慧眼识图领略几何模型魅力

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慧眼巧辨图
给出一个实物画出它的三视图对初学者来说并不轻松，然而，得出一个实物，判断其三视图画的是否正确也不是一件简单的事件．不信，请看下面的这道例题．例在下面图1和图2中，图1（b）和图2（b）的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果正确，请找出错误并改正，然后分别画出它们的侧视图．
解：（1）图1（a）是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视图应该用虚线画出不可见轮廓线，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线（用实线表示），正确画法如图3；
（2）图2（a）的组合体可以看作是由图4（a）中几何体的组合，主视图与俯视图中都应画出中间的柱体与圆柱的交线，所以图2（b）不正确，正确视图如图4（b）所示．
编者点评：画三视图强调实践操作，同学们在阅读本文时不要一带而过，最好拿起手中
的笔，亲自画一画．
用心爱心专心。

正方体展开图揭示几何学的多维魅力

正方体展开图揭示几何学的多维魅力正方体展开图在帮助我们理解几何学的魅力方面起到了多重作用，具体体现在以下几个方面：1.空间与形状的探索：2.正方体展开图将三维的立体图形简化为二维的平面图形，使得我们可以更清晰地看到各个面之间的关系和它们在空间中的排列方式。

通过这个过程，我们能够更深入地理解空间的概念，探索形状在不同维度下的表现形式，从而感受到几何学的空间魅力。

3.逻辑与推理的训练：4.在解决正方体展开图的问题时，我们需要运用逻辑推理来判断哪些图形能够折叠成正方体，哪些不能。

这种训练不仅锻炼了我们的逻辑思维能力，还让我们学会了如何通过观察和分析来解决问题，从而体会到几何学中的逻辑之美。

5.美感的体验：6.正方体的展开图本身就具有一定的美感，特别是当它们以规则、对称或和谐的方式排列时。

通过观察和分析这些图形，我们可以欣赏到几何学的形式美、结构美和对称美，从而感受到几何学所带来的艺术享受。

7.创造与想象的激发：8.正方体展开图还为我们提供了创造和想象的空间。

通过改变图形的排列方式或设计新的展开图，我们可以创造出独特的几何图形，并在脑海中构建出相应的三维立体形象。

这种创造和想象的过程不仅激发了我们的创新思维，还让我们更加深入地理解了几何学的多样性和可能性。

9.跨学科的联系：10.正方体展开图还涉及到其他学科的知识，如物理学中的力学、计算机图形学中的三维建模等。

通过将这些知识与几何学相结合，我们可以更全面地理解正方体展开图的内涵和应用价值，从而拓展我们的知识视野和思维方式。

这种跨学科的联系也让我们更加深刻地认识到几何学在现实生活中的重要性和广泛应用性。

综上所述，正方体展开图通过提供空间与形状的探索机会、逻辑与推理的训练、美感的体验、创造与想象的激发以及跨学科的联系等方面，帮助我们深入理解几何学的魅力。

它不仅是一门关于形状和空间的学科，更是一门充满智慧、美感和创造力的学科。

慧眼观图寻秘

慧眼观图寻秘
顾东春
【期刊名称】《数学大世界（小学三四年级版）》
【年(卷),期】2015(000)001
【摘要】1．右面的数字格是按一定规律摆放的，你能找出它们的规律，把ABC
换成合适的数字吗？2．这里有三块写着“6”以及“＋”、“-”、“×”、“÷”的木块，请你选其中拘五块把它们组合成答案为“75”的算式。

【总页数】6页(P16-21)
【作者】顾东春
【作者单位】
【正文语种】中文
【相关文献】
1.近代日本佛僧在西藏的活动考述--以河口慧海《西藏秘行》、多田等观《入藏纪行》为中心
2.冷眼观市场热夏寻清凉
3.寻古诗词之幽,探写作表达之秘
4.少林真功何处寻内廊秘法是正根——悟真派少林内廊秘法拳概述
5.不忘“初形”找源头牢记“数秘”寻本质——用GeoGebra探寻高考解析几何压轴题的本源
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正方体展开图：几何学的魅力展现者

正方体展开图：几何学的魅力展现者正方体展开图在帮助我们理解几何学的魅力方面扮演着重要角色，具体体现在以下几个方面：1.可视化与直观理解：2.正方体展开图将三维的空间结构转化为二维的平面图形，这种转化使得复杂的三维空间关系变得直观可见。

