(完整版)大学数学试卷A及答案

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大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

大学数学A （1）课后复习题第一章一、选择题1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（） A .2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B .0)(,1)(x x g x f ==C .1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f ==2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（）. A .)1ln()(2++=x x x f B .||)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1sin )1()(2--=x xx x f3.极限⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（） A ．0 B ．1 C ．21D ．∞ 4.极限xxx x sin lim+∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（）A ．0B ．1C ．2D ．∞5.当0→x 时，下列各项中与 23x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（）A ．)1(3-xe x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=xx f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要8.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤≤≤-=01,110,21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（）A ．在0=x ,1=x 处间断B ．在0=x ,1=x 处连续C ．在0=x 处间断，在1=x 处连续D ．在1=x 处间断，在0=x 处连续 9.极限xx x 10)1(lim -→-的值为.. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（）A ．1B ．e -C ．e1D ．e 二、填空题10.函数ln y x =的定义域为（用区间表示） . 11. 函数xxy -+=11的定义域为（用区间表示） . 12. 已知x xx f +=1)(，则=))((x f f . 13. 函数x x y 2353+-=的反函数为 .14. =→xx x 1sin lim 20 .15. 当________=α时，αx 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小.16. 设21)1(lim e kx xx =+→，则=k .17. 设1sin lim0-=→xkxx ，则=k .18. =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→11232lim x x x x .9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x xx x f 在点0=x 处连续，则=a . 三、解答与证明题20. 求下列数列极限（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n （2）)12(lim +-+∞→n n n n （3）⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n n n 22221lim （4）n n n nx 10...21lim +++∞→ 21. 求下列函数极限（1）15723lim 2323+++-∞→x x x x x （2）134lim 22++∞→x x x（3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x （4）11lim 31--→x x x （5）28lim 32--→x x x （6）)1311(lim 31x x x ---→ （7）)1(lim x x x -++∞→ （8）xx x x ln )1(lim1-→（9）xx x sin ln lim 0→ （10）x xx 3sin 2sin lim 0→（11）30sin tan lim xx x x -→ （12）x x x 10)51(lim -→ 22. 若432lim23=-+-→x ax x x ，求a 的值. 23. 若已知411lim21=-++→x b a x x ，求a,b 值. 24. 当 a 取何值时，函数)(x f 在 x =0 处连续：（1）⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=0),cos(0,11)(x x a x xx x f . 25. 证明（1）方程01423=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根.（2）方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、设函数)(x f 在点0x 可导，则=-+→hx f h x f h )()2(lim000( )．（A ） )(0x f '-； (B) )(0x f '； (C) )(20x f '； (D) )(20x f '-． 2、设函数)(x f 是可导函数，且13)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率是 ……………………………………………( )． (A) 3； (B) 1- ； (C) 13 ； (D) 3-．3、设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则)(a f '= ………( )． (A) )(a ϕ ； (B)0； (C)a ； (D))(a a ϕ．4、若0x 为函数)(x f 的极值点，则…………………………………………( )． (A)0)(0='x f ； (B)0)(0≠'x f ； (C)0)(0='x f 或不存在； (D))(0x f '不存在．5、设)0)(1ln(≠+=a ax y ，则y ''= ( )．(A)22)1(ax a +； (B)2)1(ax a +； (C)22)1(ax a +-； (D)2)1(ax a +-． 6、由方程5ln =-y xe y 确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy( )． (A)1-y y xe e ； (B)y y xe e -1； (C)yy e xe -1； (D)y y e xe 1-．7、)2sin sin (lim xx x x x +∞→＝ ……………………………………… ( )．(A)2； (B)1； (C)3； (D)极限不存在．8、设x x y =)0(>x 则='y ( )．(A)x x ； (B) x x x ln ； (C) 1-x x ； (D))1(ln +x x x ．9、曲线x y sin 1+=在点)1,0(处的切线方程是…………………………( )． (A)01=--y x (B)01=+-y x (C)01=++y x (D)01=-+y x 10．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是……………………( )(A) 2(),[0,3]f x x x =∈ (B) 21(),[1,1]f x x x=∈-(C) (),[1,1]f x x x =∈-(D) ()[0,3]f x x =∈ 二、填空题11、设x x y 2sin 2+=，则=dy ．12、已知x x y n ln )3(=-，(N n n ∈≥,3)，则)(n y ＝．13、已知过曲线24y x =-上点P 的切线平行于直线x y =，则切点P 的坐标为 . 14. 已知2)1(='f ，则=-+-→2)1()(lim31x x f x f x .15. 设x a y =(0>a 且1≠a ),则=)(n y .16. 曲线3)1(-=x y 的拐点是． 17.设函数)(x f 在0x 处可导，则xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000= ．18.设⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ，当a =_____时，)(x f 在x = 0处可导．19.若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，则a 的取值范围为．20. 设由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x (其中0>a )确定的函数为)(x y y =，则=dxdy. 三、解答与证明题21.设e x x e y +=，求y '． 22.求下列函数的二阶导数.(1) 设x e y x sin =，求y ''. (2) 设1arctan1xy x-=+，求y ''23. 求曲线21x y =在点（4，2）处的切线方程和法线方程． 24. 讨论下列函数在点0=x 处的连续性和可导性：（1） 0 0 )1ln()(⎩⎨⎧<≥+=x x x x x f ，（2） 0 tan 01sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x xx x f ． 25. 求由方程ln xy x y x e -=所确定的隐函数y 的导数dxdy． 26. 求极限：（1）]1)1ln(1[lim 0x x x -+→；（2）30sin tan lim xx x x -→；（3）)arctan 2(lim x x x -+∞→π；（4）x x x +→0lim ；（5）)1sin 1(lim 0x x x -→；（6）200sin lim xdt t xx ⎰→． 27. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求22dx yd ．28.求函数()(f x x =-. 29. 求函数32332y x x x =-++的凹凸区间、拐点． 30. 已知点)3,1(为曲线1423+++=bx ax x y 的拐点. (1) 求b a ,的值； (2)求函数1423+++=bx ax x y 的极值. 31. 设11xy x-=+，求()n y 32．设b a <<0，证明：a b ab ba a --<+ln ln 222. 33. 设0,()(0)0,x f x f ≥=连续，0'()x f x >当时,存在且'()f x 单调增加，证明：当0x >时函数()f x x 单调增加.34. 证明：当0>x 时，x x x x<+<+)1ln(1． 35. 证明:当0x >时,有1x x x e xe <-<成立.第三章一、选择题：1．下列凑微分正确的一个是（） A ．)2(sin cos x d xdx = ； B. )11(arctan 2xd xdx += C ．)1(ln x d xdx = D. )1(12x d dx x -=2．若⎰+=,)(c x dx x f 则⎰-dx x f )32(= （）A ．2-3x+c ； B. c x +-31； C. x+c ； D. c x +-2)32(213．在以下等式中，正确的一个是（） A ．⎰=')()(x f dx x f B. ⎰=')(])([x f dx x f C ．⎰=)(])([x f dx x f d D. ⎰='')(])([x f dx x f 4. 设x x f 3sin )(='，则⎰dx x f )(是（）A ．cos3x ； B. cos3x+c ； C.c x +-3cos 31； D.2193sin c x c x++- 5. 若,0(),0x x x f x e x ≥⎧=⎨<⎩，则21()d f x x -=⎰（）. A. 13e -- B. 13e -+ C. 3e - D. 3e + 6. 下列定积分是负数的是（）（A ）dx x ⎰20sin π(B)dx x ⎰20cos π(C)dx x ⎰ππ2sin (D)dx x ⎰ππ2cos7. 若4)12(1=+⎰dx x a，则a = ( )(A) 3 (B) 2 (C) 0 (D) 48.若⎰∞-=31dx e kx ，则k=( ) (A)31 (B)-31(C) 3 (D)-3 9.=+⎰)1(212x dt t t dx d （）（A ）x x+12(B) 212-+x x(C) 241x x + (D) 2512x x +10.若,21)(21)(0-=⎰x f dt t f x且1)0(=f ，则=)(x f （） (A)2x e (B)x e 21 (C)x e 2 (D)x e 221 二、填空题： 1．x d xdx 3(arcsin ________312=-）.2．⎰=+________________912dx x .3．若⎰+=,3cos )(c x dx x f 则f （x ）= .4. ⎰='____________________)()(22dx x f x xf . 5. F(x ) =dt t x ⎰+223,则=')1(F _________.6. 极限020cos d limxx t t x→⎰= ；7. 23423sin 1x e xdx x x -++⎰= 8．设()f x 连续，(0)1f =，则曲线0()d xy f x x =⎰在()0,0处的切线方程是；三、解答题：1、2x dx 2、⎰-+322x x dx3、⎰+dx x x214、422331.1x x dx x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭⎰ 5、cos 2.cos sin xdx x x -⎰6、dx x x ⎰-42 7、⎰-+211xdx8、⎰xdx x arctan 29、1x ⎰10、10d e ex xx-+⎰11、10x ⎰12、22()e d xx x x --+⎰；13．40d 1cos2xx xπ+⎰；14.41x ⎰；15.1d ln x x x+∞⎰16.2203sin d limx x t t x→⎰；17.求曲线xxe y e y -==,及直线1=x 所围成的平面图形的面积.18. 求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积19. 由曲线2y x =和2x y =所围成的图形绕y 轴旋转后所得旋转体体积. 20. 计算曲线)3(31x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧的弧长大学数学A （1）复习题参考答案第一章一、选择题1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、A8、C9、D二、填空题10、]3,0( 11、)1,1[- 12、x x21+ 13、)23(2353≠-+=x x x y 14、0 15、1 16、2 17、-1 18、e 19、0三、解答与证明题20（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n )1113121211(lim +-++-+-=∞→n n n 1)111(lim =+-=∞→n n . （2）2111211lim12lim )12(lim=+++=+++=+-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . （3）因为 1212222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ，而 11lim lim 2222=+=+∞→∞→n n n n n n n ，所以121lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n nn . （4）因为n nn n n nn n n nn 101010...101010...211010=+++<+++<=，110lim 10lim 1==∞→∞→nn nn ，故1010...21lim =+++∞→n n n n n .21（1）15723lim2323+++-∞→x x x x x 33115723lim x xx x x +++-=∞→53=.