2020-2021学年浙江省名校协作体高二上学期开学考试数学试题 word版
2022-2023学年浙江省名校协作体高二上学期开学考试数学试题(解析版)
2022-2023学年浙江省名校协作体高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．向量()1,2a =，()2,b λ=，且a b ⊥，则实数λ的值为（ ） A ．3- B ．1- C ．3 D ．7【答案】B【分析】利用向量垂直的坐标表示可得出关于实数λ的等式，即可解得λ的值. 【详解】由已知可得220a b λ⋅=+=，解得1λ=-. 故选：B. 2．12i12i+=- A ．43i 55-- B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+【答案】D【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.3．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）A 2B ．42C ．8D ．82【答案】D【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可． 【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以22O B ''=，还原回原图形后，2OA O A =''=，242OB O B =''=；所以原图形的面积为24282⨯=． 故选：D4．设m ，n 为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，下列命题错误．．的是（ ） A ．若m α⊥且n α⊥，则m n ∥ B ．若m α∥且m β⊥，则αβ⊥ C ．若m α∥且n α∥，则m n ∥ D ．若αβ∥且m α⊥，则m β⊥【答案】C【分析】根据线面平行、面面平行的判定和性质，线面垂直、面面垂直的判定分析判断即可.【详解】对于A ，当m α⊥且n α⊥时，m n ∥，所以A 正确，对于B ，当m α∥且m β⊥时，过m 作平面γ，交α于直线n ，则m ∥n ，因为m β⊥，所以n β⊥，因为n ⊂α，所以αβ⊥，所以B 正确，对于C ，当m α∥且n α∥时，m ，n 可能平行，可能异面，可能相交，故C 错误， 对于D ，当αβ∥且m α⊥时，则m β⊥，所以D 正确， 故选：C5．函数1()cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值及排除法判断即可.【详解】函数()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭定义域为{}|0x x ≠，则()()()11cos cos f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A ；又()11ππcos ππ0ππf ⎛⎫=+=--< ⎪⎝⎭，故排除C ；ππ6π()()cos 066π6f =+>，故排除B;故选：D6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3AB BC CA AB ⋅=⋅，则A B -的最大值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 【答案】A【分析】根据数量积可知三角形中AB BD ⊥，作出图形，由平面几何知识得出角的最值即可.【详解】由3AB BC CA AB ⋅=⋅得，(3)0AB BC CA ⋅-=，令3CD AC = 则上式等价于AB BD ⊥，取AD 中点E ，连接BE ，如图，而CBE A B ∠=-，故只需求∠CBE 的最大值，设CE x =，则2,BE x =固定CE , 由平面几何知识，π6A B -≤ 故选：A7．如图，各棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C -中，点M 为棱1AA 的中点，点N 为棱1CC 的三等分点（靠近1C ），点P 为棱1BB 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥1B MNP -体积为定值 B ．三棱锥11A NPB -体积为定值C ．当1B P PB =时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等D ．当12B P PB =时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等 【答案】D【分析】根据正三棱柱的性质结合三棱锥体积公式可判断AB 选项，再由正三棱柱的对称性判断CD.【详解】A 项，M 到平面1B NP 距离为定值， 但1B NP S △不为定值，故1B MNP V -,不为定值， 故错误；B 项， 1A 到平面1NB P 距离为定值， 但1B NP S △ 不为定值，故11A NB P V -不为定值，故错误；C 、D 项：由于12CN C N =，由对称性知当12B P PB =时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等，故C 错误，D 正确. 故选：D8．已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．21a >B ．1a ≥C ．12a >D ．1a ≥-【答案】B【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.【详解】由题意，()cos sin 0f x x a x '=-≤在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即cos 1sin tan x a x x ≥=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立， 因为tan y x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 1y x =>，所以在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，101tan x <<， 所以1a ≥. 故选：B二、多选题9．在平面直角坐标系中，角α以x 正半轴为始边，终边与单位圆（原点为圆心）交于点1,2n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则符合条件的角α可以是（ ） A ．π3- B ．2π3C ．4π3D ．7π3【答案】BC【分析】根据题意知角α的余弦为12-，据此求解即可.【详解】对A ，当π3α=-时，π11cos 322⎛⎫-=≠- ⎪⎝⎭，故错误；对B ，当2π3α=时，2π1cos 32=-，故正确；对C ，当4π3α=时，4ππ1cos cos 332=-=-，故正确； 对D ，当7π3α=时，7ππ1cos cos(2π+)332==，故错误. 故选：BC10．已知非零实数a ，b ，c 满足a b c <<，0a b c ++>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ac bc < B ．2b ac >C ．11a c<D ．()()220c b a c ++>【答案】AD【分析】根据题意知0c >故可判断A ，取特殊值判断BC ，由不等式的性质判断D. 【详解】A 选项，由于,0a b c a b c <<++>，故0c >，所以ac bc <，正确； B 选项，取10,2,1c b a === 知不成立，错误； C 选项，取10,2,1c b a ===知不成立，错误;D 选项，由于2c a b b >-->-得20c b +>， 而20a c a b c +>++>， 故(2)(2)0c b a c ++>，正确. 故选：AD11．已知0x >时，2log x x >，则关于函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，下列说法正确的是（ ）A ．方程()f x x =的解只有一个B ．方程()()1f f x =的解有五个C ．方程()()()01f f x t t =<<的解有五个D ．方程()()()1f f x t t =>的解有五个【答案】ACD【分析】作出函数()f x 的图象，换元后从外到内研究，先求y t =与()y f x =图象交点的个数，转化为内层函数()t x 或()u x 的取值范围，据此再结合()f x 的图象即可判断()()f f x t =的根的个数.【详解】作出()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩图象，如图，A 项，因为2log x x >，显然y x =与()f x 有唯一交点，故正确；B 项，令()f x t =，则()10f t t =⇒=或12t =或2()0t f x =⇒=或1()2f x =或()26f x =⇒个解，故错误；C 项，令()u f x =，则123()(0,1)0,(0,1),(1,2)f u t u u u =∈⇒<∈∈ 12312()0,()(0,1),()(1,2),x f x f x x x f ⇒<∈∈⇒∈∅有3个解，3x 有2个解，共有5个解，故正确；D 项，令()u f x =，则12()(1,)(0,1),(2,)f u t u u =∈+∞⇒∈∈+∞121()(0,1),()(2,)x f x f x ⇒∈∈+∞⇒有3个解，2x 有2个解，共有5个解，故正确.故选择：ACD【点睛】方法点睛：结合函数的图象，利用换元法，分别由外到内分析()()f f x ，根据方程的根的个数可转化为两函数图象交点的个数求解即可.12．如图三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，M 、N 为棱AD 、BC 上（包括端点）的动点，直线MN 与平面ABC 、平面BCD 所成的角分别为α、β，则下列判断正确的是（ ）A ．sin sin αβ-正负与点M 、点N 位置都有关B ．sin sin αβ-正负由点M 确定，与点N 位置无关C ．sin sin αβ+23D ．sin sin αβ+6【答案】BCD【分析】取BC 中点1O ，连接1AO 、1DO ，过点M 在平面1ADO 内分别作01MM AO ⊥、11MM DO ⊥，垂足分别为点0M 、1M ，利用线面角的定义可判断AB 选项；求出MN 的最大值和最小值，结合线面角的定义可判断CD 选项. 【详解】解：取BC 中点1O ，连接1AO 、1DO ，过点M 在平面1ADO 内分别作01MM AO ⊥、11MM DO ⊥，垂足分别为点0M 、1M ， 如下图所示：在三棱锥A BCD -中，ABC 、BCD △均为等边三角形， 因为1O 为BC 的中点，则1AO BC ⊥，1DO BC ⊥， 111AO DO O =，1AO 、1DO ⊂平面1ADO ，BC ∴⊥平面1ADO ，0MM ⊂平面1ADO ，0MM BC ∴⊥， 01MM AO ⊥，11AO BC O =，1AO 、BC ⊂平面ABC ，0MM ∴⊥平面ABC ，所以，直线MN 与平面ABC 所成角为0MNM ∠，即0MNM α=∠，同理1MNM β=∠， 所以，0sin MM MN α=，1sin MM MN β=，所以，01sin sin MM MM MNαβ--=， 所以，sin sin αβ-的正负只与点M 的位置有关，A 错B 对； 设1AB =，则1132AO DO ==，且01sin sin MM MM MN αβ++=，在1ADO △中，222111113cos cos 23O D AD O A O AD O DA O D AD +-∠=∠==⋅，所以，21116sin sin 1cos 3O AD O DA O DA ∠=∠=-∠=， 则()016633MM MM AM DM +=+=，所以，6sin sin 3MNαβ+=， 将正四面体ABCD 补成正方体AEDF GBHC -，如下图所示：连接GH ，在线段GH 上取点P ，使得GP AM =，因为//AG DH 且AG DH =，故四边形ADHG 为平行四边形，AG ⊥平面GBHC ，GH ⊂平面GBHC ，AG GH ∴⊥，所以，四边形ADHG 为矩形，且//AD GH ，因为//AM GP 且AM GP =，故四边形AGPM 为矩形，则//PM AG且PM AG == PN ⊂平面GBHC ，则AG PN ⊥，故MP PN ⊥，设BC GH O =，因为四边形GBHC 为正方形，则BC GH ⊥，所以，222PN OP ON =+，且OP 、10,2ON ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22210,2PN OP ON ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，故MN ⎤⎥⎣⎦， 则()max sin sin αβ+=()min sin sin αβ+=CD 都对. 故选：BCD.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.三、填空题13．已知圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为______．【分析】根据圆锥的高为1，圆锥的轴截面为等腰直角三角形可求得底面半径和母线长，即可求得答案.【详解】圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形. 则圆锥的底面直径为2，故该圆锥的侧面积为rl π= ，14．函数()120,1xy aa a -=+>≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线()100mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为_________． 【答案】423+【分析】由指数函数的性质，可得()1,3A ，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.【详解】∵函数1(01)2x y a a a -+=>≠，的图象恒过定点()1,3A ，则31m n +=，∴()1111113313442423n m n m m n m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯+=++≥+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当3m n =，即336n -=，312-=时取等号. 故答案为：423+. 15．已知3a b =，log a bb a=，则3a b +=_________． 【答案】63【分析】根据对数性质判断0,0a b >>，由已知利用对数运算可求得a,b,即得答案. 【详解】由题意可知0,0a b >>， 由3a b =，log a b b a =可得3log 3,3a b a b a a==∴=， 则33,3a a a =∴=，则33b =， 故363a b +=, 故答案为: 6316．如图，正ABC 的外接圆O 半径为59，点M 是劣弧AB 上的一动点，则MA MB MO MC MA MB ⎛⎫⎪--⋅ ⎪⎝⎭的最小值为_________．【答案】12-0.5- 【分析】由圆的性质可知MC 是AMB ∠的角平分线，故可知MA MB MAMB+与MC →同向共线，再由平方可得MA MBMAMB +的模为1，原式可化为换求21||||2MC MC →→-的最小值.【详解】由圆的性质可知，60,60AMC ABC BMC BAC ∠∠∠∠==︒==︒，2112cos1201MA MB MA MB ⎛⎫ ⎪+=++︒= ⎪⎝⎭，MA MB MA MB ∴+是与MC →同向的单位向量， 设MA MBe MAMB→+=，原式可化为2211()||||||22MO e MC MC MC MC MC →→→→→→→-⋅=-=-,由外接圆半径59R =可知，2sin 60AC BC AB R ===︒=10||9MC →≤≤,∴当||1MC →=时，21||||2MC MC →→-有最小值12-，即MA MB MO MC MA MB ⎛⎫ ⎪--⋅ ⎪⎝⎭的最小值为12-. 故答案为：12-四、解答题17．设a 是实数，复数112z i =+，()()2i 1i z a =+-（i 是虚数单位）． (1)2z 在复平面内对应的点在第一象限，求a 的取值范围； (2)求12z z +的最小值． 【答案】(1)11a -<< 【分析】（1）化简复数2z ，由已知列不等式组，解出a 的取值范围； （2）求出12z z +，利用二次函数的性质可得最小值．【详解】(1)()()()2i 1i 11i z a a a =+-=++-，则1010a a +>⎧⎨->⎩，解得11a -<<；(2)112z i =+，则112i z =-，()1221i a a z z =+-++，12z z ∴+=，当32a =-时，12z z +．18．已知集合{}24M x x =-<≤，集合{}44N x x m =-<-<．(1)若MN R，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得x M ∈R 是x N ∈R 的必要不充分条件？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1){|6m m ≤-或8}m ≥； (2)存在，[]0,2m ∈.【分析】（1）化简集合N ，求出其补集，由M N R列出不等式组求解即可；（2）根据必要不充分条件转化为MN ，列出不等式组求解即可.【详解】(1)由题意，{}|44N x m x m =-<<+，所以{|4N x x m =≤-R或}4x m ≥+，因为MN R，所以42m +≤-或44m -≥，解得6m ≤-或8m ≥，所以实数m 的取值范围是{|6m m ≤-或8}m ≥.(2)假设存在实数m ，使得x M ∈R 是x N ∈R 的必要不充分条件， 则NM RR，即M N ，则4244m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得02m ≤≤，故存在实数[]0,2,m ∈使得x M ∈R 是x N ∈R 的必要不充分条件.19．已知函数()sin 2263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)若()f x 在(]0,t 上存在最小值，求实数t 的取值范围．【答案】(1),(Z)36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)3t π≥. 【分析】（1）先根据差角的正弦公式及辅助角公式化简得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-+≤+≤+计算得解. （2）由题知2,2666x t πππ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，()f x 在(]0,t 上存在最小值，只需5266t ππ+≥，继而得解. 【详解】(1)()sin 23sin 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos cos 2sin3sincos 23cossin 26633x x x x ππππ=-++3133sin 2cos 2cos 2sin 22222x x x x =-++ 3sin 2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-+≤+≤+，得,36(Z)k k x k ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为：,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(2)当(]0,x t ∈时，2,2666x t πππ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦， 因为()f x 在(]0,t 上存在最小值，所以5266t ππ+≥， 所以3t π≥. 20．已知梯形木板ABCD ，//AB CD ，2AD BC ==米，33AB CD ==米，现要把木板沿线段MN 锯成面积相等的两部分，其中点M 在线段AB 上，N 在另外的三条边上．(1)当N 在线段BC 上，设BM m =米，BN n =米，求mn 的值； (2)求锯痕MN 的最小值． 【答案】(1)4mn = (2)3米【分析】（1）过点C 、D 分别作CE AB ⊥、DF AB ⊥，垂足分别为点E 、F ，计算出CE 的长，可求得梯形ABCD 的面积，再利用三角形的面积公式可求得mn 的值； （2）对点N 所在位置进行分类讨论，结合基本不等式以及梯形的几何性质可求得MN 在不同情况下的最小值，综合可得结果.