通过观察展开图，我们可以清晰地看到正方体的各个面是如何排列和连接的，这种可视化帮助我们更容易地理解和想象三维空间中的几何形状，从而加深了对几何学的直观理解。

3.逻辑推理与问题解决：4.理解和分析正方体展开图需要运用逻辑推理能力。

例如，我们需要判断给定的二维图形是否能折叠成一个正方体，这需要我们根据正方体的结构特征进行推理。

在这个过程中，我们学会了如何运用几何学的原理和规则来解决问题，这种逻辑推理的训练让我们感受到了几何学的严谨性和逻辑性，也培养了我们的数学思维能力。

5.创造力与想象力的激发：6.正方体展开图为我们提供了创造和想象的空间。

通过观察和分析不同的展开图，我们可以尝试设计新的展开方式，甚至创造出具有特殊形状和结构的几何体。

这种创造力和想象力的激发让我们感受到几何学的无穷魅力和可能性，也培养了我们的创新意识和创新能力。

7.美学体验：8.正方体展开图本身也具有一定的美学价值。

它们以简洁、明了的线条和图形展示了空间与形状的和谐统一。

在观察和欣赏这些展开图的过程中，我们可以感受到几何学的美学魅力，体验到形状、线条和比例所带来的美感。

9.跨学科的应用：10.正方体展开图不仅在几何学中具有重要地位，还在其他学科和领域中有广泛的应用。

例如，在计算机图形学中，正方体展开图被用于三维建模和纹理映射；在建筑设计中，正方体展开图被用于规划和设计建筑物的外观和结构。

这些跨学科的应用展示了几何学的实用性和广泛性，也让我们更加深刻地认识到几何学在现代社会中的重要作用和价值。

综上所述，正方体展开图通过提供可视化与直观理解、逻辑推理与问题解决、创造力与想象力的激发、美学体验以及跨学科的应用等方面的帮助，让我们更加深入地理解了几何学的魅力。

中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型

相似之处
两种模型都是几何分析的重要工具,能帮助学生更好地理解和解决中考几何题。
应用范围
8字模型更侧重于分析三角形和四边形的相关特性, 而飞镖模型主要用于探讨角度和距离关系。
基本结构
8字模型由两个相交的圆弧组成,而飞镖模型由两条垂直交叉的线段构成,呈现不同的几何形状。
解题技巧
两种模型都需要熟练掌握绘制方法和核心特点,并灵活应用于几何问题的分析解决中。
借助AR/VR技术,学生可以在虚拟环境中更直观地操纵和理解8字模型与飞镖模型,激发创新思维。
智能辅助
结合人工智能技术,未来将有智能化几何助手,即时分析学生操作并给出针对性指导,提高解题效率。
8字模型与飞镖模型的综合评价
全面视角
8字模型和飞镖模型可以从多个角度对几何问题进行全面分析,为解决问题提供丰富视角。
灵活应用模型
在解决几何题时,善用8字模型分析图形的性质和关系,有助于找到高效的解题思路。
飞镖模型
飞镖模型是中考几何必备的另一种重要知识点。它以飞镖形状为基础,展现了一些特殊的几何关系,在解决涉及角度、距离等题目时很有帮助。掌握飞镖模型的特点和应用技巧对于提高中考成绩同样重要。
飞镖模型的定义
几何证明
飞镖模型的垂直、对角等特点,能为几何证明题提供直观的几何依据,帮助学生理解和解决这类题目。
距离计算
飞镖模型可用于计算几何图形中的距离,如点到线的距离、线段长度等,为解决相关问题提供依据。
中考应用
飞镖模型在中考几何试题中经常出现,掌握它的应用能够有效提高考试成绩,是中考必备的几何知识。
2 灵活运用
根据几何问题的实际需求,灵活选择或组合使用8 字模型和飞镖模型,提高分析和解题的效率。

5、1 丰富的图形世界 21-22学年-苏科版七年级数学上册

布置作业:
1.补充习题 P82； 2.探究欧拉定理。
拓展练习
如左图是一个正方体木块,把它切去一块后,可能得到形如图（1）（2）（3）（4）的木块
(1)
(2)
(3)
(4)
请问:4块木块的顶点数、棱数、面数分别是多少?
数一下每一个多面体具有的顶点、侧棱、侧面的个数，并且把结果记入表中。
你发现规律了吗？？侧棱侧面（个）面（个）顶点（个）棱
棱
（条）
（条）
柱三
的棱顶柱
3 3 56 9
点
、四侧棱
4 4 6 8 12
棱柱
、
侧五面棱的柱
5 5 7 10 15
数量关系
六棱柱
6 6 8 12 18
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n棱柱
扩充新识：
棱柱的侧面可能是长方形，也有可能是平行四边形。
今天只研究直棱柱
侧棱柱
侧面是平行四边形的棱柱叫侧棱柱
侧面
侧面可能是长方形的棱柱叫直棱柱
直棱柱
扩充新识：
六面体
正方体
由平面围成的立体图形称为多面体，有几个面就叫做几面体。
四面体
三棱锥
火眼金睛
你能看出它们有什么不同吗？
探究活动
元旦要到了，我们班准备搞一场元旦晚会，买了一些悬挂的小饰品装扮教室，其中有各种各样的立体图形。
n n n+2 2n 3n
星级大挑战
1
2
3
4
5
6
填空：
1.这个几何体的名称是_五__棱__柱__；它有__7_个面组成；它有__1_0__个顶点；经过每个顶点有__3__条边。

“反比例函数与相似三角形问题”的复习课课例分析

“反比例函数与相似三角形问题”的复习课课例分析作者：吴博思来源：《课程教育研究》2020年第52期【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）52-0085-02一、教学背景分析笔者吴博思老师在深圳市九年级数学教研会上为全市初中数学老师上了一节中考专题复习示范课。

反比例函数是在学生学习了一次函数、二次函数的基础上开始学习的，反比例函数的教学一方面丰富了用函数思想分析问题、解决问题的经验，也为学生构建数学模型奠定了基础，在中学数学体系中占有重要的地位。

作为九年级第一轮复习课，学生已经学过了《反比例函数》和《相似三角形》全章的知识，掌握了反比例函数的概念、图像、性质，初步具有对反比例函数的有关问题进行合作探究的意识与能力，会用反比例函数的知识解决一些简单问题。