（2）331341lim 134lim 2222=++=++∞→∞→xx x x x x . （3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x 503020122332lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→x x x x 503020)02()03()02(++-=3023⎪⎭⎫⎝⎛=. （4）11lim31--→x x x 1)1)(1(lim333231-++-=→x x x x x 3)1(lim 3321=++=→x x x .（5）12)42(lim 28lim2232=++=--→→x x x x x x . （6）112lim 131lim )1311(lim 2132131-=+++-=--++=---→→→xx x x x x x x x x x . （7）)1(lim x x x -++∞→011lim=++=+∞→xx x .（8）11)1(lim ln )1(lim11=--=-→→x x x x x x x x .（9）0sin lim ln sin lnlim 00==→→xxx x x x . （10）x xx 3sin 2sin lim0→3232lim 32lim 00===→→x x x x . （11）30sin tan limx x x x -→30)cos 1(tan lim x x x x -⋅=→3202lim x x x x ⋅=→21=. （12）xx x 1)51(lim -→ xt 51-== tt t 511lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+511lim -∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t 5-=e .22 解由题意知 0)2(lim 23=+-→a x x x ，即06232=+⨯-a ，从而3-=a .23 解因1→x 时, 012→-x , 而函数极限存在, 则)1(0→→++x b a x即 0lim 1=++→b a x x从而01=++b a （1）故原式=)1)(1)(1(1lim 11lim121a a x x x x x a a x x x ++++--=-+-+→→ aa a x x x +=++++=→141)1)(1(1lim1即41141=+a（2）由（1）（2）解得1,0-==b a .24 解（1）因为 a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 0，1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，而 ,)0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 1=a .所以当且仅当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续．（2）因为 21111lim 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x xx x f x x x ， a x a x f x x cos )cos(lim )(lim 00=+=--→→，而 ,cos )0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 21cos =a ，即32ππ±=k a )(Z k ∈. 所以当且仅当32ππ±=k a )(Z k ∈时，函数)(x f 在0=x 处连续．25 证（1）令14)(23+-=x x x f ，则)(x f 在[0,1]上连续，且,02)1(,01)0(<-=>=f f由零点定理知，),1,0(∈∃ξ使,0)(=ξf 即01423=+-ξξ，所以方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个根.（2）设x e x f x3)(-=，则)(x f 在]1,0[上连续，且03)1(,01)0(<-=>=e f f ，故由零点定理知方程在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、C2、D3、A4、C5、C6、B7、A8、D9、B 10、D 二、填空题11、dx x x )2cos 2(2+ 12、21x -13、)415,21(- 14、1215、n x a a )(ln 16、(1,0) 17、)(20x f ' 18、1． 19、),31(+∞ 20、t tcos 1sin -.三、解答与证明题21、解：1-+='e x ex e y ．22、解：(1)(sin cos )xy e x x '=+，(sin cos )(cos sin )2cos x x x y e x x e x x e x ''=++-=．(2) 2111111x y x x x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()()2222(1)1(1)(1)(1)1x x x x x x -+--+=⋅+++- 22212(1)(1)x x --==++()1211y x -'⎡⎤''=-+⎢⎥⎣⎦()()22222121x x x x -=+⋅=+23、解：2121-='x y ，所以4121)4(421=='=-x x y ，所以切线方程为)4(412-=-x y ，法线方程为)4(42--=-x y ． 24、解：（1）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．10lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=++→→+x x x f x f f x x ，10)1ln(lim 0)0()(lim )0(00'=--+=--=+-→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处可导．（2）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．01sin lim 001sinlim 0)0()(lim )0(0200'==--=--=+++→→→+xx x x x x f x f f x x x ， 10tan lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=--→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处不可导．25、解：两边同时对x 求导得，11ln ()xy y x y e y xy x ''--=+，所以，1ln xyxy yye x y x xe--'=+． 26、解：（1）原式＝)1ln()1ln(limx x x x x ++-→＝20)1ln(lim xx x x +-→＝xx x 2111lim 0+-→＝)1(21lim 0x x +→＝21．（2）30sin tan lim x x x x -→=30)1cos 1(sin lim xx x x -→=x x x x x cos )cos 1(sin lim 30⋅-→121lim 320⋅⋅=→x x x x =21．（3）)arctan 2(lim x x x -+∞→πx x x 1)arctan 2(lim -=+∞→π22111limxx x -+-=+∞→11lim 22=+=+∞→x x x .（4）xx x +→0lim =xx xx x x eeln lim ln 00lim +→+=→，0ln lim 0=+→x x x ，所以原极限10=e ．（5）)1sin 1(lim 0x x x -→ x x x x x sin sin lim 0-=→20sin lim xx x x -=→x x x 2cos 1lim 0-=→2sin lim 0x x →=0=．（6）2sin lim x dt t x x ⎰→=x x x 2sin lim 0→=21．27、解：22111221dy dy t dt t dx t dx dt t -+===+, 22221()12241d dy d y t dt dx dx t dx t dt t +===+.28、解：函数定义域为),(+∞-∞.'()f x =，令'()0f x =，得驻点1=x ，1x =-为不可导点.由上表可以看出，函数在),1(),1,(+∞--∞上单调上升,函数在(1,1)-上单调下降；函数在1-=x 处取得极大值0)1(=-f ，在1=x 处取得极小值343)1(-=f ， 29、解：函数定义域为),(+∞-∞.2363y x x '=-+,666(1)y x x ''=-=-，令0y ''=,得x =1.当1x >时，0y ''>；当1x <时，0y ''<，所以函数的拐点为（1，3），在（-∞，1）上是凸的；在（1，+∞）上是凹的． 30、解：(1)b ax x y ++='232,a x y 26+=''.由条件，有⎩⎨⎧+=+++=ab a 2601413，解得9,3-=-=b a .(2)149323+--=x x x y ，函数定义域为),(+∞-∞.)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，)1(666)(-=-=''x x x f .令0)(='x f ，得稳定点 11-=x ，32=x . 又012)1(<-=-''f ，012)3(>=''f故149323+--=x x x y 在点1-=x 处取极大值，极大值为19)1(=-f ，在点3=x 处取极小值，极小值为13)3(-=f .31. 解：122111x y x x--+==-+++()2121(1)y x '=-+，()()()312121y x ''=--+ ()()()41212(3)1y x '''=---+…… ()n y()()1121!1nn n x +=-+32. 证明：令x x f ln )(=，则)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.所以由Lagrange 中值定理知，),(b a ∈∃ξ，使)()()(ξf ab a f b f '=--，即ξ1ln ln =--a b a b .又由),(b a ∈ξ，故22211ba ab +>>ξ.. 即222ln ln ba aa b a b +>--. 33. 证明：1）令()(0)f x F x x x=>()2'()()(2)'()xf x f x F x x-=2(0)0'()[()(0)]f xf x f x f x =-- 2'()'()(0)xf x xf x xξξ-<<微分中值定理 '()'()f x f xξ-=当0x >时，'()f x 单调增加 ∴'()'(),'()'()0f f x f x f ξξ<->即故有()'()0.(0,)f x F x x>+∞即在单调增加 34. 证明：令)1ln()(u u f +=，则)(u f 在],0[x 上满足Lagrange 中值定理条件，故),0(x ∈∃ξ，使)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即)0(11)01ln()1ln(-+=+-+x x ξ，即ξ+=+1)1ln(x x . 又由),0(x ∈ξ，故x xx x <+<+ξ11，即x x xx <+<+)1ln(1. 35. 证明：令()[],0,t f t e t x =∈,()t f t e =在[]0,x 应用拉格朗日中值定理 ()00,0x e e e x x ξ-=-<ξ<x e 是单调增函数，0x e e e ξ∴<<，故有1xxx e xe <-<,0x > 证毕第三章一、选择题1-5 DCBDA 6-10 CBCDC 二、填空题 1．3 2． 11arctan 33x C + 3. -3sin3x 4． 221()+C 4f x5． -2 6． -1 7． 0 8．y x =三、解答题1. 572222=557x dx x dx dx x x C --=-+⎰⎰2.2111=23(3)(1)41311ln ||43dx dx dx dx x x x x x x x Cx ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭-=++⎰⎰⎰⎰3. 22221(1)1=ln |1|+C 1212x d x dx x x x +=+++⎰⎰ 4. 42232233113arctan .11x x dx x dx x x C x x ⎛⎫++⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰5.22cos 2cos sin (cos sin )sin cos .cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x-==+=-+--⎰⎰⎰ 6.dx x x ⎰-42=c xx +--)2arccos 24(tan 227.⎰-+211xdx =cxx x +-+-211arcsin8.⎰xdx x arctan 2=c x x x x +++-)1ln(6161arctan 312239．令t x tan =，则1x ⎰=3344111cos d ln sin 21cos t t t t ππππ-=+⎰=10. 10d e e x x x -+⎰=112200e 1d de e 1e 1x x x x x =++⎰⎰1arctan(e )arctan e 4xπ==-11.10x ⎰=102⎰2121216π===⎰12. 22()e d xx x x --+⎰=22220002e d 2de 2e2e d xxx x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰262e =-13.40d 1cos2x x x π+⎰=442001d d tan 2cos 2x x x x x ππ=⎰⎰ 444000111ln 2tan tan d lncos 228284x x x x x πππππ=-=+=-⎰14. 41x⎰412ln x =⎰4112x x ⎤=-⎥⎦⎰124ln 2x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 14218ln 22d x x -=-⎰8ln24=-15. ee 11d d(ln )ln(ln )ln ln e x x x x xx +∞+∞+∞===+∞⎰⎰ 16. 22220322000sin d 2sin 22(2)8=333lim lim lim x x x x t t x x x x x →→→==⎰17.如图所示，解方程组xxy e y e -⎧=⎨=⎩，得交点(0,1)，所求面积为11100()d []2x x x x A e e x e e e e---=-=+=+-⎰18.解：∵1D ：⎩⎨⎧+<<<<)cos 2(200θπθa r∴12220141122[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a ππθθπθθθπ==+=+++=⎰19. 思路：该平面图形绕y 轴旋转而成体积V 可看作1D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤yx y 010绕y 轴旋转而成的体积1V ，减去2D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤2010y x y 绕y 轴旋转而成的立体体积2V 所得，见图解： πππ103)()(102221021=-=-=⎰⎰dy y dy y V V V20.解：12y '==， ∴3432322(21)214)1(113123313122-=+=+=-+='+=⎰⎰⎰x x dx x x dx x x dx y s ba。