【详解】(1)解：过点C 、D 分别作CE AB ⊥、DF AB ⊥，垂足分别为点E 、F ，因为//AB CD ，2AD BC ==，33AB CD ==，故四边形ABCD 为等腰梯形，所以，DAF CBE ∠=∠，又因为π2AFD BEC ∠=∠=，则Rt Rt ADF BCE △≌△， AF BE ∴=，因为CE AB ⊥、DF AB ⊥，则//CE DF ，且//CD EF ，所以，四边形CDFE 为平行四边形，则1EF CD ==，12AB EFAF BE -∴===， 所以，12BE BC =，则π6BCE ∠=，故π3CBE ∠=，223CE BC BE =-=，故()232ABCD AB CD CE S +⋅==梯形，12BMN ABCD S S =△梯形，即1πsin 323mn =，故4mn =.(2)解：当点N 在BC 上时，(]0,2n ∈，22222π2cos42443MN m n mn m n mn =+-=+-≥-=， 当且仅当2m n ==时，等号成立，即2MN ≥；当点N 在CD 上（不包括端点C ）时，四边形BCNM 为梯形， 因为12BCNM ABCD S S =梯形梯形，当且仅当N 、M 分别为CD 、AB 的中点时， 则min 3MN CE ==，当且仅当N 、M 分别为CD 、AB 的中点时取最小值； 当点N 在AD 上时，由题意可知12AMN ABCDS S =△梯形，由对称性可知，min 2MN =. 综上所述，MN 长度的最小值为3米.21．用文具盒中的两块直角三角板（45︒直角三角形和30直角三角形）绕着公共斜边翻折成30的二面角，如图Rt ABC 和Rt DBC ，AB AC =，22BC BD ==，90A ∠=︒，90D ∠=︒，将Rt ABC 翻折到A BC '，使二面角A BC D '--成30，E 为边CD 上的点，且2CE ED =．(1)证明：BC A E '⊥；(2)求直线A D '与平面A BC '所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； 6【分析】（1）取BC 中点F ，连接,A F EF '，可证明BC ⊥平面A EF '，再由线面垂直的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可. 【详解】(1)取BC 中点F ，连接,A F EF '，如图，由已知A B AC ''=知A F BC '⊥；又2BC =，则233,1CD CE CF ===， 22212cos303CE CF C F E CF E ︒∴=+-⋅=，22214133CF CE EF ∴+=+==，EF CF ∴⊥，即EF BC ⊥，又EFA F F '=，BC ∴⊥平面A EF '，A E '⊂平面A EF '，BC A E '∴⊥.(2)以F 为坐标原点建系如图，则()()3113,1,0,0,1,0,0,22A B C D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ '⎪⎝⎭⎝⎭， 故(2,0,0)BC =-，31(1,)2A B '=-，11(,0,)22A D '=-，设平面A BC '的法向量n (x,y,z)→=，则20031002x n BC n A B x y z -=⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎩⎪'⎩令1y =，则0,3x z ==-(0,1,3)n →=-，设直线A D '与平面A BC '所成角为α，则362sin |cos ,|22n A D α→'=<>==⨯所以直线A D '与平面A BC '622．已知函数()(),R f x x x a bx a b =⋅-+∈．(1)0a b 时，①求不等式()4f x <的解集；②若对任意的0x ≥，()()20f x m m f x +-<，求实数m 取值范围；(2)若存在实数a ，对任意的[]0,x m ∈都有()()14f x b x ≤-+恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)①(,2)-∞，②(,1)-∞-，(2)(0,1【分析】（1）①分0x ≥和0x <两种情况求解即可，②先判断函数的单调性，然后分0m =，0m >和0m <三种情况求解，（2）当0x =时，04≤恒成立，所以当(0,]x m ∈时，41x a x -≤-恒成立，则410m-≥，得04m <≤，由41x a x -≤-，得4411x a x x x-+≤≤+-，然后分02m <≤和24m <≤求出max 41x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭和min 41x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，使max 41x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭min 41x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭可求得结果.【详解】(1)当0a b 时，()f x x x =⋅， ①由()4f x <，得4x x ⋅<， 当0x ≥时，24x <，解得02x ≤<， 当0x <时，4x x ⋅<恒成立，得0x <， 综上2x <，所以不等式()4f x <的解集为(,2)-∞，②因为()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥=⋅=⎨-<⎩，所以()f x 在R 上为增函数， 当0m =时，()0f x <不恒成立，当0m >时，由()()20f x m m f x +-<，得()()2()f x m m f x f mx +<=，所以x m mx +<，所以(1)0m x m -->恒成立，所以100m m ->⎧⎨->⎩，此时m 不存在，当0m <时，由()()20f x m m f x +-<，得()()2()f x m m f x f mx +<=-，所以x m mx +<-，所以(1)0m x m ++<恒成立，所以100m m +<⎧⎨<⎩，得1m <-，综上，1m <-，即实数m 取值范围为(,1)-∞-， (2)由()()14f x b x ≤-+，得4x x a x -≤-， 当0x =时，04≤恒成立， 当(0,]x m ∈时，41x a x -≤-恒成立，所以410x-≥， 所以410m-≥，得04m <≤， 由41x a x -≤-，得4411x a x x -≤-≤-，得4411x a x x x-+≤≤+-， 当02m <≤时，max 4411x m x m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，min 4411x m x m ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭， 所以4411m a m m m-+≤≤+-， 所以存在a 满足以上不等式，则4411m m m m -+≤+-，得4m ≤，此时02m <≤， 当24m <≤时，max 4411x m x m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，min 4412132x x ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭，所以413m a m-+≤≤有解， 所以413m m-+≤，解得21m <≤综上可得01m <≤m的取值范围为(0,1【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为当(0,]x m ∈时，41x a x -≤-恒成立，则4411x a x x x-+≤≤+-，然后转化为求max 41x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭min 41x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.。
浙江省精诚联盟2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题
故选：D．
【点睛】
本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．
5．C
【分析】
将 平方整理求出 ，再由 即可求解.
【详解】
由 ，所以 ，
又因为单位向量 ，所以 ，
所以向量 的夹角为 ，
且 ，所以 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查了转化法求向量的数量积、求向量夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
因为 ，所以 ，可得 ，故B错误；
因为 ，所以两边同乘以负数a，可得 ，故C错误；
因为 ，所以两边同乘以正数 ，可得 ，故D正确.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，考查了逻辑推理能力，属于中档题.
4．D
【分析】
直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可；
【详解】
解：函数 ，
要得到函数 的图象，
所以 ， ，定义域为 ，
故选：A.
【点睛】
本题考查函数定义域的求法，主要考查对数函数性质，对数函数 需要满足 且 以及 ，考查计算能力，是简单题.
3．D
【分析】
根据不等式两边同乘以一个负数，正数的性质，即可判断答案ACD，由两边都是正数的不等式可以平方，不等号方向不变可判断B.
【详解】
因为 ，所以两边同乘以负数b，可得 ，故A错误；
11．
【分析】
将点 代入解析式，即可求出 .
【详解】
幂函数 经过点 ，
则 ，解得 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了幂函数过点求参数值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
12．
【分析】
先确定函数的单调性，然后再解函数不等式．
浙江省名校协作体2021-2022高二数学上学期9月联考试题(含解析).doc
浙江省名校协作体2021-2022高二上学期9月联考数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，由此利用交集定义能求出A∩B．【详解】∵集合，，∴．故选：A．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.设(A)a<c<b (B) )b<c<a (C) )a<b<c (D) )b<a<c【答案】D【解析】试题分析：由对数函数的性质，所以，b<a<c，故选D。
考点：本题主要考查对数函数的性质。
点评：简单题，涉及比较函数值的大小问题，首先考虑函数的单调性，必要时引入“-1,0,1”等作为“媒介”。
3.将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用图像平移规律直接写出平移后的函数解析式，整理即可。
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位得到的图象，故选：C．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数的图象变换规律，属于基础题．4.函数为自然对数的底数的图象可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】为自然对数的底数是偶函数，由此排除B和D，，由此排除A．由此能求出结果．【详解】∵（e为自然对数的底数）是偶函数，∴函数（e为自然对数的底数）的图象关于y轴对称，由此排除B和D，∴，由此排除A．故选：C．【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查函数的奇偶性、特殖点的函数值的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5.设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求解即可。
【详解】解：根据实数x，y满足约束条件画出可行域，由，．由得点由图得当过点时，Z最小为．当过点时，Z最大为1．故所求的取值范围是故选：D．【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识求最值，属于基础题。
浙江省名校协作体2021-2022学年高二下学期开学考试数学Word版含解析
又由点 为 内（包括边界）的一个动点，
可得三棱锥为 外接球的球心必在直线 ，
其中 的外接圆为球的一个小圆，且为定圆，
当过点 球与 所在的平面相切于 的中心 时，此时球的半径最小，
根据运动的思想，可得当点 与 或 或 重合时，此时外接球的半径最大，
设此时外接球的半径为 ，
故答案为：0
【点睛】平面向量的数量积问题，可以通过转化为极化恒等式进行求解，本题中，要先把N点的轨迹求出来，通过极化恒等式进行求解.
16.已知正方体 的棱长为2， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，点 为 内（包括边界）的一个动点，则三棱锥为 外接球的表面积最大值为_____________.
【答案】
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 ， ， ，则 D.若 ， ， ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】对于A选项，两个平面 和平面 垂直，则这两个平面可能平行，A选项错误.
对于B选项，两条平行直线有一条和一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直，B选项正确.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的概念和运算法则即可求解.
【详解】由题意得， ，
所以复数 的虚部为 .
故选：A.
3.已知A，B是相互独立事件，且 ， ，则 （）
A. 0.9B. 0.12C. 0.18D. 0.7
【答案】C
【解析】
【分析】由对立事件概率公式求出 ，再根据相互独立事件概率乘法公式即可求解.
2021学年高二年级第二学期浙江省名校协作体试题
数学试卷
一、选择题
2020-2021学年浙江省名校协作体高二(下)开学数学试卷(解析版)
2020-2021学年浙江省名校协作体高二（下）开学数学试卷一、选择题（共10小题）.1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．直线2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，则实数a的值为（）A．B．3C．D．3．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β4．“m＝﹣1”是“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{，，}可表示为（）A．B．C．D．6．已知平面α和两条异面直线a，b满足a⊂α，b⊥α，平面α内的动点M到两条直线a，b 的距离相等，则点M的轨迹是（）A．两条直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．圆x2+y2﹣mx+y+m＝0在x轴上截得的弦长是它在y轴上截得的弦长的2倍，则实数m 的值是（）A．B．C．D．8．正三棱锥A﹣BCD中，二面角A﹣BC﹣D的大小为α，二面角B﹣AC﹣D的大小为β，则cos2α+cosβ的取值范围是（）A．B．C．D．9．曲线C1：y2＝6|x|与C2：＝1交点的个数为（）A．1B．2C．3D．410．在正四面体ABCD中，P，Q分别是棱AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，且满足|PE|+|QF|＝a，M是EF的中点，则点M的轨迹围成的区域的面积是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．已知抛物线C的焦点F（1，0），则拋物线C的标准方程为，焦点到准线的距离为．12．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2．13．若直线l1：y＝kx+1与直线l2关于点（2，3）对称，则直线l2恒过定点，l1与l2的距离的最大值是．14．已知P是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上一动点，过圆心C作两条互相垂直的直线l1，l2，它们分别交x轴于A点，交y轴于B点，记AB中点为Q，则PQ的最小值是，圆C上到Q的距离等于3的点有个．15．已知平面α∥β，直线l与α所成角的正切值为，直线m⊂α，l⊥m，直线n⊂β，且l 和n所成角为，那么m与n所成的角为．16．已知椭圆C：＝1，过C上一点P（第一象限）的直线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．若|PA|＝1，则|PB|的值为．17．如图，双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F是拋物线C2：y2＝2px的焦点，O为坐标原点，A为双曲线C1与拋物线C2在第一象限内的交点，若，则双曲线C1的离心率是．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知圆C经过M（1，0），N（2，1）两点，且圆心C在直线x+2y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点P（0，1）的直线l与圆C交于不同的A，B两点，且CA⊥CB，求直线l的方程．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PC＝PB＝，且AB⊥BC．（1）求证：AC⊥PB；（2）求二面角P﹣BC﹣A的大小．20．如图，已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F且斜率为正的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点A、B分别作与直线l垂直的直线，交x轴于C、D两点，求|FC|•|FD|的最小值．21．在三棱台ABC﹣DEF中，AB＝BC＝2DE，∠DAB＝∠EBA＝60°，平面ABED⊥平面ABC，BC⊥BE．（1）求证：平面ABED⊥平面BCFE；（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值．22．如图，已知过拋物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于点A，B（点A在第一象限），线段AB的中点为M，拋物线C在点A处的切线与以AM为直径的圆交于另一点P．（1）若，求直线AB的方程；（2）试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值．参考答案一、选择题（共10小题）.1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°解：设直线x+y﹣1＝0的倾斜角为α．直线x+y﹣1＝0化为．∴tanα＝﹣．∵α∈[0°，180°），∴α＝150°．故选：D．2．直线2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，则实数a的值为（）A．B．3C．D．解：双曲线的渐近线方程为，化为2x±ay＝0，又2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，∴a＝3．故选：B．3．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β解：若m∥n，n⊂α，且m⊄α，则m∥α，故A错误；若m∥α，m∥β，则α∥β，或α、β相交，故B错误；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，故C正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，或α、β相交，故D错误．故选：C．4．“m＝﹣1”是“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”⇔2m+m（m﹣1）＝0，解得m＝0，或m＝﹣1．∴“m＝﹣1”是“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”的充分不必要条件．故选：A．5．在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{，，}可表示为（）A．B．C．D．解：∵点P为棱BC的中点，∴＝（+），∴＝＝（+）﹣，又∵，，，∴＝（+）﹣＝﹣++．故选：B．6．已知平面α和两条异面直线a，b满足a⊂α，b⊥α，平面α内的动点M到两条直线a，b 的距离相等，则点M的轨迹是（）A．