一维势阱与二维势阱的Matlab模拟仿真

图 4. n 10 时概率密度图像
n 50 时：
图 5. n 50 时概率密度图像
n 100 时：
n 500 时：
图 7. n 500 时概率密度图像 从结果来看，当 n 500 时，粒子在势阱里的分布已经接近各处都相同了，可以想象随 着 n 的继续增大，相邻峰值之间的距离将缩得无限小，这就非常接近于经典力学中，粒子在 势阱中各处概率相同的情况了。
( x, t ) ( x) (t ) 0 ( x)e
i 2 Et h
(5)
其中， ( x) 0 ( x)e
i
2 px h
.带入到(4)式里，有
d 2 ( x ) 8 2 m 2 E ( x ) 0 dx 2 h
(6)
将其推广到三维中，可得
| |
0
L
2
dV 1
可得
A 2 L
该Leabharlann Baidu数的波函数即为
( x) 2 sin(
n ) x, 0 x a L
2 n sin 2 x L L
(14)
由此可得，能量在 E 的粒子在势阱中的概率密度为
| ( x ) |2
(15)
为方便模拟，取 L 1 ，用 Matlab 画出波函数及概率密度的图像。 首先令 n 1, 2,3, 4 ,那么在一维势阱中的波函数与概率密度图像如下
可以看出与一维时同样的规律。 粒子在势阱中各处概率密度不是均匀分布的， 而是随量 子数改变。例如量子数为现在为 n m 1 时，在势阱中部 x a / 2, y b / 2 附近出现的概率最 大，而在边缘处粒子的概率趋于零。这与一维的情况一致,随着的取值改变，在二维势阱中 的波峰同样与 n, m 的取值有关，其规律为 n 的取值决定横坐标中的波峰， m 的取值决定纵坐 标中的波峰。例如当 n 2, m 5 时，波峰的个数为 2 5 个，且平分整个二维坐标系。 可以想象，当 n, m 的值取得很大时候，波峰之间的间隙也将减小。具体如下，令
| |
该式叫做归一化条件。
2
dV 1
(2)
二、薛定谔方程
设有一质量为 m 、动量为 p 、能量为 E 的自由粒子，沿 x 轴移动，则其波函数为(1)式。 将该式对 x 取二阶偏导数，对 t 取一阶偏导数，分别得
2 4 2 p 2 i 2 ， E 2 2 (3) x h t h 考虑到自由粒子的动能 E 只等于其动能 Ek ， 且当自由粒子的速度较光速小得很多时候，
(20)
可解得 A
2 ab
，带入(19)式得
( x, y )
2 ab
sin
n m x sin y a b
(21)
为方便模拟，取 a b 1 , 用 Matlab 画出波函数及概率密度的图像。在模拟中， 首先作出几个关于 m, n 简单取值的波函数图像如下
图 9.不同 m, n 取值下波函数图像 其对应的概率密度图像如下
n m 10, 20, 50,100
图 11. n m 10 的概率密度图像
图 12. n m 20 的概率密度图像
图 13. n m 50 的概率密度图像
图 14. n m 100 的概率密度图像 可以看出当 n m 50 时，缩小来看已经看不出孤立的波峰。而 n m 100 时，已经完 全看不出孤立的波峰。 故当 n, m 的取值很大时候，二维势阱中的粒子出现的概率又回归于经典理论中的“处处 相等”的理论了。
从图像可以看出其物理意义。 粒子在势阱中各处概率密度不是均匀分布的， 而是随量子 数改变。例如量子数为现在为 n 1 时，在势阱中部 x L / 2 附近出现的概率最大，而在两弹 出现的概率为零.这一点与经典力学很不相同。按照经典的力学，粒子在势阱内各处的运动 是不受限制的，粒子在势阱内各处出现的概率应该是相等的。此外，从该图还可以看到， 随 着量子数 n 的增大， 概率密度分布曲线的峰值个数也增多。 例如，n 2 时有两个峰值，n 3 有三个峰值……且两相邻峰值之间的距离随着 n 的增大而变小。 现在为验证此规律的一般性，将的 n 值放大，分别取 n 10,50,100,500 ，可得到下列概 率密度的图像： n 10 时：
图 8.二维势阱中的粒子 令k 为
k 8 2 mE h2
(17)
则加上边界条件的(16)式可以化为
