蝴蝶定理的证明与推广

蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧氏平面几何的最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。

最基本的叙述为：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：

从向和作垂线，设垂足分别为和。类似地，从向和作垂

线，设垂足分别为和。

证明蝴蝶定理

现在，由于

从这些等式，可以很容易看出：

由于 =

现在，

因此，我们得出结论：，也就是说，是的中点。