两条直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线解：b⊥α，设垂足为B，则M到直线b的距离即为M到定点B的距离，即动点M在平面α内到一定直线距离与一定点的距离相等，符合抛物线性质，则M的轨迹是抛物线，故选：D．7．圆x2+y2﹣mx+y+m＝0在x轴上截得的弦长是它在y轴上截得的弦长的2倍，则实数m 的值是（）A．B．C．D．解：对于x2+y2﹣mx+y+m＝0，令x＝0得：y2+y+m＝0，设与y轴交点的纵坐标为y1，y2，且1﹣4m＞0，得m①．则y1+y2＝﹣1，y1y2＝m，故与y轴相交的弦长为：＝．同理，令y＝0可得：x2﹣mx+m＝0，设与x轴交点的横坐标为x1，x2，且m2﹣4m＞0，得m＞4，或m＜0②．则x1+x2＝m，x1x2＝m，故与x轴相交的弦长为：＝．由题意得：，解得：，结合①②得：m＝﹣6符合题意．故选：A．8．正三棱锥A﹣BCD中，二面角A﹣BC﹣D的大小为α，二面角B﹣AC﹣D的大小为β，则cos2α+cosβ的取值范围是（）A．B．C．D．解：设该正三棱锥的底面边长为2a，记点A在底面BCD上的投影为点O，连结AO，则点O为△BCD的中心，AO⊥平面BCD，因为△BCD为等边三角形，所以O为△BCD的重心，取BC的中点E，连结DE，AE，则DE⊥BC，AE⊥BC，OE＝，所以∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，即∠AED＝α，记△ABC的高为h，则h＝AE＞OE＝，所以cosα＝cos∠AED＝，过点B作BF⊥AC于点F，连结DE，由正三棱锥的对称性可得，DF⊥AC，则∠BFD为二面角B﹣AC﹣D的平面角，即∠BFD＝β，在△ABC中，，又AC＝，所以，所以cosβ＝cos∠BFD＝＝＝，因此cos2α+cosβ＝，因为，则，所以cos2α+cosβ＝．故选：B．9．曲线C1：y2＝6|x|与C2：＝1交点的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：因为曲线C1：y2＝6|x|，所以当x≥0时，y2＝6x，当x＜0时，y2＝﹣6x，因为C2：＝1，所以当x≥0，y≥0时，﹣＝1，当x＞0，y＜0时，﹣﹣＝1，无意义，当x＜0，y＜0时，﹣+＝1，当x＜0，y＞0时，+＝1，所以曲线C1与曲线C2共四个交点，故选：D．10．在正四面体ABCD中，P，Q分别是棱AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，且满足|PE|+|QF|＝a，M是EF的中点，则点M的轨迹围成的区域的面积是（）A．B．C．D．解：在正四面体ABCD中，取BC，BD，AD，AC的中点G，H，K，L，如图所示，因为P，Q分别是棱AB，CD的中点，所以PQ的中点O也为定点，由对称性可知，PQ和EF的中点都在中截面GHKL（正方形）上，由，所以，设E，F在中截面上的投影分别为E'，F'，所以，所以点M是线段E'F'的中点，作a∥CD，b∥AB，如图所示，则∠E'OF'＝90°，因为PE+QF＝a，所以OE'+OF'＝a，取OR＝ON＝，则OR+ON＝a，两式相减可得RE'＝NF'，过点E'作E'S∥RN，所以RE'＝NS，所以RE'＝NS'＝NF'，所以E'F'的中点M在RN上，同理E'F'的中点M在NT，TW，WR上，因为，故定点M的轨迹是边长为的正方形RNTW，所以其轨迹围成的区域的面积为．故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．已知抛物线C的焦点F（1，0），则拋物线C的标准方程为y2＝4x，焦点到准线的距离为2．解：由抛物线的定义可知该抛物线开口向右，，∴抛物线方程为y2＝4x，焦点到准线的距离为2．故答案为：y2＝4x，2．12．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为7cm3，表面积为19+2cm2．解：由三视图，可知该几何体为棱长为2的正方体截去一个直三棱柱，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，高为2，则该几何体的体积V＝；表面积S＝5×＝19+．故答案为：7；19+2．13．若直线l1：y＝kx+1与直线l2关于点（2，3）对称，则直线l2恒过定点（4，5），l1与l2的距离的最大值是4．解：因为l1：y＝kx+1经过定点（0，1），∴l2恒过定点（4，5），∴l1与l2的距离的最大值是＝4．故答案为：（4，5），4．14．已知P是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上一动点，过圆心C作两条互相垂直的直线l1，l2，它们分别交x轴于A点，交y轴于B点，记AB中点为Q，则PQ的最小值是，圆C上到Q的距离等于3的点有2个．解：（1）易知，圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径r＝1．由已知得：CA⊥CB，且OA⊥OB，所以O，A，C，B四点共圆，故Q点为该圆的圆心，要使|PQ|最小，只需|CQ|最小，显然当O，C，Q三点共线时|CQ|最小，此时|CQ|＝．所以|PQ|min＝．（2）由上一个问题可知，Q（）．所以，以Q为圆心，半径为3的圆Q的方程为：．因为：|CQ|＝＝，∴|PQ|min＝2.5﹣1＝1.5，|PQ|max＝2.5+1＝3.5，∵1.5＜3＜3.5，所以圆C上到Q的距离等于3的点有2个．故答案为：，2．15．已知平面α∥β，直线l与α所成角的正切值为，直线m⊂α，l⊥m，直线n⊂β，且l 和n所成角为，那么m与n所成的角为．解：如图，分别平移直线m与n，使得m与l交于A，n与l交于B，设A在平面β内的射影为A′，则AA′⊥β，在β内过A′作A′C⊥n，垂足为C，连接AC，可得AC⊥n，∵直线l与α所成角的正切值为，且α∥β，∴直线l与β所成角的正切值为，即tan∠ABA′＝，设A′B＝1，则AA′＝，可得AB＝，又l和n所成角为，∴，又AC⊥BC，可得AC＝BC＝，在Rt△A′CB中，可得cos，则∠A′BC＝．即A′B与n所成角为，∵AB⊥m，AA′⊥m，AB∩AA′＝A，∴m⊥平面AA′B，而A′B⊂平面AA′B，∴m⊥A′B，则m与n所成角为．故答案为：．16．已知椭圆C：＝1，过C上一点P（第一象限）的直线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．若|PA|＝1，则|PB|的值为．解：如图，设P（，sinθ），A（a，0），∵|PA|＝1，∴，得a＝，∵△PQB∽△AOB，∴，则，设|PB|＝m，则|AB|＝m+1，∴，解得m＝，故答案为：．17．如图，双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F是拋物线C2：y2＝2px的焦点，O为坐标原点，A为双曲线C1与拋物线C2在第一象限内的交点，若，则双曲线C1的离心率是．解：双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），拋物线C2：y2＝2px的焦点F（，0），则c＝，即p＝2c，设A（x1，y1），则（x1＞0，y1＞0），联立，得b2x2﹣4a2cx＝a2b2．解得x1＝＝＝＝．由抛物线的性质，可得，，，＝，∴，则，得，∴．则，可得＝，即，可得．可得e＝，∵e＞1，∴e＝．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知圆C经过M（1，0），N（2，1）两点，且圆心C在直线x+2y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点P（0，1）的直线l与圆C交于不同的A，B两点，且CA⊥CB，求直线l的方程．解：（1）由题意设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，根据圆C经过M（1，0），N（2，1）两点，且圆心C在直线x+2y﹣2＝0上可得：，解得D＝﹣4，E＝0，F＝3．即圆的方程为：x2+y2﹣4x+3＝0．（2）由（1）知，圆心C（2，0），半径r＝1．由CA⊥CB，可知三角形ABC为等腰直角三角形，故圆心C到直线AB的距离为．由题意设直线l的方程为：y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0．故，整理得7k2+8k+1＝0，解得k＝﹣1，或k＝﹣．故直线l的方程为：y＝﹣x+1，或，即x+y﹣1＝0，或x+7y﹣7＝0．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PC＝PB＝，且AB⊥BC．（1）求证：AC⊥PB；（2）求二面角P﹣BC﹣A的大小．【解答】证明：（1）取AC的中点O，连接BO，PO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，又PA＝PC，∴PO⊥AC，而PO∩BO＝O，∴AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AC⊥PB；解：（2）在△ABC中，∵AB＝BC＝2，且AB⊥BC，∴AC＝，则BO＝，在△PAC中，由PA＝PC＝，AC＝，可得PO＝，又PB＝，∴PO2+BO2＝PB2，得PO⊥BO，又PO⊥AC，AC∩BO＝O，AC、BO⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，在平面ABC中，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接PD，由三垂线定理可得，PD⊥BC，则∠PDO为二面角P﹣BC﹣A的平面角，由AB⊥BC，OD⊥BC，O为AC的中点，可得OD＝AB＝1．在Rt△POD中，由PO＝1，OD＝1，得△POD为等腰直角三角形，则∠PDO＝．故二面角P﹣BC﹣A的大小为．20．如图，已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F且斜率为正的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点A、B分别作与直线l垂直的直线，交x轴于C、D两点，求|FC|•|FD|的最小值．解：（1）根据题意可得，解得a＝2，b＝1，c＝，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）设直线l的方程为x＝my﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（4+m2）y2﹣2my﹣1＝0，所以y1+y2＝，y1y2＝﹣，所以|AF|＝＝＝|y1|，同理可得|BF|＝|y2|，因为△AFC∽△BFD，所以＝＝，因为直线AB斜率为，所以tan∠BFD＝＝，所以|BD|＝＝|y2|，所以|DF|＝＝|y2|，所以＝，所以|CF|＝•|DF|＝•|y1|，所以|FC|•|FD|＝＝＝，当t＝3时，取最小值＝，所以|FC|•|FD|最小值为．21．在三棱台ABC﹣DEF中，AB＝BC＝2DE，∠DAB＝∠EBA＝60°，平面ABED⊥平面ABC，BC⊥BE．（1）求证：平面ABED⊥平面BCFE；（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：过点E作EH⊥AB于H，∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EH⊂平面ABED，∴EH⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴EH⊥BC，又BC⊥BE，BE、EH⊂平面ABED，∴BC⊥平面ABED，∵BC⊂平面BCFE，∴平面ABED⊥平面BCFE．（2）解：将三棱台ABC﹣DEF补成三棱锥P﹣ABC，∵AB＝2DE，∠DAB＝∠EBA＝60°，∴D，E，F分别为PA，PB，PC的中点，且△PAB为正三角形，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴，作Bz⊥平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A（0，2，0），P（0，1，），C（2，0，0），D（0，，），F （1，，），∴＝（1，﹣1，0），＝（0，2，0），＝（1，，），设平面ABF的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝2，则x＝﹣，y＝0，∴＝（﹣，0，2），设直线DF与平面ABF所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直线DF与平面ABF所成角的正弦值为．22．如图，已知过拋物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于点A，B（点A在第一象限），线段AB的中点为M，拋物线C在点A处的切线与以AM为直径的圆交于另一点P．（1）若，求直线AB的方程；（2）试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值．解：（1）拋物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），＝（1﹣x A，﹣y A），＝（x B﹣1，y B），因为，则1﹣x A＝4（x B﹣1），①，﹣y A＝4y B，②，又y A2＝4x A，③，y B2＝4x B，④，由①②③④解得A（4，4），B（，﹣1），所以k AB＝＝，则AB的方程为y﹣4＝（x﹣4），化为4x﹣3y﹣4＝0；（2）设AB的方程为x＝my+1，A（，y1），B（，y2），由可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，由y2＝4x，两边对x求得可得2yy′＝4，即y′＝，可得抛物线在A处的切线的斜率为，设A点处的切线的方程为x﹣＝（y﹣y1），化为x＝﹣，AP与y轴的交点为Q（0，），＝（﹣，﹣），＝＝（，（y2﹣y1）），因为AM为直径，P在圆上，所以AP⊥PM，即有|AP|＝＝，所以|AB|•|AF|＝•＝（（y22﹣y12），y2﹣y1）•（1﹣，﹣y1）＝＝，又|AP|2＝，所以为定值．。
浙江省名校协作体2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题
2020学年第一学期浙江省名校协作体试题高二年级数学学科一､选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合{}2,0,20A =，{}2020B =，则A B =（ ） A. {}2,0 B. {}20C. {}2020D. ∅D由交集的定义直接求解即可解：因为集合{}2,0,20A =，{}2020B =， 所以A B =∅，故选：Dα的终边按顺时针方向旋转2π后，过点34(,)55P ， 所以4sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即4sin 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即4cos 5α=-.故选：A 3. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. ||y x x = B. 22x x y -=- C. 22x x y -=+ D. |1||1|y x x =++-C利用函数的奇偶性定义和单调性的定义以及结合函数的解析式判断. A. 因为()()||||f x x x x x f x -=--=-=-，所以是奇函数，故错误；B. 因为()()2222x x x xf x f x --=-=-=---，所以是奇函数，故错误； C. 因为()()222+2x x x xf x f x --=+=-=，所以是偶函数，设()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()121211221212222222221x x x x x x x x x x f x f x +--+-=-+---=，因为()12,0,x x ∈+∞，所以12210x x +->，又12x x <，所以12220x x -<， 所以()()120f x f x -<，所以函数在(0,)+∞上单调递增，故正确；D. 因为()()11,11f x x x y x x f x -=-++--=++-=，所以是偶函数，2,1110,112,1x x y x x x x x -≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪≥⎩，在(0,)+∞上不单调，故错误；故选：C4. 已知1a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A. 22a b < B. 22a b --< C. a bb a< D. ln ln a b <B利用函数2x y =、21y x=、ln y x =的单调性比较函数值大小，即可知正确选项； 由1a b >>，1、2x y =为递增函数，故22a b >，故A 错误；2、21y x=在1x >上单调递减，故22a b --<，故B 正确； 3、1a bb a>>，故C 错误；4、ln y x =在0x >上单调递增，故ln ln a b >，故D 错误；故选：B 函数sin 2y x=的图象向左平移34π得到的是函数33sin 2sin 2sin 2cos 242y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫==+=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故A 正确； 函数sin 2y x =的图象向右平移4π得到的是函数sin 2sin 2sin 2cos 242y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故B 正确；函数sin 2y x =的图象向左平移4π得到的是函数sin 2sin 2sin 2cos 242y x x x xππ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，然后再关于x 轴对称后得到的是cos2x y =-的图象，故C 正确； 函数sin 2y x =的图象向左平移4π得到的是函数sin 2sin 2sin 2cos 242y x x x xππ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，然后再关于y 轴对称后得到的是cos 2y x =的图象，故D 不正确；故选：D6. 若函数y ax =的图象上存在点(),x y ，满足不等式组302201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则实数a 的取值范围为（ ） A. (],2-∞- B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. (]1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭D. 12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C先画出不等式组302201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩可行域，然后根据a 表示点()0,0O 与点P (),x y 所确定直线的斜率求解.不等式组302201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，的可行域如图所示阴影部分：由直线方程y ax =知：a 表示点()0,0O 与点P (),x y 所确定直线的斜率， 如图所示：120010110,2120202P P k k --====----， 所以实数a 的取值范围为(]1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭故选：C7. 下列函数图象中，不可能是函数()()cos ,2f x x Z x ααα=∈≤⋅的图象的是（ ）A. B.C. D.C根据函数解析式，得到0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()co 0s f x x x α⋅=>，可排除B ；再结合α的取值，可确定ABD 可能取到.