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福建农林大学考试试卷高等数学(A)卷参考答案一。

填空题（每小题3分，本题共15分） 1、6e 2、k =1 ． 3、xx+1 4、1=y 5、x x f 2cos 2)(= 二．单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、D 2、B 3、C 4、B 5、A 三．计算题（本题共56分，每小题7分） 1.解：x x x 2sin 24lim-+→81)24(2sin 2lim 21)24(2sin lim 00=++=++=→→x x x x x x x x 7分 2.解：21lim 11lim )1(1lim )111(lim 0000=++=+--=---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x x xe e e e xe e e e x x e e x 7分 3、解： 2c o s12limx dt e x tx ⎰-→exxe xx 212sin lim 2cos0-=-=-→ 7分 4、解： )111(1122xx x y ++++='……………………… …...4分211x+=……………………………………… …...7分5、解：t t t t dx dy 21121122=++= （4分） 222232112()241d y t d dydxt dtt dt dx dxt t-+===-+ （7分） 6、解：C xd x dx x x ++=++-=+⎰⎰)32cos(21)332()32sin(21)32sin(12 （7分）7、解：⎰⎰=xx e x x x e d c o s d c o s⎰+=sinxdx e cos x x e x …………………… …….2分 ⎰+=x de sin cos x x e x ..………………… ……….3分 dx cos sin cos x e x e x e x x x ⎰-+= ……… ……5分C x x e x ++=)cos (sin ……………… ……… …7分8、解：⎰⎰⎰⎰--+==-0111120d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f … …2分⎰⎰+++=-10011d 1d x x e x x ……… ………3分 1001)1ln(d )11(x x ee x x +++-=⎰-…… ……5分 2ln )1ln(101++-=-xe ……………… …6分)1ln()1ln(11e e +=++=-………… ……7分四．应用题（本题7分）解：曲线2x y =与2y x =的交点为（1，1）， 1分于是曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 为31]3132[)(10210232=-=-=⎰x x dx x x A 4分A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：()πππ10352)(1052142=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰y y dy y y V 7分五、证明题（本题7分）证明：设x x f x F -=)()(， ……………………….……… ……2分显然)(x F 在]1,21[上连续，在)1,21(内可导，且 021)21(>=F ，01)1(<-=F .由零点定理知存在]1,21[1∈x ，使0)(1=x F . …….… …………4分由0)0(=F ，在],0[1x 上应用罗尔定理知，至少存在一点)1,0(),0(1⊂∈x ξ，使01)()(=-'='ξξf F ，即1)(='ξf … …7分。

工程大学2023-2023学年第1学期《高等数学(上)》期末考试试卷(A卷)及标准答案

工程大学2023-2024学年第1学期《高等数学（上）》期末考试试卷（A卷）及标准答案试卷题目：高等数学（上）期末考试试卷（A卷）科目：高等数学（上）时间：2024年1月一、选择题（共30题，每题2分，共60分）1.在直角坐标系中，抛物线y = x^2 - 2x 的顶点坐标是（）A. (1, -1)B. (1, 2)C. (2, 1)D. (-1, 1)2.设函数f(x) = sin(2x + π/3)，则函数 f(x) 的一个周期是（）A. π/3B. π/2C. πD. 2π3.函数 y = 3ln(2x + 1) 的图像在 x 轴上的截距是（）A. -1/2B. 1/2C. 0D. -14.设函数 f(x) = x^3 + 4x^2 + 5x，则 f(x) 的极值点是（）A. (-1, -1)B. (0, 0)C. (0, 5)D. (-5, 0)5.已知曲线 C 的参数方程为 x = t^2 - 4, y = t - 1，则曲线 C 属于（）A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D. 直线…二、填空题（共10题，每题3分，共30分）1.函数 f(x) = sin(2x) 的最小正周期是 _______。

