常数与幂函数的导数教学材料
高二数学(选修-人教B版)-常数与幂函数的导数-1教案
（二）探究新知
观察： ， ， ， ， ， .
归纳猜想：
对任意的幂函数 ， ，都有 .
教师引导学生以已知探求未知.
（1）联系瞬时变化率与瞬时速度的关系，用数学语言表示导数与切线斜率之间的关系，发展学生的数学抽象素养.
（2）计算常见基本初等函数的导数是本节课的重点，在计算中巩固加深对导数概念的理解，突出重点，突破难点.
教 案
教学基本信息
课题
常数与幂函数的导数
学科
数学
学段：高中
年级
高二
教材
书名:书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1 （B版）
出版社：人民教育出版社出版日期：2007 年 1 月
教学设计参与人员
姓名
单位
联系方式
设计者
实施者
指导者
课件制作者
其他参与者
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1.能够用导数的定义推导常见函数 、 、 、 、 、 的导数.
C. D.
解析：函数 的导数 ，
时， 或
（配图）
变式.求曲线 在点 处的切线方程.
解：函数 的导数 ，
， ，
所以切线方程为 ，
也即 .
练习.点P在曲线 上，点P横坐标 ，则P点处切线的倾斜角的范围( )
A. B.
C. D.
解析：函数 的导数为 ，
记切线的倾斜角为 ，则
（配动态图）
通过练习，巩固幂函数导数公式，巩固对导数的几何意义的理解.
归纳猜想，总结规律.
例题
（一）熟悉公式，应用幂函数的导数公式求导
例1.求下列函数的导数:
(1) ；
解： .
(2) ；
《3.2.1常数与幂函数的导数》教学案3
《3.2.1常数与幂函数的导数》教学案[教学目标]:应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； [教学重点]:四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 [教学难点]:四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式 [教学过程]:一、复习1、导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的基本步骤.(1)求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( (3)取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim我们将学习常见函数的导数.首先我们来求下面几个函数的导数.(1)、y =x (2)、y =x 2 (3)、y =x 3思考：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？二、新知讲解1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆2．函数y f =的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim (2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆4．函数()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆限.三、例题解析例:求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.四、课堂检测1、()0f x =的导数是( )A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定 2、已知2()f x x =，则(3)f '=( )A ．0B ．2xC ．6D ．9 3、 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244、 过曲线1y x =上点1(2,)2且与过这点的切线垂直的直线方程是五、回顾与反思。
高中数学_3.2.1 常数与幂函数的导数教学设计学情分析教材分析课后反思
《常数函数与幂函数的导数》教学设计一、教学目标1、知识与技能能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数公式，并会利用它们解决简单的问题。
2、过程与方法在教学过程中，注意培养学生归纳、探求规律的能力，培养学生逻辑推理和数学运算等核心素养。
3、情感、态度与价值观教学的核心问题是让学生通过定义求导数的三个步骤，推导常数函数与幂函数的导数，通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神。
二、教学重点和难点教学重点：利用前面已学的求导数的三个步骤对常数函数与幂函数进行探究。
教学难点：用从特殊到一般的规律来探究公式。
三、教材分析教材的地位与作用本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》人教版B版选修1-1第三章《导数及其应用》第二节《导数的运算》第一课时，其主要内容是常数函数与幂函数的导数公式的推导、应用。