因为()()cos ,2f x x Z x ααα=∈≤⋅，若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0y x α=>，cos 0x >，所以()co 0s f x x x α⋅=>， 故函数()()cos ,2f x x Z x ααα=∈≤⋅的图象不可能是C ；若1α=，则()cos f x x x =⋅；又()()()cos cos x x x f x f x x -=⋅-=-=--，所以函数()cos f x x x=⋅是奇函数，图象关于原点对称，且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0f x x x =⋅>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0f x x x =⋅<，其图象与A 相同；若2α=，则()2cos f x x x =⋅，又()()()()2cos f x x f x x ⋅--==-，则函数()2cos f x x x =⋅是偶函数，图象关于y 轴对称；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2cos 0x f x x =⋅>；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2cos 0x f x x =⋅<，当35,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2cos 0x f x x =⋅>，所以其图象可能是B 选项；若1α=-，则()1cos x f x x -⋅=，又()()()()11cos cos x x x f x f x x ---=-⋅-=-=-，所以函数()1cos x f x x -⋅=为奇函数，其图象关于原点对称；且0x ≠；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1cos 0x f x x -⋅>=；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1cos 0x f x x -⋅<=，当35,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1cos 0x f x x -⋅>=，其图象可能是D 选项.故选：C.8. 已知数列{}n a 是无穷等差数列，n S 是其前n 项和，若n S 存在最大值，则（ ）A. 在3202021,,,,232020S S S S 中最大的数是1S B. 在3202021,,,,232020SS S S 中最大的数是20202020SC. 在1232020,,,,S S S S 中最大的数是1SD. 在1232020,,,,S S S S 中最大的数是2020SA先设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件，得到0d <，结合等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得出结果.先设等差数列{}n a 的公差为d ，因为n S 存在最大值，所以0d <； 则211(1)222-⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭n n n d d S na d n a n ， 函数2122d d y n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的对称轴为11122d a a n d d -=-=-+， 因为1a 的取值不确定，所以对称轴位置不确定，则函数2122d d y n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭最值不确定； 故CD 都不正确；又122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列，且02d <，即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减，因此最大项为111S S =，故A 正确，B 错误；故选：A. 9. 在ABC ∆中，sin sin sin()B C A B +=-，2AB AC ==，PQ 是ABC ∆的外接圆的直径，则AP BQ ⋅的取值范围是（ ）A. []0,2B. []2,2-C. []2,6-D. []6,2-D先将sin sin sin()B C A B +=-，转化为sin sin sin cos cos sin B C A B A B +=-，然后利用正弦定理和余弦定理整理得：222b c a bc +-=-，进而再利用余弦定理求得角A ，边a 和外接圆的半径，然后建立直角坐标系，设()(),,,P x y Q x y --，利用平面向量的数量积的坐标运算求解. 因为sin sin sin()B C A B +=-，所以sin sin sin cos cos sin B C A B A B +=-，由正弦定理和余弦定理得：22222222a c b b c a b c a b ac bc+-+-+=⨯-⨯，整理得：222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-， 因为()0,A π∈， 所以23A π=， 由余弦定理得2222cos 12a b c bc A =+-=， 解得23a =， 所以24sin aR A==， 解得2R =，建立如图所示直角坐标系：设()(),,,P x y Q x y --，且224x y +=，则()()0,2,A B ，()(),2,1AP x y BQ x y =-=-+--，所以(()()21AP BQ x x y y ⋅=-++---，()2222x y y y =-++++=+-，令2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，则AP BQ ⋅2sin 2αα=+-，[]4sin 26,23πα⎛⎫=+-∈- ⎪⎝⎭，故选：D10. 已知对任意x ∈R ，不等式24ax b x ax b ++--≥恒成立，则（ ）A. 24b a +≤B. 24b a -≥C. 存在,a b ∈R ，有2416a b +<D. 对于任意,a b ∈R ，有2416a b -≥B先将不等式化为24x ax b ax b --≥--，推出24x ≥或22240x ax b --+≤，得到对任意[]2,2x ∈-，不等式22240x ax b --+≤恒成立；令()2224f x x ax b =--+，得到420420a b a b +-≤⎧⎨--≤⎩，画出不等式对应的平面区域，结合图形，即可得出结果.由24ax b x ax b ++--≥得24x ax b ax b --≥--，所以24x ax b ax b --≥--或24x ax b ax b --≤-++， 即24x ≥或22240x ax b --+≤， 因为24x ≥的解集为2x ≥或2x -≤；又对任意x ∈R ，不等式24ax b x ax b ++--≥恒成立所以22240x ax b --+≤的解集必然包含[]22-,， 即对任意[]2,2x ∈-，不等式22240x ax b --+≤恒成立；令()2224f x x ax b =--+，则只需()()244240244240f a b f a b ⎧-=+-+≤⎪⎨=--+≤⎪⎩，即420420a b a b +-≤⎧⎨--≤⎩，画出420420a b a b +-≤⎧⎨--≤⎩所表示的平面区域如下：由图像可得，对于平面区域内的点(),a b ，都有24b a +≥，24b a -≥，则A 错，B 正确； 平面区域在2416a b +=和2416a b -=的上方，则2416a b +≥恒成立，2416a b +<恒成立；故CD 错误；故选：B.二､填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.)11. 已知向量(,1),(2,1)a t b t ==-，若//a b ，则t =___________；若a b ⊥，则t =___________. (1). 2或1- (2).13由//a b 可得(1)2t t -=，从而可求得t 的值；由a b ⊥可得210t t +-=，从而可求得t 的值 解：因为向量(,1),(2,1)a t b t ==-，且//a b ， 所以(1)2t t -=，解得2t =或1t =-； 因为向量(,1),(2,1)a t b t ==-，且a b ⊥， 所以210t t +-=，解得13t =， 故答案为：2或1-；13(1). 2 (2). 1-第一空直接代入即可；第二空需分情况讨论（1）当1x ≤时，（2）当12x <≤时，（3）当222x <≤时，依次类推即可.解：()()()()22(4)log 42log 212f f f f f =====， （1）当1x ≤时，()10,1f x x x =+==-， （2）当12x <≤时，20log 1x <≤，21log 10,2x x +==，不合题意，舍去； （3）当222x <≤时，21log 2x <≤，()22log log 10,2x x +=，不合题意，舍去； （4）当342x <≤时，22log 3x <≤，()2221log log log 32x <≤<，()2220log log log 1x ⎡⎤<<⎣⎦，()()(){}()222222222()log log log log log log log log log 10f x f x f x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤====+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦322x =<=，不合题意，舍去；综合以上，有1x >时，()222log log log 10x ⎡⎤+=⎣⎦无零点. 故答案为：2；1-.13. 已知数列{}n a 中，11a =，12n n n a a +=，则54a a =___________；设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则11S =___________. (1). 1 (2). 125 根据题中条件，得到22a =，22n na a +=，则列{}n a 的奇数项和偶数项分别成以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式，即可得出结果.因为11a =，12nn n a a +=，所以22a =，1122n n n a a +++=，则22n na a +=； 即数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成以2为公比的等比数列， 则当n 为奇数时，1122122n n n a a --=⋅=；当n 为偶数时，122222nn na a -=⋅=；因此2524212a a ==；则()()111351124610......S a a a a a a a a =+++++++++()()()25235235122...2222...212222...2=+++++++++=+++++ ()52121212512-=+⋅=-.故答案为：1；125.14. 已知,x y 为正实数，且114x y m x y+=+=，则m 的最小值为___________. 3利用已知条件，结合“1”代换构造41154()x y y xm x y m mx my ++=++，进而应用基本不等式求最值，即可求m 的最小值；1140x y m x y +=+=>知：4115459x y y x m m x y m mx my m m ⎛⎫+⎛⎫+=++=≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2y x =等号成立，∴29m ≥，即有3m ≥， 故答案：3(1).(2). 1直接用余弦定理可求b .设ABD θ∠=，,AD x DC y ==，ABC 中，用正弦定理得出sin 5sin 2C A =；ABD △中，sin sin BD x A θ=；CBD 中，()sin 60sin BD y Cθ︒-=，再用两角差的正弦公式求出()sin 60θ︒-，则ADDC可求.解：b = 设ABD θ∠=，,AD x DC y ==，ABC 中，sin 5,sin sin sin 2a c C A C A ==，ABD △中，sin ,sin sin sin x BD BD x A Aθθ==， CBD 中，()()sin 60,sin 60sin sin BD y BD y C Cθθ︒-==︒-， ()5sin 2sin 60AD x DC y θθ==︒-，D 是边AC 上一点，所以0,,cos 2ABD πθθ⎛⎫∠=∈= ⎪⎝⎭，()sin 60θ︒-=()5sin 12sin 60AD x DC y θθ===+︒-，1.16. 设0b <，当224()()a b a b++-取得最小值c 时，函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为___________. 10224()()a b a b++-表示点(,)a a 与点4(,)b b -距离的平方，而点(,)a a 是直线y x =上任一点，点4(,)b b-（0b <）是反比例函数4y x =-在第四象限上的点，然后由反比例函数和正比例函数的性质可求得0,2a b ==-，从而得8c =，再利用绝对值三角不等式可求出函数()f x 的最小值 解：224()()a b a b++-表示点(,)A a a 与点4(,)B b b -距离的平方， 而点A 是直线y x =上任一点，点B 是反比例函数4y x=-在第四象限上的点， 当B 是斜率为1直线与4y x=-相切的切点时， 点B 到直线y x =的距离即为||AB 的最小值， 由2244,|1,2(0),(2,2)x b y y b b B x b ='='==∴=>-，min ||8AB c ∴===， 所以()|||||2||8|(2)(8)10f x x b x c x x x x =-+-=++-≥+--=，当且仅当28x -≤≤取等号，所以函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为10，故答案为：102019根据()2*11n n n a a a n N +=+-∈可得211n n n a a a +=-+且111n n n a a a ++=+，结合已知条件的等式成立，即可求k 的值；()2*11n n n a a a n N +=+-∈知：211n n n a a a +=-+且111n n n a a a ++=+，则： 22212213211...11...12020k k k k a a a a a a a a a a k +++++=-++-+++-+=-+，311212121111......1112021k k k k a a a a a a a a a a ++++++=⋅⋅⋅=+++，而2221212...2...2021k k a a a a a a ++++=， ∴112018*********k k a k a +++-+=，即得2019k =. 故答案为：2019（1）最小正周期π，3()62f π=；（2）13()22f x -≤≤. （1）根据二倍角公式、辅助角公式化简函数式，即可求最小正周期及()6f π的值；（2）利用复合函数求值域方法求()f x 的范围；（1）由题意知：1cos 2()sin 222x f x x +=+，有1()sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴22T ππ==，3()62f π= （2）44x ππ-≤≤ 22363x πππ∴-≤+≤ sin(2)16x π≤+≤ 13()22f x -∴≤≤.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n a n b =，n S 是数列{}n n a b ⋅的前n 项和，求使得2020n S <成立的最大整数n .（1）n a n =；（2）最大整数为7.（1）设{}n a 的公差为d ，利用2a 是1a 和31a +的等比中项，得到等量关系式，整理得出()()()243542d d d --=-，求得1d =，结合44a =，求得n a n =；（2）由（1）可得：2n n b =，利用错位相减法求得()1122n n S n +=-⋅+，利用单调性，得到最大整数n 的值.（1）设{}n a 的公差为d ，则有()21321a a a ⋅+=， 即()()()2444312a d a d a d -+-=-又由44a =，得()()()243542d d d --=- 解得1d =或4d =-(舍去)，故n a n =（2）由（1）可得：2n n b =2...12222n n S n ∴=⋅+⋅++⋅231...212222n n S n +∴=⋅+⋅++⋅两式相减得：()121...2222122n n n n S n n ++=⋅----=-⋅+又n S 单调递增，781538,3586S S ==，所以使得2020n S <成立的最大整数7n =.20. 已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足22a b bc =+.（1）求证：2A B =；（2）若2b =，且sin tan cos 1C B C +=，求ABC 的内切圆半径.（1）证明见解析；（21.（1）由正余弦定理，结合已知条件可得sin sin 2sin cos C B B A =+，进而有sin()sin A B B -=，由三角形内角性质即可证2A B =；（2）由已知条件知sin cos A B =，结合（1）的结论有ABC 为直角三角形进而求内切圆半径；（1）证明：由22222cos a b bc b c bc A =+=+-得22cos c bc bc A =+，即2cos c b b A =+sin sin 2sin cos C B B A ∴=+，即sin()A B +sin 2sin cos B B A =+sin()sin 0A B B ∴-=>又0B π<<，A B ππ-<-<A B B ∴-=或A B B π-=-(舍去)2A B ∴=（2）由sin cos sin cos sin tan cos 1cos C B B C C B C B++==，得sin()cos B C B +=， sin cos 0A B ∴=>，1sin 2B ∴=， 6B π∴=，3A π=，2C π=.因为2b =，可知4a c ==有ABC 内切圆半径12a b c r +-== （1）若2a =，写出()f x 的单调区间(不要求证明)；（2）若对任意的[1,1],[1,2]x a ∈-∈，不等式()2f x x b ≤-恒成立，求实数b 的取值范围.（1）单调递减区间为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增区间为：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）(,2]-∞-. （1）依题意求出函数解析式，画出函数图象，即可得到函数的单调区间；（2）记2(|)|1b g x a ax -+=++，则由题意得对任意[1,2]a ∈，()0g a ≤，即max ()0g a ≤，所以(1)0(2)0g g ≤⎧⎨≤⎩，可得2min (1)b x x ≤--且221b x x ≤-+对任意[1,1]x ∈-恒成立，从而求出参数的取值范围；解：（1）当2a =时，()21f x x =+，函数图象如下所示，所以()f x 的单调递减区间为：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭；单调递增区间为：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）记2(|)|1b g x a ax -+=++，则 由题意得对任意[1,2]a ∈，()0g a ≤，即max ()0g a ≤()()22110,(1)2210,(2)g x x b g x x b ⎧=-+++≤⎪⎨=-+++≤⎪⎩对任意[1,1]x ∈-恒成立 由（1）得22|1|1b x x x x ≤-+=--对任意[1,1]x ∈-恒成立2min 5(1)4b x x ∴≤--=- 由（2）得222121,1221121,12x x x b x x x x x ⎧---≤≤⎪⎪≤-+=⎨⎪++-≤<-⎪⎩对任意[1,1]x ∈-恒成立 2b ∴≤-综上所述2b ≤-，即b 的取值范围为(,2]-∞-22. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*22n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22212...n n T a a a =+++，数列n n a T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n R .求证：131(1)1421n n R +-≤<-；（3）数列{}n b 满足1121,log n n n b b b a +==，试比较1231111n b b b b++++与1的大小，并说明理由.（1）2n n a =；（2）证明见解析；（3）1231111nb b b b ++++≥1，理由见解析. （1）利用n S 与n a 中关系即可求解.（2）求出1323214414342n n n n n n n a T -=⨯≤⨯=-⨯，再利用裂项求和法以及等比数列的前n 项和公式即可证出.（3）根据题意可得111n n nbb b +-=-，再利用裂项相消法即可求解. （1）11122a S a ==-，12a ∴= 由22n n S a =-及1122n n S a ++=-, 得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a += {}n a ∴是以2为首项，2为公比的等比数列2n n a ∴=（2）证明：22(2)4n n n a ==∴4(14)4(41)143n n n T ⨯-==--，从而32441n n n n a T =⨯- 1323214414342n n n n n n n a T -=⨯≤⨯=-⨯ 21111112222n n nR ∴≤+++=-< 又132********(21)(21)4(21)(21)n n n n n n n n n n a T +=⨯=⨯≥⨯--+--=1311()42121n n +--- 22311311111131()(1)421212121212142n n n n R ++∴≥-+-++-=------- 综上所述：131(1)1421n n R +-≤<-. （3）12log n n n b b a n +==，11b = 11(2)n n b b n n -∴=-≥，且21b =11()1(2)n n n b b b n +-∴-=≥，111n n n b b b +-=-， ∴1231111nb b b b ++++=1+31425311()()()()n n b b b b b b b b +--+-+-++- 111111(2)n n n nn b b b n b +=--++=+-≥≥当1n =时，1111b == ∴1231111nb b b b ++++≥1.。