为了与时下的中考热点相结合，为大家提供一节有价值的复习课，笔者所在的备课组全体老师全力以赴、共同研究，经过反复几轮的备课、上课、评课等磨课活动，最终成功地展示了一节“反比例函数与相似三角形”的高效复习课。

下面笔者谈谈这节课的教学设计与反思，希望给同行一点启发。

二、教学设计分析设计分析：初中阶段最重要的三个相似三角形数学模型分别是“A字型”、“一线三等角模型”、“双垂直模型”，也是学生思维重要的切入口。

通过三道热身训练，让学生捕捉到反比函数当中隐藏的相似三角形的模型，通过辅助线的添加能够进一步呈现模型。

设计的目的就是抓住学生的心灵，激发学生的思维，为接下来的问题引入埋下伏笔，突出反比例函数与相似三角形结合的教学意图，顺理成章引出本节课的课题——反比例函数与相似三角形问题。

本环节注重夯实知识点，对于反比例函数与相似三角形的综合应用采用启发式教学，通过课前热身的训练指导学生进行知识的自我整理、自我质疑，通过自我挑战，达到自我提高的目标。

本环节将由学生自行探索题目中所蕴含的相似三角形模型，一方面可培养学生的表达能力，另一方面又能培养及时归纳总结的好习惯。

利用几何图形的魅力激发学习兴趣

利用几何图形的魅力激发学习兴趣内容摘要：数学来自于自然界,也体现了自然界的无穷魅力。

利用数学知识,展现数字、图形魅力，引导学学生探究自然，激发学学生学习的兴趣。

关键词：创新思维探究数学魅力数学从逻辑上讲，是训练思维的工具．通过学习数学可以使人更加聪明，办事更有条理，思维更加灵活而富于创造性．另一方面，如果从应用上讲，数学也是一种应用技术，应用数学知识、原理和方法可以解决各种实际问题．数学来自于人们征服自然、改造自然的过程，实际上数学理论和人们的生活密切相关，尤其是某些数学知识与图形也体现了自然界的美。

学生也是生活在自然界的有思维的喜欢探索的人，培养学生的观察、操作能力，培养学生的猜想、推理能力，培养学生的归纳、创新能力，实际上几何入门教学也可以体现。

本文利用相似三角形来实现高效课堂教学，基于学生的认知与思维水平，达成教学目的。

[教材分析]本节内容是在学习了相似三角形识别及性质以后，让学生以此为工具建立数学模型，解决一些简单的实际问题，体会数学的价值。

经历“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的过程，感受数学与现实生活的密切关系。

[设计思路]提供挑战性的问题情境（测量金字塔的高），激发学生进行思考和自主探索。

通过“与同学交流想法”，使学生在探索的过程中，进一步理解所学的知识，参与运用相似三角形的知识来解决问题的活动。

[教学目标]1．知识目标：进一步加深对相似三角形的识别和相似三角形的性质的理解，会利用相似三角形解决一些简单的实际问题。

2．能力目标：通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，初步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3．情感目标：让学生体会数学源于实践又服务于实践的特点，培养应用意识，激发其学习的热情，体验探索问题的快乐，使之爱学、会学、会用。

[教学重点与难点]1．重点：利用相似三角形的相关知识解决实际问题。

2．难点：如何把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型。

慧眼识图,领略几何模型的“颜值”——刍议初中数学中几种常用的

吟OEB艺吟OMC袁这时可将吟OEB看成
是由吟OMC旋转而来袁则图中即存在了
角含半角模型袁进而根据思路可证
吟OEF艺吟OMF袁因此蚁EOF=蚁FOM袁蚁EOB=蚁MOC袁再结合蚁BOC=90毅即可求出蚁EOF的度数.
A
D
O
E
B
F
MC
图4
上述两个问题中袁例1是典型直接
的角含半角模型袁例2则是角含半角的
A
ED
Q
B
PF C
图7
上述两个几何问题中袁一是直接看
出图中的一线三等角模型袁二是根据已
知条件去构造该模型袁如例4袁该图形中
正方形的内部有一个等腰三角形袁而这
个等腰三角形似乎与正方形没有什么
特殊的位置关系袁在图中显得很野突
兀冶袁初看不知所措袁可正是这种看似奇
怪的位置关系加上90毅的特殊角度袁才是构造一线三等角的必要条件. 在这类几何模型的学习与研究过程中袁教师要
一线三等角：相似不相邻
一线三等角就是在直线的一侧存在三个等角袁常见的有90毅等角尧60毅等角尧45毅等角袁其中以直角最为典型袁在这个模型中袁不相邻的两个三角形必是相似的袁更特殊一点即为全等袁这是该模型的重要隐含条件和它在图中的价值.
例3 如图5袁吟A BC为等边三角形袁 E袁F分别是A B袁A C上的点袁现将三角形沿着EF折叠袁使得点A 落在BC边上的点 P处袁若A B=9袁BP=4袁则A F 颐 A E的值为 ______.
作者简介院笪艳红（1983-），本科学历，中学一级教师，研究方向为初中数学教学实践与研究.
77 2 0 1 9 年 8 月渊中旬冤 <
> 试题研究

