理学古典概型与概率的定义

比较两边 xk 的系数，可得
k m n m n k i k i i 0
（4）、n个不同元素分为k组，各组元素 数目分别为r1,r2,…,rk的分法总数为
n! , r1 r2 rk n r1! r2! rk !
4
4
4
（2）、组合: 从n个不同元素取 k个 （1kn)的不同组合总数为：
P n! C k! (n k )!k!
k n
k n
C
k n
常记作
k n
n k
，称为组合系数。
P C k!
k n
（3）、组合系数与二项式展开的关系
n 组合系数 k 又常称为二项式系数，因为
一、 古典概型
设 随机试验E 具有下列特点： 1） 样本点个数有限——有限性 2） 每个样本点发生的可能性相等 ——等可能性
概率的 古典定义
则称 E 为 古典(等可能)概型 古典概型中概率的计算：
记 n 中所包含的样本点的 个数
k 组成 A的样本点的个数 k 则 P( A) n
概率的古典定义与统计定义是一致的：
n! P wenku.baidu.com n(n 1)(n 2)(n k 1) (n k )!
k n
k = n时称全排列
A pn n(n 1)(n 2)2 1 n!
n n
第1次选取
第2次选取
B
第3次选取 C 例如：n=4,
D B D B
k =3
A
C D
C
B
P 4 3 2 24
由概率的统计定义
1 P() P{e1 , e2 ,, en } P({ei })

故
n
P{e } nP{e }
i 1 i i
n
i 1
1 P {ei } n
( i 1,2,, n).
1 。 n
即任意基本事件{ei }发生的概率均为
2
若事件 A 包含
k 个基本事件，即 A {ei , ei ,, ei }
令 a=-1,b=1
n n n n n 0 1 2 ( 1) n 0
由
(1 x )
mn
m n
(1 x ) (1 x )
m
n
运用二项式展开
m n m m n n j2 有 j1 j x x x j j j j 0 j1 0 1 j2 0 2
无论通过哪种方法都可以 完成这件事，
基本计数原理 2. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤，
则完成这件事共有 第二个步骤有n2种方法, …； n1 n2 nm 第m个步骤有nm种方法, 种不同的方法 . 必须通过每一步骤, 才算完成这件事， 第一个步骤有n1种方法，
加法原理和乘法原理是两个很重要 计数原理，它们不但可以直接解决不少 具体问题，同时也是推导下面常用排列 组合公式的基础 .
r1个 元素 r2个 元素
…
r k个 元素
n个元素
因为
C C
r1 n
r2 n r1
C
rk rk
n! r1! r2! rk !
例1 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按
m a b ), 不放回与放回两种方式取m个球（ 求其中恰有 k 个 （k a, k m）白球的概率
解 （1）不放回情形
3
古典概率的性质
1、0 P( A) 1
非负性
规范性
2、P( ) 1
n n
3、对于互不相容的事件 A1 , A2 , , An 有
P( A k ) P( A k )
k 1 k 1
有限可加性
这样就把求概率问题转化为计数问题 . 排列组合是计算古典概率的重要工具 . 这里我们先简要复习一下计算古典概率 所用到的 基本计数原理 1. 加法原理 设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法, …； 第m种方式有nm种方法, 则完成这件事总共 有n1 + n2 + … + nm 种方法 .
E: 球编号，任取一球，记下颜色，放在一 边，重复 m 次
(a b)(a b 1)(a b m 1) : n 记事件 A 为m个球中有k个白球，则
3、排列、组合的几个简单公式 排列和组合的区别：
顺序不同是 不同的排列 而组合不管 顺序
3把不同的钥匙的6种排列
C 3
2 3
从3个元素取出2个 的排列总数有6种
从3个元素取出2个 的组合总数有3种
P 6
2 3
排列、组合的几个简单公式 （1）排列: 从n个不同元素取 k个
（1 k n)的不同排列总数为：
它出现在下面的二项式展开的公式中：
n k n k ( a b) a b k k 0
n n
n k n k ( a b) k a b k 0
n n
利用该公式，可得到许多有用的组合公式：
令 a=b=1,得
n n n n n 2 0 1 2 n
3 4
C
D
……
P4 4 3 2 1 24
从n个不同元素取 k个（允许重复）
（1kn)的不同排列总数为：
n n n n
k
例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
第1张 1 2 3 第2张 1 2 3 第3张 1 2 3
1
2
3
4
n=4,k =3
共有4.4.4=43种可能取法
1 2 k
(1 i1 i2 ik n) , 则有
P( A) P{ei , ei
1
2 ,,
ei } P({ei })
k
k
j 1
j
k P{ei } . （1.3.1） n j 1 所以，在等可能概型中事件 A 发生的概率为
k
j
A中的样本点数 P ( A) S中的样本点数