第3章 电路的暂态响应

dt 0
0
当i ( )有界时
当电容电流有界时，电容电压不能突变的性质，常用 下式表示
uC (t ) uC (t )
对于换路初始时刻t=0来说，上式表示为
u C ( 0 ) u C (0 )
总结
元件 特征
电阻元件
电感元件
电容元件
参数定义
u R i
N L i
电压电流关系
(b) t=0+的电路
(a) t=0-的电路
(b) t=0+的电路
解：在图(a)所示电路中，电容相当于开路。此时得到电容
电压
uC (0 ) u R2 (0 ) R2 10V R1 R2 1 10V 5V 2
此时电阻R1和R2的电流i1(0-)=i2(0-)=10/2A=5A。
所讨论的电路均由直流电源驱动，并且在开 关转换前电路已经处于直流稳定状态，此时各电 压电流均为恒定数值。 由于电感中电流恒定时，电感电压等于零， 电感相当于短路；由于电容上电压恒定时，电容 电流等于零，电容相当于开路。我们用短路代替 电感以及用开路代替电容后，得到一个直流电阻 电路，由此电路可以求出t=0-的各电压电流。
刻以前流过电容的任何电流对时刻 T 的电压都有一定的贡
献。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的电流 或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。
(2)电容电压的连续性 电容电流的波形是不连续的矩形波，而电容电压的波 形是连续的。从这个平滑的电容电压波形可以看出电容电
压是连续的一般性质。即电容电流在闭区间[t1,t2]有界时，
uC (0 ) uC (0 ) iL (0 ) iL (0 )
2. 根据电路的基本定律和换路后的等效
电路，确定其它电量的初始值。
例1
K U
uR
t=0
解:
根据换路定则
iL
uL
iL (0 ) iL (0 ) 0 A
换路时电压方程 :
已知: R=1kΩ, L=1H , U=20 V、
电感相当于恒流源，
其值等于 I 0 ； iL (0 ) 0 ，电感相当于断路。
几点说明：
1、由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。 2、仅由动态元件初始条件引起的响应称为零输入响应。
电容电压在开区间(t1,t2)内是连续的。这可以从电容电压、 电流的积分关系式中得到证明。
将 t=T 和 t=T+dt 代 入 前 表 达 式 中 ， 其 中 t1<T<t2 和
t1<T+dt<t2得到
1 T dt u u C (T dt ) u C (T ) iC ( )d C T
电容元件：产生电场，存储电场能（电容性） 在直流电路中（稳态），电感元件可视为短路， 电容元件（稳态）可视为开路。
在交流电路中，电感元件和电容元件中的电流均 不为零。
3.1.1 电阻元件
对电阻元件，其电压电流满足欧姆定律：
u i R
把上面两式相乘并积分，得：
或 u iR
由此可知，电能全部消耗在电阻上，转换为热能。 金属导体的电阻值与其材料导电性及尺寸的关系为：
换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能 突变的原因：
* 自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或
衰减需要一定的时间。所以
1 2 电容C存储的电场能量 （Wc Cuc ） 2
WC
不能突变
1 2 LiL ） 电感L储存的磁场能量 （WL 2 WL 不能突变 i 不能突变
L
uC 不能突变
*
闭区间[t1,t2]有界时，电感电流在开区间(t1,t2)内是连续的。
i iL (t＋) iL (t－) 1 t＋ u L ( )d 0 L t－ 当u L ( ) 有界时
也就是说，当电感电压有界时，电感电流不能跃变， 只能连续变化，即存在以下关系
iL (t ) iL (t )
(a) t=0-的电路
(b) t=0+的电路
开关断开后的电路如图 (b) 所示。此时由于 t=0 时刻电 容电流有界，电容电压不能跃变，由此得到
uC (0 ) uC (0 ) 5V
此时电容电流与电阻R2的电流相同，由此求得
5 iC (0 ) i2 (0 ) A 5 A 1
开关闭合前 iL 0 A
设 t 0 时开关闭合
U i(0 ) R uL (0 )
有uL (0 ) 20 0 20V
求 : iL (0 ),
u L (0 )
开关电路的初始条件
求解微分方程时，需要知道初始条件。利用 电感电流和电容电压的连续性，可以求出动态电 路在电路结构和元件参数变化(常称为换路)后，电 路变量（电压、电流）的初始值。 讨论含有开关的动态电路，假设开关都是在 t=0时刻转换，我们的任务是计算开关转换前一瞬 间t=0-和开关转换后一瞬间t=0+的电压电流值。
i产生的，则：
NΦ Li
L为线圈的电感，也称为自感。
此时的感应电动势也称为自感电动势：
di eL L dt
线圈的电感与线圈的尺寸、匝数及介质的磁导率μ有关：
L
SN
l
2
电感的单位为亨[利](H).
电感元件的电压电流关系
电感中出现的自感电动势表现在电感两端有电压降产生。 设一电感元件电路电压、电流及电动势的参考方向如图所示。 根据基尔霍夫电压定律： i
u eL
从而：
di u eL L dt
＋
_
u
_
eL
＋
L
把上式两边积分可得：
1 t 1 0 1 t 1 t i udt udt udt i0 udt L L L 0 L 0 式中 i0为t=0时电流的初始值。如果 i0 ＝0则：