6.1 几何图形课件 (共30张PPT) 2024—2025学年人教版(2024)数学七年级上册

6.1 几何图形
对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究. 从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形. 在建筑、工程等设计中，也常常用从不同方向看到的平面图形来表示立体图形. 图6.1-5是一个工件的立体图，设计师们常常画出从不同方向看它得到的平面图形来表示它(图6.1-6).
6.1 几何图形
3.如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立体图形。把有对应关系的平面图形与立体图形用线连起来.
6.1 几何图形
6.1 几何图形
6.1 几何图形
几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素. 一些庆祝活动的背景图案(图6.1-15)也可以看作由点组成.
点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界.
6.1 几何图形
1.围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的? 哪些面是曲的?
6.1 几何图形
6.1 几何图形
有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。
6.1 几何图形
虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的. 很多立体图形中的某些部分是平面图形，例如，长方体的侧面是长方形.
6.1 几何图形
1.一个铁球有下列性质：铁质，坚硬，灰黑色，球形，直径为5cm，质量约为517g，摸上去较凉，等等，几何研究其中的哪些性质?
6.1 几何图形
各种各样的物体除了具有颜色、质量、材质等性质，还具有形状(如方的、圆的等)、大小(如长度、面积、体积等)和位置关系(如相交、垂直、平行等)，物体的形状、大小和位置关系是几何中研究的内容.
我们在小学学习过的点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形(geometric figure). 几何图形是数学研究的主要对象之一.

奇妙数学：探索图形与几何的魅力

图形与几何是什么图形是自然事物中最常见的一种形式，是我们肉眼可见的有形状、有大小、有粗细、有疏密、有变化的事物。

在我们的日常生活中处处都需要图形，如建筑的结构、装饰等，都离不开图形；各种物品的形状、大小、颜色也都离不开图形。

可见，图形与几何在生活中是无处不在的。

图形与几何是人们观察世界、认识世界、改造世界的重要工具，是数学的一种语言和表达方式。

我们现在所使用的文字语言都是由图形与几何组成的，而且每个图形都有一定的几何意义。

图形与几何是小学数学的重要内容，在小学数学中占有非常重要的地位。

这门课既有实际意义，又有一定的趣味性，它是通过图形的直观想象来认识空间和量之间的关系，从而形成空间观念。

如何更好地学习图形与几何学习图形与几何有利于培养学生观察、比较、奇妙数学：探索图形与几何的魅力文｜刘玉莲数学中的图形与几何在我们的日常生活中无处不在，是人类思想发展和文明进步的结晶，从它们诞生至今，经历了很多变化。

｜科学之友｜79分析、综合以及抽象概括等能力。

新课程标准把“空间与图形”作为小学数学课程的内容之一，要求学生了解和认识各种基本图形，了解它们的特征和相互关系。

巧用教具，直观感知在教学中，教师要善于利用直观教具使学生从感性认识上升到理性认识。

在教学“认识长方形、正方形、圆形、三角形和梯形”这一节内容时，为了帮助学生建立初步的空间观念，教师需在课前准备教具，并把长方形、圆形等几种不同的图形剪下来，做成小卡片，让学生自己先看看剪的图形像什么，然后通过这种直观的操作活动让学生发现每个图形的特点。

这种直观的感知对学生理解有关的概念起着十分重要的作用。

在教学中，教师还可以运用多媒体课件对学生熟悉的事物做一些加工处理，再进行演示，这样学生就可以看得更清楚、听得更明白。

例如在“认识平行四边形”这一节内容中，可以这样设计教具：让学生观察平行四边形与长方形、正方形、三角形和梯形有什么共同点。

联系生活，激发兴趣新教材中的每一章节都是与生活实际紧密联系的，教师要把图形与几何教学融入到现实生活中，使学生觉得图形与几何就在我们身边，这样才能激发学生的学习兴趣。

数学之美：用图形、公式与模型展示数学的美妙与深邃

实用价值：数学公式的证明不仅具有理论价值，还广泛应用于各个领域，展现了数学的实用之美。
数学中的模型之美
概率模型在数学中的地位和作用概率模型的建立过程和原理概率模型在现实生活中的应用和价值概率模型与其他数学分支的联系和相互影响
描述数据分布和变化趋势
预测未来趋势和结果
揭示数据之间的关联和规律
数学之美
汇报人：XX
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数学中的图形之美
数学中的公式之美
数学中的模型之美
数学中的抽象之美
数学中的实用之美
添加章节标题
数学中的图形之美
黄金分割的概念和意义
几何图形在黄金分割中的应用
黄金分割在艺术和设计中的体现
黄金分割与几何图形的和谐之美
分形：具有无穷层次结构的几何图形，如雪花、蕨类植物等
应用广泛：数学中的抽象符号，不仅在数学领域有着广泛的应用，也在其他领域如物理学、工程学等中发挥着重要的作用。
抽象数学的定义和特点
抽象数学在数学中的地位和作用
抽象数学在科学、工程、技术等领域的应用
抽象数学的逻辑之美如何影响数学和科学的发展
抽象数学的概念和意义
抽象数学的美学价值和意义
方程和分子轨道理论。
数学在工程学中的应用：设计和优化各种工程结构，如桥梁、
建筑和机械零件等。
数学在经济学中的应用：分析市场供求关系、预测股票价格
和评估投资风险等。
机械之美：数学在机械设计中的应用，如力学、优化设计等
建筑之美：几何学在建筑设计中的应用，如黄金分割、对称等
航空航天之美：数学在航空航天领域的应用，如空气动力学、
数学曲线：如螺旋线、玫瑰线等，在建筑设计、纺织品图案和装饰艺术中有所应用。

