第3讲 等差数列及其前n项和(知识点串讲)(原卷版)

第3讲 等差数列及其前n 项和

【知识梳理】

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．

【考点精炼】

考点一：定义辨析

例1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )

(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )

【知识梳理】

2．等差数列的通项公式

如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项

由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项. 4．等差数列的前n 项和公式

设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n

a 1＋a n 2或S n ＝na 1＋n

n －1

2

d . 5．等差数列的前n 项和公式与函数的关系

S n ＝d

2

n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．

【考点精炼】

考点二：等差数列的基本运算

例2、(2019·内蒙古赤峰月考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2

D ．－2

练习．(2018·山东临沂期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 6＝14，则S 7＝( ) A ．13 B ．35 C ．49

D ．63

练习．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10

D ．12

练习．(2018·吉林长春期末)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )

A ．30尺

B ．90尺

C ．150尺

D ．180尺

等差数列运算问题的通性通法

(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．

(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

考点三：等差数列的判定与证明

例3、已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1

a n －1(n ∈N *)．

(1)求证：数列{b n }是等差数列；

(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．

[变式探究] 本例中，若将条件变为a 1＝3

5

，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．

等差数列的四种判断方法

(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列. 可用来判定与证明． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．可用来判定与证明． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列． 练习 (2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和． 已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；

(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．

【知识梳理】

6．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 7．等差数列的前n 项和的最值

在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 8.与等差数列各项的和有关的性质

1．若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的1

2.

2．若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．

3．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质． (1)若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n

a n ＋1

.

(2)若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n

n －1.

4．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n ＝S 2n －1

T 2n －1

.

【考点精炼】

考点四：等差数列的性质及前n 项和的最值 一、等差数列的性质

例4、数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＋a 4＋a 6＝12，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．9 B ．10 C ．11

D ．12

二、等差数列前n 项和的性质

例5、(1)(2019·湖北武汉调研)若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1

D ．3 (2)(2019·山东日照检测)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 018

＝________.

三、等差数列前n 项和的最值

例6、等差数列{a n }的首项a 1>0，设其前n 项和为S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？