1 t i udt L 0
值得注意的是电阻电压、电流可以跃变。例如电阻R1 上的电压由u1(0-)=1V变化到u1(0+)=0V。电阻R1的电流由 i1(0-)=1A变化到i1(0+)=u1(0+)/R1=0A。
补充例2 如图电路中的开关闭合已经很久，t=0时断开开关， 试求开关转换前和转换后瞬间的电容电压和电容电流。
(a) t=0-的电路
iL(T)，要由从-到时刻T 之间的全部电压来确定。
u ( )d
0 L
t
，任意时刻T电感电流的数值
也就是说，此时刻以前在电感上的任何电压对时刻 T
的电感电流都有一份贡献。这与电阻元件的电压或电流仅
取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电感是一种
记忆元件。
(2)电感电流的连续性
从电感电压、电流的积分关系式可以看出,电感电压在
对于初始时刻t=0来说，上式表示为
i L (0 ) i L (0 )
利用电感电流的连续性，可以确定电路中开关发生作
用后一瞬间的电感电流值。
3.1.3 电容元件
电容元件的电容C定义为电容上的电量与电压的比值：
q C u
平行板电容器的电容为：
电容的大小与电容元件的尺寸及介质的介电常数有关。
从电路关系分析 K R uC i 若 c 发生突变，
+ _E
C
K 闭合后，列回路电压方程：
duc 则 dt
u
du C E iR uC RC uC dt du (i C ) 所以电容电压 dt
不能跃变
i
初始值的确定
初始值：电路中 u、i 在 t=0+时的大小。
求解要点： 1.
在开关转换后的一瞬间 t=0+，根据电感电流和 电容电压不能跃变的连续性质，我们可以得到此时 刻的电感电流 iL(0+)= iL(0-) 和电容电压 uC(0+)=uC(0-)
用数值为iL(0+)的电流源代替电感以及用数值为
uC(0+)的电压源代替电容后，得到一个直流电阻电 路，由此电路可以求出t=0+时刻各电压电流值，根 据这些数值可以得到求解微分方程所需的初始条件。 下面举例加以说明。

电感元件的磁场能量
di 把式 u eL L 两边乘以 i 并积分得： dt
1 2 ui d t Li d i Li 0 0 2
t i
因此电感元件中存储的磁场能量为：
1 2 Li 2
总结电感具有两个基本的性质：
(1)电感电流的记忆性。
1 iL (t ) iL (0) L
(1)电容电压的记忆性。
1 uC (t ) C 1 C
t 0

iC ( )d
1 iC ( )d C

1 iC ( )d uC (0) 0 C
t
i ( )d
0 C
t
从上式可见，任意时刻 T 电容电压的数值 uC(t) ，要由
从-到时刻T之间的全部电流iC(t)来确定。也就是说，此时

t
0
uidt

t
0
Ri dt
2
l R S
其中：ρ、、 l S分别为导体的电阻率、长度、横截面积。
3.1.2 电感元件
对于一个电感线圈，习惯上规定感应电动势的参考 方向与磁通的参考方向之间符合右手螺旋定则。 线圈的感应电动势为：
dΦ d e N dt dt
如果磁通是由通过线圈的电流
C
S
d
单位为法[拉](F).
式中ε为介质的介电常数，S为极板面积，d为极板间距离。
电容元件的电压与电流的关系
对于图中的电路有：
i