 是开集还是闭集? 规定 :空间中的空集与全集既是开集又是闭集.
对空集的规定
3. 区域
若非空集 Rn 为一连通开集, 则称 为Rn 中的区域.
区域是连通开集.
开的
区域 的内点及边界点都是它的聚点.
注意：集合的聚点 不一定属于集合.
的所有边界点构成的集合 称为 的边界，记为 。
利用“点”、“距离” 将邻域概念推广到高维空 间
1. 空间Rn 中邻域的定义
设 X 0 Rn ( n 2, 3, )， 0 为实数，则称集合 U( X0, ) {X | d(X , X0 ) }
为 Rn 中点 X 0 的 邻域，记为 U( X 0 , ) 。
想想:二维、三维空间中点的邻域是什么样子 ?
在 R2 中：Uˆ (X0, ) {(x, y) | 0 (x x0 )2 ( y y0 )2 } 在 R3 中：Uˆ (X0, ) {(x, y, z) | 0 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 }
去心邻域概念
2. 聚点、开集、闭集、有界集
请点击
(
)
x0
x0
x0
U(x0, ) {x | d(x, x0 ) }
利用“点”、“距离” 将邻域概念推广到高维空 间
高等数学中的多元函数与多元微分
高等数学中的多元函数与多元微分导言：高等数学是大学数学的重要组成部分，它包括微积分、线性代数、概率论等多个分支。
其中，多元函数与多元微分是微积分的重要内容之一。
本文将围绕这一主题展开，探讨多元函数的概念、性质以及多元微分的应用。
一、多元函数的概念与性质1.1 多元函数的定义在高等数学中，多元函数是指自变量有两个或两个以上的函数。
一般地，我们可以将一个多元函数表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。
多元函数可以用来描述现实生活中的复杂问题，如经济学中的供求关系、物理学中的力学问题等。
1.2 多元函数的性质多元函数与一元函数相比，具有更加丰富的性质。
其中，连续性、可导性和偏导数是多元函数的重要性质之一。
连续性：多元函数在定义域内的每一个点都满足连续性要求。
也就是说，在自变量的取值变化过程中，函数值变化连续，没有突变的情况。
可导性：多元函数在某一点处可导，意味着该点处的切线存在，并且切线的斜率可以通过求偏导数得到。
可导性是多元函数的重要特征，它与函数的平滑性和变化趋势密切相关。
偏导数：多元函数的偏导数是指在其他自变量保持不变的情况下，对某一个自变量求导的结果。
偏导数可以用来描述多元函数在不同方向上的变化率，它在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
二、多元微分的应用2.1 多元微分的定义多元微分是指对多元函数进行微分的过程。
在一元函数的微分中，我们通过求导数来描述函数在某一点的变化率。
而在多元函数的微分中，我们需要使用偏导数来描述函数在不同自变量方向上的变化率。
2.2 多元微分的应用多元微分在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：最优化问题：在经济学、管理学等领域中，我们经常需要求解最优化问题，即在一定的约束条件下，找到使得目标函数取得最大或最小值的自变量取值。
多元微分可以帮助我们求解这类问题，通过求偏导数和约束条件，得到最优解的自变量取值。
多元函数的概念-资料
例2 设长方体的长、宽、高分别为 x, y, z, 则长方体 的体积 V = xyz，这是关于 x, y, z 的三元函数，
其定 { (x ,义 y ,z )x 域 0 ,y 0 ,为 z 0 } .
例3 求函 z1数 x2y2的定 D ,并 义作 D 域
xy0x2 Nhomakorabeay2
1
0
yx
1 O 1 x
故定义域
D { ( x ,y ) y x 0 ,x 0 , y x 2 y 2 1 }
D 的图形如图阴影部分所示.