2024-2025学年浙江省名校协作体高二(上)开学数学试卷(含答案)
2024-2025学年浙江省名校协作体高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|x 2<4}，B ={x|−4<x ≤1}，则A ∩B =( )A. {x|x <2}B. {x|−2<x ≤1}C. {x|−4<x ≤1}D. {x|−4<x <2}2.记复数z 的共轭复数为−z ，若z(2+i)=2−4i ，则|−z |=( )A. 1B.2C. 2D. 223.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则( )A. 两人都中靶的概率为0.12 B. 两人都不中靶的概率为0.42C. 恰有一人中靶的概率为0.46 D. 至少一人中靶的概率为0.744.已知向量a =(12, 32)，b =(22, 22)，若(a +λb)//(μa +b )，则( )A. λμ=1B. λμ=−1C. λ+μ=−1D. λ+μ=15.已知α，β是两个互相垂直的平面，m ，n 是两条直线，α∩β=m ，则“n//m ”是“n//α”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.设函数f(x)=x|x|，则不等式f(2log 3x)+f(3−log 3x)<0的解集是( )A. (127,27) B. (0,127)C. (0,27)D. (27,+∞)7.已知函数f(x)=2sin (x +π4)的定义域为[a,b]，值域为[−22, 2]，则b−a 的取值范围是( )A. [π2,4π3]B. [π2,5π3]C. [5π6,5π3]D. [2π3,4π3]8.如图，在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面BCC 1B 1上的动点，且A 1F//平面AD 1E ，则下列说法正确的个数有( )①二面角F−AD 1−E 的大小为常数 ②二面角F−D 1E−A 的大小为常数③二面角F−AE−D 1的大小为常数A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、多选题：本题共3小题，共18分。
浙江省名校协作体2022-2023学年高二上学期返校联考适应性考试数学试题(解析版)
2022学年第一学期浙江省名校协作体适应性试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号.3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2i z =-（i 为虚数单位），则z =（）A.1B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由复数模的定义计算．【详解】由已知z ==．故选：D ．2.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且直角边长为，则该圆锥的侧面积为（）A.πB.C.2πD.【答案】B 【解析】【分析】求出圆锥的母线，底面半径，利用圆锥侧面积公式求解出答案的等腰直角三角形，，底面直径长为2，半径为1，则此圆锥的侧面积为1π⨯=，故选：B ．3.设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，则（）A.()()()P A B P A P B =+B.()()1P A P B +≤C.()()()P A B P A P B ⋂=D.若A B ⊆，则()()P A P B ≤【答案】D 【解析】【分析】根据概率的性质，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A ：若A ，B 是一个随机试验中的两个事件，则()()()()P A B P A P B P AB =+- ，故A 错误；对于B ：若11(),()22P A P B >>，则()()1P A P B +>，故B 错误；对于C ：当A 、B 独立时，()()()P A B P A P B ⋂=，当A 、B 不独立时，则不成立，故C 错误；对于D ：若A B ⊆，则()()P A P B ≤，故D 正确.故选：D4.在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P ，Q 分别为11A B ，1BB ，1AA ，BC 的中点，则直线PM 与NQ 所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C 【解析】【分析】取AB 的中点R ，连接RN ，，1AB ，根据M ，N ，P ，Q 为中点，得到//PM RN ，从而RNQ ∠为直线PM 与NQ 所成的角求解.【详解】解：如图所示：取AB 的中点R ，连接RN ，RQ ，1AB ，因为M ，N ，P ，Q 分别为11A B ，1BB ，1AA ，BC 的中点，所以11//,//PM AB RN AB ，所以//PM RN ，所以RNQ ∠为直线PM 与NQ 所成的角，又因为RNQ 是等边三角形，所以60RNQ ∠= ，故选：C5.函数()2ln 11f x x x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】第一步，由函数()21ln 1ln 11x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭为偶函数，排除C 、D 选项；第二步，通过11ln3022f ⎛⎫=>⎪⎝⎭,排除B 选项.【详解】由函数()21ln 1ln 11x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得，101x x +>-即11x -<<，故函数()y f x =的定义域为()1,1-，且对()1,1x ∀∈-都有()1,1x -∈-，()()11ln ln 11x x f x x x f x x x -+⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭成立，所以函数()y f x =是偶函数，，排除C 、D 选项；又11ln3022f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,排除B 选项.故选：A.6.已知0.30.50.3 0.2 0.2 0.3a b c ===，，，则以下关系不正确的是（）A. b a c<< B. ab bc ac<< C.111c a b<< D.1 1a c cb b b +<<+【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和幂函数的性质，先判断出a ，b ，c 的大小，再根据不等式的性质逐项分析即可.【详解】对于指数函数：x y a =，若01a <<，则为减函数，0.30.50.20.2∴>，即a b >，对于幂函数：0.3y x =是增函数，0.30.30.30.2∴>，即c a >，a ，b ，c 的大小关系为：0b a c<<<，故A 正确；对于B ，由于,a c ab bc <∴<，由于,b a bc ac <∴<，故B 正确；对于C ，由于1y x =是减函数，111c a b∴<<，故C 正确；对于D ，若11c c b b +<+成立，则有()()11c b b c +<+，即c b <，与上述结论矛盾，故D 错误；故选：D.7.如图，已知AOB 是半径为4，圆心角为π2的扇形，点E F ，分别是OA OB ，上的两动点，且2=EF ，点P 在圆弧 AB上，则PE PF ⋅的最小值为（）A.4B.8C.19-D.16-【答案】B 【解析】【分析】以O 为原点建立的直角坐标系，设()4cos 4sin 02P πθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，，设()[]()002E t t ∈，，，可得(0F ，()()4cos 4sin 4cos 4sin PE t PF θθθθ=--=- ，，，可得⋅=PE PF ()168sin θϕ-+，利用辅助角公式可得答案.【详解】以O 为原点建立如图所示的直角坐标系，设()4cos 4sin 02P πθθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，，设()[]()002E t t ∈，，，又2EF =，所以OF =，可得(0F ，()()4cos 4sin 4cos 4sin PE t PF θθθθ=--=- ，，，所以()224cos 16cos 16sin 164cos PE PF t t θθθθθθ⋅=-+-+=-()168sin θϕ=-+，其中4cos sin 22tϕϕ==，又[]02t ∈，，所以[]cos sin 01ϕϕ∈，，，所以[]π0,0π2，，ϕϕθ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦，()()sin 01sin 10ϕθϕθ⎡⎤⎤⎡+∈-+∈-⎦⎣⎣⎦，，，，所以[]816PE PF ⋅∈，，PE PF ⋅的最小值为8．故选：B.8.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（）A.4359,1515⎛⎫⎪⎝⎭ B.4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.)⎡+∞⎣【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理和ABC的面积公式，结合题意求出sin A、cos A的值，再用C表示B，求出sinsinb Bc C=的取值范围，即可求出222b cbc+的取值范围．【详解】解：在ABC中，由余弦定理得2222cosa b c bc A=+-，且ABC的面积1sin2S bc A=，由222()S a b c=--，得sin22cosbc A bc bc A=-，化简得sin2cos2A A+=，又(0,2Aπ∈，22sin cos1A A+=，联立得25sin4sin0A A-=，解得4sin5A=或sin0A=（舍去），所以sin sin()sin cos cos sin43sin sin sin5tan5b B A C A C A Cc C C C C++====+，因为ABC为锐角三角形，所以02C<<π，2B A Cππ=--<，所以22A Cππ-<<，所以13tan tan2tan4C AAπ⎛⎫>-==⎪⎝⎭，所以140,tan3C⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53bc⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设b tc=，其中35,53t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21212222c b c t tbc c b t t⎛⎫⎪+=+=+=+⎪⎪⎪⎝⎭，由对勾函数单调性知12y tt=+在32,52⎛⎝⎭上单调递减，在2,253⎛⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，当22t=时，y=；当35t=时，4315y=；当53t=时，5915y=；所以5915y⎡⎫⎪⎢⎣⎭∈，即222b cbc+的取值范围是5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：C.【点睛】关键点点睛：由2222b c b cbc c b+=+，所以本题的解题关键点是根据已知及sin sin()sin cos cos sin43sin sin sin5tan5b B A C A C A Cc C C C C++====+求出bc的取值范围.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.已知平面向量a 满足1a = ，则1a a ⋅=B.已知复数z 满足1z =，则1z z ⋅=C.已知平面向量a ，b满足a b a b +=- ，则0a b ⋅= D.已知复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=【答案】ABC 【解析】【分析】结合选项逐个验证，向量的模长运算一般利用平方处理，复数问题一般借助复数的运算来进行.【详解】因为21a a a ⋅== ，所以A 正确；设i z a b =+，则i z a b =-，因为1z =，所以221a b +=，所以()()22i i 1z z a b a b a b ⋅=+-=+=，所以B 正确；因为a b a b +=- ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，即0a b ⋅= ，所以C 正确；因为1i 1i +=-，然而1i i 0⋅=≠，所以D 不正确.故选：ABC.10.已知函数()2441x x x f x x =+--，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 的图象关于点()1,1对称C.()f x 有唯一一个零点D.不等式()()223f x f x+>的解集为()()1,13,-+∞ 【答案】BCD 【解析】【分析】求解()f x 的定义域，可知定义域不关于原点对称，知A 错误；根据解析式验证可知()()112f x f x ++-=，则知B 正确；当1x >时，由单调性的性质可确定()f x 在()1,+∞上单调递减，结合值域的求法可求得()1f x >；结合对称性可知()f x 在(),1-∞上单调递减；利用零点存在定理可说明()f x 在(),1-∞有且仅有一个零点，知C 正确；结合C 的结论可说明1x >时()1f x >，1x <时，()1fx <；利用单调性，分别讨论23x +和2x 在同一单调区间内、两个不同单调区间内的情况，解不等式组可求得结果.【详解】对于A ，由44010x x ⎧-≠⎨-≠⎩得：1x ≠，即()f x 定义域为{}1x x ≠，不关于原点对称，()f x ∴为非奇非偶函数，A 错误；对于B ，()112121144242x x x xx xf x x x+++++=+=+-⋅- ，()()1122112412121444224244444xx x x x x x x xx x x xf x x x x x ----⋅---=-=-==---⋅-⋅-，()()112f x f x ∴++-=，()f x ∴图象关于点()1,1对称，B 正确；对于C ，当1x >时，()1141212x xf x x=+--；2xt = 在()1,+∞上单调递增，4y t t=-在()2,+∞上单调递增，422x x y ∴=-在()1,+∞上单调递增，1422xx y ∴=-在()1,+∞上单调递减；11y x=- 在()1,+∞上单调递增，111y x∴=-在()1,+∞上单调递减；()f x ∴在()1,+∞上单调递减；由B 知：()f x 图象关于()1,1对称，()f x ∴在(),1-∞上单调递减；当1x >时，2044xx >-，11111x x x =+>--，()1f x ∴>，()f x ∴在()1,+∞上无零点；当1x <时，()11000143f =+=-<-，()1111210123044f -=+=>-，()01,0x ∴∃∈-，使得()00f x =，则()f x 在(),1-∞上有唯一零点0x x =；综上所述：()f x 有唯一一个零点，C 正确；对于D ，由C 知：()f x 在(),1-∞和()1,+∞上单调递减，又1x >时，()1f x >；1x ∴<时，()1f x <；①当22311x x +>⎧⎨>⎩，即1x >时，由()()223f x f x +>得：223x x +<，解得：1x <-（舍）或3x >；②当22311x x +<⎧⎨<⎩时，不等式组无解，不合题意；③当22311x x +>⎧⎨<⎩，即11x -<<时，()231f x +>，()21f x <，满足题意；④当22311x x +<⎧⎨>⎩，即1x <-时，()231f x +<，()21f x >，不合题意；综上所述：()()223f x f x +>的解集为：()()1,13,-+∞ ，D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到函数奇偶性的判断、对称性的判断、函数零点个数的求解、利用函数单调性解不等式；利用单调性解不等式的关键是能够确定函数的单调性，并根据单调性将函数值大小关系的比较转化为自变量大小关系的比较问题.11.下列说法中，正确的是（）A.若0a b ⋅>，则a 与b 夹角为锐角B.若O 是ABC 内心，且满足2340OA OB OC ++=，则这个三角形一定是锐角三角形C.在ABC 中，若0NA NB NC ++=，则N 为ABC 的重心D.在ABC 中，若PA PB PB PC PA PC ⋅=⋅=⋅，则P 为ABC 的垂心【答案】CD 【解析】【分析】由数量积的定义判断A ，O 是ABC 内心时，证明0A B C S OA S OB S OC ++=即得0aOA bOB cOC ++=，由此结合余弦定理判断B ，由向量的线性运算证明N 是三角形重心判断C ，利用向量数量积的运算法则，证明向量垂直，从而得P 是垂心判断D ．【详解】当,a b 同向时也的0a b ⋅>，A 错误；如下图O 是ABC 内心，AO 延长线交BC 于D ，设OBC A S S =!，OAB C S S =!，OAC B S S =!，O 是外心，AD 是三角形内角平分线，OBD ABD OBD CABD ACD OCD ACD OCD BS S S S S BD CD S S S S S -====-!!!!!!!!，()BD BD CD BD OD OB BD OB BC OB OC OB OB OCBC BC BC BC=+=+⋅=+⋅-=+ C B B C B C S S OB OC S S S S =+++，又BOD COD BOD CODA BOA COA BOA COA CB S S S S S OD OA S S S S S S +====++!!!!!!!!，所以A B CS OD OA S S =-+．所以A B C S OA S S -+ C B B C B C S S OB OC S S S S =+++ ，所以0A B C S OA S OB S OC ++= ，设内切圆半径为r ，,,AB c BC a CA b ===，则1110222raOA rbOB rcOC ++=，所以0aOA bOB cOC ++= ，若2340OA OB OC ++=，则::2:3:4a b c =，设2,3,4a k b k c k ===，则22249161cos 02234k k k C k k +-==-<⨯⨯，C 为钝角，B 错；如下图，D 是BC 中点，则2ND NB NC =+ ，又0NA NB NC ++=，所以20NA ND +=，所以,,N D A 共线，且2AN ND =，所以N 是ABC 外心，C 正确；ABC 中，若PA PB PB PC PA PC ⋅=⋅=⋅，则()0PA PB PB PC PB PA PC PB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅= ，所以PB AC ⊥，同理,PA BC PC AB ⊥⊥，所以P 是ABC 的垂线，D 正确．故选：CD ．12.