2.函数 y = x^3 + 4x^2 的导函数是 _______。

…三、解答题（共4题，每题20分，共80分）1.求方程组 x^2 + y^2 = 4, x - y = 1 的解。

2.计算不定积分∫(cos^2x + 2sinx)dx。

…四、大题（共2题，每题20分，共40分）1.设 y = ax^2 + bx + c，其中 a, b, c 均为常数，且a ≠ 0。

若曲线 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (1, -1)，且该曲线与直线 y = x + 1 相切于点 (2, 3)，求曲线方程。

2.设函数 f(x) = e^x / (1 + e^x)，求f’(x) 和f’’(x)。

2020年第十二届全国大学生数学竞赛--初赛《数学类A卷》试题(含参考答案)

(2) 求点 A1, B1,C1 三点的坐标； (3) 给定点A(1, 1, 0), B(1, 1, 0),C(1, 1, 0) ，求四面体 NA1B1C1 的体积. 【参考解答】：(1) 由直线的两点式方程，直接可得过 N, A 两点的直线方程为
(2) 直线 NA 的参数方程为
x y z 1
.
a1 a2 1
1 k
趋于
0，故
lim
n
yn
1
yn
0.
所以
bn an yn yn1 0, n
从而可知 an , bn 的极限相等，从而 yn 收敛. 最后，由的连续性可得 xn 收
敛.
六、（20
分）对于有界区间
a,
b
的划分
P : a x0 x1 xn1 b
其范数定义为||
P
||
max xk1
1
0
2021
1
代入极限式得I
.
2021
【思路二】由 Stolz 公式，得
lim 1 12020 22020 n2020
n n 2021
lim
n 2020
1
n n2021 (n 1)2021 2021
12020 22020 n 2020
1
故 ln
有界. 故I .
n 2021
x a1t, y a2t, z 1 t
将其代入球面方程，得
2
a1t
2
a2t
(1 t)2
1
2
解得参数值为t
a12
a22
或t 1
0.
从容可得 A1 的坐标为
A1
a12
2a1 a22

(完整版)大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()00x f x a x ≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（）.（A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xeC -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dx x x ++⎰②()0a > ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1．作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题1．2-2．33-３．２４．arctan ln x c+５．２三．计算题１①2e②162.11xyx y'=+-3. ①11ln||23xCx+++②22ln||x a x C-++③()1xe x C--++四．应用题１．略２．18S=《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()g x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2xy x e-=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121xx e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰②)0a > ③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π 三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc + ②()22ln x a x c +++ ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、填空题(每小题3分, 共24分)1. 函数29y x=-的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin xx e x →-; 2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120xedx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解.八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy e C x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、214、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （）.A 、2sinxB 、 2sin x -C 、 C x +2sinD 、2sin 2x -7、⎰=+dx xx ln 2（）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C x x++-2ln 18、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、⎰=+101dx e e xx（）. A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e + 10、微分方程 xe y y y 22=+'+'' 的一个特解为（）.A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ；4、C x x +++-+)11ln(212；5、)12(2e- ； 6、C x y =-+2212 ；四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（）.A 、()()+∞--,01,2YB 、 ()),0(0,1+∞-YC 、),0()0,1(+∞-ID 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a xx ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （）. A 、⎰14dx x π B 、⎰1ydy πC 、⎰-1)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π9、设 a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0 D 、241a π 10、方程（）是一阶线性微分方程.A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)(φx b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是，最小值是；4、=⎰-113cos xdx x；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxeC e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e- ； 6、x e x y 122-= ；四、1、 29； 2、图略。

大学数学期末考试试卷(A卷)和参考答案

大学数学期末考试试卷（A 卷）2020学年第 2 学期考试科目：大学数学Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（每小题2分，本题共12分）1．若事件B A 、相互独立，且()0.5P A =，()0.25P B =，则()P A B = ； 2则()()4,3P X P X ≤=≠=；3．设随机变量X 服从参数为λ的Poisson 分布，且已知[](1)(2)1E X X --=，则λ=；4．设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则=)(X E ；()D X = ；5．设1621,,,X X X 是来自总体),2(~2σN X 的一个样本，∑==161161i i X X ，则~84σ-X ；6．假设某种电池的工作时间服从正态分布，观察五个电池的工作时间（小时），并求得其样本均值和标准差分别为：43.4,8.08x s ==，若检验这批样本是否取自均值为50（小时）的总体，则零假设为，其检验统计量为。

二、单项选择题（每小题3分，本题共18分）1．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）．A ．12513； B ．12516； C ．12518； D ．12519．2．如果随机变量X 的密度函数为,01;()2,12;0,x x f x x x ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.，则()1.8P X ≤=（）．A ．0.875；B ． 1.80()f x dx ⎰； C ． 1.80x dx ⎰； D ．()1.82x dx -∞-⎰． 3．设物件的称重,05.0%95),01.0,(~过的置信区间的半长不超的为使μμN X 则至少应称多少次？（）． 0.0250.051.96, 1.64]u u ==[注: A ．16；B ．15；C ．4；D ．20．4．设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧∈=其他,0]1,0[,)(4x Cx x f ，则常数C=（）．A ．51；B ．5；C ．2；D ．12．5．在一个已通过F 检验的一元线性回归方程中，若给定α-=1,00的则y x x 的预测区间精确表示为（）．A．0022ˆˆ[(2),(2)]yt n y t n αα--+-； B．0022ˆˆ[(2),(2)]yt n y t n αασ--+-； C．0022ˆˆ[(2),(2)]yt n y t n αα--+-；D．0022ˆˆ[,]yy ααμμ-+．6．样本容量为n 时，样本方差2S 是总体方差2σ的无偏估计量，这是因为（）． A ．()22E Sσ=； B ．()22E Snσ=； C ．22S σ=； D ． 22S σ≈．三、解下列各题（6小题，共48分）1．设总体()~0,1X N ，12,,,n X X X 为简单随机样本，且32124(1)3i i ni i X nF X ===-∑∑．证明：~(3,3)F F n -．（6分）2．已知连续型随机变量X 的分布函数为 0,1;()arcsin ,11;1 1.x F x a b x x x ≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，① 试确定常数,a b ； ② 求1{1}2P X -<<； ③ 求X 的密度函数．（10分）3．若从10件正品、2件次品的一批产品中，无放回地抽取2次，每次取一个，试求第二次取出次品的概率．（6分）4．设X的密度函数为1(),(,)2xf x e x-=∈-∞+∞．①求X的数学期望EX和方差DX；②求X与X的协方差和相关系数，并讨论X与X是否相关．（8分）5．设二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，其中D 是由曲线2y x =和直线y x =所围成．试求(,)X Y 的联合分布密度及关于,X Y 的边缘分布密度)(x f X 与)(y f Y ，并判断,X Y 是否相互独立．（10分）6．设随机变量X 服从区间],[b a 上的均匀分布，试证明：c X Y +=（c 为常数）也服从均匀分布．（8分）四、应用题：以下是某农作物对三种土壤123,,A A A ，两种肥料12,B B ，每一个处理作四次重复试验后所得产量的方差分析表的部分数据，分别写出各零假设，并完成方差分析表，写出分析结果 (0.01)α=．（12分）已知参考临界值：()()()0.010.010.012,18 6.01,1,188.29,3,18 5.09,F F F ===()()()0.010.010.012,23 3.42,1,23 4.28,3,23 3.03F F F ===五. 综合实验报告（10分）试卷参考答案一、填空题（每小题2分，本题共12分） 1． 0.625； 2． 0.87,0.7； 3．1； 4．2,nσμ； 5．)1,0(N ； 6．50:0=μH ，X t =二、单项选择题（每小题3分，本题共18分）三、解下列各题（本大题共48分）1．证明由题设可知 ()12~0,1,1,2,,,,,,i n X N i n X X X =且相互独立...........1分所以 ()()3222214~3,~3nii i i X X n χχ==-∑∑ .......................................................3分从而()()321243~3,33i i nii X F n Xn ==∑--∑....................................................................5分所以 ()321241~3,33ii n ii X n F n X ==∑⎛⎫--⎪⎝⎭∑......................................................................6分2．解：① 因为X 是连续型随机变量，故()F x 在(),-∞+∞内处处连续由(10)(1)(10)(1)F F F F -+=-⎧⎨-=⎩，可得 0212a b a b ππ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩...................................................................4分解得 11,2a b π==......................................................................................................6分 ② 111112{1}()(1)arcsin 022223P X F F π-<<=--=+-=.................................8分③ X 的密度函数 ,1()()0,x f x F x <'==⎩其它 .........................................10分3．解：令=ˆi A “第i 次取出的是次品”，2,1=i 。