题外生枝，别有风情

题外生枝，别有风情作者：***来源：《数学教学通讯·初中版》2024年第06期［摘要］几何直观是现代人认识世界所必备的素养，它能给人以强烈的直观印象. 在数学教学中，几何直观的作用在于将抽象的逻辑规律体现在具体的图形中，让抽象的数学逻辑关系变得具体生动. 几何作为培养学生逻辑推理能力课程的践行，最早可追溯至古希腊时期的柏拉图学园，之后一直延续到现代数学的教学.［关键词］新课标；几何直观；核心素养以几何图形为载体来发展学生的逻辑思维能力是新课标对发展学生核心素养所提出的目标之一. 从学生角度来看，学习几何知识可以为数学知识的探究与推理提供便利，并且能为其理解与洞察更为抽象的数学内容与结构搭建桥梁. 从教师的角度来看，对学生几何直观素养的发展需要落实到常态课中，让学生将图形学习作为感知几何图形、理解图形性质、探究几何规律的认知工具，以此来发展学生的核心素养，让几何教学更加贴近新课标的要求. 如何在新课标旗帜的引领下更好地发展学生的几何直观素养是教师们热议的话题，笔者以为，几何直观素养的形成关键是“识图”，即认识基本图形，知道基本图形的变换及组合，能够自行推导出由简单图形到复杂图形的变化. 本文以“正方形经典问题的深入探究”为例，就如何在新课标的背景下发展初中生的几何直观素养谈谈自己的理解：在初中几何教学中，线段、多边形、圆等基本图形是组成所有几何图形的基本单位. 在错综变化的图形中，几何模型的重要性不言而喻，一切复杂图形都是由简单模型变化而来，因此培养学生的几何直观素养可以从认识并探索经典几何模型来切入.我思故我在：基础切入、课前热身直观性是几何图形最明显的特点，发展学生的几何直观素养也应从简单的图形入手. 在常态课教学中，以基础问题作为几何教学的切入点，不仅可以给学生树立学好本节课内容的信心，而且能够强化学生对基本几何模型重要性的认识.引例：如图1，△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF于点F，AE和EF有何数量关系？问题分析该问题有多种解法，如方法1：如图2，连接AF，易证△AEC≌△AFC，进而证得△AEF是等边三角形使问题得到解决. 方法2：如图3，等边三角形是图中的基本图形，由等边三角形的外角平分线易得60°的角，结合等边三角形的内角及已知的∠AEF=60°，可以通过截取CG=CF来实现在直线BC上再作一个60°的角，构造“一线三等角”模型来解决问题. 方法3：如图4，通过等角可知AB∥CF，延长AB与FE，交于点G，构造“8字型”全等来证得EG=EF，再通过“等角对等边”得到EG=AE，从而使问题得到解决.设计意图上述图形中的模型较为明显，图2中的“手拉手”模型，图3中的“一线三等角”模型及图4中的“8字型”均为常见的几何模型，因此以该问题作为正方形经典问题的铺垫，一方面给学生指引思考问题的方向，另一方面让学生体会多边形之间的相互联系及区别.我在故我想：呈现经典、积极思考由简单问题过渡至对经典问题的探究，符合学生的认知梯度，也能遵循学生的素养形成规律. 同时，以“经典”来定义探究对象，可以引起学生对该问题的重视，加深其印象，并有效调动其自主参与、主动思考的积极性.经典问题：如图5，已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F，AE和EF有何数量关系？问题分析以上述等边三角形问题的解答作为铺垫，该问题也有多种解法. 方法1：如图6，取AB的中点G，连接GE，利用“ASA”证明△EAG与△FEC全等. 方法2：如图7，连接AC，过点E作BC的垂线，交AC于点G，可证△AEG≌△FEC. 方法3：如图8，首先过点E 作BC的垂线，交FC的延长线于点H，接著过点F作BC延长线的垂线，垂足为G，证明时，可先由△CEH与△CGF的“8字型”全等得出EC=GC，接着可利用“一线三等角”证明△ABE≌△EGF，也可在这两个直角三角形中借助∠BAE=∠GEF，用锐角三角函数去证明边边之比相等.设计意图此题是人教版八年级下册“第十八章平行四边形”的章节复习题，图为正方形经典模型“K字型”，将此问题作为引例后的例题让学生展开探究，能够体现出三角形与正方形之间的关联，给学生指明解决问题的方向. 同时，该问题难度适宜，适合学生开展深入探究，也有利于培养学生对几何问题多方位观察与思考，以求一题多解的习惯.我想故我变：一题多变、勇于尝试几何图形的魅力在于它的“变”，几何直观素养的形成不仅要求学生具备“变”的能力，还要求学生拥有“应变”的技能. 一题多变是几何教学中常用的方法，特殊点位置的改变、条件和结论的互换等都是常见的变式，它可以打开学生的思维，让学生体会“变”中的“不变”，从而能够主动思考. 在此，笔者建议教师在教学中尽量让学生自主尝试去“变”，这样才能有效激发学生的高阶思维，让学生形成自己的几何直观素养.