曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

议
探究一：
求曲线
2
sin 3 cos 的直角坐标方程
解： sin 3 cos（两边同乘以 ）
x cos ; y sin； 2 x2 y2
x 3x y y 0
2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
2 2
课堂小结：
评
1、将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将 x = ρcos θ，y = ρsin θ代入再化简即可 2、将极坐标方程化为直角坐标方程,可将方 程化成 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2的形式,再 分别替换成 x，y，x2 +y2，有时要两边先乘 以ρ ；
2 sin 2 cos 0 表示的曲线是_____ 抛物线 1.极坐标方程
检
2.极坐标方程 4 sin 3 所表示的曲线是（ B ）
2
A.两条射线 3.以(

B.两条相交直线
C.圆
D.抛物线
2 , )为圆心，2 4
为半径的圆的极坐标方程是(C )
sin cos
2(sin cos )
A. (sin cos ) B. C. 2(sin cos ) D.
它表示倾斜角为150°，且过点(4，0)的直线. (2)原方程变形为ρ2(cos2θ-sin2θ)=3,所以x2 -y2=3, 它表示中心在原点，焦点在 x 轴上的等轴双曲 线.
展
(3)原方程变形为 x2+y2 -3x+6y -5=0, 它
3 表示圆心为 ( , 3) , 半径为 2
(4)原方程变形为ρ+ρsinθ=2, 所以 x 2 y 2 2 y, 所以 x2+y2=4 -4y+y2, 即 x2= -4(y -1), 它表示 顶点为(0 , 1), 开口向下的抛物线.
§2.4曲线的极坐标方程与 直角坐标方程的互化
吉安一中高二数学备课组
学习目标：
1、曲线的极坐标方程 2、两种方程的互化
导
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
y x y , tan ( x 0) x
65 的圆. 2
这类题多采用化生为熟的方法，即 常将极坐标方程化为普通方程，再 进行判断.
【例2】将下列曲线的直线坐标方程化成极坐标方程
（ 1 ）x y 2 0; （2）x 2 y 2 2ax 0
议
答案： （ 1 ） cos
sin 2 0 (2) 2a cos
【例1】指出下列方程所表示的曲线的形状
. (1)ρcos(θ)=2;
3
(2)ρ2cos2θ=3;
(3)ρ2-3ρcos 2 θ+6ρsinθ-5=0; (4)ρ= 1 sin .
展
1 3 【解析】(1)原方程变形为 ( cos sin ) 2 , 2 2 1 3 所以 x y 2 0 , 即 x 3 y 4 0 , 2 2
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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2
探究二：
在极坐标系中,圆ρ=3cos(θ________.
):
3 2
解析 : 方程 3cos( )变形为 3

3cos cos
2 2 2
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极 坐标时，取 0, 0,


思
问题1：在直角坐标系中，以原点O为圆心, 1为半径的 圆的方程是什么？
x y 1
2 2
问题2：在极坐标系中，以极点O为圆心, 1为半径的圆 的方程是什么？
1
问题3：这两个方程可以互化吗？
可以
议

3
3sin sin

3
展
,
3 3 3 即 cos sin , 2 2 3 3 3 2 即 cos sin , 2 2 3 3 3 从而它的直角坐标方程为x y x y 0. 2 2 3x 3 2 当y 0时, x 0, x 0或x , 2 2 3 截得的弦长为 . 2