第一章数理逻辑

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1.3
命题公式与翻译
命题公式：
（1）命题变元本身是一个公式；
（2）如G是公式，则(┐G)也是公式；
（3）如G，H是公式，则(G∧H)、(G∨H)、(G→H)、 (GH)也是公式；
（4）仅由有限步使用规则1-3后产生的结果。该公 式常用符号G、H、…等表示。
谓词逻辑
谓词的基本概念 谓词公式 公式的标准型 谓词逻辑推理理 论
命题联结词
命题公式 命题的范式
命题逻辑推理理 论
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第一章
命题逻辑
命题逻辑也称命题演算，或语句逻辑。
研究内容：
命题的基本概念 命题联结词 命题公式 命题的范式 命题逻辑推理理论
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七、约
定
为了不使句子产生混淆，作如下约定，命题联结 词之优先级如下： （1）否定→合取→析取→条件→等价 （2 ） 同级的联结词，按其出现的先后次序( 从 左到右) （3 ）若运算要求与优先次序不一致时，可使用 括号；同级符号相邻时，也可使用括号。 括号中的运算为最优先级。
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1.定义 设G、H是公式，如果在任意分量指派下，G与H的 真值相同，则称公式G、H是等价的，记作GH。
例：
证明:PQ (PQ)
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2.基本等价公式
双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC), A(BC)(AB)(AC) 德摩根律 (AB)AB (AB)AB 吸收律 A(AB)A, A(AB)A
则命题（3）可表示为Ｐ∨Ｑ。
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例 解(续)
（4）设Ｐ：周末天气晴朗；
Ｑ：学院将组织我们春游。
则命题（4）可表示为Ｐ→Ｑ。
（5）设Ｐ：两个三角形全等；
Ｑ：三角形的三条边全部相等。 则命题（5）可表示为ＰＱ。 (6) P:张辉与王丽是同学
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0 0 0 1 1 0 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
1 1 1 0
永真公式
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永假公式
可满足公式
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二、公式的分类
（1）永真公式(重言式) （2）永假公式(矛盾式） （3）可满足式
2来自百度文库15-6-17
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1.4 真值表与等价公式
三、等价公式：
1.2 命题联结词
一、否定联结词“¬” 是一元联结词。读做“非”
P ¬P 1 0
例如： P： 上海是一个城市。 P：上海不是一个城市。
0 1
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1.2 命题联结词
二、合取联结词“∧” 二元联结词。读做“与”、“且”
例如： P （1） P：今天下雨，Q：明天下雨， 0 PQ：今天下雨并且明天下雨。 0 （2）小明与小华是兄弟。 1 （3）他打开箱子并拿出一件衣服。
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例
写出下列公式的真值表 （1）G1=(Ｐ→Ｑ)(Ｐ∨Ｑ)； （2）G2=(ＰQ)((Ｐ→Q)∨(Q→Ｐ))；
（3）G3=(P→Q)∨Q。
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例
三个公式的真值表如下：
P Q ( Ｐ →Ｑ ) ( Ｐ ∨ Ｑ ) (Ｐ Q) (Ｐ→Q)∨(Q→Ｐ) (P→Q)∨ Q
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例
符号串：P∧(Q∨R)→(Q∧(┐S∨R))；
┐P∧Q；
P→(┐(P∧Q))；
((P→Q)∧(R→Q))(P→R)。 等都是命题公式。 例 符号串： (P→Q)∧┐Q)；(┐P∨Q∨(R；
P∨Q∨。
等都不是合法的命题公式。
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T T T 非命题 T/F F T/F
T/F
悖论
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例. （续）
（10）把门关上！ （11）你要出去吗？ （12）今天天气真好啊！ 真值：命题的取值。
真值只有“真（T，1）”和“假（F，0）”
非命题 非命题 非命题
注意：
一切没有判断内容的句子都不能作为命题，如命令 句、感叹句、疑问句、祈使句、二义性的陈述句等。
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离散数学
中北大学
2015年6月17日星期三
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第一篇 数理逻辑
数理逻辑
——是研究演绎推理的一门学科，用数学的 方法来研究推理的规律统称为数理逻辑。
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第一篇 数理逻辑
主要研 究内容
命题逻辑
命题的基本概念
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1.1 命题及其表示
一、命题
命题：能判断真假的陈述句。
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例.
（1）雪是黑色的； （2）中国位于亚洲； （3）北京是中国的首都； （4）ｘ+y>０； （5）我喜欢踢足球； （6）3能被2整除； （7）明年的十月一日是晴天； （8）地球外的星球上也有人； （9）我正在说谎；
练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。
2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。
3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。
5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累 （R）。
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1.2 命题联结词
四、蕴含联结词“”（条件联结词） 相当于自然语言中的“若„则„”、 “如果„就„”、“只有„才„”， P P Q 真值表如右图。
0 0 1 0 1
Q
1 1 0 1
注意和自然语言的区别： （1）善意的推定； （2）前件和后件可以 没有任何联系
0 1 1
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六、说明
（1）联结词是句子与句子之间的联结
（2）联结词是两个句子真值之间的联结，而非句 子的具体含义的联结，两个句子之间可以无任 何地内在联系；
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六、说明
（3）联结词与自然语言之间的对应并非一一对应；
联结词
自然语言
∧ → ↔