例5 二元函z数1x2y2 表示以原点,为
半径为１的球单 面位 （球 称面 为x） O上 y在方的部 分,即上半球面．
它的定义域 D 是 xOy 平面上的以原点为中心的单
y (x 1 ,x 2 , ,x n ) f(x 1 ,x 2 , ,x n )
全体函数值 为 R 的 (f),集 称合 为， f函 的 值 记 数,域 即 R ( f ) { y y f ( x 1 , x 2 , , x n ) , ( x 1 , x 2 , , x n ) D ( f ) } 二元与二元以上 统的 称函 为数 多元. 函数 多元函数的个 概要 念 ,即 素 包 对 含 应 两 规则 .
y f ( x 1 , x 2 , , x n ) ,( x 1 , x 2 , , x n ) D
或 y f ( P ) ,P D
其（ 中 x1,x2,,xn)称为自 ,y称 变 为 量 因 ,点变 集 D称为函数 ,一的 般定 D记 (f)义 . 为域
f(x1,x2,,xn)称(为 x1,x2,,xn)所对应 数,值 有时记为
性质7.1 (最大 (小 )值定 )设 理 zf(x,y)在有界 区域 D上连 ,则 续 f(x,y)在D上必有M 最 和大 最 小值 m.
多元函数的基本概念
2
四,闭区域上连续函数的性质
为开集. 例如, E1 = {( x , y ) 1 < x + y < 4} 为开集.
2 2
为闭集. E 2 = {( x , y ) 1 ≤ x + y ≤ 4} 为闭集
2 2
E 2 的边界为 2 2 2 2 {( x, y) | x + y = 1} ∪{( x, y) | x + y = 4}. E1 的边界呢?
2 2 2
便为数轴,平面, 特殊地当 n = 1, 2, 3 时,便为数轴,平面, 空间两点间的距离. 空间两点间的距离. 3. n维空间中邻域,区域等概念 维空间中邻域,
邻域: 邻域:U ( P0 , δ ) = {P | PP0 |< δ , P ∈ R n }
内点,边界点,区域,聚点等概念也可定义. 内点,边界点,区域,聚点等概念也可定义.
E
E
D
说明: 说明: (1). 内点一定是聚点 内点一定是聚点. (2). 孤立点是边界点 孤立点是边界点. (3). 边界点可能是聚点 也可能不是聚点 边界点可能是聚点,也可能不是聚点 也可能不是聚点. (4). 点集 的聚点可以属于 ,也可以不 点集E的聚点可以属于 的聚点可以属于E, 属于E 属于 . 例如, 例如 {( x , y ) | 0 < x + y ≤ 1} (0,0) 是聚点但不属于集合. 是聚点但不属于集合.
(1). P 称为E的内点, 邻域 ∪ ( P ) E . 若 (2). P 称为E的外点, 邻域 ∪ ( P ) R 2 \ E . 若 若 (3). P 称为E的边界点, 邻域 ∪ ( P ) ∩ E ≠ ,
且 ∪ ( P ) ∩ ( R2 \ E ) ≠ .
高等数学-多元函数的基本概念PPT课件
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
例：求下列函数的定义域
（1）f (x, y) ln(1 x2 y2 )
1. 内点是聚点； 2. 边界点是聚点；
例 {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0)既是边界点也是聚点．
3. 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如, {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {( x, y) | x2 y2 1}
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
解 取 y kx
lim
x0
x
2
xy
y
2
y0
lim
x0
x2
kx 2 k2x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D
上至少取得它的最大值和最小值各一次．
lim
y)(0,0
)
sin( x x2
2 y) y2
.
解
sin( x2 y)
lim
( x, y)(0,0)
x2 y2
( x,
lim
y)(0,0)
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
,
其中 ( x,
7.1 多元函数的基本概念
2019年6月29日星期六
12
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二、多元函数的概念
引例: 圆柱体的体积 定量理想气体的压强
三角形面积的海伦公式
2019年6月29日星期六
13
r h
ba c
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定义1 设非空点集
映射
在 D 上的 n 元函数 , 记作
称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 u u f ( P ) ,P D
2019年6月29日星期六
9
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整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域；
点集 (x, y) x 1是开集，
但非区域 .
y
1o 1 x
对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 界域 .
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一、平面点集 n 维空间
1. 邻域
点集 例如,在平面上,
PP0 δ 称为点 P0 的 邻域.
U ( P0 ,δ ) (x, y)
在空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
(圆邻域)
(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0 ).