如图，在梯形ABCD 中，//6460AB CD AB CD A B E F ==== ，，，，，为线段AB 的两个三等分点，将ADE 和BCF △分别沿着DE CF ，向上翻折，使得点A B ，分别至M N ，(M 在N 的左侧)，且//MN 平面ABCD O P ，，分别为DE CD ，的中点，在翻折过程中，下列说法中正确的是（）A.O P M N ，，，四点共面B.当3MN =时，平面DEM ⊥平面ABCDC.存在某个位置使得DM FN⊥D.存在某个位置使得平面DEM ⊥平面CFN【答案】BCD【解析】【分析】对于A 选项，直线MN 与直线CD 为异面关系，所以A 错误；对于B 选项，当3MN =时，其长度恰好等于底面梯形中位线的长度，易知M ,N 两点在底面的投影恰好落在DE 和CF 上，可得平面DEM ⊥平面ABCD ；对于C 选项，可找出NF 的平行线，将垂直的判断转化为异面直线所成角；对于D 选项，从翻折的过程看二面角的变化趋势可得.【详解】对于A 选项：如图，分别取EF ,CF 的中点Q ，S ，连接AP ，BP ，DQ ，易知,,,ADE BCF PDE PCF 均是边长为2的正三角形，所以在翻折过程中M ，N 两点在底面的射影分别落在直线PA 和PB 上，如图2，易知,DE MOP CF NSP ⊥⊥平面平面，设M ，N 两点到底面的距离分别为12,h h ，则12sin ,sin h OM MOP h SN NSP =∠=∠，因为//MN 平面ABCD ，所以12h h =，又OM SN =，所以MOP NSP ∠=∠，易得//MN OS ，则//MN CD ，则易知,,,M N C D 共面，,,,M N E F 共面,易知,OP MN 异面，所以O P M N ，，，不在同一平面内，则A 错误；对于B 选项:当3MN =时，恰有MN OS =，则MNSO 为平行四边形，由对称性知此时，M ，N 两点在底面的射影即为O,S 两点，所以MO ABCD ⊥平面,得平面DEM ⊥平面ABCD ，则B 正确；对于C 选项:过M 点作//MT NF 交EF 于T ，DMT ∠即为DM 与FN 所成角，易知在翻折过程中(,)(2,DT DE DF ∈=，又因为=2DM MT =，则当DT DM DT ⊥，即DM FN ⊥,所以C 正确；当3MN =，由B 选项知，平面DEM ⊥平面ABCD ，平面CFN ⊥平面ABCD ，此时DE 与CF 的夹角即为平面DEM 与平面CFN 的夹角，易知此时的夹角为60 ，而DEM △与CFN 在翻折的极限位置为,DPE CPF ,即两平面的夹角的最大值为180 ，所以在连续变化过程中必存在某个位置使得平面DEM ⊥平面CFN ，所以D 正确.故选：BCD.非选择题部分三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.集合21242{}{}A B m B A ⊆＝﹣，，，＝，，，则m ＝___．【答案】2±【解析】【分析】根据B ⊆A ，得到集合B 的元素都是集合A 的元素，进而求出m 的值．【详解】∵集合21242{}{}A B m B A -==⊆，，，，，，∴24m =，解得2m =±．故答案为：±2．14.已知函数22,1(),1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则不等式()1f x ≤的解集为___________.【答案】(,0]-∞【解析】【分析】根据给定条件分段求解不等式即可作答.【详解】因函数22,1(),1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则不等式()1f x ≤化为：121x x ≤⎧⎨≤⎩或211x x >⎧⎨≤⎩，解121x x ≤⎧⎨≤⎩得：0x ≤，解211x x >⎧⎨≤⎩，无解，于是得0x ≤，所以不等式()1f x ≤的解集为(,0]-∞.故答案为：(,0]-∞15.已知223640+-+=a b b ，则2(3)64+-a b b 的最大值为________．【答案】194159+##415199+【解析】【分析】根据题意得2222(3)(3)643++=-+a b a b b a b ，设b k a =，所以()223640+-+=k a ka ，所以0∆≥，求出k 的范围，所以222222(3)(3)696433a b a b k k b a b k++++==-++，分析求最值即可.【详解】22223640643+-+=⇒-=+a b b b a b ，所以2222(3)(3)643++=-+a b a b b a b ，当0a ≠时，设b k a=，代入223640+-+=a b b ，则有()223640+-+=k a ka ，看成关于a 的一元二次方程，若a 方存在，则关于a 的一元二次方程必须有解，所以判别式(222153616305∆=-+≥⇒≥k k k 或2155≤-k ，所以2151125k +≥+>或2151105k +≤-+<又函数4y x x =+在[)2,+∞上单调递增，所以2222222(3)(3)69111616464333121a b a b k k k b a b k k k k +++++===+⋅=+⋅-+++++-+21551941516279++≤+⋅=，当且仅当5k =时取得等号，此时2159a =，43b =；当0a =时，2640b b -+=，此时22(3)16464a b b b b +==--；所以2(3)64+-a b b 的最大值为194159+.故答案为：199+．【点睛】求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．16.已知等腰直角ABC 的斜边AB 长为4，其所在平面上两动点O 、P 满足123OP OA OB OC λλλ=++ （1231λλλ++=且1λ、2λ、30λ≥），若OP = ，则OA OB ⋅ 的最大值为____________．【答案】3+3【解析】【分析】分析可知点P 在ABC 内或其边界上，取线段AB 的中点D ，可得24OA OB OD ⋅=- ，求出OD 的最大值，即可得解.【详解】因为()()()123123OP OA OB OC OP PA OP PB OP PC λλλλλλ=++=+++++ 123OP PA PB PC λλλ=+++ ，所以，1230PA PB PC λλλ++= ，所以，()()1230PA PA AB PA AC λλλ++++= ，所以，23AP AB AC λλ=+ ，因为1231λλλ++=且1λ、2λ、30λ≥，所以，1λ、2λ、[]30,1λ∈，所以，点P 在ABC 内或其边界上，取线段AB 的中点D ，则()()()()2224OA OB OD DA OD DB OD DA OD DA OD DA OD ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，故当OD 最大时，OA OB ⋅ 取最大值，如下图所示，当点P 与ABC 的顶点重合时，PD 取得最大值，且最大值为122AB = ，因为OP = ，所以，2OD OP PD OP PD =+≤+= ，当且仅当D 、P 、O 三点共线且P 在线段OD 上时，等号成立，故(224243OA OB OD ⋅=-≤+-=+ .故答案为：3+【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数()24i 1im z m R +=∈-，i 是虚数单位）．（1）若z 是纯虚数，求m 的值和z ；（2）设z 是z 的共轭复数，复数2z z -在复平面上对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．【答案】（1）12m =，2z =；（2）1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的实部为0，虚部不为0求出m 的值，进而求出复数z 的模；（2）首先根据第（1）问求出2z z -，然后根据复平面上对应点在第二象限，则实部小于0，虚部大于0，解不等式组求出m 的取值范围.【小问1详解】依题意得，()()()()()()2224i 1i 24i 24i 4i 2i 1221i 1i 1i 1i 1i m m m m z m m ++++++====-++--+-，若z 是纯虚数，则120210m m -=⎧⎨+≠⎩，解得12m =，2i z ∴=，2z ∴=.【小问2详解】由（1）知，()()1221i z m m =-++，()()1221i z m m =--+，()22163i z z m m -=--+，复数2z z -在复平面上对应的点位于第二象限，()210630m m -<⎧∴⎨-+>⎩，解得12m <-，即1,2m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知222-=-b c a ．（1）求角B ：（2）从①2C B =，②cos cos b A a B =中选取一个作为条件，证明另外一个成立；（3）若D 为线段AB 上一点，且1,42BCD B CD ∠=∠=，求BCD △的面积．【答案】（1）4B π=（2）见解析（3）4【解析】【分析】（1）利用余弦定理即可得解；（2）选①，根据2C B =结合（1）求出,C A ，可得A B =，则有tan tan A B =，再根据正弦定理化角为边即可得证；选②，利用正弦定理化边为角，再结合（1）即可得出结论；（3）利用正弦定理求得BC ，再利用三角形的面积公式结合诱导公式及倍角公式即可得出答案.【小问1详解】解：因为222-=-b c a ，所以222222cos b a c a c ac B =+-=+-，所以cos 2B =，又()0,B π∈，所以4B π=；【小问2详解】证明：选①，因为2C B =，4B π=，所以,24C A B ππ===，所以tan tan A B =，即sin sin cos cos A B A B =，所以cos cos b A a B =；选②，因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin cos sin cos sin 0B A A B B A -=-=，又(),0,A B π∈，则(),B A ππ-∈-，所以0B A -=，即4A B π==，所以22C B π==；【小问3详解】解：由（1）得128BCD B π∠=∠=，则58BDC π∠=，因为sin sin BC CD BDC B =∠，所以58BC π=1sin 2BCD S BC CD BCD =⋅∠5sin88ππ=sin 88ππ=44π==，所以BCD △的面积为4．19.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为120米，设置有36个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面140米，匀速转动一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()()sin H t A t B ωϕ=++（其中0,0,2A πωϕ>>≤），求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值.【答案】（1）()60sin 80,030152H t t t ππ⎛⎫=-+≤≤⎪⎝⎭（2）5（3）最大值为60米【解析】【分析】对于小问1，根据离地面的最大值140米、最小值20米和周期为30分钟，求出A 、B 、ω，再代入点(0,20)解得ϕ.对于小问2，令()50H t =，解出t 即得答案.对于小问3，根据题意，计算甲乙二人时间差，得到二人距离地面的高度表达式1H 、2H ，写出两人距离地面的高度差为12h H H =-米，由时间t 的取值范围，化简求出h 最大值.【小问1详解】由题意，()()sin H t A t B ωϕ=++（其中0,0,2A πωϕ>>≤）摩天轮的最高点距离地面为140米，最低点距离地面为14012020-=米，所以14020B A B A +=⎧⎨-=⎩，得60,80A B ==，又函数周期为30分钟，所以23015ππω==，()60sin 8015H t t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭又()060sin 0802015H πϕ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭，所以sin 1ϕ=-，又2πϕ≤，所以2πϕ=-，所以()60sin 80,030152H t t t ππ⎛⎫=-+≤≤⎪⎝⎭.【小问2详解】()60sin 8060cos 8015215H t t t πππ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以60805015cost π-+=，整理1152cos t π=，因为030t ≤≤，所以2015t ππ≤≤，所以153t ππ=,解得5t =（分钟）.【小问3详解】经过t 分钟后甲距离地面的高度为160cos8015H t π=-+，乙与甲间隔的时间为306536⨯=分钟，所以乙距离地面的高度为()260cos580,53015H t t π=--+≤≤，所以两人离地面的高度差()1260cos60cos 560sin ,5301515156h H H t t t t ππππ⎛⎫=-=-+-=-≤≤ ⎪⎝⎭当1562t πππ-=或32π时，即10t =或25分钟时，h 取最大值为60米.20.甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛．比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛．每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本场比赛随即结束．假定每场比赛、每局比赛结果互不影响．（1）若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为23，求甲获得本场比赛胜利的概率；（2）若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为12，23，34，试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大．【答案】（1）2027（2）丁【解析】【分析】（1）分第一局第二局，第一局第三局，第二局第三局获胜求解；（2）分甲在第二场甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁求解.【小问1详解】解：设甲在第i 局获胜为事件()1,2,3i A i =，事件B =“甲获得本场比赛胜利”，则()()12123123B A A A A A A A =⋃⋃，所以()2222222220113333333327P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【小问2详解】若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率11232351122343412P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；若甲在第二场与丙比赛，则甲胜丙，且在甲与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率2231312112342423P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；若甲在第二场与丁比赛，则甲胜丁，且在甲与乙、甲与丙的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率3312123112423234P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．因为123P P P <<，所以，甲在第二场与丁比赛时，甲恰好连胜两场的概率最大．21.如图①所示，长方形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -．（1）求四棱锥P ABCM -的体积的最大值；（2）若棱PB 的中点为N ，求CN 的长；（3）设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．【答案】（1）24（2（3）11【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值，求出12PG AM =值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM 为平行四边形，从而得到CN MQ ===（3）作出辅助线，得到∠PGD 为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=，建立空间直角坐标系，用含θ的关系式表达出平面PAM 和平面PBC 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到cos α=t 的取值范围求出余弦值的最小值【小问1详解】取AM 的中点G ，连接PG ，因为PA =PM ，则PG ⊥AM ，当平面PAM ⊥平面ABCM 时，P 点到平面ABCM 的距离最大，四棱锥P ABCM -的体积取得最大值，此时PG ⊥平面ABCM ，且1222PG AM ==，底面ABCM 为梯形，面积为()1312122+⨯⨯=，则四棱锥P ABCM -的体积最大值为13223224⨯⨯=【小问2详解】取AP 中点Q ，连接NQ ，MQ ，则因为N 为PB 中点，所以NQ 为△PAB 的中位线，所以NQ ∥AB 且12NQ AB =，因为M 为CD 的中点，四边形ABCD 为矩形，所以CM ∥AB 且12CM AB =，所以CM ∥NQ 且CM =NQ ，故四边形CNQM 为平行四边形，所以2215122CN MQ ⎛⎫==+=⎪⎝⎭.【小问3详解】连接DG ，因为DA =DM ，所以DG ⊥AM ，所以∠PGD 为P AM D --的平面角，即PGD θ∠=，过点D 作DZ ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DZ 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()1,0,0,0,1,0,0,2,0A M C ，过P 作PH ⊥DG 于点H ，由题意得PH ⊥平面ABCM ，设()000,,P x y z ，因为22PG =，所以()sin ,cos ,1cos 222PH GH DH θθθ===-，所以()()0011cos 1cos 222x y θθ==-⨯=-，0sin 2z θ=所以()()111cos ,1cos 222P θθθ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1cos cos 121,1,0,,,sin 222AM PA θθθ⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAM 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111101cos cos 12sin 0222x y x y z θθθ-+=⎧⎪⎨+-+-=⎪⎩，令1z =，则(1tan ,tan n θθ=，设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r，因为()cos 1cos 321,0,0,,sin 222CB PC θθθ⎛⎫-+==- ⎪ ⎪⎝⎭，则22220cos 1cos 3sin 0222x x y z θθθ=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩令2y θ=，可得：()2,3cos n θθ=+，设两平面夹角为α，则1212cos n n n n α⋅==⋅=令11cos 3t θ=+，π0,2θ⎛∈⎤ ⎥⎝⎦，所以3,34t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以cos α=3t =时，cos α有最小值1111，所以平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值为1111【点睛】求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事半功倍.22.已知02,1a b ≤≤≤，函数2()41,[2,2]f x ax x a b x =--+-+∈-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()|()|h x f x =，若()h x 的最大值为52，求a b +的取值范围.【答案】（1）见解析（2）当104a ≤≤时,13,24a b ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦;当124a <≤时,33,42a b ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据函数()f x 解析式,先讨论当0a =与0a ≠两种情况.