建筑力学-第八章-剪切

假想在截面II – II 处将轴切开，仍取左段为分离体 （如下图）根据
M
求得
x
0
T 2(8 6)kN m 0
T 2 2 kN m
6kN m 8kN m
x
T2
假想在截面III – III 处将轴切开，取右段为分离体 （如下图）。根据
M
求得
x
0
T3 3kN m 0
■ 单剪切 只有一个剪切面 F = P1 名义剪应力 τ = F/A = P1/A 强度条件
P1 Q P P
τ = P1 /A ≤ [τ]
■ 双剪切 有两个剪切面 F = P1/2 名义剪应力 τ = F/A = P1/2A 强度条件
P
P1 Q Q
τ = P1 / 2A ≤ [τ]
P
2. 铆钉的挤压强度条件 连接板孔壁作用于铆钉半 园柱形表面上的压力称为挤 压力,与之相应的应力称为 挤压应力。
解: 1.铆钉的剪切强度校核
P1= P/4
F = P1= P/4,
A = πd2/4
τ = F/A = P/ πd2 = 99.5 MPa < [τ]
2.铆钉的挤压强度校核
σc = P1/ Ac= P/4td = 125 MPa ≤ [σc ]
d 3.拉杆的拉伸强度校核 P 1 s b P
危险截面为截面1 σmax = P/(b – d)t
Q n
钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。
（合力） P n
3、连接处破坏三种形式： ①剪切破坏 n P （合力） 剪切面 n P 沿铆钉的剪切面剪断，如 沿n– n面剪断 。
Q n
（合力） P n
3、连接处破坏三种形式： ②挤压破坏 n P （合力） 剪切面 n P 铆钉与钢板在相互接触面 上因挤压而使溃压连接松动， 发生破坏。
T3 3kN m
3kN m
T3
（2）根据求出的各段扭矩值，绘出扭矩图如下图所示
6kN m
ຫໍສະໝຸດ Baidu
I
8kN m
II
5kN m
III
3 kN m
A
I
B
II
C
III
D
6kN m

3kN m

2kN m
8-5-1 圆轴扭转的基本假设 圆轴扭转试验
圆轴扭转试验
当转角很小时, 扭转后各圆周线 的形状、大小和 间距均保持不变, 仅绕轴线作一相 对转动;各纵线仍 保持为直线,并倾 斜同一角度。
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剪切和扭转
8. 剪切和扭转 8.1 剪切及其实用计算
剪切的概念 在垂直于杆轴方向的横向力作用下,杆的两相邻 横截面将发生相对错动(滑移),这种变形称为剪切。
钢杆受剪图
a
1
2 2
F F c F
3 4
F a c 1 2 b 3 4 d F
b F
d
受力特点：作用在构件上的力大小相等、方向相 反、作用线与轴线垂直且相距很近的一对外力。 变形特点：以两作用力间横截面为分界面 ,构件 两部分沿该面(剪切面)发生相互错动。
危险截面是截面1,故有 σmax = P/(b – d)t ≤ [σ] b ≥ 47.3mm,取48mm
上下盖板总厚度=主板厚度,故不需再作强度校核。
8.2 扭转
直杆在垂直于杆轴平面内的力偶系的作用下, 杆件各横截面绕杆轴作相对转动,这种变形形式 称为扭转。 以扭转为主要变形形式的构件称为轴。轴 的变形以横截面间绕轴线的相对角位移(相对 转角)表示。
根据圆轴扭转试验的结果可得如下基本假设: 1.变形后横截面仍保持为平面,其形状和大小 均不改变,只是绕圆轴线转过一角度;(平面假 设) 2.变形前后,相邻横截面之间的距离保持不变。 (小变形假设) ■ 非园截面杆的扭转
当非圆截面杆受扭时,将产生所谓翘曲现象, 其横截面由平面变为曲面。因此,后面根据平 面假设建立的圆轴扭转公式,对于非圆截面杆 均不适用。
F bs Aj
A j (b d )t
8.2 剪切的实用计算 剪切变形十分复杂,剪应力在横截面上的实际 分布规律很难确定,工程上常采用下列实用计算。 ■ 名义剪应力 τ = F/A 即名义剪应力是假设F沿截面均匀分布而得出的。 用名义剪应力来进行强度计算的方法称为剪 切的实用计算方法。
a
1
2 2
F F c F
3 4
F a c 1 2 b F 3 4 d 2 1 3