在前面，学生们已经学会利用导数的定义能够求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本初等函数的导数呢？这就是本节要研究的问题。
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简单的求导数的方法，本节我们求几个常用的函数的导数。
教学重点和难点教学重点：利用前面已学的求导数的三个步骤对常数函数与幂函数进行探究。
教学难点：用从特殊到一般的规律来探究公式。
四、学情分析本节课授课对象是我校高二年级普通班的学生，数学基础比较薄弱，但是平常一直注重对他们的思想引领，所以对数学还是充满着强烈的求知欲，能够积极参与。
学生还是具备一定的观察、分析能力，具备一些从特殊到一般的归纳能力，而且学生已有导数的定义和导数的几何意义等知识储备。
本节重要是介绍求导数的方法。
根据导数定义求导数是最基本的方法。
但是，由于最终会归结为求极限，而本章并没有介绍极限知识，因此，教材只是采用这种方法计算y c =、y x =、2y x =、3y x =、1y x =、y =单函数的导数即可。
《3.2.1常数与幂函数的导数》教学案1
《3.2.1常数与幂函数的导数》教学案【教学目标】1.应用由定义求导数推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 2．掌握并能运用几个基本初等函数的求导公式正确求函数的导数． 【教学难点】四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 【教学过程】一．问题提出导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．二．新课讲解1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y x ∆→∆→∆'===∆0y '=表示函数图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00limlim 11x x y y x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数y x =图像上点处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x -∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆三、小试牛刀 1． 求 (1)(x 3)′ (2)(21x)′2．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为 ( ) A ． (－2，－8) B ．(－1，－1)或(1，1)C ．(2，8)D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18题后反思：导数的几何意义是：3．质点运动方程是51t s =， 求质点在2=t 时的速度．四、课堂练习1.求函数y =31x的导数： 2.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s )，求质点在t =3时的速度. 3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A .1eB ．－1eC ．－eD ．e【课堂小结与反思】。
PPT教学课件常数函数与幂函数的导数
Background
Paper-cutting is one of China’s most popular forms of visual Art .Paper and scissors are the usual materials utilized,but sometimes
an engraving knife is also used. Paper-cutting has been a traditional art form for hundreds of years . It can be traced back to
Complete the following sentences:
1 I can’t r_e_la_t_e_____what he doesto_______(联系，涉
及) what he says. 2. All things a_r_e___ _r_e_la_t_e_d ________(和……有联系)
other thingtos. 3. 我到那儿去是为了跟我的父母呆在一起。
I went therefo_r_____ th_e____ pu_r_p_o_se_____ staying with mofy parents. 4. 我们下个月将试验新的机器。
We’ll _tr_y__ _o_u_t__ the new machine next mopressions from the text: 1.a paper cutting expert (whom) I interviewed 2.something (that) he learned 3.a young farmer who wanted a wife 4.paper cuts which show the Chinese
