1-3第五章分析力学总结

自由度 1 和 2 为独立的
1 F cos 1 m1 g sin 1 m2 g sin 1 0 2 1 F cos 2 m2 g sin 2 0 2
由此解得:
2F 2F tan 1 , tan 2 (m1 2m2 ) g m2 g
§5.3 拉格朗日方程 导读
m3 l1 m1 l3 l3 l2 m2
1 2 1 2 1 T m1l1 m2l2 m3 l l 1 2 2 2 8


2
1 V m1 gl1 m2 gl2 m3 g l l1 l2 2
L T V
拉格朗日方程给出
d 1 1 1 m1 m3 l1 m3l2 m1 m3 g 0 4 4 2 dt d m 1 m l 1 m l m 1 m g 0 2 3 2 3 1 2 3 dt 4 4 2
4m1m2 3m3 m2 m3 m1 g l1 4 m m m m m m 1 2 3 2 3 1 4m1m2 3m3 m1 m3 m2 l2 g 4m1m2 m3 m2 m3 m1 4m1m2 m3 m2 m3 m1 g l3 4m1m2 m3 m2 m3 m1
m gx m gx Fy 0
1 1 x1 l1 cos 1 , x2 l2 cos 2 l1 cos 1 , 2 2 y3 l2 sin 2 l1 sin 1
1 F cos 1 m1 g sin 1 m2 g sin 1 l11 2 1 F cos 2 m2 g sin 2 l22 0 2
它们分别是径向动量和相对于极点的角动量. 拉格朗日力 为
T T 2 , m 0
T 2 , m
T 0
前一个是质点绕极点运动的惯性离心力. 广义力Q , Q
可利用虚功来求. 先令 = 0, 虚功 W=F r=F ,
得到Q = F. 这是力的径向分量. 同理 先令 =0, 利用虚功得到Q= F.这是相对极点的 力矩.
5 拉格朗日方程的应用
对于只具有完整约束、自由度为N的系统，可以得到 由N个拉格朗日方程组成的方程组。 应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤： ○ 判断约束性质是否完整、主动力是否有势，决定 采用哪一种形式的拉格朗日方程。 ○ 确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。
○ 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能 或广义力。
点的虚位移为零，故此约束为理想约束. 3. 用光滑铰链连接物体.
在理想约束条件下, 如果系统处于平衡状态, 则其平衡 条件为
W Fi ri 0
n i 1
i
(5.9)
(5.9)
F x
n i 1 ix
Fiyyi Fizzi 0
这称为虚功原理. 显然: 当一个只有理想约束的系统处 于平衡状态时 , 作用于该系统的所有主动力的虚功之 总和为零. 其实, 即使是非理想的约束, 仍然可以使用虚功原理. 只要 把 F 理解为既包括主动力又包括非理想约束反力即可.

d T T Q q dt q
1,2,, s
T 叫广义速度 1,2,, s 叫广义动量 q q T Q 叫广义力 叫拉格朗日力 q
这是保守系的拉格朗日方程, L=T-V拉格朗日函数. d L L 0 1,2,, s q dt q
第五章
分析力学
拉格朗日 哈密顿
§5.1 约束与广义坐标
导读
• 约束的概念 •约束方程
源自文库
•约束分类
•约束力
•自由度
•广义坐标
小结
约束类别:
a 稳定与不稳定: 由几何约束方程中是否显含时间确定
b 可解与不可解: 看约束方程是等式还是不等式
c d 几何与微分: 由约束方程中是否含有速度投影而定 只受几何约束的力学体系叫完整系
那么系统受到的约束叫做理想约束. 一切光滑接触以及 刚体等都是理想约束.
常见的理想约束的例子
1. 质点（研究对象）被约束在固定光滑曲线或曲面上. 由于约束力始终与质点的虚位移垂直，约束力对所
有虚位移的虚功都为零.
2. 刚体（研究对象）在另一固定刚体上做无滑滚动.
约束力作用在刚体的接触点上，由于运动刚体接触
例1 两刚杆用光滑铰链交结如图. 上杆长 l1, 质量为m1, 下杆长 l2, 质 量为m2, 在下杆的下端施加不变的水平力F, 试求平衡时两杆各自同 竖直线的夹角1和2. y O 解: 光滑铰链是理想约束. 所需考虑的主动 (x1,y1) 力有水平力F, 重力 m1g 和重力 m2g. 1 系统两个自由度, 1 和 2 为广义坐标． (x2,y2) 按照虚功原理 2 F m1 g m2g (x ,y ) 3 3 1 1 2 2 3 x
例2 不可伸缩的柔软轻绳绕过两个定滑轮杯和一个动滑轮
(图), 滑轮的重量很轻, 质量为m1, m2和m3的物体分别悬挂
于绳的两端和动滑轮下. 求各物体的加速度. 解: 三个物体作上下方向的一维运
动, 又受到一不可伸缩的绳的限制,
因此只有2个自由度. 取左右两边的绳长l1和l2作为力学系 统的广义坐标. l1+2l3+l2=常数l. 三个物体受到的都是重力, 是保守系 统, 所以
• 达朗贝原理 • 基本拉格朗日方程 • 广义速度 广义动量 • 保守系的拉格朗日方程 • 循环积分
§5.3 拉格朗日方程 导读
• 达朗贝原理 • 基本拉格朗日方程 • 广义速度 广义动量 • 保守系的拉格朗日方程 • 循环积分
小 结
达朗贝尔-拉格朗日方程 拉格朗日方程

n i 1
Fi mi ri ri 0
广义坐标与自由度
对完整系,由于约束的存在使得独立坐标的个数减少, 这些独立坐标的数目叫自由度.用来表示这些独立变量 的参数叫广义坐标. 广义坐标不一定是长度,……
分析力学处理问题的方法与牛顿力学不同之处
分析力学处理问题的方法与牛顿力学不同，它采
用把真实运动与在约束条件下允许的各种可能运动进
行比较的方法，从中找出真实运动满足的条件 .
为研究可能运动引入虚位移和虚功的概念.
§5.2 虚功原理
导读
• 实位移 虚位移
• 实功 虚功
• 虚功(虚位移)原理
小结
a 实位移: 质点实际运动的位移 b 虚位移: 想象中发生的位移.决定于质点位置和约束 c 理想约束: 诸约束反力在任意虚位移上作的虚功为零 虚功原理 a 力学体系如受n个外力作用平衡，则对理想、不可解约束 来说，虚功之和为零
○ 将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
例1 试推导平面极坐标中的质点运动方程． 解: 这里有两个自由度, 广义坐标即极径 和极角. 径向 速度和横向速度分别是
, v , T m v
1 2 2

2

广义动量为
T T , p p m m 2
W Fi ri 0
n i 1
b 利用虚功原理不能求约束反力，但用未定乘法可以
2 虚功
作用在质点上的力在任意虚位移 r 中所作得功, 叫做虚功.
如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意 虚位移中所作得虚功之和为零,即
Ri ri 0
n i 1
(5.6)