d 2 d 2 2 2 2 k 0 dx dy |x 0 0, |x a 0 | 0, | 0 y b y 0
(18)
该二维本征值问题可以解得其解为
( x, y ) A sin
其中本征值 n, m 1, 2,3, 由其满足归一化条件(2)式，有
n m x sin y a b
(19)
( x, y )dxdy
0
a
b
0
A sin
n m x sin ydxdy 1 a b
一、波函数与概率密度的介绍
用 ( x, t ) 表示波函数，则有
( x, t ) 0 e
i 2 ( Et px ) h
(1)
其中 E 为微观粒子的能量， p 为微观粒子的动量， h 为普朗克常数。 根据德布罗意波的统计意义，对电子等微观粒子来说，粒子分布多的地方，粒子的德布 罗意波的强度大，而粒子在空间分布数目的多少，是和在该处出现的概率成正比的。因此， 某一时刻出现在某点附近体积元 dV 中的粒子的概率，与 2 dV 成正比。而波函数 为一个 复数，波的强度应为正实数，所以 2 dV 应该写成 | |2 dV * dV ，式中 * 为 的的共轭 复数复数，公式 | |2 * 也为概率密度的定义。 由于在某个时刻在整个空间内发现粒子的概率应为 1，即
(9)
这是一个本征值问题，可求其通解为
( x) A sin kx B cos kx
带入边界条件得
(10)
( x) A sin kx
其特征值 k 的取值为
k n L
(11)
(12)
其中 n 1, 2,3, ，结合(8)式，可得势阱中粒子可能的能量值 E 为
E n2
h2 8mL2
参考文献
[1]马文蔚,解希顺,周雨青,物理学,高等教育出版社. [2]李明奇,田太心,数学物理方程,电子科技大学出版社. [3]彭芳麟,数学物理方程的 MATLAB 解法与可视化,清华大学出版社.
附录（MATLAB 程序）：
1.能量分布仿真（Energy.m） ： h=6.626069*10^(-34); m=9.109382*10^(-31); a=1; n=(1:5) E=(n.^2)*h^2/(8*m*(a^2)).*10^36 x=0:0.01:1; y1=E(1)+0.*x; y2=E(2)+0.*x; y3=E(3)+0.*x; y4=E(4)+0.*x; y5=E(5)+0.*x; plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4,x,y5,'linewidth',2); ylabel('能量/*10^(-36)J'); legend('n=1','n=2','n=3','n=4','n=5',-1); 2.一维势阱仿真（yiwei.m） ： L=1; h=6.626069*10^(-34); m=9.109382*10^(-31); x=linspace(0,L,10000); u1=(2/L)^0.5*sin(pi/L*x); U1=(2/L)^0.5*sin(pi/L*x).^2; u2=(2/L)^0.5*sin(pi/L*2*x); U2=(2/L)^0.5*sin(pi/L*2*x).^2; u3=(2/L)^0.5*sin(pi/L*3*x); U3=(2/L)^0.5*sin(pi/L*3*x).^2; u4=(2/L)^0.5*sin(pi/L*4*x); U4=(2/L)^0.5*sin(pi/L*4*x).^2; figure subplot(2,2,1),plot(x,u1,'b',x,U1,'r','LineWidth',2),grid on; xlabel('x');legend('波函数 u','概率密度 U',-1); subplot(2,2,2),plot(x,u2,'b',x,U2,'r','LineWidth',2),grid on; xlabel('x');legend('波函数 u','概率密度 U',-1); subplot(2,2,3),plot(x,u3,'b',x,U3,'r','LineWidth',2),grid on; xlabel('x');legend('波函数 u','概率密度 U',-1); subplot(2,2,4),plot(x,u4,'b',x,U4,'r','LineWidth',2),grid on; xlabel('x');legend('波函数 u','概率密度 U',-1); U10=(2/L)^0.5*sin(pi/L*10*x).