大学文科数学试题(附答案)精选全文完整版

大学文科数学试题（附答案）一、判断题（对画“√”，错画“×”, 共6题，每题3分,共18分）1.任意修改收敛数列{}n a 的前100项，数列{}n a 仍收敛，且极限不变. ( )2.若0lim[()()]0x x f x g x →−=，则必有00lim ()lim ()x x x x f x g x →→=. ( )3.函数()f x 在某个区间上的极大值一定大于极小值. ( )4.当0→x 时，无穷小量34x x −+是关于x 的4阶无穷小量. ( )5.概率的公理化定义虽然不能用来直接确定事件的概率，但它给了概率所必须满足的最基本规律，为建立严格的概率理论提供了坚实的基础． ( )6.微分方程xyx y dx dy tan +=的通解是Cx x y =sin . （）二、填空题（共6题，每题3分，共18分）1.已知(sin )cos 12x f x =+，则(cos )2xf =___________.2.直线L 与x 轴平行且与曲线y x e x=−相切，则切点坐标为_____________.3.已知()f x 的一个原函数是2x e −，则'()=xf x dx ⎰________________________.4.利用定积分的几何意义，计算0=⎰_________(0)a >，这个结果表示的是________________________的面积.5.函数1xy x =的极大值点是，极大值为 .6.三台机器在一天内正常工作的概率分别为：第一台0.9，第二台0.7，第三台0.6，且它们发生故障是相互独立的，则三台机器同时发生故障的概率________．三、计算题（要求有计算过程,共6题，每题4分,共24分）1.102030(1)(35)lim (611)n n n n →∞−+−;2.301lim sin 3x x x →+;3.152lim ()1xx x x −→+∞++; 4. 设()y y x =是方程cos()0x y e xy +−=所确定的隐函数，求0x dy =;5.; 6.dxxee⎰1|ln|．四、应用题（共3题，第1题7分，第2题8分,第3题10分，共25分）1.把长度为l的线段分成两段，分别围成正方形和圆形，问如何分该线段可以使得正方形和圆的面积之和最小（即求此时正方形的周长和圆的周长）？2.求曲线3(03)y x x=≤≤分别绕x轴和y轴旋转所得到的旋转体的体积.3.甲、乙、丙三个分厂生产同一批次规格相同的灯管，产量之比为1：2：1.已知甲、乙、丙三个分厂产品的合格率依次是0.93,0.92,0.98.现任取一灯管，求(1) 取到不合格灯管的概率；(2) 若取到不合格灯管,求它是由乙分厂生产的概率.五、问答题（共3题，每题5分，共15分）1.叙述函数)(xfy=在],[ba上的拉格朗日中值定理的作用与几何意义，并画出几何示意图．2.简述古典概型的特点，并举一个古典概型在教育系统的应用实例．3.微分方程研究的内容是什么？举几个微分方程在现实应用中的成功实例．大学文科数学试题答案一、判断题（对画“√”，错画“×”, 共6题，每题3分,共18分） 1.√ 2.× 3.× 4.× 5.√ 6.√ 二、填空题（共6题，每题3分，共18分）1．22sin 2x； 2. ()01,−； 3.22(21)x x e C −−++； 4. 24a π，半径为a 的四分之一的圆的面积； 5. 1,ee e ； 6. 0.012.三、计算题（要求有计算过程, 共6题，每题4分,共24分）1. 203036；2. 16； 3. 5e −； 4. dx −；5. ln 1|C −+；6. 22e−.四、应用题（共3题，第1题7分，第2题8分,第3题10分，共25分） 1. 正方形的周长为44lπ+，圆的周长为4l ππ+. 2.（1）3326021877x V y dx x dx πππ===⎰⎰；（2）22727237295y V x dy y dy πππ===⎰⎰. 3.（1）令B 为任取一件为不合格灯管，i A 分别为任取一件为甲、乙、丙分厂生产的灯管1,2,3i =, 则由全概率公式得)(B P =31()(|)i i i P A p B A ==∑0.250.070.50.080.250.020.0625⨯+⨯+⨯=.（2）利用贝叶斯公式 31()()(|)(|)()()(|)i i i i i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ===∑, 1,2,3i =. 计算得2(|)P A B =0.50.08=64%0.0625⨯.五、问答题（共3题，每题5分，共15分）1.拉格朗日中值定理是联系函数局部性质与整体性质的纽带．其几何意义是：联结两点的一条光滑曲线上至少存在一条切线与这两点的连线平行（示意图从略）.2. 古典概型的特点是：有限性（每次试验有有限个样本点）；等可能性（每次试验，每个样本点出现的可能性相同）．例如，主考教师从装有n道题的袋中随机抽一题进行测试，就属于古典概型．3. 微分方程研究含有未知函数的导数或微分的方程，然后从中求得这个未知函数．19世纪，天文学家利用微分方程发现海王星，20世纪，科学家利用微分方程推断出阿尔卑斯山肌肉丰满的冰人的遇难时间，如今微分方程更是广泛用于预测人口数量，进行天气预报等方面，这些都是微分方程的成功应用实例．。

高等数学a试卷及答案

高等数学a试卷及答案【篇一：《高等数学a(上)》试题答案(b卷)2013】class=txt>科目：《高等数学a（上）》试题(b卷)学院：专业班级：姓名：学号：阅卷教师： 2013年月日考试说明：本课程为闭卷考试，可携带。

一、选择题（每题3分，共15分）（选择正确答案的编号，填在各题前的括号内）1.设f(x)?xsinx，则f(x)在(??,??)内为（ b）． a．周期函数 b．偶函数 c．单调函数 d．有界函数 2、下列正确的是（d ）a．极大值一定大于极小值b. 拐点是函数单调性转变的点 c. 最值一定是极值 d. 拐点是凹凸性的转变的点 3、下列各式中，正确的是（ d ）1xa.lim(1?)?e x?0?xb.lim(1?x?01x)xec.lim(1?)x??ex??1x1d.lim(1?)x?e?1 x??x4、关于函数连续的说法中，哪一个正确d a．函数f(x)在点x?x0处有定义，则在该点连续； b．若limf(x)存在，则函数f(x)在x0处连续；x?x0c．若f(x)在x?x0处有定义，且limf(x)存在，则函数在x0处连续； x?x0d．若f(x0?0)?f(x0?0)?f(x0)，则函数在x0处连续。

5、若?f(x)dx?f(x)?c，则?f(sinx)cosxdx=（ a ） a . f(sinx)?cb. ?f(sinx)?cc. xf(sinx)?cd. f(sinx)sinx?c二、填空题（每题3分，共15分）1. 设曲线方程为y?x2?sinx，该曲线在点(0,0)处的切线方程__y=-x_________1sinxdx=___0______ 2．??11?x2sinx____0___ 3． limx??xx4. 函数f(x)?x?2的斜渐近线方程为___ y=x ___ x?15．函数xy?1在点（1,1）处的曲率为___ 2_____.三、计算题（每题8分，共56分）1求极限：lim(x?0x?1?1sinxx?1?11)lim1x?0x2xx(x?1?1)22.设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100),求f?(0).limx?0f(x)?f(0)x(x?1（)x?2)?(x?100)lim100! x0x0x1x3. 已知y?x,求dy.dy?d(x)?d(e1xlnxx)?elnxx1lnx1?lnx?d()?xx?dx 2xx4.5.112tdtdt?2?2arctant?c?c 22?1?tt1?tx0cos2xdx 111x120cos2xdx0xsecxdxxtanx00tanxdxtan1lncosx0tan1lncos1.6. 求由曲线y?x2与y?2x围成的平面图形的面积。

大学-高等数学(Ⅱ)试卷题(A)+参考答案

大学-高等数学（Ⅱ）试卷题（A ）一、选择题：(每小题2分，共10分)1. 函数 ),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z在点),(00y x 存在全微分的（）；A.充分条件；B.必要条件；C.充分必要条件；D.既非充分又非必要条件.2．下列级数发散的是（）；A ．;(1)n nn n ∞=+- B.2(1)ln(1);1n n n n ∞=-++∑ C ．222sin();n a π∞=+∑ D.1.1nn n ∞=+ 3.级数1sin (0) n nxx n ∞=≠∑！，则该级数（）；A.是发散级数；B.是绝对收敛级数；C.是条件收敛级数；D. 仅在)1,0)(0,1(-内级数收敛，其他x 值时数发散。