3'
4
b F
d
4'
发生相对错动的横截面称为剪切面

剪切角是对剪切变形的一个度量，称为切应变
剪切虎克定律
G
G:切变模量
工程结构中 的受剪构件
工程结构中的受剪构件
工程结构中的受剪构件
工程结构中 的受剪构件
dQ = τ dA = τ tR dα
dQ对轴线O的矩
dM = R dQ = τ tR2 dα
横截面上的扭矩
Mn= ∫A dM = 2πR2tτ τ = Mn / 2πR2t
轴力图
3P/4 P/2 P/4
P
= 125MPa < [σ]
例2. 如图示,设 P = 100 kN, 主板厚 t = 20mm, 盖板厚 t1=10mm, 铆钉直径 d =16mm, 材料的许用应力: [σ]=160MPa, [τ]=140MPa, [σc]=320MPa。试求所需的铆 钉数n和板宽b。 P 解: 1.根据铆钉的剪切强度条件确定铆钉数 P
（合力） P n
③剪切面： 构件将发生相互的错动面，如 n P （合力） n– n 。 ④剪切面上的内力： 内力 — 剪力Q ，其作用线与 Q 剪切面 剪切面平行。 n P
n
（合力） P n
3、连接处破坏三种形式： ①剪切破坏 n P （合力） 剪切面 n P 沿铆钉的剪切面剪断，如 沿n– n面剪断 。 ②挤压破坏 铆钉与钢板在相互接触面 上因挤压而使溃压连接松动， 发生破坏。 ③拉伸破坏
单剪切与双剪切
P
P
单剪切
双剪切
§8－2 连接接头的强度计算
一、连接件的受力特点和变形特点： 1、连接件 在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如： 螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。 螺栓 P 特点：可传递一般 力，可拆卸。
P
2、受力特点和变形特点： 以铆钉为例： （合力） P n ①受力特点： 构件受两组大小相等、方向相 反、作用线相互很近（差一个几 n 何平面）的平行力系作用。 ②变形特点： 构件沿两组平行力系的交界面 发生相对错动。 P （合力）
8.2.3 薄壁圆管扭转时横截面上的应力
当圆管的壁厚t与它的平均直径D之比 t/D ≤ 1/20 时,可将圆管简化为薄壁圆管。
在薄壁圆管的横截面上 只有垂直于半径方向的剪 应力τ, 且沿圆周均匀分布, 沿壁厚方向也近似认为是 均匀分布的。
τ
在横截面上取微面积元
t
dA = t•R dα
dA上的微剪力 dA dQ R dα O
（合力） P n
1、剪切面--As ： 错动面。 剪力--Fs： 剪切面上的内力。 n P （合力） 2、名义剪应力--：
Fs As
3、剪切强度条件（准则）：
Q n P
剪切面 n
Fs As
其中 :