高中数学人教B版选修2-2《1.2.1常数函数与幂函数的导数》(第1课时)优秀教案
1.2.1常数函数与幂函数的导数（第1课时）（一）教学目标1.知识与技能能由定义求导数的三个步骤推导常数函数与幂函数的导数.2.过程与方法在教学过程中，通过自主探究，合作交流，培养学生归纳和探求规律的能力.3.情感、态度与价值观通过推导常数函数与幂函数的导数，让学生主动参与，合作交流，提高学生的学习兴趣，激发求知欲，从而提高学生的逻辑推理和数学运算素养.（二）教学重点和难点教学重点：利用求导数的定义对常数函数与幂函数进行探究.教学难点：特殊到一般规律的探究.（三）教学方法从学生的认知规律出发，以能力发展为目的.通过教师进行启发、诱导，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用.（四）教学过程复习引入利用定义求导数的步骤有哪些？设计意图：巩固对定义求函数的导数方法的掌握.探索新知1.如何利用导数的定义求函数y C =的导数？设计意图：一方面可以利用几何图形加以说明，理解导数的几何意义；另一方面通过实践加深对求函数的导数的理解.2.利用导数的定义，求下列几个函数的导数：（1）y x =； （2）2y x =； （3）3y x =；（4）1y x= ； （5）y =设计意图：通过学生自主探究，在求解的过程中体会新知，发现规律.3.通过求上面五个函数的导数，综合求导的结果与原函数对比，观察发现共同的特征，总结求幂函数的导数的规律.设计意图：学生通过实践，思考和探究，领会从特殊到一般规律的思想，培养归纳推理能力.4.幂函数()y x Q αα=∈的导数是什么？设计意图：让学生真正领会，从特殊到一般的认知规律，提升学生的数学建模素养.5.小试牛刀：求以下几个幂函数的导数： （1）4y x =； （2）10y x = ； （3）53y x =. 设计意图：让学生熟练公式求导的方法.应用举例例1：求下列函数的导数（1）y = （2）y = ； （3）23y x -=. 例2：求三次曲线3y x =在点（2,8）的切线方程.设计意图：进一步巩固所学知识，有助进一步提高学生的学习信心与热情，有助于教师及时了解学生对新知的掌握情况并及时加以调整.课堂检测1.求下列幂函数的导函数：（1）15y x = ； （2）3(0)y x x -=≠ ；（3）54(0)y x x => ； （4）23(0)y x x => .2.求函数5y x =在2x =处的导数.设计意图：强化知识理解与应用.归纳总结（1） 常数函数y C =的导数；（2） 幂函数()y x Q αα=∈的导数.设计意图：检测和评价学生对本节课所学内容的掌握情况，在巩固新知的同时，进一步促进认知结构的内化. 布置作业书后练习题。
人教版高中选修(B版)1-13.2.1常数与幂函数的导数教学设计
人教版高中选修(B版)1-13.2.1常数与幂函数的导数教学设计一、教学目标•了解常数函数与幂函数的导函数的定义及求法。
•了解常数函数和幂函数的导数的性质和规律。
•能够计算常数函数与幂函数的导数，掌握求导法则。
二、教学重难点1.区分常数函数和幂函数的导数的不同方法；2.深入理解极限的概念；3.掌握一阶导数的求法。
三、教学过程3.1 导入新课让学生通过观察表格，找出数列之间的规律，并继而引出求导函数。
表格表格3.2 基础知识梳理•常数函数的导数–根据导数的定义，导常数函数的导数为0。
$$ y = C \\quad \\text{则} \\quad y' = 0 $$•幂函数的导数–根据导数的定义，导幂函数的导数为：$$ y = x^n \\quad \\text{则} \\quad y' = nx^{n-1} $$–特别的，当n=1时，y=x，即直线函数，其导数为1。
3.3 案例演示例1：求函数y=2x2−3x+1的导函数。
解：$$ \\begin{aligned} y' &=\\frac{d}{dx}(2x^2)-\\frac{d}{dx}(3x)+ \\frac{d}{dx}(1)\\\\ &= 4x - 3 + 0\\\\ &= 4x - 3 \\end{aligned} $$例2：求函数 $y=\\sqrt{x}$ 的导函数。
解：$$ \\begin{aligned} y'&=\\frac{d}{dx}(x^{\\frac{1}{2}})\\\\ &= \\frac{1}{2} x^{-\\frac{1}{2}}\\\\ &= \\frac{1}{2\\sqrt{x}} \\end{aligned} $$3.4 讲解要点和注意事项•常数函数的导数恒为0，可以理解为函数没有变化；•幂函数的导数可以通过直接求导来得到；•每一个导数都是一个新的函数，在常微分方程、微积分应用等领域中具有重要意义。
教学设计1：3.2.1 常数与幂函数的导数
3.2.1 常数与幂函数的导数【教材分析】（一）三维目标（1）知识与技能能够由定义根据求导数的三个步骤，推导常数函数与幂函数的导数；（2）过程与方法在教学过程中，注意培养学生归纳、探求规律的能力；（3）情感、态度与价值观教学的核心问题是让学生能够根据定义和求导数的三个步骤，推导常数函数与幂函数的导数，通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神。