4. 双曲抛物面22x y z p p-=.（p >0，q >0）与xOy 平面的交线是（）；A.双曲线B.抛物线C.平行直线D.相交于原点的两条直线. 5.322(,)42,f x y x x xy y =-+-函数下列命题正确的是。

A.点(2,2)是f(x,y)的极小值点B. 点(0，0)是f(x,y)的极大值点C. 点(2,2)不是f(x,y)的驻点D.f(0,0)不是 f(x,y)的极值.二、填空题：(每小题3分，共30分 )1．222ln()1z x y x y =-++-的定义域为；2．曲面2221ax by cz ++=在点()000,,x y z 的法线方程是 ;3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则 '(1,0)y f = ;4.已知D 是由直线x ＋y =1,x －y =1及x = 0所围，则Dyd σ⎰⎰= ;5． 3(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序得 ;7．1(2),n n n u u ∞→∞=+=∑n 若级数收敛则lim ；8.微分方程y / + P(x)y = Q(x)的积分因子为_____________(写出一个即可)； 9．设y z x dz ==，则；10.设P(x,y)、Q(x,y)在曲线L 围成的单联通区域内具有一阶连续偏导数。

大学高等数学期末考试题A卷(答案)

广东海洋大学2006 —— 2007 学年第二学期《高等数学》试题答案（A 卷）一、填空题。

（每小题3分，共24分） 1.曲线2x y =与直线xy 2= 所围成的平面图形面积为A= 34；2.设向量{}2,3,1-=a，{}2,2,1-=b，则a·b= -3 ；3. 函数221yx z--=的定义域为 }1),({22≤+y x y x ；4.过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程为： 3x -7y +5z -4=0 ；5.设函数x y Z cos =，则yx Z ∂∂∂2= -sinx ；6.改变累次积分I=⎰⎰102),(xx dy y x f dx 的次序为I = ⎰⎰10),(X yy d y x f dy ；7. 设曲线方程为⎩⎨⎧=+-=++0380422222z y x z y x ，该曲线在Oxy 面上的投影方程为： ⎩⎨⎧==+0042z y x .8. 写出函数x x f sin )(=的幂级数展开式，并注明收敛域：x sin = )(,)!12()1(!5!312153R x n xxxx n n ∈+--+-+---二、选择题。

（每小题3分，共15分）1.函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的（ D ）(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.下列方程中，通解为12e e x x y C C x =+的微分方程是（ A ）． (A) 02=+'-''y y y (B) ''+'+=y y y 21； (C) '+=y y 0 (D) '=y y ． 3. 设函数),(v x f Z=，),(y x v ϕ=，其中ϕ,f 都有一阶连续偏导数，则xZ ∂∂等于（ B ）班级：姓名：学号：试题共页加白纸张密封线(A)xf ∂∂ ;(B)vf xf ∂∂+∂∂·x∂∂ϕ ; (C)xxf ∂∂+∂∂ϕ ; (D)xf ∂∂·x∂∂ϕ4.设函数),(y x f Z=在点（1，2）处有)2,1(='x f ，)2,1(='y f ，且1)2,1(="xx f ，0)2,1(="xy f ，2)2,1(="yy f ，则下列结论正确的是（ D ）（A ）)2,1(f 不是极大值；（B ）)2,1(f 不是极小值；（C ）)2,1(f 是极大值；（D ）)2,1(f 是极小值。

西华大学高等数学考核参考答案(A 卷)

2a
2a
(0, 1 ) 是凸区间，[ 1 , + ∞)是凹区间， ( 1 , 1− ln 2a)是拐点。
2a
2a
2a 2
x
∫ 3、解：首先，当 x ≠ 0 时，令 xt = s ，则
g(x) =
1
f (xt)dt =
f (s)ds
0
∫0
x
x
∫ xf (x) − f (s)ds
gʹ(x) =
0
x2
其次，当 x = 0 时，由 f (x) 连续， lim f (x) = 2，知 x→0 x
0
0
6
五、参考答案及评分标准
证：设 F (x) = f (x) − x，则 F (x) 在[0, 1]上连续，在 (0, 1) 内可导，且 Fʹ(x) = f ʹ(x) −1
因为 F(0) = 0, F(1) = f (1) − 1 = 1 > 0, F(1) = f (1) −1 = −1 < 0 2 2 22 1
0
2 π
(sin
x
−
cos
x)dx
4
π
π
=
[sin
x
+
cos
]x 4 0
+ [− cos
x
− sin
]x
2 π
=
2(
2 −1)
4
1 x2
1 x cos x
∫ ∫ 3、原式=
−11+ x2 dx +
dx −1 1+ x2
1
1
∫ = 2 0 (1− 1+ x2 )dx + 0
+∞ exdx

高等数学(A)下期末试卷及答案

《高等数学 A 》( 下）期末试卷 A 答案及评分标准得一、选择题（本大题分 5 小题，每题 3 分，共 15 分分）e dxln x f ( x, y)dy 的积分序次为1、互换二次积分1（c ）e ln xf ( x, y)dxe1 (A)dy(B)e ydyf ( x, y)dx11 eln xe(C)dy e y f ( x, y)dx(D)dy1f ( x, y)dx2、锥面zx2y 2在柱面 x2y22x 内的那部分面积为（ D ）d2 cos2d2 cos 2d(A)2d2(B)222cos 2d22 cosd(C)2 d(D)2 d2 023、若级数a n ( x 2) n在 x2 处收敛，则级数n 1na n ( x 2)n 1（ B ）在 x 5n 1(A)条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不确立4、以下级数中收敛的级数为（ A ）(A)( n ) n(B)n2 3n 1 n 1 n 1 n 1(C)sin1(D)n!n 1 3 n n 1 n 15、若函数f ( z)( x 2 y 2 2 xy) i( y 2 axy x2 ) 在复平面上到处分析，则实常数 a 的值为（c ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2得二、填空题（本大题分 5 小题，每题 4 分，共 20 分分）、曲面 z x2y21 在点 (2,1,4) 处的切平面1方程为 4x 2 y z62 、已知L : x2y2a 2(a 0) ，则L [ x 2y2sin( xy)]ds2 a33、是由曲面zx2y 2及平面 zR(R0) 所围成的闭地区，在柱面坐标下化三重积分f ( x2y 2)dxdydz 为2 RR2)dz三次积分为ddf (4、函数 f (x) x (0 x) 睁开成以 2 为周期的正弦级数为x2 ( 1) n 1 sin nx，收敛区间为n 1n0 x5、Ln( 1 i)ln 2 i(32k ), k 0, 1, 24Re s[e z,0]12得三、 (此题 8 分）设zf ( x2y 2) g( x, xy) ，分y此中函数 f (t) 二阶可导， g(u, v) 拥有二阶连续偏导数，求 z ,2zx x y解： z 2xf1g 1yg23 分xy2z4xyfg 2xyg 221 g 1 x g 11 5 分x yy 2 y 3得x 2y 2z 21内分四、(此题 8 分）在已知的椭球面43全部内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。

大学数学试题a及答案

大学数学试题a及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是实数集的符号表示？A. ZB. QC. RD. N答案：C2. 函数f(x)=2x+1的反函数是：A. f^(-1)(x)=(x-1)/2B. f^(-1)(x)=(x+1)/2C. f^(-1)(x)=x/2+1D. f^(-1)(x)=x/2-1答案：A3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B4. 以下哪个不是矩阵的基本运算？A. 矩阵加法B. 矩阵乘法C. 矩阵除法D. 矩阵转置答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 圆的面积公式为__________，其中r为半径。

答案：πr^22. 微分方程dy/dx + y = x的通解是__________。

答案：y = e^(-x)∫xe^(x)dx + Ce^(-x)3. 函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的导数为__________。

答案：04. 矩阵A=\[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\]的行列式值为__________。