当0a =时易判断单调递减,当0a ≠时,讨论对称轴与区间[2,2]-的关系,即可判断单调性.（2）根据（1）中所得a 在不同范围内的单调情况分类讨论.当104a ≤≤,()f x 在[2,2]-递减结合二次函数与绝对值函数的性质,并由()h x 的最大值即可求得b 的值,进而得a b +的取值范围;当124a <≤时,()f x 在12,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递增,在1,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减,同理解绝对值不等式可求得b 的取值范围,进而得a b +的取值范围.【详解】（1）①当0a =时,()f x x b =--,()f x 在[2,2]-单调递减②当122a -≤-时,即104a <≤时,()f x 在[2,2]-单调递减③当1202a -<-<时,即124a <≤时,()f x 在12,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递增,在1,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减④当1022a≤-≤时,不成立,所以无解.综上所述,当104a ≤≤时,()f x 在[2,2]-单调递减；当124a <≤时,()f x 在12,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递增,在1,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减（2）①当104a ≤≤时,()f x 在[2,2]-递减,(2)30f b -=->,(2)1f b =--,∵(2)(2)220f f b -+=-≥,∴|(2)||(2)|f f -≥,∴{max 5()max |(2)|,|(2)|(2)|32h x f f f b =-=-=-=,∴12b =.得113,224a b a ⎡⎤+=+∈⎢⎥⎣⎦.②当124a <≤时,()f x 在12,2a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦递增,在1,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦递减,又(2)30f b -=->,(2)1f b =--,114124f a b a a ⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭∵(2)(2)220f f b -+=-≥,(2)(2)f f ->∴|(2)||(2)|f f -≥,同时1(2)02f f a ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭,∴1|(2)|2f f a ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭∴max 1()max |(2)|,,|(2)|2h x f f f a ⎧⎫⎛⎫=--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭11541242f a b a a ⎛⎫=-=+-+=⎪⎝⎭∴13442b a a =+-又∵1b ≤,∴1311414282a a a +-≤⇒≤≤,又∵124a <≤,∴1142a <≤且可得13542ab a a +=+-在11,42a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦递增,所以33,42a b ⎛⎤+∈⎥⎝⎦.综上所述,当104a ≤≤时,13,24a b ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦;当124a <≤时,33,42a b ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦.。
2020-2021学年浙江省名校协作体高二年级下学期2月联考 数学 Word版
浙江省名校协作体2020-2021学年高二年级下学期2月联考数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x ＋3y －1＝0的倾斜角为A.30°B.60°C.120°D.150°2.直线2x ＋3y ＝0是双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线，则实数a 的值为 A.13 B.3 C.43 D.343.已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是A.若m//n ，n ⊂α，则m//αB.若m//α，m//β，则α//βc.若m ⊥α，n ⊥α，则m//n D.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β4.“m ＝－1”是“直线mx ＋(m －1)y ＋1＝0和直线2x ＋my ＋3＝0垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在四面体O －ABC 中，点P 为棱BC 的中点若OA a =，OB b =，OC c =，则向量AP 等于A.－12a ＋12b ＋12c B.a ＋12b ＋12c C.－a ＋12b ＋12c D.12a ＋12b ＋12c 6.已知平面α和两条异面直线a ，b 满足a ⊂α，b ⊥a ，平面α内的动点M 到两条直线a ，b 的距离相等，则点M的轨迹是A.两条直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线7.圆x2＋y2－mx＋y＋m＝0在x轴上截得的弦长是它在y轴上截得的弦长的2倍，则实数m 的值是A.－6－210B.－6＋210C.－3－10D.－3＋108.正三棱锥A－BCD中，二面角A－BC－D的大小为α，二面角B－AC－D的大小为β，则cos2α＋cosβ的取值范围是A.(－12，23) B.(0，12) C.(0，23) D.(12，23)9.曲线C1：y2＝6|x|与C2：y y x x143-=交点的个数为A.1B.2C.3D.410.在正四面体ABCD中，P，Q分别是棱AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，且满足|PE|＋|QF|＝a，M是EF的中点，则点M的轨迹围成的区域的面积是A.2a4B.2a2C.2a4πD.2a2π非选择题部分(共110分)二填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
浙江名校协作体2024年高二上学期开学考试数学试题参考答案
2024学年第一学期浙江省名校协作体联考参考答案高二年级数学学科首命题：学军中学 次命题兼审校：温岭中学 审核：春晖中学15．（Ⅰ）∵0a <，()()+20a x a x +> 所以()()20x a x ++<，解得2x a −<<− 所以{}2A x x a =−<<−.............5分 （Ⅱ）{}12B x x =≤<①当0a <时，B A ⊆因为，所以2a −≥，得2a ≤−；............ 7分 ②当0a =时A =Φ不合；.............9分③当02a <≤时，{}2A x x x a =<−>−或成立，所以B A ⊆成立；.............11分 ④当2a ≥时时，{}2A x x a x =<−>−或成立，所以B A ⊆成立； 20a a ≤−>综合得或 ...............................13分16．解析：（Ⅰ）由已知，志愿者服务时间不低于18小时的概率为1(0.020.06)40.68−+⨯=. ------4分（Ⅱ）由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20；--------7分 由(0.020.060.0750.025)41a ++++⨯=，解得0.07a =， ∵(0.020.06)40.32+⨯=，且(0.020.060.075)40.62++⨯=，平均数为(0.02120.06160.075200.07240.02528)420.32⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；--------11分 （Ⅲ）又∵(0.020.060.075)40.62++⨯=，(0.020.060.0750.07)40.9+++⨯=， ∴第75%位数位于22~26之间，设第75%位数为y ， 则220.750.6226220.90.62y −−=−−，解得132223.867y =+≈．----------------15分17．（Ⅰ）解析：()2sin()6f x x π=+，----------------------------3分32,2622x k k πππ⎡⎤+∈π+π+⎢⎥⎣⎦令得42233k x k ππππ+≤≤+， ()f x 的单调减区间为4[2,2],33k k k Z π+ππ+π∈-----------------6分（Ⅱ）解析：由题意得()2sin(2)6g x x π=−，则6()2sin(2)65g παα=−=−--------8分3sin(2)65πα−=−，又因为5(,)612ππα∈−，则22(,)623πππα−∈−所以4cos(2)65πα−=------------------------------------------------11分cos 2cos(2)663cos(2)cos sin(2)sin 666610ππααππππαα=−++=−−−=----------------------15分18．（Ⅰ）解析：由题意，在三角形PAB 与三角形PAD 中用余弦定理可得：AB AD ==分取BD 中点M ，连,AM PM ，由AB AD =，PB PD =，可得BD AM ⊥，BD PM ⊥，故BD ⊥平面APM ，因为AP APM ⊂平面，所以BD PA ⊥-----------4分（Ⅱ）因为BD ⊥平面APM ，所以平面PAM ⊥平面ABCD ，故点P 在平面ABCD 上的投影在两平面的交线AM 上，所以PAM ∠为所求线面角，-----------5分在Rt PBD ∆中，有BM DM PM ===；在Rt ADM ∆中，可得AM =分故在三角形PAM中：222cos 2PA AM PM PAM PA AM +−∠==⋅sin PAM ∠=，分（Ⅲ）解析：因为平面PAM ⊥平面ABCD ，故点,,,P A M C 四点共面，所以点,,A M C 三点共线，-------------------------------------------------10分所以在PAC ∆中，cos PAC ∠=，所以2222cos 9PC PA AC PA AC PAC =+−⋅⋅∠=，即2369AC AC +=，解得AC =或AC =分若AC =，则四边形ABCD为凹四边形，矛盾. 所以AC =---------------13分 因为，所以12ABCD S AC BD =⋅=四边形分所以1sin 3P ABCD ABCD V S PA PAM −=⋅⋅⋅∠=四棱锥四边形分19．(Ⅰ)解析：是.理由如下：------------------------------------1分281616lnln16ln ln log log ln 2ln 8l 160,0,16()2l ()n n 8x x x x xf f x x x x x ∀>=⋅=⋅=>=⋅-----------------------3分 故()2816log log f x x x=⋅是“反比例对称函数”.--------------- -------4分 (Ⅱ)解析：()()(),(0,)h x f x g x x =−∈+∞设, 由(Ⅰ)知16()()f f x x =，验证知16()()g g x x= 故16()()h x h x=.--------------------------------------------------------6分 由题意函数()f x 与()g x 的图像恰有一个交点，即()h x 恰有一个零点，故由对称性零点只能为4.-----------------------------------------------7分 由(4)0h =，得203m =.----------------------------------------8分 下检验此时()h x 恰有一个零点.由对勾函数性质知，()g x 在(]0,4上单调递减，[)4,+∞上单调递增.()ln (ln16ln )ln 2ln 8x x f x −=,设ln u x =，()(ln16)ln 2ln 8u u f x −=，()f x 关于u 在(]0,ln 4上单调递增，[)ln 4,+∞上单调递减，因此()f x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减. 故()h x 在(]0,4上单调递增，[)4,+∞上单调递减.故此时()h x 恰有一个零点4.----------------------------10分注:充分必要性步骤交换亦可。
2020-2021学年浙江省名校协作体高二上学期开学考试数学试题 word版
浙江省名校协作体2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 已知集合{}2,0,20A =，{}2020B =，则A B =（ ▲ ）A ．{}2,0B ．{}20C ．{}2020D ．∅2. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转2π后， 过点34(,)55P ，则αcos 等于（ ▲ ） A ．45-B ．45C ．35-D ．353. 下列函数中，既是偶函数，又在),0(+∞上单调递增的是（ ▲ ）A ．||x x y =B ．22xxy -=- C ．xx y -+=22 D ．|1||1|-++=x x y4. 已知1a b >>，则下列不等式正确．．的是（ ▲ ） A ．22ab< B ．22a b --<C ．a bb a< D ．ln ln a b < 5. 将函数x y 2sin =的图象经过以下变换后可得函数x y 2cos -=的图象，其中不正确．．．的是（ ▲ ） A ．向左平移43π B ．向右平移4πC ．向左平移4π，再作关于x 轴对称D ．向左平移4π，再作关于y 轴对称6. 若函数y ax =的图象上存在点(),x y ，满足不等式组302201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则实数a 的取值范围为（ ▲ ）A ．(],2-∞- B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．(]1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7. 下列函数图象中，不可能．．．是函数()()cos ,2f x x Z x ααα=∈≤⋅的图象的是（ ▲ ）ABCD8. 已知数列{}n a 是无穷等差数列，n S 是其前n 项和，若n S 存在最大值，则（ ▲ ）A ．在3202021,,,,232020S S S S 中最大的数是1S B ．在3202021,,,,232020SS S S 中最大的数是20202020S C ．在1232020,,,,S S S S 中最大的数是1S D ．在1232020,,,,S S S S 中最大的数是2020S9. 在ABC ∆中，)sin(sin sin B A C B -=+,2==AC AB ，PQ 是ABC ∆的外接圆的直径，则⋅的取值范围是（ ▲ ） A ．[]2,0 B ．[]2,2- C ．[]6,2- D ．[]2,6- 10. 已知对任意x R ∈，不等式24ax b x ax b ++--≥恒成立，则（ ▲ ） A ．24b a +≤B ．24b a -≥C ．存在,a b R ∈，有2416a b +<D ．对于任意,a b R ∈， 有2416a b -≥二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．)11. 已知向量)1,2(),1,(-==t t ，若//a b ，则=t ▲ ；若a b ⊥，则t = ▲ . 12. 已知函数⎩⎨⎧>≤+=1),(log 1,1)(2x x f x x x f ，则=)4(f ▲ ；)(x f 的零点为 ▲ .13. 已知数列{}n a 中，11=a ，nn n a a 21=+，则=45a a ▲ ；设数列{}n a 的前n 项的和为n S ， 则11S = ▲ .14. 已知,x y 为正实数，且114x y m x y+=+=，则m 的最小值为 ▲ .15. 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知2,5,60a c B ===，D 是边AC 上一点，且33sin =∠ABD ，则b = ▲ ；DCAD = ▲ . 16. 设0<b ，当22)4()(ba b a -++取得最小值c 时，函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为 ▲ .17. 已知数列{}n a 满足：12020a =，()2*11n n n a a a n N +=+-∈，若正整数k 使得2221212 (2) (2021)k k a a a a a a ++++=成立，则k = ▲ . 三、解答题：(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 18. （本题满分14分）已知函数()22cos f x x x =+ . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及f (6π)的值； （Ⅱ）若ππ[,]44x ∈-，求f (x )的取值范围.19. （本题满分15分）已知数列{}n a 是公差为正的等差数列，2a 是1a 和31a +的等比中项，44a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2n an b =，n S 是数列{}n n a b ⋅的前n 项和，求使得2020n S <成立的最大整数n.20. （本题满分15分）已知ABC ∆中，角A B C ,,所对的边分别是a b c ,,，满足22a b bc =+.（Ⅰ）求证：2A B =；（Ⅱ）若2b =，且sin tan cos 1C B C +=，求ABC ∆的内切圆半径.21. （本题满分15分）已知函数()1f x ax =+.（Ⅰ）若2a =，写出()f x 的单调区间（不要求证明）；（Ⅱ）若对任意的]2,1[],1,1[∈-∈a x ，不等式()2f x x b ≤-恒成立，求实数b 的取值范围.22. （本题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*22n n S a n N =-∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记22212...n n T a a a =+++，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n T a 的前n 项和为n R .求证：1)1211(431<≤--+n n R ； （Ⅲ）数列{}n b 满足n n n a b b b 211log ,1==+，试比较nb b b b 1111321++++ 与12-n 的大小，并说明理由.2020学年第一学期浙江省名校协作体参考答案高二年级数学学科一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）二、填空题: （本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填写在答题卷的相应位置上．）11. 2或-1，3112. 2，-113. 1，12514. 315. 16+16. 1017．2019三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．解：（Ⅰ）1cos2()22xf x x+=+1()sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭----------------------------4分ππ==22T----------------------------6分3()62fπ=----------------------------8分（Ⅰ）44xππ-≤≤22363xπππ∴-≤+≤---------------------------10分sin(2)126xπ∴-≤+≤---------------------------12分3()2f x≤≤------------------------------14分19.