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1.4. 真值表与等价公式
一、定义：
设P1、P2、…、Pn是出现在公式G中的所有命题变元， 指定P1、P2、…、Pn一组真值，则这组真值称为G的 一个解释或指派,常记为Ｉ。
一般来说，若有ｎ个命题变元，则应有2n个不 同的指派。 将公式G在其所有可能指派下的真值情况列成表，称 为G的真值表。
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2.基本等价公式（续）
零律 同一律 排中律 矛盾律 蕴涵等值式 等价等值式 假言易位 等价否定等值式 归谬论
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A11, A00 A0A. A1A AA1 AA0 ABAB AB(AB)(BA) ABBA ABAB (AB)(AB) A
读法 P的否定
记法
┐P
真值结果
┐P=1P=0
P与Q的合取 P∧Q P∧Q=1P=1且Q=1 P与Q的析取 PQ
P∨Q=1P=1或Q=1

4.条件 →
P条件Q
P→Q P→Q=0P=1,Q=0
或P=0,Q=0
5.等价 ↔ P当且仅当Q P等价于Q P↔Q PQ=1P=1,Q=1
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、
条件、实际情况时间才能确定其真值。
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命
题的命题。
例如：雪是黑色的
例
将下面程序语言进行化简。
Start T F
If A {if B else { if B
B T
X；else Y；} X； else Y； }
A
F F
B T
X
Y
End
解：执行X的条件为： (Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ) 执行Y的条件为： (Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)
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特别提示：必须牢记这16组等值式
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3.证明两个公式等价的方法
真值表 等价公式推导
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例：证明：
（1）Ｐ→(Ｑ→Ｒ) (Ｐ∧Ｑ)→Ｒ
（2） (P∧(Ｑ∧R))∨((Ｑ∧R)∨(P∧R)) R
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例 (续）
执行X的条件可化简为： (Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)
Start T A X Y
Ｂ∧(Ａ∨ Ａ) Ｂ
执行Y的条件可化简为： (Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ) Ｂ∧(Ａ∨Ａ) Ｂ
F
End
程序可简化为：If B X； else Y；
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例．A、B、C、D四人比赛，观众甲、乙、丙预报 比赛名次为： 甲：C第一，B第二 乙：C第二，D第三 丙：A第二，D第四 比赛结束发现甲乙丙每人各说对一半，试问实际名 次（无并列者）。
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例
设命题 P：明天上午七点下雨； Q：明天上午七点下雪；
R：我将去学校。 符号化下述语句： 1) 如果明天上午七点不是雨夹雪，则我将去学校
2) 如果明天上午七点不下雨并且不下雪，则我将去 可符号化为:(P∨Q)→┐R。 学校 可符号化为：┐(P∧Q)→R。
3) 如果明天上午七点下雨或下雪，则我将不去学校 可符号化为:(┐P∧┐Q)→R。
2.复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合
而成的命题。
例如：如果今天晚上有星星，那么明天就是晴天。
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三、命题标识符
大写英文字母P，Q，R等表示简单命题 例： P：今天下雨
命题常元：表示确定命题
命题变元：只表示任意命题的位置标志
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例 （解）
（1）设Ｐ：四川是人口最多的省份。
则命题（1）可表示为┐Ｐ。 （2）设Ｐ：王超是一个思想品德好的学生； Ｑ：王超是一个学习成绩好的学生； R：王超是一个体育成绩好的学生。 则命题（2）可表示为Ｐ∧Ｑ∧R。
（3）设Ｐ：教室的灯不亮可能是灯管坏了
Ｑ：教室的灯不亮可能是停电了
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解:设Pi、Qi、Ri、Si分别代表A、B、C、D第i名, i=1,2,3,4,根据题意，要找使下列3式成立的真 命题： （R1Q2）（R1Q2）1① （R2S3）（R2S3）1② （P2S4）（P2S4）1③
1 Q 0 P ∧Q 0
1
0 1
0
0 1
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1.2 命题联结词
三、析取联结词“∨” 读“或” 例：
灯泡有故障或开关有故障。
P 0 0
Q 0 1
P∨Q 0 1
1
1
0
1
1
1
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1.2 命题联结词
注意： 运算∨：表示“可兼或”，不能表示“排斥
或”
例：选小王或小李中一人去开会。 注：“排斥或”用∨表示；
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五、等价词“ ” 读“当且仅当”
1.2 命题联结词
P 0 Q 0 PQ 1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
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1.2 命题联结词
设命题P,Q表示任意两个命题,则最常见的命题联结词有： 联接词 记号 复合命题 1.否定 ┐ 2.合取 ∧ 3.析取
非P P并且Q P或者Q 若P,则Q
既…又…、不仅…而且…、虽然…但 是…、并且、和、与，等等； 如P则Q、只要P就Q、P仅当Q、只有Q才P、 除非Q否则P，等等 等价、当且仅当、充分必要、等等；
相容（可兼）的或
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例
符号化下列命题 （1）四川不是人口最多的省份；
（2）王超是一个德智体全面发展的好学生； （3）教室的灯不亮可能是灯管坏了或者是停电了； （4）如果周末天气晴朗，那么学院将组织我们到春 游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部 相等。 (6) 张辉与王丽是同学。