答案：-2三、解答题（每题15分，共30分）1. 计算定积分∫(0到π) sin(x)dx。

答案：定积分∫(0到π) sin(x)dx = [-cos(x)](0到π) = -cos(π) - (-cos(0)) = 2。

2. 求解二阶常系数线性微分方程y'' - 2y' + y = 0的通解。

答案：特征方程为r^2 - 2r + 1 = 0，解得r1 = r2 = 1，因此方程的通解为y = C1e^x + C2xe^x。

四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫(a到b)f(x)dx存在。

答案：根据黎曼积分的定义，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则存在一个实数I，使得对于任意的正数ε，都存在一个正数δ，使得对于任意的分割P，只要每个子区间的长度小于δ，那么上和U(P,f)与下和L(P,f)与I的差的绝对值都小于ε。

四川农业大学《高等数学》(上) 试题 A及参考答案

任课教师: 丁体明程正琼杜世平王莉莉系(教研室)主任签字: 高等数学试卷《高等数学》工科（上）试题姓名学号专业班级本试题一共 4 道大题（21）小题,共 4页,满分100分.考试时间120分钟.2.试卷若有雷同以零分记.一、选择填空（每小题3分，共18分）1、数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的（）A .必要条件B .充分条件C .充要条件D .无关条件2、若()f x 是奇函数，且'(0)f 存在，则0x =是函数xx f x F )()(=的 ( ) A .连续点 B .极大值点 C .可去间断点 D .极小值点3、设函数20(2)xy t dt =+⎰则y 在1x =-有 ( )A .极小值B .极大值C . 无极值D .有极小值也有极大值4、当0→x 时，sin x x 与x 1-cos 比较为 ( ) A .等价无穷小 B .同阶无穷小 C . 高阶无穷小 D .低阶无穷小5、下列命题中正确的是（） A .二元函数在某点可导，则在该点连续.B .若0()0f x '=，则0()f x 是极值点或拐点.C .若(,)f x y 在闭区域上可微，则在该闭区域上一定可导.D .函数)(x f 在开区间(),a b 内可导，则(),a b ξ∃∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.6、在yoz 面上的直线2z y =绕oz 轴旋转所得的旋转面方程为（）A .2222()z x y =-B .()2z x y =+C .2224()z x y =+D .z =- 二、填空题（每小题4分，共36分）：7、()20sin 2lim ln 1x x x x x →⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦（）；8、设0a >，且1ln 1axdx =⎰，则a = （）；9、若二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微，则必有=→),(lim ),(),(00y x f y x y x （）； 10、若已知()2cos ln 12arcsin t x t t y t⎧=++⎪⎨=+⎪⎩，则=t dx dy =（）；11、cos 1sin xddx x =+⎰（）； 12、)12ln(2+-=x y z 定义域为（）； 13、231(ln )dx x x +∞⎰=（）； 14、平面曲线221x y -=在点()1,1处的曲率K =（）； 15、设32),,(z y x z y x f ++=，则grad )1,1,0(-f =（）；三、计算题（每小题7分，共28分）： 16、设222()()4xx f t dtF x x =-⎰，其中)(x f 为连续函数，求2lim ()x F x →.17、求曲面2224zx y xz e +++= 在点()1,1,0处的切面方程和法线方程.18、设22'(sin )cos =f x x ，求()f x . 19、求21-⎰.四、综合题（每小题9分，共18分）20．设()f x 在区间[],a b 上连续，且()0f x >，()(),[,]()x xabdtF x f t dt x a b f t =+∈⎰⎰，(1).证明'()2F x ≥；（2）求()F x 的最值.21．设 ()22x zyf x z +=-，f可微，求z z zy x y∂∂+∂∂. 《高等数学》Ⅰ试题A 参考答案和评分标准（2008-2009学年第1期）一．选择填空 (每小题3分共18分) ACABCC 二．填空（每小题4分，共36分）三．解答题 (每小题7分共28分) 16、设222()()4xx f t dtF x x =-⎰，其中)(x f 为连续函数，求2lim ()x F x →.解一因为)(x f 为连续函数，所以由罗必大法则原式()2222()lim2xx x f t dt x f x x→+=⎰()2.f =解二因为)(x f 为连续函数，所以由积分中值定理原式()()()()22(2)2lim 22x x f x x x ξξ→→-=+-()2.f =17、求曲面2224zx y xz e +++= 在点()1,1,0处的切面方程和法线方程.解令2224zF x y xz e =+++-(1,1,0)(2)2x F x z '=+=，(1,1,0)22y F y'==，(1,1,0)(2)3z z F x e '=+=所求切面方程()()212130x y z -+-+=即 22340x y z ++-= 所求法线方程11223x y z--== 18、设22'(sin )cos =f x x ，求()f x .解令 22sin cos 1t x x t =→=-，()01t ≤≤，则()21()()12f t f t dt t dt t t C '==-=-+⎰⎰即()21()012f x x x Cx =-+≤≤19、求21-⎰.解原式211dx --=+⎰⎰(211212022x dx dx x =+=-⎰⎰⎰22242ππ=-=-四、综合题（每小题9分，共18分）20．设()f x 在区间[],a b 上连续，且()0f x >，()(),[,]()x xabdtF x f t dt x a b f t =+∈⎰⎰，(1).证明'()2F x ≥；（2）求()F x 的最值. 证（1）因为()f x 在区间[],a b 上连续，且()0f x >，所以1()()2,[,]()F x f x x a b f x '=+≥=∈ （2）由（1）知()F x 在区间[],a b 上是增函数，所以，函数最值在端点处取得.最小值 (),()abdtF a f t =⎰最大值 ()().baF b f t dt =⎰21．设 ()22x zyf x z +=-，f可微，求z z zy x y∂∂+∂∂. 解令 22t x z =-，()Fx z yf t =+-，()()()1212x F yf t x xyf t '''=-=- ()y F f t '=-()()()1212z F yf t z yzf t '''=--=+ ()()2112x z xyf t F zx F yzf t '-'∂=-=''∂+ ()()12y z F f t zy F yzf t '∂=-=''∂+ ()()()()()221212xyzf t z yf t xyzf t z x zz z z y x x y yzf t yzf t ''-+-++∂∂+===''∂∂++。

北京科技大学2024-2025学年度第1学期高等数学A试题及答案

装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）217．在空间直角坐标系下，z 轴的对称式方程为【】．（A ）1001zy x ==-；（B ） 2300--==z y x ；（C ）001zy x ==；（D ）10z y x == ． 8．函数)(x f 在点a 可导，则ax a f x f a x --→)()(lim 22下列结论正确的是【】( A ) )('a f ( B ) )('2a f ( C ) )()('2a f a f ( D ) 09. 已知函数)(x f 具有随意阶导数，且2)]([)('x f x f =，则当n 为大于2的整数时，)(x f的n 阶导数)()(x f n 是【】（A ） 1)]([!+n x f n （B ）1)]([+n x f n （C ）n x f 2)]([ （D ）n x f n 2)]([!。

10. 设)(x f 的导数是x sin ，则)(x f 的一个原函数为【】（A ）1+x sin （B ）1-x sin （C ）1+x cos （D ）1-x cos三、（8分）计算x ->+∞四、（8分）设⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=22)1(21)1ln(t arctgt y t x 求.,22dx y d dx dy五、（8分）求不定积分⎰-dx xx1arcsin六、（8分）利用定积分定义计算极限 121lim +∞→+++p pp p n n n (0)p >)装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊七、（8分）求极限 xx x x cos 11sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛八、（8分）求定积分312x dx --⎰九、（8分）求极限 )1ln(d lim21cos 02x te xt x +⎰-→十、（5分）已知汽车行驶每小时的耗油费用为y （元），它与行驶速度x （公里 / 小时）的关系为325001x y =．若汽车行驶时除耗油费用外的其它费用为每小时100元，问汽车最经济的行驶速度为多少？装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊十一、（5分）如图：已知半径为R 的半球形水池充溢了水，求当抽出水所做的功为将水全部抽出所做的功的一半时，水面下降的高度。

浙江师范大学高等数学(上) 期末试题 A卷答案(理科1)