点 P0 的去心邻域记为
x0 y0
但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
2019年6月29日星期六
20
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四、 多元函数的连续性
定义3 设 n 元函数 f (P) 定义在 D 上, 聚点P0 D ,
多元函数的概念讲解
多元函数的概念讲解多元函数是指在数学中，有多个变量同时作为自变量的函数。
一元函数是只有一个自变量的函数，例如y=f(x)；而多元函数是两个或多个自变量共同决定一个因变量的函数，例如z=f(x, y)或者w=f(x, y, z)。
在实际应用中，多元函数经常用来描述多个因素对某个结果的影响，是数学模型中的重要表达方式。
多元函数的变量通常分为自变量和因变量两类。
自变量是函数中的独立变量，其取值可以独立地由外部确定；而因变量是函数中的依赖变量，其取值由自变量所决定。
在多元函数中，自变量可以有任意多个，并且可以是连续或离散的变量。
多元函数可以描述现实世界中的各种现象和关系。
例如，在经济学中，生产函数可以看作是一个以生产投入（如劳动力、资本）为自变量，以产出（如产品或服务）为因变量的多元函数。
在自然科学中，例如物理学中的力学方程、电磁方程等，都可以看作是多元函数，其中的自变量和因变量代表不同的物理量。
对于多元函数，我们可以通过图像、方程、表格等多种方式进行表示和理解。
其中最常用的是图像表示法，通过绘制自变量和因变量之间的关系图来展示多元函数的性质。
例如，二元函数f(x, y)可以用三维坐标系上的曲面图来表示，其中自变量x和y分别对应平面的两个坐标轴，而z=f(x, y)对应曲面上的高度。
多元函数的性质也可以通过微积分来进行研究。
例如求函数的导数就是通过刻画函数在某一点的变化率来描述它的性质。
对于多元函数，我们可以求偏导数来研究函数在每个自变量上的变化率，进而推导出函数在整个定义域上的性质。
多元函数的极值问题、最优化问题等也可以通过微积分的方法来求解。
多元函数的概念对于理解和研究现实问题具有重要意义。
它能够帮助我们建立数学模型，解释和预测各种现象和关系。
通过对多元函数的研究，我们可以找到问题的最优解、最大值和最小值，提高生产效率，优化资源配置等。
总之，多元函数是数学中的重要概念，它能够描述多个自变量对因变量的影响关系。
多元函数的概念与应用
多元函数的概念与应用多元函数是数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍多元函数的概念以及其在实际问题中的应用。
一、多元函数的概念多元函数是指自变量有两个或更多的函数。
具体来说，如果有n个自变量x1，x2，...，xn，一个因变量y以及一个函数关系f，那么我们可以将其表示为y = f(x1, x2, ..., xn)。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
与一元函数不同的是，多元函数的图像无法用一个二维平面来表示，而是需要用高维空间来展示。
二、多元函数的应用多元函数在物理学、经济学、工程学等领域中有着广泛的应用。
1. 物理学中的应用在物理学中，多元函数用于描述物体的运动和力学性质。
例如，牛顿的万有引力定律中就包含了一个多元函数。
通过多元函数可以描述天体之间的引力关系，并预测它们的运动轨迹。
2. 经济学中的应用经济学中的需求函数和供给函数都是多元函数的例子。
需求函数描述了消费者对商品的需求与价格之间的关系，而供给函数描述了生产者供给商品的数量与价格之间的关系。
通过分析这些多元函数，可以帮助我们理解市场的运行规律，进行经济预测和政策制定。
3. 工程学中的应用工程学中的多元函数应用广泛，如电路设计、材料强度分析、车辆运行特性等方面。
通过建立多元函数模型，可以优化工程设计，提高产品质量和性能，降低成本和风险。
三、多元函数的分析方法要研究多元函数的性质和应用，需要使用多元微积分的方法。
这些方法包括偏导数、多元极值、方向导数、梯度等。
1. 偏导数偏导数用于衡量多元函数在某个变量上的变化率，其定义与一元函数的导数类似。
通过求取偏导数，可以判断函数在某个点上的增减性以及各个方向上的变化程度。
2. 多元极值多元极值是指多元函数在某个区域内取得最大或最小值的点。
通过求取偏导数，并令其等于零，可以求得多元函数的极值点。
3. 方向导数与梯度方向导数用于描述多元函数在某个方向上的变化率，而梯度则是一个向量，它的方向与多元函数在某点上的变化最快的方向一致。
多元函数的基本概念课件
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具，分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用，如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如，三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点， 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
