练习12 波的传播规律多普勒效应5

练习12 波的传播规律波的形成机理12. 1波动曲线12. 2图示为t = 0时的波动曲线, u = 2cm/s , 试指出:(1) 此曲线的物理意义。

(2) 波源一定要在点0吗? 波形的实线与虚线部分各表示什么?(3) 点0 的初相位及波峰、波谷对应的点C′, G′点的初相位各为多少?(4) A,λ, T,ω各为多少?(5) 用箭头指出0 , B, C, D, E, F,G, H 各点的运动趋势, 并说明你画箭头时是怎么考虑的。

(6) 画出t = ±2s 时的波动曲线。

(7) 若u 的方向相反, 即波沿x 轴负方向传播,再回答( 3) , ( 5) , ( 6) 。

题12.2图？？[分析与解答]（1）波动曲线表示的是波在传播过程中某时刻t介质元离开平衡位置的位移情况，相当于在该时刻所拍摄的一幅照片。

（2）波源不一定要在O点。

根据惠更斯原理，波线上介质中任一点均可看作是一个子波波源。

（3） O点的振动状态是过平衡位置，向Y轴负方向运动，其初项φ0=π/2，波峰C′点在正的最大位移处，其初项位φc=0，波谷G′点在负的最大位移处，其初项位Φg=±π。

（4）振幅A=5cm, 波长λ=4cm；周期T=1/v=λ/ u=4/2=2s圆频率ω=2π/ T= π rad/s（5）判断某一点运动趋势的方法是：它前一点现时的位置，就是它下一时刻的位置。

故O，B，H，I向下运动；D、E、F向上运动；C，G瞬间静止，随后C向下，G向上运动。

（6）由于周期T=2s，因此t=2s 时的波动曲线应为t=0时的波形曲线向右传播一个波长后的形状，即曲线右移λ；同理，t=2s 时的波形曲线应为t=0 时的波动向左传播一个波长后的形状，即曲线左移λ。

（7）在（3）中φ0变为-π/2，φc，φG不变。

在（5）中各质元的运动方向：O，B，H，I 向上运动，D，E，F 向下，C 仍向下，G 仍向上；在（6）中，t=2s 时，波形左移，t=-2s 时，波形右移。

12. 3 求解：(1) 已知x = 0 处质元的振动曲线如P156图12.2所示, 若它以u = 20cm/ s 的速度在介质中传播, 试画出t=3s 时的波动曲线。

(2) 已知t =0时的波动曲线如图(题12.2)所示。

试画出0，E ，G ′各点的振动曲线。

(3) 已知波函数2cos(2)y t x ππ=-。

试画出x = 0和x =λ/4两点的振动曲线。

[分析与解答] 振动曲线是振子位移y 与时间t 的关系曲线，即y-t 曲线。

波动曲线是某一时刻t ，波线上介质中各质点元位移y 随x 的分布曲线。

（1） 从振动曲线可知：振幅 A = 5 cm ，周期 T = 2 s ，t = 0 时， y 0 = 0,且00v > ，得O 点初相位 02πϕ=-，圆频率2/rad s Tπωπ== 振源（x =0）的振动方程为 05c o s ()2y t ππ=- cm 由于该波以u =20 cm/s 沿x 轴正方向传播，波长40ut cm λ==，则波动方程为 5c o s ()202x y t πππ=-- cm 将t =3代入波动方程得 55cos()220xy ππ=-cm,波形曲线如图（b ）所示。

（2）由题12.2图所示的波形曲线可知，O 点过平衡位置，向y 轴负方向运动，振动方程为05c o s ()2y t ππ=+cmE 点过平衡位置，向y 正方向运动，振动方程为 5cos()2E y t ππ=-cmG ’点在负最大位移处，振动方程为5cos()G y t ππ=-cm各点的振动曲线如图（C ）所示。

（2） 将2cos(2)y t x ππ=- m 改写为2cos[2()]2xy t π=-并与波函数的标准形式0cos[()]xy A t uωϕ=-+对比，得 A =2m ；0ϕ=0；ω=2π rad/s ；u =2 m/s ；2/2u m λπω== 当x =0时，该点的振动方程为 02cos2y t π=mx =λ/4处的振动方程为 42cos[2()]2cos(2)82y t t πλπππ=-=-则该两点的振动曲线如图（d ），（e ）所示。

波动方程12.4 一平面谐波的表达式为y = Acos[ω（t-x/u ）+ φ0 ], 试说明: (1) 式中x/u 表示什么? (2) 0ϕ表示什么?(3) ωx/ u 表示什么?(4) ty ∂∂表示什么? 它等于波速u 吗? 题12.4（6）(5) 若把方程写成y = Acos [2π（t/T-x/λ）], 可否?(6) 波动方程中的(-x/u) , 其负号表示什么? 能否是正号? 今已知一平面谐波沿x 轴负方向传播, 如图所示, 已知M 点的振动规律为y = Acos (ω t +0ϕ)试写出点N 的运动方程。

[分析与解答](1) x/u 表示波从坐标原点（x=0）传到任意一点（x=x ）所需的时间。

(2) 0ϕ 表示坐标原点（x=0）处质点振动的初相位。

（3）ωx/ u 表示波线上任一点处质元比原点处质元落后的相位，或相距x 距离的两元间的相位差。

（4）t y ∂∂表示波动某一质元的振动速度，它不等于波速u ，一般来说t y∂∂是时间的函数并且与质元位置x 有关，而波速u 只与介质有关。

（5）该式只是在初相位0ϕ =0 时的特殊情况下成立，一般应写为 y =Acos[2π(t/T –x/λ)+φ0 ](6) (-x/u) 中的负号表示相位落后，而(+x/u)中的正号则表示相位超前。