浙江师范大学《高等数学（上）》 A 卷答案（理科1）一、选择题（每小题2分，共12分）1、C2、C3、D4、D5、B6、A二、填空题（每小题2分，共16分）①e -3 ② 0 ③[1,1]- ④ln cos sin 2x x x C --++⑤ 5ln 6⑥ 2 ⑦ ⑻ x xy 224+'=() 三、问答题（5分） 221()x f x x x x-=-指出sin 的间断点，并判别其类型．解 (1)(1)()01()(1)x x x f x x x f x x x +-===-sin ，与是的间断点 00(1)lim ()lim 2x x x x f x x →→+==sin 因，11(1)sin lim ()lim 2sin1x x x x f x x→→+==， 1()f x 所以0和都是的可去间断点。

四、计算题（每小题7分，共49分）1、1lim xx x →+∞求极限 11ln lim ln lim lim 0.1xx x x x x y x y x →+∞→+∞→+∞====解设,则 01e ==原式2、44411ln ,d 4(1)41x y y x x=+++设　求．解d ()d y y x x '=33324442141441d d 4(1)41(1)x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-=+-=⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦ 3、.d )1(3x e e x x ⎰+求解x e e x x ⎰+d )1(3)1d()1(3++=⎰x x e e 41(1).4x e C =++ 4、.)1)(1(d 2⎰++x x x 求 22d 111:()d (1)(1)211x x x x x x x -=-++++⎰⎰解2221d 1d(1)1d 214121x x x x x x +=-++++⎰⎰⎰ 2111l n 1l n 1a r c t a n .242x x x C =+-+++（） 1200d ()d ln(1)d d y t y y x xy e t t t x -=+⎰⎰5、设是由方程所确定的隐函数，求．解 y xy e y y +'-'=0，'=-y y e xy6、求232sec ,d sec tan d sec tan d 1d cos d sin cos sec tan sec 22x t x t t tt t t t t t t t t C t t t ==⋅⋅====++⋅⎰⎰⎰解令原式11arccos .2C x = 7、求微分方程d 1d e yy x x =+的通解。

昆明理工大学级高等数学A期末试卷及参考答案

昆明理工大学级高等数学A期末试卷及参考答案standalone； self-contained； independent； self-governed；autocephalous； indie； absolute； unattached； substantive昆明理工大学2011级《高等数学》A （2）期末试卷（A 卷） (2012年6月日)一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1.设),(y x f z =在点),(00y x 处取极小值，则函数),()(0y x f y =ϕ在0y 处（）。

)(A 取最小值，)(B 取最大值，)(C 取极大值，)(D 取极小值。

2.已知全微分dy y x dx xy x y x df )()2(),(222-++=，则).(),(=y x f ,33)(323y y x x A +-,33)(323y y x x B -- ,33)(323y y x x C -+.33)(323C y y x x D +-+ 3.设),0(:222>≤+a a y x D 要使,222π=σ--⎰⎰d y x a D 则.)(=a .21)(,43)(,23)(,1)(333D C B A 4.微分方程y y dx dy x ln =满足条件2)1(e y =的特解为.)(=y .)(,)(,)(,)(2221x e D e C e B e A x x x + 5. 微分方程x xe y y 22='-''的特解*y 的形式为.)( .)()(,)(,)(,)()(22222x x x x e B Ax x y D e Ax y C Axe y B e B Ax y A +===+=**** 二、填空题（每小题4分，共20分） 1.过曲面224y x z --=上点P 处的切平面平行于,0122=-++z y x 则P 点的坐标是 .2.设10,10:≤≤≤≤y x D ，则=-⎰⎰dxdy x y D.3.设曲面∑为上半球面229y x z --=的上侧，则zdxdy ∑=⎰⎰ .4.设曲线L 为)0(222>=+a ax y x ，则=⎰Lds . 5设)(x ϕ在),0(+∞有连续导数，,1)(=πϕ要使积分 dy x dx xy x x I L )()]([sin ϕ+ϕ-=⎰在0>x 时与路径无关，则=ϕ)(x .三 (9分).设),(y x z z =是由0),(=--bz y az x F 确定的隐函数，而),(v u F 可微，验证1z z a b x y∂∂+=∂∂.四(9分)计算,222dv z y x I ++=⎰⎰⎰Ω其中Ω是.2222z z y x ≤++ 五(9分)用格林公式计算,)2(2ydx x dy x xy I L --=⎰其中L 为闭区域41:22≤+≤y x D 的正向边界曲线。

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《大学数学》试卷
一．选择题（每小题3分） 1．下列求极限的问题中，能用洛必达法则的是（） A x x x x sin 1sin lim 20→ B )arctan 2(lim x x x -+∞→π C x x x x x sin sin lim +-∞→ D x x x x e e e -∞→+lim
2．=-→1ln lim 1x x x （） A 1 B －1 C 2 D －2 3．=-+-+-∞→4223lim 2323x x x x x x （） A －１ B 0 C 21 D 2 4．若在区间（a,b ）内，函数f(x)的一阶导数,0)('>x f 二阶导数0)(''<x f ，则函数f(x)在此区间内（） A 单调减少，曲线为凸 B 单调增加，曲线为凸 C 单调减少，曲线为凹 D 单调增加，曲线为凹 5．函数y=f(x)在点0x x =处取得极大值，则必有（） A 0)('0=x f B 0)(''0<x f C 0)('0=x f 且0)(''0<x f D 0)('0=x f 或不存在 6．函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是（） A ),(+∞-∞ B ),0(+∞ C )0,(-∞ D 以上都不对 7．曲线x xe y -=的拐点坐标是（） A （1，1-e ） B （2，2-e ） C （2，22-e ） D （3，3-e ）
8．下列等式中，成立的是（）学号：班级：姓名：
密
封
线
A ⎰=)()(x f dx x f d
B dx x f dx x f d ⎰=)()(
C C x f dx x f dx d +=⎰)()(
D ⎰=dx x f dx x f dx
d )()( 9．在区间(a,b)内的任一点x ，如果总有f ’(x)=g ’(x)成立，则下列各式中必定成立的是（）
A.f(x)=g(x)
B.f(x)=g(x)+1
C.f(x)=g(x)+C
D.'))(()')((⎰
⎰=dx x g dx x f 10．已知C x dx x f +=⎰2cos )(，则f(x)=( )
A sin2x
B －sin2x
C cos2x
D －cos2x
11． ⎰=dx xe x ( )
A C xe x +
B
C e xe x x +- C C e xe x x ++
D C e x +
12．⎰=xdx tan ( )
A.－ln|sinx|+C
B. ln|sinx|+C
C. –ln|cosx|+C
D.ln|cosx|+C 13．=+-⎰dx x x )1(602
( )
A 50
B 60
C 70
D 80
14．dx x x
⎰+2021=（） A 12- B 12+ C 15- D 15+
15．行列式4
032053
21=（）
A 16
B －１６
C 28
D －28
二、判断题（每小题3分）
1．可导函数的驻点即为函数的极值点（）
2．函数f(x)二阶可导，且f ’’(x 0)=0，则点(x 0,f(x 0))为曲线y=f(x)的拐点 (
) 3．如果行列式有两列元素完全相同，则此行列式为零（）
4．n 阶行列式都可化为上三角行列式 ( )
5．每一个函数f(x)都有原函数 ( )
三、解答题（每题10分）
1．求极限（1）x
x x ln 1lim 21-→ （非定向班做）（2）x
arc x x cot )11ln(lim ++∞→ （定向班做）
2．（1）求函数11243)(2
34+--=x x x x f 在[-3，3]上的最大值，最小值。

（非定向班做）
（2）求曲线的y=f(x)=x 3-3x 2-5x+6的凹、凸区间及拐点。

（定向班做）
3．求不定积分：
（1）⎰
+-dx x x )32(2 （非定向班做）（2）
dx x x ⎰+-26912 （定向班做）
4．（1）计算行列式的值：32142
1431
4324
321 （非定向班做）
（2）λ和μ为何值时，齐次方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02003321
321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？（定向班做）
大学数学答案：
一、选择题：1—5．B A C D D 6—10. C C B C A 11—15. B C
B C D
二、判断题：××√√×
三、1．（1）2；（2）1；
2．（1）最大值244，最小值－31；
（2）),1(+∞ )1,(-∞ )1,1(-
3．（1）C x x x ++-33
23
；（2）C x +-)13arctan(3
1； 4．（1） 168；
（2）λ=3
1，μ=0。