多元函数的概念
多元函数的概念多元函数是一个多项式表达式，它有若干未知数和若干常量组成，这些未知数是函数所有自变量的函数。
它是对函数中多个变量的定义，也是自变量与因变量之间的关系，例如给定f(x,y)=aｘ+bｙ+c，其中ａ，ｂ，ｃ是常数，而ｘ，ｙ是未知数，则函数f(x,y)为二元多变量函数。
一、定义多元函数是指根据自变量相互之间的关系，把一个或多个未知的实数坐标（称为自变量）替换到实数的定义域使之成为另一个实数坐标（称为因变量）的函数。
二、分类1、一元函数：只有一个未知变量的函数。
其函数式为：y = f(x)，其中，x 是一个未知变量，而 y 是随之变化的量。
2、二元函数：含有两个未知变量的函数，如：f(x, y) = x2 + y23、三元函数：含有三个未知变量的函数，如：f(x,y,z) = x3 + y3 + z34、多元函数：含有三个以上未知变量的函数。
三、性质1、多元函数的性质取决于定义域及其关于所有自变量的函数关系。
2、当自变量取不同的值时，多元函数的结果也会有所不同。
3、多元函数一般都不具有可视化概念，因为它往往有多余于三个自变量，而我们只能通过特定条件来求解。
4、看似相似的多元函数有可能不具有相同的数学性质，要根据自变量的关系，分析其函数的特性以确定其定义域和值域。
四、用途1、多元函数用于研究多维空间概念，工程中描述物理系统中状态变化、解决非线性规划问题等。
2、可以用来描述参数之间的关系，用于求解在工业运筹学和统计学中复杂环境下的数学问题。
3、多元函数可用于预测数据，作为模型量化把客观现象变成形式，并可以计算出函数及其局部极值的原因。
4、多元函数也可以用来解决科学问题，如流体动力学的物理问题、地质作用的地质问题、提高经济效率的经济问题等。
多元函数的概念ppt课件
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域. y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点 P E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K ，
即 AP K
对一切 P E 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集． 例如，
（2）区域
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点．如果存在点P 的某一邻域U(P) E ， 则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
如果点集 E 的点都是内点，
则称 E 为开集.
P
例如，E1 {(x, y)1 x2 y2 4}
即为开集．
E
如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点，
当P P0时的极限，记为 lim f (P) A.
P P0
三、多元函数的连续性
定义3 设n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集D, P0
是其聚点且
P0
D
，如果
lim
P P0
f (P)
f ( P0 )
则称n 元函数 f ( P ) 在点P0 处连续.
设P0 是函数 f (P ) 的定义域的聚点，如果 f (P )在点P0 处不连续，则称P0 是函数 f (P )的
（2）找两种不同趋近方式，使lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，此时也可断言 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )处极限不存在．
利用点函数的形式有n元函数的极限
定 义 2 设n 元 函 数 f ( P ) 的 定 义 域 为 点 集
D, P0是其聚点，如果对于任意给定的正数 ， 总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 | PP0 | 的 一 切 点 P D ， 都 有 | f ( P ) A | 成立，则称 A 为n 元函数f (P )
多元函数基本概念梳理
多元函数基本概念梳理在数学领域中，多元函数是一个重要的概念，它在各个学科领域中都有广泛的应用。
本文将对多元函数的基本概念进行梳理，包括多元函数的定义、定义域和值域、偏导数、全微分以及多元函数的极值等内容。
一、多元函数的定义多元函数是指含有多个自变量的函数。
一元函数只有一个自变量，如f(x)，而多元函数可以有多个自变量，如f(x, y)、f(x, y, z)等。
多元函数的定义通常为f：D→R，其中D是定义域，R是函数的值域。