（二）教学重点利用前面已学的求导数的三个步骤对常数函数与幂函数进行探究；（三）教学难点用从特殊到一般的规律来探究公式。
（四）教学建议本节课要以教师为主导，以学生为主体，以能力的发展为目标，从学生的认知规律出发，进行启发、诱导、探索，充分调动学生的积极性，发挥学生的主体作用。
【教学过程】一．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．二．新课讲授1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim 11x x y y ∆→∆→∆'===1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=三．课堂练习1．课本P 87 练习A 1、2、3题2．课本P 87 练习B 1、2题3．求函数y =四．回顾总结五．布置作业。
高中数学_3.2.1 常数与幂函数的导数教学设计学情分析教材分析课后反思
数学选修1-1 常数与幂函数的导数 预习案【预习目标】1、了解常函数、幂函数导数的推导过程；2、尝试归纳幂函数的求导公式。
【知识回顾】1、导数的定义及符号表示：-_______________________________________ 。
2、导数的几何意义：_________________________________________。
3、函数0)(x x f 在处的切线方程：-___________________________________。
【自主探究】思考以下问题，并写下你的答案或者疑问。
问题一：常数函数的导数是什么？问题二：运用导数的定义，求下列几个幂函数的导数1、x y =2、2x y =3、3x y =4、xy 1=5、x y =思考：通过以上五个幂函数的求导过程，你有没有发现，求幂函数的导函数的规律？数学选修1-1 常数与幂函数的导数 学案【学习目标】1、掌握常函数、幂函数导数的推导过程；2、由常见幂函数的求导公式总结规律，得到幂函数的求导公式；3、常函数、幂函数导数公式的应用。
【重点】常函数、幂函数的导数及其应用。
【难点】由常见幂函数的求导公式总结规律，得到幂函数的求导公式。
【合作探究】对预案中自己不能解决的问题，请同学们组内讨论解决，并达成共识。
请同学们小组展示：附：导数公示表【典例解析】例1、求下列函数的导数（1）35=y （2）x x y = （3）31y x=；（4）x y sin = （5）x y 2= （6）x y 3log =精讲点拨：例2、求下列函数在给定点的导数（1）2,1)(==x x x f （2）4,)(==x x x f（3）0xxf==,()lnxf（4）esin,)(=x=xx精讲点拨：例3、(1)求曲线3=在点（1，1）处的切线方程;y x(2)求曲线xπ）处的切线方程.y cos=在点)1(-,例4、求与直线xy=的切线方程.y=平行的曲线x e思考讨论：点P是曲线x ey=上的任一点，求点P到直线xy=的最小距离.【自我小结】【当堂检测】1、已知()af x x=且(1)4f'=-，则实数a的值为2、若直线y x b=-+是函数1yx=图象的切线，求b及切点坐标。
1.2.1常数函数与幂函数的导数 教案(人教B版选修2-2)
1.2 导数的运算1.2.1 常函数函数与幂函数的导数教学目的知识与技能：能够利用导函数的定义可以求常函数与一次函数，二次函数及幂函数的导函数，熟记求导公式，可以利用公式求出一般函数的导数来.过程与方法：（1）先让学生熟悉课本内容，再利用导数的定义常函数与幂函数的导函数；（2）熟记求导公式可以利用求导公式求函数的导数.二教学重难点：重点：利用定义求函数的导数.难点：利用导数的定义判断函数的导数是否存在.三. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪.四. 教学思路(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些常用函数，其中有常函数，一次函数，二次函数，即幂函数，你能求出这些函数的导数吗?引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么导数的求法是咱们这一节主要解决的问题.（二）研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：（1）常函数y c =的导数（2）一次函数与二次函数2,y x y x ==的导数.（3）幂函数n y x =的导数.2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出求常函数与幂函数的方法与公式4.教师指出：常函数y c =的导数为零，一次函数y x =的导数为1y =，函数n y x =的导数为1'n y nx -=(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：函数求导数的方法与步骤：先求y ∆与x ∆，再求0lim x y x∆→∆∆的值，如果存在说明导函数是存在，如果不存在说明导函数是不存在的.2．教师组织引导学生思考以下问题：常函数y c =，与幂函数y 的导数分别是什么？