变1：改变特殊点的位置我是命题人：已知四边形ABCD是正方形，______，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F，结论还成立吗？生1：如图9，如果点E是边BC上的任意一点，结论仍成立.生2：如图11，如果点E是边BC延长线上的一点，结论仍成立.生3：如图13，如果点E是边BC反向延长线上的一点，结论仍成立.问题分析如图10，当点E在BC边上时，在AB边上截取BG=BE，用“ASA”证明△AGE≌△ECF，即可证得结论；如图12，当点E在BC延长线上时，可延长BA至点G，使AG=CE，用“ASA”也可证明△AGE≌△ECF，结论成立；如图14，当点E在边BC的反向延长线上时，可延长AB至点G，使得BG=BE，同样可用“ASA”证明△AGE≌△ECF，结论依旧成立.变2：将条件和结论互换生4：如图5，已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，AE=EF，且EF交正方形外角平分线CF于点F，求证：∠AEF=90°.生5：如图5，已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，AE=EF，求证：CF是正方形外角平分线.问题分析在上述两个变式中，如图15，对于问题1，可以过点F作BC延长线的垂线，垂足为G，根据条件易证AB=EG，再结合题干条件AE=EF，可用“HL”来证得Rt△BAE与Rt△GEF全等，进一步证明∠AEB+∠FEG=90°即可；问题2是典型的“一线三等角”，可以作出与问题1同样的辅助线，用“AAS”可证△BAE≌△GEF，进而证出CG=FG即可.变3：变“静态”为“动态”师：如图16，在正方形ABCD中，点E是BC边上的动点（不与点C、B重合），∠AEF=90°，AE=EF，连接AF，DF，已知AB=4，求△ADF周长的最小值.问题分析在几何图形中，解决动态问题的原则是化“动”为“静”、“动”中取“静”，由图17可知，△ADF的三边中，AD为定值，当AF+DF的值最小时，△ADF的周长最小，问题即可化为“将军饮马”模型. 由上述变式可证CF是∠DCG的角平分线，因此过点D作CF的垂线，交BC延长线于点G，则点G为点D关于CF的对称点，从而DF=GF，AF+DF=AF+GF，当A、F、G三点共线时周长最小，根据正方形的边长求出最小值即可.设计意图由改变特殊点的位置到条件与结论的互换再到变“静态”为“动态”，体现了思维的上升及发散. 在常态课的变式练习中，改变特殊点的位置较为常见，所以让学生自主变形与探讨；将条件与结论互换是思维的升华，学生在教师的引导下进行变形与解答；变“静态”为“动态”则是思维的一次跳跃，学生可以在教师的引导下体悟其与上述问题之间的内在联系，以此来形成对几何图形之“变”的直观感受，内化“模型”与“结论”的依存关系，提升几何直观素养.我变故我乐：开拓创新、挑战自我学生的潜力总是超乎我们的想象，学生对知识的认知程度同样不可估量，因此初中数学教师在常态课教学中应尽量给课堂“留白”，给学有余力的学生以充足的空间，让其不断发展与超越.师：请你仔细领悟梳理例题与变式的变换思路及解题过程，并尝试以此为依据，在正五边形中推广一个类似的真命题.如图18，在正五边形ABCDE中，G为BC边上任意一点，______，则：AG=GF. （请补全图形并解答）猜想：如图19，在正n边形ABCDEF…中，N是BC边上任意一点，CI是正n边形的角平分线，当∠ANI=______度时，AN=NI成立.问题分析如图20，将前面证明AE=FE的方法迁移到该问题中来，构造全等三角形即可得证，因此在AB上取点H，使得HB=GB，在构造该三角形的过程中会发现，∠FGC=180°-∠AGF-∠AGB，∠GAH=180°-∠B-∠AGB，若∠FGC=∠GAH，則需∠AGF=∠B，由此可以猜想在正n边形中，若结论成立，则∠ANI与多边形的内角相等.设计意图由正三角形到正方形再到正五边形乃至正n边形的变式，在知识上是一个阶梯上升、逐层递进的过程，可以让学生很直观地体会到多边形之间的联系，从而领悟到几何图形的一致性与连续性，助推着学生几何直观素养的形成；而在思维上，该过程引导学生不断深入思考、深层探究，正是由低阶思维向高阶思维转化的实现过程.人对空间与图形的视觉是一种本能，因此几何的教学应立足于低起点，让学生在简单的基本图形中形成最初的几何直观素养. 同时，几何直观素养的形成也有赖于图形的各种性质及内在的逻辑素养，所以几何课程是形成素养的必要途径，同一图形的多角度变换及不同图形之间的共性需要教师引导学生学会从多角度、多方位来审查问题. 几何有着双重性质：既可以作为探索空间关系的工具，又可以作为一套公理系统来学习演绎推理. 几何直观素养是高阶思维的体现. 低起点、多角度、高落点是发展初中生几何直观素养所应遵循的基本原则和依据，以基本图形作为“树干”，让其全方位伸展出多个“枝节”，长成“参天大树”来承载孩子的不断成长. 题外生枝，别有风情.。