解：（Ⅰ）设{}n a的公差为d，则有()21321a a a⋅+=，即()()()2444312a d a d a d-+-=-又由44a=，得()()()243542d d d--=-----------------------------4分解得1d=或4d=-（舍去），故na n=----------------------------7分（Ⅰ）由（Ⅰ）可得：2nnb=2...12222nn S n ∴=⋅+⋅++⋅231...212222n n S n +∴=⋅+⋅++⋅ -----------------------10分两式相减得：()121 (2)222122n n n n S n n ++=⋅----=-⋅+ -------13分又n S 单调递增，781538,3586S S ==，所以使得2020n S <成立的最大整数7n = ---------------15分20.解：（Ⅰ）证明：由 A bc c b bc b a cos 22222-+=+=得22cos c bc bc A =+ ，即A b b c cos 2+= -------------------------2分A B B C cos sin 2sin sin +=∴， 即)sin(B A +A B B cos sin 2sin += 0sin )sin(>=-∴B B A -----------------------------------------4分 又π<<B 0，ππ<-<-B AB B A =-∴ 或 B B A -=-π(舍去)B A 2=∴ ----------------------7分（Ⅱ）由sin tan cos 1C B C +=，得sin()cos B C B +=， ------------ 9分sin cos 0A B ∴=>，1sin 2B ∴=， 6B π∴=，3A π=，2C =π. --------------------------11分因为2b =，可知4a c == -------------------------13分有ABC ∆内切圆半径12a b cr +-== -------------------------15分 21.解：（Ⅰ）()f x 的单调递减区间为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭---------------------------5分（Ⅰ）解法一：记=)(a g b ax x +++-|1|2，则由题意得对任意]2,1[∈a ，0)(≤a g ，即0)(max ≤a g⎪⎩⎪⎨⎧----≤+++-=----≤+++-=)2(0|12|)2()1(0|1|)1(22b x x g b x x g 对任意]1,1[-∈x 恒成立 -------10分由(1)得1|1|22--=+-≤x x x x b 对任意]1,1[-∈x 恒成立 45)1(min 2-=--≤∴x x b 由(2)得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤-++≤≤---=+-≤211,12121,12|12|222x x x x x x x x b 对任意]1,1[-∈x 恒成立2-≤∴b - ----------------------14分 综上所述2-≤b ，即b 的取值范围为]2,(--∞ ----------------------15分解法二：由21ax x b +≤-，可知1111a b a b ⎧+≤-⎪⎨-+≤-⎪⎩，即1111b a b a ⎧≤-+⎪⎨≤--⎪⎩对[]1,2a ∈恒成立，可得2b ≤- ----------------------12分下证：2b ≤-时命题成立，只要证212ax x +≤+，即当[]1,2a ∈时，22212x ax x --≤+≤+对[]1,1x ∀∈-恒成立，即221030x ax x ax ⎧-+≥⎪⎨++≥⎪⎩，显然成立 ----------------------15分22.解：（Ⅰ） 22111-==a S a ， 21=∴a由 22-=n n a S 及 2211-=++n n a S 得 n n n a a a 2211-=++，即n n a a 21=+{}n a ∴是以2为首项，2为公比的等比数列 nn a 2=∴ -------- -4 分（Ⅰ）证明：nn n a 4)2(22==∴)14(3441)41(4-=--⨯=n n n T ，从而14243-⨯=n nn n T a -----------5分 nn nn n n n T a 2143243142431=⨯⨯≤-⨯=- 12112121212<-=+++≤∴n n n R ----------------------------7分 又)12)(12(243)12)(12(243142431--⨯≥+-⨯=-⨯=+n n nn n n n n n n T a =)121121(431---+n n )211(43)121121121121121121(4311322++-=---++---+---≥∴n n n n R ----10分 综上所述：1)1211(431<≤--+n n R .（Ⅲ）n a b b n n n ==+21log ，11=b )2(11≥-=∴-n n b b n n ，且12=b )2(1)(11≥=-∴-+n b b b n n n ， 111-+-=n n nb b b ----------12分 ∴nb b b b 1111321++++ =1+)()()()(11352413-+-++-+-+-n n b b b b b b b b )2(1211111≥-≥-+=++--=+n n b nb b b nn n n ------------------14分当1=n 时，112111-==b∴nb b b b 1111321++++ ≥12-n ------------------15分。
浙江省精诚联盟2020-2021学年上学期高二开学考试数学精品
n
=
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分 14 分）已知集合 M = {x | (x − t)(x + 1) 0} ， N = {x || x − 2 | 1}.
（Ⅰ）当 t = 2 时，求 M N ； （Ⅱ）若 N M ，求实数 t 的取值范围．
cos A b ，则 cos B a A． a b
B． b c
C． b a
D． c a
高二数学试题 第 2 页 （共 4 页）
非选择题部分（共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．
11．若幂函数 f (x) = x 经过点 (3,9) ，则 =
， 1 + 4 的最小值是
．
ab
16．已知函数 f (x) = x | x | ，则不等式 f (2x −1) 9 的解集是
．
17．设公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ， a1 = 2 ．若存在常数 ，使得 a2n = an
（
n
N
）恒成立，则
(9 10
)n
Sn
取最大值时，
B． − 1
C． 3
D． 10
7．若关于 x 的不等式| x + 2 | + | x − a | 1的解集为 R ,则实数 a 的取值范围是
A．[−3,−1]
B． (−,−3] [−1,+)
8．函数 f (x) = sin x 的图象大致是 |x|
y
1
−
1．已知全集U = {−1,0,1,2,3}, A = {0,1}, B = {1,2,3}，则 (CU A) B =
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浙江省名校协作体2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 已知集合{}2,0,20A =，{}2020B =，则A B =（ ▲ ）A ．{}2,0B ．{}20C ．{}2020D ．∅2. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转2π后， 过点34(,)55P ，则αcos 等于（ ▲ ） A ．45-B ．45C ．35-D ．353. 下列函数中，既是偶函数，又在),0(+∞上单调递增的是（ ▲ ）A ．||x x y =B ．22xxy -=- C ．xx y -+=22 D ．|1||1|-++=x x y4. 已知1a b >>，则下列不等式正确．．的是（ ▲ ） A ．22ab< B ．22a b --<C ．a bb a< D ．ln ln a b < 5. 将函数x y 2sin =的图象经过以下变换后可得函数x y 2cos -=的图象，其中不正确．．．的是（ ▲ ） A ．向左平移43π B ．向右平移4πC ．向左平移4π，再作关于x 轴对称D ．向左平移4π，再作关于y 轴对称6. 若函数y ax =的图象上存在点(),x y ，满足不等式组302201x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则实数a 的取值范围为（ ▲ ）A ．(],2-∞- B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．(]1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7. 下列函数图象中，不可能．．．是函数()()cos ,2f x x Z x ααα=∈≤⋅的图象的是（ ▲ ）ABCD8. 已知数列{}n a 是无穷等差数列，n S 是其前n 项和，若n S 存在最大值，则（ ▲ ）A ．在3202021,,,,232020S S S S 中最大的数是1S B ．在3202021,,,,232020SS S S 中最大的数是20202020S C ．在1232020,,,,S S S S 中最大的数是1S D ．在1232020,,,,S S S S 中最大的数是2020S9. 在ABC ∆中，)sin(sin sin B A C B -=+,2==AC AB ，PQ 是ABC ∆的外接圆的直径，则⋅的取值范围是（ ▲ ） A ．[]2,0 B ．[]2,2- C ．[]6,2- D ．[]2,6- 10. 已知对任意x R ∈，不等式24ax b x ax b ++--≥恒成立，则（ ▲ ） A ．24b a +≤B ．24b a -≥C ．存在,a b R ∈，有2416a b +<D ．对于任意,a b R ∈， 有2416a b -≥二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．)11. 已知向量)1,2(),1,(-==t t ，若//a b ，则=t ▲ ；若a b ⊥，则t = ▲ . 12. 已知函数⎩⎨⎧>≤+=1),(log 1,1)(2x x f x x x f ，则=)4(f ▲ ；)(x f 的零点为 ▲ .13. 已知数列{}n a 中，11=a ，nn n a a 21=+，则=45a a ▲ ；设数列{}n a 的前n 项的和为n S ， 则11S = ▲ .14. 已知,x y 为正实数，且114x y m x y+=+=，则m 的最小值为 ▲ .15. 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知2,5,60a c B ===，D 是边AC 上一点，且33sin =∠ABD ，则b = ▲ ；DCAD = ▲ . 16. 设0<b ，当22)4()(ba b a -++取得最小值c 时，函数()||||f x x b x c =-+-的最小值为 ▲ .17. 已知数列{}n a 满足：12020a =，()2*11n n n a a a n N +=+-∈，若正整数k 使得2221212 (2) (2021)k k a a a a a a ++++=成立，则k = ▲ . 三、解答题：(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 18. （本题满分14分）已知函数()22cos f x x x =+ . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及f (6π)的值； （Ⅱ）若ππ[,]44x ∈-，求f (x )的取值范围.19. （本题满分15分）已知数列{}n a 是公差为正的等差数列，2a 是1a 和31a +的等比中项，44a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2n an b =，n S 是数列{}n n a b ⋅的前n 项和，求使得2020n S <成立的最大整数n.20. （本题满分15分）已知ABC ∆中，角A B C ,,所对的边分别是a b c ,,，满足22a b bc =+.（Ⅰ）求证：2A B =；（Ⅱ）若2b =，且sin tan cos 1C B C +=，求ABC ∆的内切圆半径.21. （本题满分15分）已知函数()1f x ax =+.（Ⅰ）若2a =，写出()f x 的单调区间（不要求证明）；（Ⅱ）若对任意的]2,1[],1,1[∈-∈a x ，不等式()2f x x b ≤-恒成立，求实数b 的取值范围.22. （本题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*22n n S a n N =-∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记22212...n n T a a a =+++，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n T a 的前n 项和为n R .求证：1)1211(431<≤--+n n R ； （Ⅲ）数列{}n b 满足n n n a b b b 211log ,1==+，试比较nb b b b 1111321++++ 与12-n 的大小，并说明理由.2020学年第一学期浙江省名校协作体参考答案高二年级数学学科一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）二、填空题: （本大题共7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填写在答题卷的相应位置上．）11. 2或-1，3112. 2，-113. 1，12514. 315. 16+16. 1017．2019三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．解：（Ⅰ）1cos2()22xf x x+=+1()sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭----------------------------4分ππ==22T----------------------------6分3()62fπ=----------------------------8分（Ⅰ）44xππ-≤≤22363xπππ∴-≤+≤---------------------------10分sin(2)126xπ∴-≤+≤---------------------------12分3()2f x≤≤------------------------------14分19.解：（Ⅰ）设{}n a的公差为d，则有()21321a a a⋅+=，即()()()2444312a d a d a d-+-=-又由44a=，得()()()243542d d d--=-----------------------------4分解得1d=或4d=-（舍去），故na n=----------------------------7分（Ⅰ）由（Ⅰ）可得：2nnb=2...12222nn S n ∴=⋅+⋅++⋅231...212222n n S n +∴=⋅+⋅++⋅ -----------------------10分两式相减得：()121 (2)222122n n n n S n n ++=⋅----=-⋅+ -------13分又n S 单调递增，781538,3586S S ==，所以使得2020n S <成立的最大整数7n = ---------------15分20.解：（Ⅰ）证明：由 A bc c b bc b a cos 22222-+=+=得22cos c bc bc A =+ ，即A b b c cos 2+= -------------------------2分A B B C cos sin 2sin sin +=∴， 即)sin(B A +A B B cos sin 2sin += 0sin )sin(>=-∴B B A -----------------------------------------4分 又π<<B 0，ππ<-<-B AB B A =-∴ 或 B B A -=-π(舍去)B A 2=∴ ----------------------7分（Ⅱ）由sin tan cos 1C B C +=，得sin()cos B C B +=， ------------ 9分sin cos 0A B ∴=>，1sin 2B ∴=， 6B π∴=，3A π=，2C =π. --------------------------11分因为2b =，可知4a c == -------------------------13分有ABC ∆内切圆半径12a b cr +-== -------------------------15分 21.解：（Ⅰ）()f x 的单调递减区间为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭---------------------------5分（Ⅰ）解法一：记=)(a g b ax x +++-|1|2，则由题意得对任意]2,1[∈a ，0)(≤a g ，即0)(max ≤a g⎪⎩⎪⎨⎧----≤+++-=----≤+++-=)2(0|12|)2()1(0|1|)1(22b x x g b x x g 对任意]1,1[-∈x 恒成立 -------10分由(1)得1|1|22--=+-≤x x x x b 对任意]1,1[-∈x 恒成立 45)1(min 2-=--≤∴x x b 由(2)得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤-++≤≤---=+-≤211,12121,12|12|222x x x x x x x x b 对任意]1,1[-∈x 恒成立2-≤∴b - ----------------------14分 综上所述2-≤b ，即b 的取值范围为]2,(--∞ ----------------------15分解法二：由21ax x b +≤-，可知1111a b a b ⎧+≤-⎪⎨-+≤-⎪⎩，即1111b a b a ⎧≤-+⎪⎨≤--⎪⎩对[]1,2a ∈恒成立，可得2b ≤- ----------------------12分下证：2b ≤-时命题成立，只要证212ax x +≤+，即当[]1,2a ∈时，22212x ax x --≤+≤+对[]1,1x ∀∈-恒成立，即221030x ax x ax ⎧-+≥⎪⎨++≥⎪⎩，显然成立 ----------------------15分22.解：（Ⅰ） 22111-==a S a ， 21=∴a由 22-=n n a S 及 2211-=++n n a S 得 n n n a a a 2211-=++，即n n a a 21=+{}n a ∴是以2为首项，2为公比的等比数列 nn a 2=∴ -------- -4 分（Ⅰ）证明：nn n a 4)2(22==∴)14(3441)41(4-=--⨯=n n n T ，从而14243-⨯=n nn n T a -----------5分 nn nn n n n T a 2143243142431=⨯⨯≤-⨯=- 12112121212<-=+++≤∴n n n R ----------------------------7分 又)12)(12(243)12)(12(243142431--⨯≥+-⨯=-⨯=+n n nn n n n n n n T a =)121121(431---+n n )211(43)121121121121121121(4311322++-=---++---+---≥∴n n n n R ----10分 综上所述：1)1211(431<≤--+n n R .（Ⅲ）n a b b n n n ==+21log ，11=b )2(11≥-=∴-n n b b n n ，且12=b )2(1)(11≥=-∴-+n b b b n n n ， 111-+-=n n nb b b ----------12分 ∴nb b b b 1111321++++ =1+)()()()(11352413-+-++-+-+-n n b b b b b b b b )2(1211111≥-≥-+=++--=+n n b nb b b nn n n ------------------14分当1=n 时，112111-==b∴nb b b b 1111321++++ ≥12-n ------------------15分。