练习12 波的传播规律多普勒效应5

练习12 波的传播规律

波的形成机理

12. 1

波动曲线

12. 2图示为t = 0时的波动曲线, u = 2cm/s , 试指出:

(1) 此曲线的物理意义。

(2) 波源一定要在点0吗? 波形的实线与虚线部分各表示什么?

(3) 点0 的初相位及波峰、波谷对应的点C′, G′点的初相位各为多少?

(4) A,λ, T,ω各为多少?

(5) 用箭头指出0 , B, C, D, E, F,G, H 各点

的运动趋势, 并说明你画箭头时是怎么考虑的。

(6) 画出t = ±2s 时的波动曲线。

(7) 若u 的方向相反, 即波沿x 轴负方向传播,

再回答( 3) , ( 5) , ( 6) 。题12.2图？？

[分析与解答]

（1）波动曲线表示的是波在传播过程中某时刻t介质元离开平衡位置的位移情况，相当于在该时刻所拍摄的一幅照片。

（2）波源不一定要在O点。根据惠更斯原理，波线上介质中任一点均可看作是一个子波波源。

（3） O点的振动状态是过平衡位置，向Y轴负方向运动，其初项φ0=π/2，波峰C′点在正的最大位移处，其初项位φc=0，波谷G′点在负的最大位移处，其初项位Φg=±π。（4）振幅A=5cm, 波长λ=4cm；周期T=1/v=λ/ u=4/2=2s

圆频率ω=2π/ T= π rad/s

（5）判断某一点运动趋势的方法是：它前一点现时的位置，就是它下一时刻的位置。故O，B，H，I向下运动；D、E、F向上运动；C，G瞬间静止，随后C向下，G向上运动。（6）由于周期T=2s，因此t=2s 时的波动曲线应为t=0时的波形曲线向右传播一个波长后的形状，即曲线右移λ；

同理，t=2s 时的波形曲线应为t=0 时的波动向左传播一个波长后的形状，即曲线左移λ。（7）在（3）中φ0变为-π/2，φc，φG不变。在（5）中各质元的运动方向：O，B，H，I 向上运动，D，E，F 向下，C 仍向下，G 仍向上；在（6）中，t=2s 时，波形左移，t=-2s 时，波形右移。

12. 3 求解：

(1) 已知x = 0 处质元的振动曲线如P156图12.2所示, 若它以u = 20cm/ s 的速度在介质

中传播, 试画出t=3s 时的波动曲线。

(2) 已知t =0时的波动曲线如图(题12.2)所示。

试画出0，E ，G ′各点的振动曲线。 (3) 已知波函数2cos(2)y t x ππ=-。

试画出x = 0和x =λ/4两点的振动曲线。

[分析与解答] 振动曲线是振子位移y 与时间t 的关系曲线，即y-t 曲线。波动曲线是某一时

刻t ，波线上介质中各质点元位移y 随x 的分布曲线。

（1） 从振动曲线可知：振幅 A = 5 cm ，周期 T = 2 s ，t = 0 时， y 0 = 0,

且00v > ，得O 点初相位 02πϕ=-，圆频率2/rad s T

π

ωπ=

= 振源（x =0）的振动方程为 05c o s ()2

y t ππ

=- cm 由于该波以u =20 cm/s 沿x 轴正方向传播，波长40ut cm λ==，

则波动方程为 5c o s ()202

x y t πππ

=-- cm 将t =3代入波动方程得 55cos()220

x

y ππ=-cm,

波形曲线如图（b ）所示。

（2）由题12.2图所示的波形曲线可知，O 点过平衡位置，向y 轴负方向运动，振动方程为

05c o s ()2

y t π

π=+cm

E 点过平衡位置，向y 正方向运动，振动方程为 5cos()2

E y t π

π=-cm

G ’点在负最大位移处，振动方程为5cos()G y t ππ=-cm

各点的振动曲线如图（C ）所示。

（2） 将2cos(2)y t x ππ=- m 改写为2cos[2()]2

x

y t π=-并与波函数的标准形式

0cos[()]x

y A t u

ωϕ=-+对比，

得 A =2m ；0ϕ=0；ω=2π rad/s ；u =2 m/s ；2/2u m λπω== 当x =0时，该点的振动方程为 02cos2y t π=m

x =λ/4处的振动方程为 4

2cos[2()]2cos(2)82y t t πλπ

ππ=-=-

则该两点的振动曲线如图（d ），（e ）所示。 波动方程

12.4 一平面谐波的表达式为y = Acos[ω（t-x/u ）+ φ0 ], 试说明: (1) 式中x/u 表示什么? (2) 0ϕ表示什么?

(3) ωx/ u 表示什么?

(4) t

y ∂∂表示什么? 它等于波速u 吗? 题12.4（6）

(5) 若把方程写成y = Acos [2π（t/T-x/λ）], 可否?

(6) 波动方程中的(-x/u) , 其负号表示什么? 能否是正号? 今已知一平面谐波沿x 轴负方向传

播, 如图所示, 已知M 点的振动规律为y = Acos (ω t +0ϕ)试写出点N 的运动方程。 [分析与解答]

(1) x/u 表示波从坐标原点（x=0）传到任意一点（x=x ）所需的时间。 (2) 0ϕ 表示坐标原点（x=0）处质点振动的初相位。

（3）ωx/ u 表示波线上任一点处质元比原点处质元落后的相位，或相距x 距离的两元间的相位差。

（4）t y ∂∂表示波动某一质元的振动速度，它不等于波速u ，一般来说t y

∂∂是时间的函数并且与

质元位置x 有关，而波速u 只与介质有关。

（5）该式只是在初相位0ϕ =0 时的特殊情况下成立，一般应写为 y =Acos[2π(t/T –x/λ)+φ0 ]

(6) (-x/u) 中的负号表示相位落后，而(+x/u)中的正号则表示相位超前。 已知：M 点的振动规律为M y =A cos(ωt+0ϕ)

且该波沿x 轴负方向传播，可知图中N 点的相位较M 点超前，则N 点的运动方程（即波动方程）应为 y =A cos{ω[t +(x-1)/u]+ 0ϕ}

12.5已知波动方程5cos[2(

)]1230

t r

y π=- cm 试求：ω，T ，v ，u ，λ，A 和波数k 各为多少？并写出r =15cm 处质点的运动方程。