让学生充分发表自己的建解.总结出一般的规律.3. 让学生自己举出一些能够求出函数的导数的例子，并用导数的定义进行验证.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4.教师提出问题，让学生思考知识点一 函数()y f x c ==的导数是0. 证明：()()0f x x f x y c c x x x+∆-∆-===∆∆∆，所以0lim 0x y x ∆→∆=∆，所以'0y =. 【疑难点拨】常数的导数为0，其几何意义为()f x c =在任意点处的切线平行于x 轴，其斜率为零，若y c =表示路程关于时间的函数，则'0y =可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 知识点二 函数()y f x x ==的导数是1. 证明：1y x x x x x∆+∆-==∆∆，所以0lim 1x y x ∆→∆=∆. 【疑难点拨】'1y =表示函数y x =图像上每一点处的切线斜率都为1，若y x =表示路程关于时间的函数，则'1y =可以解释为某物体的瞬时速度为1的匀速运动.知识点三 函数()2y f x x ==的导数是2x . 证明：22()2y x x x x x x x ∆+∆-==+∆∆∆，所以00lim lim(2)2x x y x x x x ∆→∆→∆=+∆=∆. 【疑难点拨】'2y x =表示函数2y x =图像上的点(),x y 处切线的斜率为2x ，说明随x 的变化，切线的斜率也在变化，当0x <时，切线的斜率为负，当0x >时，切线的斜率为正.若2y x =表示路程关于时间的函数，则'2y x =可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x . 知识点四 函数()1y f x x ==的导数是2x --.证明：211()1()y x x x x x x x x x x x x x x x -∆-+∆+∆===-∆∆+∆∆+⋅∆，所以201lim x y x x∆→∆=-∆，所以'21y x=-. 【疑难点拨】()1f x x=可记作()1f x x -=，所以()'2f x x -=-.知识点五 函数()y f x ==1'212y x -=⋅.【疑难点拨】y =11'221,2y x y x -==⋅. 【想一想】由知识点二、三、四、五可知，若y x =，则'1y =；若2y x =，则'2y x =；若1y x -=，则'2y x -=-；若12y x =，则1'212y x -=⋅.请根据4个导数归纳猜想出n y x =的导数.5.教师引导学生回忆求导过程，然后阅读教材中的相关内容，写出常用函数求导公式.并让学生完成练习题组第1题.6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：(1) y c =，n y x =的导数分别为 '0,y = 1'n y nx -=.（2）对于幂函数求导一般变为n m y x =的形式，再求导.(四)巩固深化，反馈矫正教师投影学习：(1)求下列函数 710,y x y x ==的导数(2)用定义求函数y =.(五)归纳整理，整体认识在师生互动中，让学生了解或体会下例问题：1．本节课我们学习过哪些知识内容?2．求函数的导数注意的问题3．常函数与幂函数的求导的运算法则.(六)承上启下，留下悬念1．课后书面作业：课本习题.2. 利用函数的求导定义可以求出一般函数的导数，注意的步骤与方法.。
常数与幂函数的导数、导数公式表PPT教学课件
求曲线 y＝4 x3在点 A(16,8)处的切线方程．
[解析]
4
3
y′＝( x3)′＝(x4
)′＝34·x－14
＝
3
4
，
4x
∴经过点 A(16,8)的切线的斜率
k＝y′|x＝16＝
3
4
＝38，
4 16
∴曲线的切线方程为 y－8＝38(x－16)
即 3x－8y＋16＝0.
•导数公式的应用
求过曲线 y＝sinx 上的点 Pπ4， 22且与在这点处 的切线垂直的直线方程．
[解析] (1)y′＝3x2.
3
(2)y＝x2
，y′＝32x12
＝23
x.
(3)∵y＝sinx，∴y′＝cosx.
(4)∵y＝x－2，∴y′＝－2x－3＝－x23.
• [方法总结] (1)应用导数的定义求导，是求 导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导 数公式求导数，可以简化求导过程，降低运 算难度，是常用的求导方法．
答案：1.ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0 函数的平均变化率 2．曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线斜率 y－y0＝ f′(x0)(x－x0)
1.常数函数的导数 常数函数 f(x)＝C 是导数 f′(x)＝(C)′＝0. 其几何意义可以理解为：曲线 f(x)＝C 在任意点处的切线与 x 轴平行或重合． 2．幂函数的导数 (1)函数 f(x)＝x 的导数 f′(x)＝1. (2)函数 f(x)＝x2 的导数为 f′(x)＝2x. (3)函数 f(x)＝1x的导数为 f′(x)＝－x12.