^2; U50=(2/L)^0.5*sin(pi/L*50*x).^2; U100=(2/L)^0.5*sin(pi/L*100*x).^2; U500=(2/L)^0.5*sin(pi/L*500*x).^2; figure plot(x,U10,'LineWidth',2);grid on;xlabel('x'),ylabel('U');legend('概率密度 U',-1); figure
在非相对论范围内，自由粒子的动量与动能的关系为 p 2 2mEk ，于是由(3)可得
2 h i 2 t 8 m x 2 h2
2
(4)
这就是一个做一维运动的自由粒子的含时薛定谔方程。 而有些情况下， 微观粒子的能量 仅仅是坐标的函数，与时间无关。于是，可以将(4)式用分离变量法分为坐标函数与时间函 数的乘积，即
(13)
该 式 表 明 粒 子 的 能 量 只 能 取 离 散 的 值 ， 其 中 n 为 量 子 数 。 当 n 1 时 ，
E1 h2 n 2,3, 4,5, 时，势阱中能量为 E 4 E1 ,9 E ,16 E , 25 E , ，如下图 8mL2
图 2.一维势阱中粒子的能级分布 对(11)与(12)式确定的波函数按照归一化条件，有
五、结论
这次课程设计，我们从薛定谔方程入手，推导出了粒子在简单的一维、二维势阱中满足 的概率密度的函数，为标准的一维、二维边值函数问题。通过用 Matlab 仿真，做出了波函 数与概率密度的波形图象。 很直观地得出了能量是的量子化与在势阱中粒子的分布概率为非 均匀的结论。同时，通过增大量子数，能够看出当能量达到一定范围时，粒子在势阱中的分 布几乎为均匀的了。 对该问题的讨论，加深我们对能量量子化与薛定谔方程意义的理解。同时，在实验后， 让我们更灵活的能用软件解决复杂的物理问题，使之更为形象。可以说，这次实验的收获很 大。以后有机会，我们仍将合作做出更好的成果。
四、二维势阱
利用(6)式，可推得二维薛定谔方程为
2 ( x, y ) 2 ( x, y ) 8 2 m 2 E ( x, y ) 0 x 2 x 2 h
(16)
其满足边界条件 (三) 当粒子在 0 x a 且 0 y b 的范围内时， EP 0 . (四) 当 x 0 及 x L 或 y 0 及 y b 时， E p .
2 ( x, y , z ) 2 ( x, y , z ) 2 ( x, y , z ) 8 2 m 2 E ( x, y , z ) 0 x 2 x 2 x 2 h
(7)
三、一维势阱问题
现就公式(6)给出的薛定谔方程，应用到一个简单的一维势阱模型中。设想一个例子处 在势能为 EP 的力场中，沿 x 轴作一维运动，其势能 EP 满足下列边界条件： (一) 当粒子在 0 x L 的范围内时， EP 0 . (二) 当 x 0 及 x L 时， E p .
图 1.一维势阱中的粒子 用(6)式给出的薛定谔方程
d 2 ( x ) 8 2 m 2 E ( x ) 0 dx 2 h
如令 k 为
k 8 2 mE h2
(8)
则上式加上条件(一)、(二)可写成
d 2 2 2 k 0 dx | 0, | 0 xL x 0
一维势阱与二维势阱的 Matlab 模拟仿真
英才一班 高崇铭 2012001010016 陈方芳 2012001010020 【摘要】 本文首先从粒子的波函数中推导出薛定谔方程， 然后将之应用在一个简单的一 维势阱模型中，推导出在一维势阱中的波函数与概率函数，再用 Matlab 软件仿真出其图形， 从实验中验证粒子能量的量子化， 从图像中看概率密度的分布。 之后又从一维拓展到了二维 势阱，用 Matlab 做出了二维势阱的波函数与概率函数。 【关键词】薛定谔方程，一维势阱，二维势阱，量子化，概率密度