二、定义域和值域多元函数的定义域是指所有自变量的取值范围的集合。
在定义域内，函数有定义和有意义。
值域是指函数的所有可能的取值集合。
定义域和值域的确定对于研究函数的性质和特点非常重要。
三、偏导数偏导数是对多元函数中的某一个自变量求导数时，将其他自变量视为常数而进行的求导运算。
偏导数以∂f/∂x或∂f/∂y表示，其中∂表示偏导符号。
偏导数的求导方法与一元函数中的求导类似，但需要注意将其他自变量视为常数。
四、全微分全微分是将多元函数进行变量分离后对各个变量的微分进行求和的过程。
全微分可表示为df = ∂f/∂x dx +∂f/∂y dy。
全微分可以帮助研究者对多元函数的变化率进行分析和研究。
五、多元函数的极值多元函数的极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
多元函数的极值点可以通过偏导数或二阶导数的方法求解。
通过求取偏导数并使其等于0，我们可以得到多元函数的临界点。
通过对临界点进行判断，即可确定多元函数的极值点。
综上所述，多元函数是含有多个自变量的函数，其定义域和值域的确定对于研究函数的性质和特点非常重要。
偏导数是对多元函数中的某一个自变量求导数时，将其他自变量视为常数。
全微分是将多元函数进行变量分离后对各个变量的微分进行求和。
多元函数的极值可以通过求取偏导数并使其等于0，再通过对临界点进行判断来确定。
对于研究多元函数的性质和特点，掌握这些基本概念是非常重要的。
高等数学中的多元函数
高等数学中的多元函数在高等数学中，多元函数是指拥有多个自变量的函数。
与一元函数不同，多元函数的自变量可以是两个或更多个。
1. 多元函数的定义多元函数可以理解为一个函数，它的输入可以是多个变量，输出为一个变量。
如f(x, y) = x² + y²，其中x和y都是自变量，而f(x, y)则是因变量。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，其值域是函数的所有可能输出。
2. 多元函数的图像和一元函数一样，多元函数也可以通过绘制图像来直观地展示。
对于二元函数f(x, y)，可以在三维坐标系中绘制出其图像。
图像上的每一个点(x, y, z)代表了函数在对应自变量取值下的输出值。
通过观察图像的形状和特征，我们可以对多元函数的性质有更深入的理解。
3. 多元函数的极限多元函数也存在极限的概念。
对于二元函数f(x, y)，当自变量(x, y)趋近于某一点(x₀, y₀)时，函数值f(x, y)可能趋近于一个有限的值L，我们称L为函数f(x, y)当(x, y)趋近于(x₀, y₀)时的极限。
多元函数的极限性质和一元函数类似，我们可以通过定义和极限的性质来推导多元函数的极限。
4. 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指函数在某一点处对某个自变量的导数。
对于二元函数f(x, y)，其偏导数可以分别求关于x和y的导数。
偏导数可以帮助我们研究多元函数在某一点的变化率和方向。
通过求解偏导数为零的点，我们可以找到多元函数的极值点。
5. 多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开公式是将一个多元函数在某一点附近用多项式来逼近的方法。
泰勒展开可以帮助我们更好地理解多元函数的性质和行为。
通过泰勒展开，我们可以将复杂的多元函数近似为简单的多项式，从而简化问题的求解过程。
6. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在某个区域上的求和操作。
与一元函数积分类似，多元函数的积分可以分为定积分和不定积分。
通过对多元函数的积分，我们可以求解多元函数在某个区域上的总量、平均值等问题。
多元函数单调性知识点总结
多元函数单调性知识点总结一、多元函数的定义及基本概念1. 多元函数的定义多元函数是指在n维欧式空间中的定义域为n维的实数向量空间，值域为实数的函数。
多元函数的自变量和因变量都是n维向量。
一般地，设D⊂R^n, f: D→R为n个实变量的函数，那么称f为n元函数，记作f(x_1,x_2, …, x_n)，其中x_i(i=1,2,…,n)称为自变量，函数值y=f(x_1, x_2, …, x_n)称为因变量。
2. 多元函数的单调性多元函数的单调性是指当自变量变化时，函数值的变化趋势。
当函数值随着自变量的增加而增加，称函数在该区间上是单调递增的；当函数值随着自变量的增加而减小，称函数在该区间上是单调递减的。
二、多元函数的偏导数及一阶导数1. 多元函数的偏导数对于n元函数f(x_1, x_2, …, x_n)，如果在(x_1, x_2, …, x_n)处存在偏导数，那么对于每一个自变量x_i，在其它自变量不变的情况下，可以对f关于x_i求导，得到f关于x_i的偏导数，记作∂f/∂x_i。
偏导数的定义如下：●当f在点(x_1, x_2, …, x_n)处存在偏导数∂f/∂x_i时，即该函数在该点沿着第i个自变量的方向有导数。