以上几个常见幂函数的导数，由它们的形式可以推测出幂
函数的导数公式：(xn)′＝nxn－1(n∈Q)．
课件5： 1.2.1常数函数与幂函数的导数
2(10t t 2 )
平均变化率为： s 2(10t t 2 ) 2(10 t)
t
t
t 0 时，f (5) lim 2(10 t) 20 t 0
＊ 导数是瞬时变化率 ＊ 表示何意义？
∴ f (5) 表示的是物体在第 5 s 时的瞬时速度为20m/s。
y tan x
y cot x
导数
y x 1
y cos x
y sinx
y
1 cos2 x
y
1 sin 2
x
小结
＊ 计算导数的步骤：
(1)求函数的增量y f (x0 x) f (x0 );
(2)求平均变化率 y f (x0x) f (x0 ) ;
x
x
(3)取极限，得导数f
(
x0
)
lim
第一章 导数及其应用
§1.2.1常数函数与幂函数导数
高中数学必选修2-2
复习回顾
＊ 导数的定义：
函数 y f (x)在 x0 处的导数 f (x0 )：
f
( x0
)
lim
x1 x0
f (x1 ) f (x0 ) lim
x1 x0
x0
f (x0 x) x
f (x0 )
＊ 导数的几何意义：
（2）函数值的增量：y f (2 x) f (2) x x
平均变化率： y
x 2 x
x
2 x
1 1
x
x
2 x
∴
f (2) lim( 1 1) 1 1 1
x0 2 x
22
（3）函数值的增量：
y
f (x0 x)
f (x0 )
课件7：3.2.1 常数与幂函数的导数-3.2.2 导数公式表
知能目标解读
1．知识与技能 能利用导数的定义推导函数 y＝c，y＝x，y＝x2，
y＝x3，y＝1x，y＝ x的导数，能根据基本初等函数的求导 公式，求简单函数的导数．
2．过程与方法
通过利用导数定义推导及归纳导数公式的过程，
掌握利用导数公式求函数导数的方法．
例 3：求过曲线 y＝sinx 上的点 Pπ4， 22且与在这点处的 切线垂直的直线方程．
解：∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
∴y′|x＝π4＝cosπ4＝
2 2.
∴经过这点的切线的斜率为 22，
从而可知适合题意的直线的斜率为－ 2.
∴由点斜式得适合题意的直线方程为
y－ 22＝－ 2(x－4π)，即 2x＋y－ 22－ 42π＝0.
变式应用 1： 求曲线 y＝4 x3在点 A(16,8)处的切线方程．
解：y′＝(4
x3)′＝(
3
x4
)′＝34·x
1 4
＝
3 4
，
4x
∴经过点 A(16,8)的切线的斜率
k＝y′|x＝16＝ 3 4
＝38，
4 16
∴曲线的切线方程为 y－8＝38(x－16)
即 3x－8y＋16＝0.
命题方向3：导数公式的应用
说明：在确定与切线垂直的直线方程时，应注意 考察函数在切点处的导数y′是否为零，当y′＝0时， 切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率 不存在．
变式应用 2： 求曲线 y＝cosx 在点 A(6π， 23)处的切线方程． 解：∵y＝cosx，∴y′＝－sinx. y′|x＝π6＝－sin6π＝－12，∴k＝－12. ∴在点 A 处的切线方程为 y－ 23＝－12(x－6π)． 即 6x＋12y－6 3－π＝0.