已知：M 点的振动规律为M y =A cos(ωt+0ϕ)且该波沿x 轴负方向传播，可知图中N 点的相位较M 点超前，则N 点的运动方程（即波动方程）应为 y =A cos{ω[t +(x-1)/u]+ 0ϕ}12.5已知波动方程5cos[2()]1230t ry π=- cm 试求：ω，T ，v ，u ，λ，A 和波数k 各为多少？并写出r =15cm 处质点的运动方程。

[分析与解答] 与波动方程一般形式0cos[2()]t xy A T πϕλ=-+相比较可得：周期T=12s ；圆频率2/6rad s T ππω==；波长λ=30cm ； 振幅A=5cm 波速30 2.512u T λ===cm/s ；波数223015k πππλ=== 振动速度5sin()6615y r v t t πππ∂==--∂ cm/s r=15cm 处质元的方程为：155cos()6y t ππ=-cm12.6 已知平面谐波A = 5cm ，ν= 100Hz, 波速u = 400m/ s ，沿x 正方向传播，以位于坐标原点O 的质元过平衡位置向正方向运动时为时间起点，试求: (1) 点O 的运动方程; (2) 波动方程;(3) t = 1s 时, 距原点100cm 处质元的相位[分析与解答]（1） 要建立O 点的运动方程，关键在于找三个特征量。

由题设条件可知，圆频率2200ωπνπ==rad/s 。

振幅A=5cm ；t =0时，坐标原点O 处质点过平衡位置，且向正方向运动，则O 点的初相位03()22ππϕ=-或，于是O 点的运动方程为 00.05c o s (200)2y t ππ=-m (2) 波沿x 轴的正方向传播。

波线上任一点质元的相位较O 点质元落后xuω，则波动方程为0cos[()]0.05cos[200()]40020.05cos(200)22x x y A t t u x t mπωϕππππ=-+=--=--(3)将t=1s ，x =100cm=1m 代入波动方程，得t=1s 时，距原点100cm 处质点的相位为199π（若取230πϕ=，则该点相位为201π）12. 7 一列平面谐波沿x 轴正向传播, 振幅A = 0.1m , 频率ν= 10Hz , 当t = 1.0 s 时，x = 0.1m 处的质点a 的状态为0a y =，0a v <；x = 0.2m 处的质点b 的状态为0.05b y =m ，0b v >。

试求这列波的波动方程。

[分析与解答] 由波动方程可知，这列波的方程为0022cos(2)0.1cos(20)x xy A ft t πππϕπϕλλ=-+=-+ ①在t=1.0s 时，对于a 点（x =0.1m ）有则00.22ππϕλ-=±，由于0a v <，应取2π， 则 00.22ππϕλ-=②同理，对于b 点有 00.43ππϕλ-=-③由式②，③可得 λ=0.24m ，043πϕ=代入式①，则波动方程为 240.1cos(20)0.243x y t πππ=-+ 12. 8 一列平面简谐波, 频率ν=500Hz , 波速u=350m/ s 。

试求:(1) 相位差3πϕ∆=的两点间相距多远?(2) 在某点, 时间间隔310t -∆=s 的两个振动状态的相位差为多少? [分析与解答](1) 由相位差和波程差的关系212x x πϕλ∆=-() 则 2135030.12222500u x x m v πλϕϕπππ∆-∆==⨯==(2) 按题设条件可知，周期为 T=1/v =1/500=2×10-3s则某点经历 3102Tt -∆==的两个位移的相位差为180rad ϕπ∆== 或由两个方程求解： 关于波的能量特征 12.9选择题:(1) 一列机械横波在t 时刻的波形曲线如图 所示, 则该时刻能量为最大值的介质质元的位置 是: ( )A. o ′, b, d, f ;B. a, c, e, g;C. o ′, d;D. b, f 。

题12.9（1） (2) 图示为一平面简谐波在t 时刻的波形曲 线, 若此时A 点处介质质元的振动动能在增大, 则可知: ( )A. C 点处质元的弹性势能在增大;B. A 点处质元的弹性势能在减小; 题12.9（2）C. B 点处质元的振动动能在增大;D. 波沿x 轴正方向传播。

[分析与解答]（1）（B ）（2）A 点的振动动能在增大，表明A 点正向平衡位置运动，表明沿-X 方向传播，因此，C 点也向平衡位置运动，弹性势能和动能均增大，故答案（A ）是正确的。

12. 10 频率为ν= 500Hz , 波速为u =340m/s 的声波(平面简谐波) , 在空气(ρ= 1.3kg/ m 3)中传播, 到达人耳时, 振幅约为A= 1.0×10-6 m 。

试求声波在人耳中的平均能量密度和声强。

[分析与解答] 声波在人耳中的平均能量密度为=w （1/2）ρA 2 ω2 =2π2ρA 2ν2 =6.42π×10-6 J/m 2其能量密度即为声强，即I=u w =31018.2-⨯ w/m 2波的干涉12. 11 如图所示, 两相干波源S 1 , S 2 , 频率均为100Hz , 振幅均为5cm , 波速均为u = 10m/ s , 振动方向均垂直纸面。