精心整理的运筹学重点10.对策论

v1 = max min(3 − 2 x, 2 + 2 x) ， v1 = max min(3 − 2 x, 2 + 2 x) 就是折线 ＡＢＣ，它是局 0≤ x ≤1 0≤ x ≤1
中人 Ｉ 的最小赢得线，Ｂ 就是折线 ＡＢＣ 的最高点，所以 Ｂ 点所对应的值就是混合策略意 义下的最大最小值。
E ( x , β1 ), E ( x, β2 ) 的表达式是两条直线方程， x ∈ [0,1] E ( x, β1 ) 的值随 ｘ 的增大而减小， E ( x, β2 ) 的值随 ｘ 的增大而增大。两条直线的交点 Ｂ
对应 Ｘ 轴上的 x 0 点。局中人 Ｉ 按最大最小原则选择策略，即他的选择为
y* = (1/2,1/2), v2 = 5 / 2
由此可得，混合策略意义下的解为（ x *, y * ），对策值 vG = 5 / 2 方法 ３：线性规划法（求解 ｍ＊ｎ 型） 数学模型
0≤ y ≤1
max W = y1 + y2+ ...+ yn
Ｐ：
∑a y
ij
min V = x1 + x2+ ...+ xm
方法 ２：图解法 （求解 ２＊ｎ 或 ｍ＊２ 型） 图解法求每个局中人只有两个策略的矩阵对策： １）绘制局中人 Ｉ 的混合策略图。
ａ．以局中人 Ｉ 选取策略 a1 的概率 x 为横坐标，以局中人 Ｉ 的期望赢得 v 为纵坐标建立 坐标系。 ｂ．画出局中人 ＩＩ 选取纯策略 β1 时，局中人 Ｉ 的期望赢得线。 ｃ．画出局中人 ＩＩ 选取纯策略 β2 时，局中人 Ｉ 的期望赢得线。 ｄ．找出局中人 Ｉ 的最小赢得线， 其最高点的横坐标 x0 给出了局中人 Ｉ 的最优混合策略
v2 = min max(4 − 3 y, 2 + y ) 0≤ y ≤1
图中折线 ＣＤＥ 表示 v2 = min max(4 − 3 y, 2 + y ) ，即局中人 ＩＩ 的最大损失线，Ｄ 是 ＣＤＥ
的最低点，即最小最大值。Ｄ 点对应的 y0 = 1/2, v2 = 5 / 2 ，因而 ＩＩ 得最优混合策略为
当 E ( x, β1 ) = E( x, β 2 ) 时，解得： x0 = 1/4, v1 = 5 / 2 ，局中人 Ｉ 的解为
x* = (1/4,3/4), v1 = 5 / 2
同理，用同样的方法分析局中人 ＩＩ 的最优混合策略，若局中人 ＩＩ 以概率 ｙ 选择 β1 ，以 （１－ｙ）选取 β2 去对付局中人 Ｉ 的策略 a1 时，他的期望损失值
Ｔ（Ｇ）为矩阵对策的解集。
此方法可以求解任何矩阵对策问题（尤其是矩阵中赢得函数有负数的情况）。 方法 ４：优超法则 行大列小为优。 ４．其他对策模型 １）两人无限零和对策
２）两人无限非零和对策 ３）合作对策：例如产品定价问题 参加对策的局中人可以进行充分的合作，可以事先商定好，把各自策略协调起来；合作 的形式是所有局中人可以形成若干联盟，每个局中人仅参加一个联盟，联盟的所得要在 联盟的所有成员中进行重新分配。 合作对策的关键问题是：如何形成联盟，联盟的所得如何被合理分配。其核心问题是， 如何定义“最优的”分配？是否存在最优的分配？怎样去求解最优的分配？ 构成合作对策的两个基本要素：局中人集合 Ｉ 和特征函数 ｖ（Ｓ），其中 Ｉ＝｛１，２，…，ｎ｝，Ｓ 为 Ｉ 的任一子集，也就是任何一个可能形成的联盟，ｖ（Ｓ）表示的是联盟 Ｓ 在对策中的所 得。合作对策的可行解是一个满足下列条件的 ｎ 维向量 x = ( x1 , x2 ,... xn )
解：不存在最优纯策略，Ｉ 选择混合策略（ｘ，１－ｘ），当局中人 ＩＩ 选择 β1 时，局中人 Ｉ 的期望赢得为 E ( x, β1) = 1 x + 3(1− x ) = 3 − 2 x 。 当局中人 ＩＩ 选择 β2 时，局中人 Ｉ 的期望赢得为 E ( x, β2 ) = 4 x + 2(1− x ) = 2 + 2 x 。
型法求解，VG* =V G − L 。
∑a
1 * , x = V G ⋅ xi , y * = VG ⋅ y j Z
ij
< 0 ，则需要对矩阵进行变换，同时加上一个 Ｌ，再用单纯
VG2 = VG1 + L T ( G1 ) = T (G2 )
VG2 = a ⋅VG1 T ( G1 ) = T (G2 )
x = ( x0 ,1 − x0 ) ，其纵坐标给出该矩阵对策的值 v* 。 ２）类似绘制局中人 ＩＩ 的混合策略图。 对于 ２＊３ 矩阵来讲，局中人 Ｉ 可以从图 １ 中找到 ｘ，折线 ＡＢＣＤ 的最大点 Ｃ 就是 Ｉ 的最优 策略。 对于 ３＊２ 矩阵来讲， 局中人 ＩＩ 可以从图 ２ 中找到 ｙ， 折线 ＡＢＣＤ 的最小点 Ｂ 就是 ＩＩ 的最 优策略。
Ｄ：
j
≤1
在问题 Ｐ－Ｄ 中，不妨设 v > 0, w > 0（否则，对对策的赢得矩阵的每一个元素均加上一个 正常数，使得所有矩阵中的元素均大于等于零），作变换
yi ≥ 0
∑a x
xi ≥ 0
ij i
≥1
VG =
1 1 = V W
x' =
P' ： ∑ aij y 'j ≤ 1
x1 a11 x2 a21
矩阵对策求解方法
有
a12 a22
有无鞍点？
无 是
获得
２＊ｎ 或 ｍ＊２ 矩阵
否
图解
是否优超
代数
LP
? ?