人教B版选修2《常数函数与冥函数的导数》教案及教学反思
人教B版选修2《常数函数与幂函数的导数》教案及教学反思一、教学目标1.理解常数函数的导数等于零的概念。
2.理解幂函数的导数公式，掌握求解幂函数的导数的方法。
3.能够用幂函数的导数公式解决与幂函数相关的实际问题。
4.培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学重点1.常数函数的导数等于零。
2.幂函数的导数公式及其应用。
三、教学难点1.掌握幂函数导数公式的证明和应用。
2.能够用所学知识解决实际问题。
四、教学准备1.教师：教案、教材、笔记本电脑、投影仪等。
2.学生：数学工具箱、笔记本电脑等。
五、教学过程1. 导入环节•引导学生回顾常数函数和幂函数的定义及特点。
•自学P35-37的知识铺垫，了解导数的概念和定义，初步了解求导数的运算法则。
•出示问题“当一辆物品从左向右匀速行驶时，车速为常数，那么在这段时间内车速的变化率是多少？”，激发学生思考。
2. 正文环节2.1 常数函数的导数等于零•通过实例“求常数函数y=3的导数”，引出常数函数的导数等于零的规律。
•由此再引出常数函数的图像等一些特殊性质。
2.2 幂函数的导数公式•口头说明幂函数的导数公式，即幂函数y=x n的导函数为y’=nx(n-1)。
•通过“用图像求解函数y=x2和函数y=x3的导数”这两个实例，引导学生掌握求幂函数导数的方法和技巧。
2.3 幂函数导数公式证明•依次讲述两种推导方法——绘制切线和使用极限，解释导数的本质含义。
•通过将两种方法的求导结果进行对比，说明两种方法得出的导数公式是一致的。
2.4 幂函数导数公式的应用•嵌入实际问题，帮助学生了解和掌握幂函数导数公式在实际问题中的应用。
•展示如何运用幂函数导数公式求解实际问题，如求物体从高处落地经过的时间等。
3. 总结环节•让学生自主总结学习的内容和收获，激励学生思考问题，并展示其学术成果。
六、教学反思•教学重点突出：在掌握了常数函数的导数规律后，引出了幂函数的导数公式，并详细介绍了公式的推导、应用。
课件3 ：1.2.1常数函数与幂函数的导数
(5)y′＝
1 5 x2
′＝(x－25)′＝－25x－25－
1＝－25x－75.
【解题心得】 求函数的导数,一般不用定义, 而主要应用导数公式.这就要求必须熟记常见 函数的导数公式.应用公式时,一定要遵循“先 化简,再求导”的基本原则.在实施化简时,首 先要注意化简的等价性,避免不必要的运算失 误.
题型三 求曲线的切线方程
例 3 已知曲线 y＝ x.求: (1)曲线上与直线 y＝2x－4 平行的切线方程; (2)求过点 P(0,1)且与曲线相切的切线方程.
【方法总结】 对于(1),由 y＝ x对 x 求导,可得到曲线 y ＝ x的切线的斜率,进而可得相应切点的坐标,易求得切线 方程;对于(2),设出切点坐标,利用切点在对应切线上,求得 切点坐标和相应切线的斜率,进而求得切线的方程.
例 2 求函数 f(x)＝ 1 在 x＝1 处的导数. 3 x2
【解】
∵f′(x)＝(x－23)′＝－23x－53＝－23·
1, 3 x5
∴f′(1)＝－23.
【名师点评】 求函数在某一点处的导数需 要先对原函数进行求导,再将变量值代入导函 数求解.
变式训练
2.已知 f(x)＝1x,g(x)＝mx,且 g(2)＝f′（1 2）,则 m＝__－__2____. 解析:f′(x)＝－x12, ∴f′(2)＝－14,g(2)＝2m. 又∵g(2)＝f′（1 2）, ∴2m＝－4, ∴m＝－2.
2t
名师微博 对 P 不作验证，误认为 P 在 曲线上是易错点.
又∵切线斜率为u－t 1,∴21 t＝u－t 1＝
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[精解详析] (1)y′＝(5x)′＝5xln 5； (2)y′＝(x13)′＝(x－3)′＝－3x－4；
(3)y′＝(4 x3)′＝(x34)′＝34x－14＝
3 4
；
4x
(4)y′＝(lg x)′＝xln110.
