解三角形教案(精简版)

高一数学必修5第一章解三角形教学设计

●教学过程

[理解定理] 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sin sin a

b

A B =sin c

C =

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；

（2）sin sin a

b

A B =sin c

C =等价于sin sin a

b

A B =，sin sin c

b

C B =，sin a

A =sin c

C

从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B

=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =

。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]

例题 .在ABC ∆中,已知3=

a , 2=

b , B=450.求A 、C 和c. 解:004590B =< 且 ,b a < ∴A 有两解.

由正弦定理,得232

45sin 3sin sin 0=•==b B a A 0012060==∴A A 或

1) 当A=600时,C=1800-A-B=750, sin sin b C c B ===

2) 当A=1200时,C=1800-A-B=150, sin sin b C c B ===练习：1),32,45,6,0===

∆a A c ABC 中求B 、C 、b. 2) ,2,45,6,0===∆a A c ABC 中求B 、C 、b.

3）已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c

小结（由学生归纳总结）

（1）定理的表示形式：sin sin a

b

A B =sin c

C ==()0sin sin sin a b c k k A B C

++=>++； 或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

课题: §1.1.2余弦定理 授课类型：新授课

[理解定理] 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 =+-2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

222cos 2b c a A bc +-=， 222cos 2a c b B ac +-=， 222

cos 2b a c C ba

+-= 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若∆ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

[例题分析]

例1．在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A

⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B =222+-⋅cos 045

=2121)+-=8 ∴=b

求A

⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A

解法二：∵sin 0sin sin45,

=a A B b

2.4 1.4

3.8,+= 21.8 3.6,⨯=

∴a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A

评述：解法二应注意确定A 的取值范围。

练习：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）

小结：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论 授课类型：新授课

●教学过程

[探索研究]

例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况

分析：先由sin sin b A B a =可进一步求出B ；则0180()C A B =-+，从而sin a C c A

= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，

如果a ≥b ，那么只有一解；

如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；（3）若sin a b A <，则无解。 （以上解答过程详见课本第9-10页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

练习:

（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

（2）在∆ABC 中，若1a =，12

c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。 （3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3

）2x <<

利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状

例2．根据所给条件,判断ABC ∆的形状.

1）在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =。2）;cos cos B b A a = 3）C

c B b A a cos cos cos == 分析：由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形

∆

（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）

1）解：222753>+，即222a b c >+，∴ABC 是钝角三角形∆。

2）解: 解法一(化边)

由余弦定理得)2()2(cos cos 2

22222ac

b c a b bc a c b a B b A a -+⋅=-+⋅⇒= 0422422=+--⇒b c b a c a , 0)()(22222=--⋅-∴b a c b a

022=-∴b a 或0222=--b a c 222c b a =+∴ 或b a =

故ABC ∆是直角三角形或等腰三角形

解法二(化角)由;cos cos B b A a =可得B B R A A R cos sin 2cos sin 2=∴

即B A 2sin 2sin = B A 22=∴或,180220

=+B A 即B A =或A+B=900 故ABC ∆是直角三角形或等腰三角形

3）解：(化角)解法一: 由正弦定理得C A c a sin sin =

, C B c b sin sin = 代入已知等式得C c C B B c C A A c cos sin cos sin sin cos sin =⋅=⋅, C C B B A A cos sin cos sin cos sin ==∴ 即C B A tan tan tan == ),0(,,π∈C B A

C B A ==∴ 故ABC ∆是等边三角形