方法 １：线性方程组（求解 ２＊２ 型）
a11 x1 + a21 x2 = v a11 y1 + a12 y 2 = v a11a22 − a12 a21 a12 x1 + a22 x2 = v 和 a12 y1 + a22 y2 = v vG = ( a + a ) − ( a + a ) 11 22 12 21 x + x =1 y + y =1 1 2 1 2
i j j i
３．无鞍点的两人有限零和对策求解 X = ( x1 , x2 ,..., xm )T 为局中人 Ｉ 的混合策略，
Y = ( y1 , y 2 ,..., yn )
T
∑ x = 1 为局中人 ＩＩ 的混合策略， ∑ y = 1 ， ( X , Y ) 称为混合局势。
i i
最优混合策略求解方法 y1 y2
*
v
v A B C D B C
D
A
X=0
x X=1
y=0
y=1
y
例 １：用图解法求 ２＊３ 的矩阵求 Ｘ，用图 １，求下方最高点的值；３＊２ 的矩阵求 Ｙ，用图 ２，求上方最低点 的值。 例 ２： ＩＩ y1 Ｉ y
2
x1 1 4 A= x2 3 2
xi ' yi , y = , 则问题 Ｐ－Ｄ 等价于问题 P' , D' w v max Z = ∑ y 'j min W = ∑ xi'
D' ： ∑ aij xi' ≥ 1
y 'j ≥ 0
xi' ≥ 0
用单纯型法求得 Z , xi , y j 的值后，对策值VG = 如果矩阵中所有的元素
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E (a1 , y ) = 1y + 4(1− y) = 4 − 3 y
当局中人 ＩＩ 以以同样的混合策略对付 Ｉ 的 a2 策略时，他的期望损失值
E (a2 , y ) = 3 y + 2(1− y ) = 2 + y
局中人 ＩＩ 按最小最大原则选择自己的策略，即按下式决定自己的最优混合策略：
xi ≥ v({}), i i = 1,2,..., n
∑x
i =1
n
i
= v (I )
４）多人非合作对策：例如囚徒困境 指局中人之间互不合作，局中人之间没有达成任何具有约束力的协议。矩阵对策就是一 种非合作对策，一般非合作对策模型可以用所谓的策略式来表达，需给出 １）局中人的 集合；２）每个局中人的策略集；３）每个局中人的赢得函数。 如果对策 Ｇ 中局势 ｓ 对所有人都有利，则称局势 ｓ 为对策 Ｇ 的一个均衡局势或均衡解， 又称纳什均衡。 纳什均衡的含义：当局势 ｓ 对每一个局中人都有利时，没有人愿意单独改变策略选择， 因为它无法从这种改变中获利， 因此每个局中人所选择的策略都是针对其他局中人选择 策略的最佳反应，或者说均衡局势 ｓ 中的策略互为最佳反应对策。 例如矩阵对策的最优局势，囚徒困境。
第十章 对策论 １．对策论类型 １）根据局中人个数：二人对策、多人对策 ２）根据局中人间是否允许合作：合作对策、非合作对策 ３）根据局中人的策略集中的策略个数：有限对策、无限对策 ４）根据各局中人的赢得函数的代数和是否为零：零和对策、非零和对策 ５）根据策略的选择是否与时间推移有关：静态对策、动态对策 ６）根据对策中各局中人所拥有的有关决策信息：完全信息对策、不完全信息对策 ７）根据对策模型的数学特征：矩阵对策、连续对策、微分对策、随机对策 矩阵对策：又称为二人有限零和对策。 ２．有鞍点的两人有限零和对策求解 G = {S1, S2 , A} 求解： maxmin{aij } = V1,minmax{aij } = V2