这个导数叫做偏导数，记作∂f/∂x_i，也可简称为偏导。
其计算公式为：∂f/∂x_i = lim(h→0) (f(x_1, x_2, …, x_i+h, …, x_n) - f(x_1, x_2, …, x_i, …, x_n)) / h●如果在点(x_1, x_2, …, x_n)的邻域内,各个偏导数∂f/∂x_i都存在,则称多元函数f(x_1,x_2, …, x_n)在该点可偏导。
2. 多元函数的一阶导数对于n元函数f(x_1, x_2, …, x_n)，当其在点(x_1, x_2, …, x_n)处的各个偏导数∂f/∂x_i都存在时，称f在该点可偏导。
此时，函数f的一阶导数是一个n维向量，称为梯度，记作∇f(x_1, x_2, …, x_n) = (∂f/∂x_1, ∂f/∂x_2, …, ∂f/∂x_n)。
多元函数知识点总结考研
多元函数知识点总结考研1. 多元函数的概念多元函数通常表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，而f是因变量。
多元函数有多个自变量，而且每个自变量可以取不同的数值，因此它的取值不再是唯一确定的，而是由多个自变量的取值共同决定的。
在多元函数中，自变量的取值空间可以是一维、二维、三维甚至更高维的空间，因此多元函数的图像往往是一个多维空间中的曲面。
2. 多元函数的性质与一元函数不同，多元函数的性质更加复杂，由于有多个自变量，因此需要考虑多个方面的性质。
常见的多元函数的性质包括：(1) 定义域和值域：多元函数的定义域是自变量的取值范围，而值域是因变量的取值范围。
在处理多元函数时，需要特别注意定义域的限制条件，以免出现无定义的情况。
(2) 连续性和可导性：多元函数的连续性和可导性是关于函数导数的性质，需要通过极限的方法来进行分析和判断。
特别是在多维空间中，函数的导数更加复杂，需要用到偏导数、方向导数等概念。
(3) 偏导数和全微分：偏导数是多元函数在某一方向上的导数，而全微分则是对所有自变量的导数的线性组合。
偏导数和全微分是多元函数的重要概念，它们可以帮助我们对多元函数的性质进行更详细的分析。
3. 多元函数的求导对多元函数进行求导是微积分学科中的重要内容，它可以帮助我们研究函数的增减性、极值、拐点等性质。
与一元函数不同，多元函数的求导需要考虑多个自变量的变化对因变量的影响，因此在求导的过程中需要使用偏导数的概念。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其偏导数表示为∂f/∂xi，表示在第i个自变量上的导数。
而多元函数的全微分df可以表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn，这里dx1, dx2, ..., dxn是自变量的微小变化量。
在求多元函数的极值时，需要利用多元函数的偏导数来进行分析，可以通过偏导数为零的条件来求得函数的驻点，再利用二次导数的信息来确定驻点的性质。
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多
元
函
数
的
基
(R为常数)
本 概
念
如温度T、体积V都在变化, 则压强 p依赖
于T,V 的关系是 p R T V
称 p为两个变量T,V 的函数, 其中 0 T ,
0 V .
11
定义1 设D是xOy平面上的点集, 若变量z与D
多 元
函
中的变量x, y之间有一个依赖关系, 使得在D内
数 的
基
每取定一个点P(x, y)时, 按着这个关系有确定的
多
称为 n 维空间. 记作 Rn; 即
元 函
Rn
R R R {( x1, x2 , xn ) xi
R,i
1,2,}.
数 的
n 维空间中的每一个元素 ( x1, x2 ,, xn )称为空间中
基 本 概
的一个点,数xk 称为该点的第k个坐标.
念
n维空间中两点 P ( x1, x2,, xn )及Q ( y1, y2 ,, yn )
本 概
z值与之对应, 则称z是x, y的二元(点)函数.记为 念
z f ( x, y) (或z f (P) )
称x, y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数
的定义域, 数集 z z f ( x, y),( x, y) D
称为该函数的 值域.
12
函数 z f ( x, y) 在点P( x0 , y0 )处的函数值 多
一元函数
R1
数 的
平面点集
R2
基 本
n 维空间
Rn
概 念
(1) 平面点集
建立了坐标系的平面称为坐标面. 二元有序
实数组(x, y)的全体, 即
R2 R R {( x, y) x, y R} 坐标面
坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为
平面点集, 记作 E {( x, y) ( x, y)具有性质P}.
记为 f ( x0 , y0 ) 或 f (P0 ).
元 函
数
类似, 可定义n元函数.