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[一点通] 用导数公式求导，可以简化运算过程、降 低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的 结构进行调整，再选择合适的求导公式．
第
3.2
三
章 3.2.1&
3.2.2
导
应 导数公
用
式表
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
考点一 考点二
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3．2.1&3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表
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基本初等函数的导数公式表
y＝f(x) y＝C y＝xn(n为自然数) y＝xμ (x>0，μ≠0，μ为有理数)
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[一点通] 求曲线的切线方程一般有下列两种情况： 一是求曲线在点P处的切线方程，这时P点在曲线上，且P 一定为切点．二是求过点P与曲线相切的直线方程，这时P 点不一定在曲线上，不一定为切点．做题时，一定要仔细 读懂题意，分清所求切线方程为哪种情况，以便于找准正 确的解题思路．
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3．设曲线 y＝cos x 在点 A(π6， 23)处的切线倾斜角为 θ， 求 tan θ 的值． 解：∵y＝cos x，∴y′＝－sin x. ∴在点 A 处切线斜率为 k＝－sinπ6＝－12. ∴tan θ＝－12.
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1．对于基本初等函数导数公式，只要求能够记忆并 会利用它们求简单函数的导数即可．
2．注意区分幂函数的求导公式(xn)′＝nxn－1(n∈Q)， 与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a.
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[例 1] 求下列函数的导数． (1)y＝5x；(2)y＝x13；(3)y＝4 x3；(4)y＝lg x. [思路点拨] 先将解析式化为基本初等函数的形式， 再利用公式求导．
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[例 2] 求曲线 y＝cos x 在(π4，22)处的切线方程． [思路点拨] 解答本题可先应用导数公式求出函数
在 x＝π4 处的导数，即切线的斜率，然后根据直线方程
的点斜式公式，写出切线方程．
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[精解详析] y′＝－sin x，y′|x＝π4＝－ 22， ∴切线方程为 y－ 22＝－ 22(x－π4)， 即 2x＋2y－ 2－ 42π＝0.
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4．过点A(0，－1)作抛物线y＝x2的切线．求切点P的坐标
和切线方程． 解：设点 P(x0，x20)，则 y′|x＝x0＝2x0. 切线方程为 y－x20＝2x0(x－x0)． 又 A(0，－1)在切线上，
∴－1－x20＝－2x20，x20＝1.
当 x0＝1 时，点 P 的坐标为(1,1)．
切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1.
当 x0＝－1 时点 P 的坐标为(－1,1)． 切线方程为 y－1＝－2(x＋1)，即 y＝－2x－1.
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1．熟记导数公式表，必要时先化简再求导． 2．导数公式表中(ax)′＝axln a 与(logax)′＝xln1 a 较易混淆，要区分公式的结构特征，找出它们之间的 差异去记忆． 3．直线与曲线相切时，切点是直线与曲线的公共 点，切线的斜率是曲线对应的函数在切点处的导数．
y′＝f′(x) y′＝0
y′＝nxn－1
y′＝μxμ－1
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y＝f(x) y＝ax(a>0，a≠1)
y＝ex y＝logax (a>0，a≠1，x>0) y＝ln x y＝sin x
y＝cos x
y′＝f′(x) y′＝axln a
y′＝ex y′＝xln1 a
y′＝1x
y′＝cos x
y′＝－sin x
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1．若 f(x)＝3 x，则 f′(1)等于
()
A．0
B．－13
C．3
D.13
解析：∵f′(x)＝(x13)′＝13x－23＝13·12＝ x3 3
1， 3 x2
∴f′(1)＝13. 答案：D
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2．求下列函数的导数． (1)y＝x6；(2)y＝cos x； (3)y＝x2 x；(4)y＝2sinx2cosx2. 解：(1)y′＝(x6)′＝6x5； (2)y′＝(cos x)′＝－sin x； (3)y′＝(x2 x)′＝(x2·x12)′＝(x52)′＝52x32； (4)∵y＝sin x，∴y′＝cos x.
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