几何直观：让数学教学“可视化”

几何直观：让数学教学“可视化”作者：祝元圆来源：《小学教学参考(数学)》2021年第11期[摘要]几何直观能力是利用图形描述、分析、解决问题的能力，能帮助学生直观地理解数学，对学生数学素养的形成和发展有着重要作用。

文章结合相关案例，从直观感知、直观理解、直观推理三个方面入手，综合探讨了几何直观能力的培养策略。

[关键词]几何直观;直观感知;直观理解[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）32-0010-02几何直观是影响中小学生数学素养发展的重要因素之一，培养和发展学生的几何直观能力是数学课程“图形与几何”领域的核心目标之一。

对小学生几何直观能力的培养，必须强调几何直观能力的重要性，利用直观感知让表象“立起来”，利用直观理解让道理“说得透”，利用直观推理让思维“看得见”，促进相关知识体系的整体建构以及学生迁移能力的培养，发展学生的创造性思维。

一、直观感知，让表象“立起来”由于低年级学生尚处于较低层次的几何直观能力水平，他们一般是通过观察图片、实物、动作等来认识世界。

因此“直观”并不是简单地看，而是要融入思考，在学生的认知中建立实物与概念之间的联系，形成初步的空间观念，让表象真正地“立起来”。

1.借助结构化材料，丰富几何表象【案例】教学“平行四边形的初步认识”时，可围绕“创造平行四边形”展开系列实验，让学生在小组内开展自主合作学习（给学生提供5种可选择的结构性材料：两块完全一样的三角尺、不同规格的小棒、钉子板和皮筋、长方形活动框架）。

其中，钉子板和皮筋是基于高观点下的数学探究材料。

在以往的教学中，教师只要看到学生能够用皮筋在钉子板上围出大小不同的平行四边形就结束了，但学生的思维是不可限量的，于是就有了“在已有平行四边形的基础上如何让这个平行四边形变得更大”的实验操作。

学生的想法非常多，他们有的横着拉皮筋，有的竖着拉皮筋，还有的横着、竖着同时拉皮筋。

重视物理实验题中数学图像问题的讨论

重视物理实验题中数学图像问题的讨论作者：步国平李锦云来源：《物理教学探讨》2009年第03期1、江苏省镇江市第二中学，江苏省镇江市2120042、江苏省镇江市外国语学校，江苏省镇江市物理和数学是紧密联系的，应用数学处理物理问题的能力是高考要求的五种能力之一，近几年的高考实验题均对该能力提出了较高的要求。

图像是一种特殊且形象的数字语言和工具。

它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种想象的物理过程和物理规律。

使抽象的概念直观形象，动态变化过程清晰，物理量之间的函数关系明确。

遇到图像问题时要注意图像“斜率”、“面积”、“截距”、“坐标”等的特定意义，真正做到“慧眼识图”、“巧手画图” 。

1 慧眼识图识图就是给出一个图像，能明白此图是什么样的图像，它反映出什么样的规律？它给我们提供了哪些信息？等等。

例1（07上海）实验中得到小车做直线运动的s-t关系如图1所示。

①由图1可以确定，小车在AC段和DE段的运动分别为A．AC段是匀加速运动；DE段是匀速运动B．AC段是加速运动；DE段是匀加速运动C．AC段是加速运动；DE段是匀速运动D．AC段是匀加速运动；DE段是匀加速运动②在与AB、AC、AD对应的平均速度中，最接近小车在A点瞬时速度的是____段中的平均速度。

解析由题意结合s-t图像的规律得：如果小车做匀速直线运动，对应的s-t图像应该是一条倾斜的直线；如果小车做匀加速直线运动，对应的s-t图像应该是一条抛物线。

所以①的答案为C。

再根据平均速度的定义和瞬时速度的极限思想得到②的答案为AB段。

例2（07江苏）如图2-a所示，质量为M的滑块A放在气垫导轨B上，C为位移传感器，它能将滑块A到传感器C的距离数据实时传送到计算机上，经计算机处理后在屏幕上显示滑块A的位移-时间（s-t）图像和速率-时间（v-t）图像。

整个装置置于高度可调节的斜面上，斜面的长度为l、高度为h。

（取重力加速度，结果可保留一位有效数字）。

①现给滑块A一沿气垫导轨向上的初速度，A的v-t图像如图2-b所示。

识读简单的立体(练就一双慧眼识图)

看图补图：参照立体图补全三视图
慧眼识图
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讲授课题-教师演示
看图识图：
提示
1、找出视图中的特征线框 2、根据投影规律找出其他两的投影 3、多个特征，分析相对位置 4、综合起来，确定立体
慧眼识图
第8 页
课堂练习
课堂练习
1、根据两视图补画第三视图
提示
1、找出视图中的特征线框 2、根据投影规律找出其其他视图的投影 3、根据投影规律绘制第三投影 4、综合起来，确定立体
慧眼识图
第 12 页
课堂总结
课堂总结
1、找出视图中的特征线框 2、根据投影规律找出其他两的投影 3、多个特征，根据投影视图分析相对位置 4、综合起来，确定立体
全剖视图
识读简单立体三视图
教师：彭荣
Emal：pengyun1988@
1、根据两视图补画第三视图
提示
1、找出视图中的特征线框 2、根据投影规律找出其其他视图的投影 3、根据投影规律绘制第三投影 4、综合起来，检查立体
慧眼识图
第 10 页
课堂练习
课堂练习
2、补画三视图中漏画的图线
慧眼识图
第 11 页
课堂拓展
拓展习题
补画三视图中漏画的图线
授课教师 ︓ 彭荣
慧眼识图
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课程引入
看图说话
01 02 03
04
05
06
慧眼识图
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课程引入
看图说话
A B C
D
E
F
慧眼识图
第4 页
讲授课题-教师演示
看图补图：参照立体图补全三视图看图说话
慧眼识图
第5 页
讲授课题-教师演示