的 基
二元及二元以上的函数统称为 多元函数. 本
概
(2) 多元函数定义域
念
实际问题中的函数: 定义域为符合实际意义的
自变量取值的全体.
纯数学问题的函数: 定义域为使运算有意义的
自变量取值的全体.
13
例 求下面函数的定义域
第七章 多元函数 的微分学
z
z f (x, y)
M
y
O
y
x
P
D
x
1
function of many variables
第一节 多元函数的基本概念
预备知识 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性
小结 思考题 作业
2
第八章 多元函数微分法及其应用
一、预备知识
多
1. 平面点集 n 维空间
元 函
y
多 元
1 O
圆弧 D
1x
直线
函 数 的 基
1
本 概
解 域D有下列三种表示法:
念
x2 y2 1
(1)
y 0
x y 1
3
R2
邻域 (Neighborhood)
多
设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点, 0, 令
元 函
U(P0, ) {( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 }
数 的 基
称之为点P0的邻域, 有时简记为U (P0 ).
本 概 念
几何表示： y
. P0
注
O
x
① 将邻域去掉中心, 称之为去心邻域. U(P0, )
元 函
都是闭区域 .
数 的
基
有界区域
本 概
念
总可以被包围在一个以原点为中心、半径
适当大的圆内的区域, 称此区域为有界区域.
否则称为无界区域 (可伸展到无限远处的区域 ).
8
y
O
x
有界开区域
y
y
多
元
函
数
的
O
x
基 本
有界闭区域
概 念
y
O
x
有界半开半闭区域
O
x
无界闭区域
9
(2) n 维空间 n 元有序数组 ( x1, x2 ,, xn )的全体
② 也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界)
的全体点称之为点P0邻域.
4
任意一点 P R2与任意一点集 E R2之间
必有以下三种关系中的一种:
多
元
(1) 内点 设E为一平面点集,点P E, 若存在
函 数
0,使U(P) E, 称P为E的 内点.(P1)
的 基
显然, E的内点属于E.
本
P3
元
U(P , ) 内总有E中的点 (P本身可属于E,也可不
函 数
属于E ), 则称P是E的 聚点.
的 基
本
例如, 设点集 E {( x, y)1 x2 y2 2},
概 念
点P( x0 , y0 ) R2 ,若1 x02 y02 2,则P为E的内点;
若 x02 y02 1或 x02 y02 2,则P为E的边界点, 也是E的聚点.
P1
概
念
(2) 外点 如果存在点P的某个邻域 U(P),
E
使U(P) ∩ E = , 则称P为E的外点.(P2 )
P2
(3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点,
也有不属于E的点, 称P为E的边界点. (P3 )
E的边界点的全体称为E的边界, 记作 E.
5
聚点 如果对于任意给定的 0,点P的去心邻域 多
结起来,且该折线上的点都属于D,
称开集D是连通的.
概 念
连通的开集称区域 或开区域.
如 {( x, y)1 x2 y2 4},
{( x, y) x y 0}
都是区域.
y
x y0
x y0Ox Nhomakorabea7
开区域连同其边界,称为 闭区域.
多
如{( x, y)1 x2 y2 4}, {( x, y) x y 0}
的距离定义为
PQ ( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( xn yn )2 n 维空间中点 P0 的邻域为
U( P0,δ ) {P PP0 δ, P Rn }.
10
二、多元函数的概念
1. 二元函数的定义 (1) 定义 例 理想气体的状态方程是 pV RT 其中p为压强, V为体积, T为温度.
E的边界 E 为集合
{( x, y) x2 y2 1} {( x, y) x2 y2 2}.
6
开集 若E的任意一点都是内点, 称E为开集.
例 E1 {( x, y)1 x2 y2 4} E1为开集.
多 元
函
平面区域(重要)
数 的
设D是开集. 如对D内任何两点, 都可用折线连
基 本
多
元
1. z xy
函 数
的
解
xy
0,
即定义域为
x
y
0和 0
x
y
0 0
基 本 概 念
y
O
x
无界闭区域
14
2x x2 y2 2. z
x2 y2 1
多 元 函 数
的
基
解 定义域是 ( x 1)2 y2 1且x2 y2 1
本 概
念
y
O
1
x
有界半开半闭区域
15
用联立不等式表示下列平面闭区域 D .