线性代数第一章第7节PPT教学课件

解
11 1 1
12 3 4 D
1 4 9 16
1 8 27 64
(41)(42)(43)(31)(32)(21)12
1 11 1
11 11
5 23 4
D1 25
4
9
12 16
125 8 27 64
,
11 1 1
15 34
D2 1 25
48 9 16
1 125 27 64
11 1 1
12 5 4
, D3 1 4
25
72 16
1 8 125 64
12 3 5
D4 1 4 9
48 25
1 8 27 125
,
x 1 D D 1 1 , x 2 D D 2 4 , x 3 D D 3 6 , x 4 D D 4 4
三、重要定理
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D0, 则 1一定有解,且解是唯一的 .
“没有非零解”即“只有零解”
定理3 如果齐次线性方程组2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D0 a11x1a12x2a1nxn0 a 2 1x1 a2 2x2 a2 nx n 0 an1x1an2x2annxn0
有非零解.
例2 问 取何值时，齐次方程组
3x1x2x3 2x2x3
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
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的系数行列式不等于零，即D
a21 a22 a2n
0
an1 an2 ann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x 1 D D 1 ,x 2 D D 2 ,x 3 D D 3 , ,x n D D n .
其中D j 是把系数行列式 D中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n阶行列式，即
齐次线性方程组; 若常 b 1,b 2 数 , ,b n全 项为 , 零
此时称方程组为齐次线性方程组.
二、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1a12 x2 a1nxnb1
a2 1 x 1 a 2 2 x2 a2 nx n b2ห้องสมุดไป่ตู้
(1)
an1x1an2x2 ann xnbn
a11 a12 a1n
a a b a a 11 1,j1 1 1,j1
1n
Dj
a a b a a n1
n,j1 n n,j1
nn
例1 用克拉默法则解方程组
x1 x2 x3 x4 1
x1 2x2 3x3 4x4 5 x1 4x2 9x3 16x4 25
x1 8x2 27x3 64x4 125
0, 0,
4x12x21x3 0,
有非零解？
例3.当k为何值，非齐次线性方程组
kxx1 122xx2 2kxx33
1 2
有唯一解。
2x1 kx2 x3 3
四、小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
定理2 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零.
齐次线性方程组的相关定理
a11x1a12x2a1nxn 0
a2 1x1 a2 2x2 a2 nx n 0 2
an1x1an2x2annxn 0
定理3 如果齐次线性方程组 2的系数行列式 D0则齐次线性方程组 2 没有非零解.
第七节 克拉默法则
一、非齐次与齐次线性方程组的概念 二、克拉默法则 三、重要定理 四、小结
一、非齐次与齐次线性方程组的 概念
a1x 11a1x 22 a1nxnb1
设线性方程组 a 2x 11 a 2 x 22 a2n xn b2
an1x1an2x2 anx nnbn
若常 b1,数 b2, ,b 项 n不全 , 则为 称此零 方程组为非