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慧眼识图领略几何模型魅力
作者：曾昭兴
来源：《读写算》2019年第34期
摘要几何是数学的重要内容，几何模型能够帮助学生更好的解决实际问题。

所以在初中几何数学教学过程中，应加强学生对几何模型的认识，引导学生掌握数学规律，从而促进初中数学几何教学水平的有效提升。

关键词初中数学;几何模型;探究
中图分类号：G632;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 文献标识码：A;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 文章編号：1002-7661（2019）34-0185-01
在初中数学教学过程中，学生常常遇到几何图形的相关问题，学生面对一些复杂的几何图形，往往会打退堂鼓，没有深入探究的勇气，主要是因为学生不能看懂图形。

所以为改善这一问题，教师就要加强学生对初中数学基本几何图形的认识和掌握，提高学生对几何图形的运用能力，从而使得学生能够更好的解决实际问题。

一、初中数学几何教学中常见的基本几何模型
（一）角含半角
近几年，角含半角是一个热门的几何图形，在解题过程中较为常见。

角含半角是指一个特殊角中包含一个半角，具体主要包括三种类型，一是60°角包含30°角，二是90°角包含45°角，三是120°角包含60°角，这三种类型较为典型的为后两种。

在实际解题过程中，想要认识和解决模型，主要是通过旋转来挖掘其中的隐形条件。

（二）一线三等角
一线三等角是初中几何模型常见的一种，主要是指直线一侧存在三等角，其主要也包括三种类型，即45°等角、60°等角、90°等角，这三种类型当中较为典型的是直接90°等角，这个模型的主要特点在于相似不相邻，在一些较为特殊的直角模型中，会存在不相邻的两个三角形为全等情况。

在具体解题过程中，学生如果能够掌握这一隐含条件，对学生的解题具有重要帮助。

（三）“大手拉小手”模型
“大手拉小手”模型的特征在于外表看似非常的复杂，实际上，具有一定的规律。

“大手拉小手”模型是由两个图形组成构成，这两个图大小不同、形状也不同，在具体的解题过程中，
应找寻这两个图形隐藏的规律，连接两个图形的两组对应点，可以在这个模型中构造两个全等三角形，这样就能够为解题提供重要的已知条件。

（四）十字形模型
十字形模型是指的十字形线段，即在图形内部存在两条线段，这两条线段相互垂直，形成“十字架”。

如果两条线段存在于矩形之中，就会有一个显著的特征，即图形内部两条线段之比与矩形的边长之比相等，进而推断出正方形内部的两条线段的长度相等。

二、初中数学几何模型的有效运用分析
（一）引导学生明确几何模型的类型
学生解题过程中，首先应明确几何的类型，这样才能快速解题。

为此教师就要加强学生对上述几种基本的几何模型理解和掌握，掌握不同几何模型的特征，使得学生能够在解题过程中快速确定是哪种几何模型，并利用几何模型隐藏的条件，结合已学的知识和经验，建立数量关系。

（二）培养学生空间想象能力
在几何知识学习过程中，学生应具备较强的空间想象能力，这也是几何教学的一项重要目标。

所以在初中数学几何教学过程中，教师应引导学生进行动手操作、观察、想象以及交流等一系列的活动，并根据学生的学习特点，为学生布置活动任务，引导学生在具体的实践活动中获得更多的几何模型知识以及技能。

例如在教师在引导学生学习“一线三等角”这课时，教师就可以让学生动手操作，制作这个模型，这个模型制作完成之后，教师再引导学生之间交流和讨论，分析这个模型的特点，使得学生能够更好的理解以及运用的模型，有利于培养学生的空间观念。

（三）加强学生的几何语言训练
几何模型是直观的、形象的，但是在具体的解题过程中，还应转变为几何语言，为此教师应加强学生几何语言训练，应从模型转变为具体图形，再转变为文字，最后转变为符号。

在几何教学过程中，往往是先从实物原型入手，同时文字和符号的描述，与图形都紧密结合的，这样学生能够更好的理解。

上述所述的常见几何模型在实际运用当中都是图形结合，既有相应的模型，同时也有符号文字的描述，所以教师要通过几何语言训练，让学生学会从图形转化为符号文字，将符号文字转化为图形，这是学生应掌握的一项重要能力，对学生解决几何图形的相关问题也具有重要帮助。

（四）加强学生作图技能的培养
在初中几何图形教学过程中，绘图和作图是学生应掌握的一项重要技能，在常见的一些几何模型中，还需要学生能够通过作图，建立关系，为解题提供重要条件。

教师在培养学生作图技能时，应引导学生养成良好的画图、作图习惯，应通过画图、作图，充分表现图形之间的位置关系，为进一步解题提供重要条件。

三、总结
总之，在初中数学几何教学过程中，教师应重视引导学生掌握常见的几何模型，明确不同几何模型的特征，找准不同模型的本质，并运用已学的知识，合理地进行作图、构造模型，使得学生能够更好地解决几何问题，提高学生学习几何知识的效果，从而实现学生数学成绩的有效提升。

参考文献：
[1]严忠德.浅谈运用几何模型方法解题[J].中学数学教学，1995（03）：22-24.
[2]张建权.再谈“一线三直角”几何模型的运用[J].初中数学教与学，2017（01）：26.。