jx
n
工作应力不得超过材料的许用应力。
2、挤压的实用计算 挤压：构件局部面积的承压现象。 挤压力：在接触面上的压力，记Fbs。 1、挤压力―Fbs ：接触面上的合力。
工程结构中的受剪构件
当构件发生剪切变形时,作用于受剪面上且平 行于横截面的内力称为剪力ϢПⳌᑨⱘᑨ࡯鹵Ў ࠾ᑨ࡯。
P
P Q P
Q=P
■ 剪切虎克定律 在线弹性范围内,纯剪切时的剪应力与剪应 变成正比。 τ = Gγ 式中比例常数 G 称为剪切弹性模量,与剪应力τ 有相同的量纲,常用单位为GPa。
d b
P s
P
S > 2d
t P d b
P
P s
P
例1. 拉杆用4个相同的 铆钉固定于格板，铆 钉的材料与拉杆相同。 设P = 80 kN, b = 80mm, t =10mm, d =16mm, s = 3d, [σ]=160MPa, [τ]=100MPa, [σc]=300MPa。试校核 铆钉和拉杆的强度。
M φ M
工程中的受扭杆件: 齿轮轴、皮带轮轴、钻杆等
齿轮轴
工程中的受扭杆件
工程中 的受扭 杆件
工程中的受扭杆件
传动轴
工程中的受扭杆件
8.4 外力偶矩和扭矩的计算 扭矩图 ■ 外力偶矩的计算 ∆W = M ∆φ ∆W/∆t = M ∆φ/∆t N = Mω
式中功率N的单位 为W (N•m/s), 力矩M 的单位为N•m,角速度 ω的单位为rad/s。
I
8kN m
II
5kN m
III
3 kN m
A
I
B
II
C
III
D
【解】（1）用截面法分别求出各段上的扭矩 假想在截面1 – 1 处将轴切开。取左段为分离体，截 面上的扭矩按正向给出（如下图），根据平衡方程
6kN m
x
M
求得
x
0
T1 6kN m 0
T1
T1 6kN m
Q n
（合力） P n
3、连接处破坏三种形式： ③拉伸破坏 n P （合力） 剪切面 n P 钢板在受铆钉孔削弱的截 面处，应力增大，易在连 接处拉断。 Q
n
1、剪切的实用计算 实用计算方法：根据构件的破坏可能性，采用能反映受力基本 特征，并简化计算的假设，计算其名义应力，然后根据直接试 验的结果，确定其相应的许用应力，以进行强度计算。 适用：构件体积不大，真实应力相当复杂情况，如连接件等。 实用计算假设：假设剪应力在整个剪切面上均匀分布，等于剪 切面上的平均应力。
■ 剪切强度条件 τ = F/A ≤ [τ] 式中[τ]为容许剪应力: [τ] = τb/n ,剪切强度极限 τb由直接剪切试验确定, n为安全系数。 8.1.3 铆接的计算
P P
P
P
四种可能的破坏形式 1. 铆钉的剪切强度条件 当铆钉的材料相同,直径相同,且外力作用线与 铆钉群的对称轴重合时,可假设各铆钉承受的力 相同,即有 P1 = P/n 式中P1为每一铆钉承受的力, P为作用于主板的 拉力, n为铆钉数。
δ Q d P1
当挤压力过大时,可能造成挤压局部的显著 塑性变形,而引起连接“失效”,故必须考虑铆钉 和板孔的挤压强度问题。 挤压的实用计算:引入名义挤压应力来进行强 度计算。
d d
δ
■ 名义挤压应力
σc = P1/ Ac
式中Ac为挤压面在直径面上的投影面积,即
Ac = d • δ
■ 挤压强度条件
但在工程中,功率NP的单位为kW,角速度用转速n表示, 单位为rpm(转/分),故有
NP•103 = M•2nπ/60
由此可得
M = 9549 NP/n ■ 扭矩和扭矩图 截面法应用
Me φ Me
(N•m) T= Me
Me
Σ Mx = 0
T
扭矩的符号规定: 按右手定则与截面的外法 线方向一致为正,相反为负。
σc = P1/ Ac= P/ndδ ≤ [σc ]
其中[σc ]为容许挤压应力,大约为容许拉应力 的2倍。 3. 连接板的强度条件 设连接板宽b,其危险截面上有m个铆钉孔,则 危险截面的净面积为 A1= (b – md)δ 假设不考虑应力集中,轴力在A1上是均匀分 布的,则有连接板的强度条件
σmax= N/A1= N /(b – md)δ ≤ [σ] 式中N为危险截面上的轴力。注意危险截面不 一定是净面积最小的截面,还与截面上的轴力大 小有关。 4. 关于连接板端部的剪切破坏
T(+)
T(–)
扭矩的计算
Me
m
Me
x
A
m
B
Me
T
Me
T
Me

扭矩图: 表示扭矩与横截面位置关系的曲线。
M1 M2 M3 T1 = 5 kN•m T2 = 7 kN•m 1m 0.5m 2 kN•m T3 = 2 kN•m
–
+
5 kN•m
扭矩图
【例8 –3 】 试求出图所示圆轴的扭矩图。
6kN m
双剪切
Q = P1/2 = P/2n,
A = πd2/4
n = 1.78
τ = Q/A = 2P/nπd2 ≤ [τ] 试取 n = 2, 校核铆钉的挤压强度。
σc = P1/ Ac= P/ntd = 156 MPa ≤ [σc ]
2.根据主板的抗拉强度条件来确定板宽b
P P1 P 1 P1 b
P
假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。
2、挤压面积：接触面在垂直Fbs方向上的投影面的面积。
挤压面积 A jy dt 3、挤压强度条件（准则）： 工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。
Fbs bs bs Abs
3、连接板的强度计算 由于铆钉孔削弱了连接板的横截面面积。使连接板 的抗拉强度受到影响。 假设连接板截面上的正应力均匀分布，则连接板应 满足的拉伸强度条件为