中考数学考点知识与题型专题讲解46---图形的相似

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∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，
∴△AP0C∽△MPB，∴ AP0 = P0C ，
MP BP
∴MP∙
P0C＝
1 2
P0C 2
=
(
3)2 + (1− x)2
2
= AP0 ∙BP＝x（
3 －1＋x），
解得 x＝ 7 − 3
∴BP＝ 3 －1＋ 7 − 3 ＝ 7 −1 ．
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考点典例三、相似三角形综合问题 【例 3】（2016 湖北十堰第 24 题）如图 1，AB 为半圆 O 的直径，D 为 BA 的延长线上一 点，DC 为半圆 O 的切线，切点为 C． （1）求证：∠ACD=∠B； （2）如图 2，∠BDC 的平分线分别交 AC，BC 于点 E，F； ①求 tan∠CFE 的值； ②若 AC=3，BC=4，求 CE 的长．
【举一反三】
若 4y-3x=0，则 x + y = y
7 【答案】 .
3
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考点：比例的性质． 考点典例二、三角形相似的性质及判定 【例 2】（2016 湖南怀化第 21 题）如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是 BC 边上的高， 正方形 EFGH 的一边 FG 在 BC 上，顶点 E、H 分别在 AB、AC 上，已知 BC=40cm，AD=30cm． （1）求证：△AEH∽△ABC； （2）求这个正方形的边长与面积．
（4）黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段
AB 与较短线段（BC）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即 AC2=AB·BC， AC= 5 −1 AB ≈ 0.618AB ；一条线段的黄金分割点有两个.
2
2.比例的基本性质及定理
（1） a = c → ad = bc bd
【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综
12 【答案】（1）详见解析；（2） .
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（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，
∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴tan∠CFE=tan45°=1．
②在 RT△ABC 中，∵AC=3，BC=4，
a c a±b c±d （2） = → =
bd b d
（3） a = c = L = m (b+ d+L + n ≠ 0) → a + c +L + m = a
bd
n
b+ d +L+ n b
3.平行线分线段成比例定理
(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；
中考数学考点知识与题型专题讲解
专题 46 图形的相似
聚焦考点☆温习理解
1、比和比例的有关概念：
（1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.
（2）第四比例项：若 a = c 或 a:b=c:d，那么 d 叫作 a、b、c 的第四比例项. bd
（3）比例中项：若 a = b 或 a:b=b:c，b 叫作 a，c 的比例中项. bc
由勾股定理得 AB=5，
∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，
∴△DCA∽△DBC，
DC = AC = DA = 3
∴ DB
BC
CD
4 ，设 DC=3k，DB=4k，
2
∵CD =DA•DB，
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2
∴9k =（4k﹣5）•4k，
20
∴k= ， 7
60
80
∴CD= ，DB= ，
7
7
考点：切线的性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理.
2
(1) 如图 1，若∠ACP＝∠B，求证：AC ＝AP·AB； (2) 若 M 为 CP 的中点，AC＝2， ① 如图 2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求 BP 的长； ② 如图 3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出 BP 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）①BP＝ 5 ；② 7 −1 .
120
14400
7
49 2
【答案】（1）详见解析；（2）正方形 EFGH 的边长为 cm，面积为 cm ．
【解析】
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考点：相似三角形的判定与性质． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理 和计算的能力． 【举一反三】 （2016 湖北武汉第 23 题）（本题 10 分）在△ABC 中，P 为边 AB 上一点．
(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这
条直线平行于三角形的第三边；
(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三
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角形的三边与原三角形三边对应成比例． 4.相似三角形. 相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形 相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比． 5．相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原 三角形相似； (2)两角对应相等，两三角形相似； (3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (4)三边对应成比例，两三角形相似； (5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； (6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 6．相似三角形性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都 等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 7．相似多边形的性质 (1)相似多边形对应角相等，对应边成比例． (2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 8．位似图形 (1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的Fra Baidu bibliotek线相交于一点，这样的图形叫 做位似 图形．这个点叫做位似中心． (2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
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名师点睛☆典例分类
考点典例一、比例的基本性质、黄金分割
b5
a−b
【例 1】已知 = ，则 的值是（ ）
a 13 a + b
2
3
9
4
A． B． C． D．
3
2
4
9
【答案】D．
故选 D．
考点：比例的性质．
【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质
与比例变形．