高中数学必修四课件：《任意角的概念》课件

2、弧度与角度的换算
若l=2 π r，
l 则∠AOB= = 2π弧度 r
此角为周角 即为360°
l=2 π r
O
r
A(B)
360°= 2π 弧度 180°= π 弧度
由180°= 1°=
π 弧度 还可得
π 弧度 ≈ 0．01745弧度 ——
180
180 1弧度 =（——）°≈ 57．30°= 57°18′
π
3、圆的弧长公式及扇形面积公式 由︱α︱=
l
l r
得
r
α
=︱α ︱r 1 S =—lr 2 1 = —︱α ︱r2 2
l
O
例
已知扇形的周长为
8 cm , 面积为 4 cm 度数 .
2
,
求该扇形的圆心角的弧
解 : 设扇形半径为
2R L 8
1 2 LR 4
R , 弧长为 L , 则由
L
③ k· 与之间是“+”号，如k· －30º 360º 360º ,应 看成(－30º k· )+ 360º ； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终 边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们 相差360º 的整数倍.
例1. 在0º ~360º 范围内，找出与下列各角终边
相同的角，并判断它是哪个象限的角.
| 2 | 2 2 | 2 3 | 2
2
| 2
3 | 2 2
( )
5、若β的终边与60º 角的终边相同，那么在
[0º ,360º ）范围内，终边与角
角为______________;

3
的终边相同的
• 1、角度制的定义 • 规定周角的 为1度的角这种用度做单位来度量角的制 360 度叫角度制。
1
n° 1°
l
R
2、弧长公式及扇形面积公式
nπR l= ——— 180
1770=305×360 (k=－5)
⑶ 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合：{β| β=α+k· ， k∈Z} 360º 即：任何一个与角终边相同的角，都可 以表示成角与整数个周角的和。
所有与终边相同的角连同在内可 以构成一个集合： ⑷注意以下四点： {β| β=α+k·360º k∈Z} ， ① k∈Z， 即：任何一个与角终边相同的角，都 可以表示成角与整数个周角的和。 K > 0，表示逆时针旋转， K < 0,表示顺时针旋转. ② 是任意角；
例4、写出终边落在y轴上的角的集合.
+K 360° y 90° ·
180°+K·360° o
+K 0° ·360° x
270° +K·360°
课堂练习
1．锐角是第几象限的角？第一象限的角是 否都是锐角？小于90º 的角是锐角吗？区间 (0º )内的角是锐角吗？ ,90º 答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定 是锐角；小于90º 的角可能是零角或负角，故 它不一定是锐角；区间(0º )内的角是锐 ,90º
角的概念推广以后，它包括任意大小的正
角、负角和零角．
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定源于实际的需要，就 好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，
就好象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素：
旋转中心、旋转方向和旋转量 （1）旋转中心：作为角的顶点. （2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根 据以往的经验，我们可以把一对意义相反的 量用正负数来表示，那么许多问题就可以解 决了；
| 6
,或 0
解 : 如图
2 6


0
6 2
当 2 , 3 , 时 , 或当 1 , 2 , 时 , 已超出 ( 6 , 6 )的范围 .
小结：
1、量角的制度:角度制与弧度制 弧度制除了使角与实数有一一对应关系外， 为以后学习三角函数打下基础。
B
2弧度
O r
A
O
r
A(B)
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它 所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度 数的绝对值是 l = 3，
r
l = －3弧度 即∠AOB=－ r
O
B
r
A
-3弧度
l=3r
由弧度的定义可知：
定 义 的 合 理 性
圆心角AOB的弧度数的绝对值等于 它所对的弧的长与半径长的比。
B
B O
终边重合。 角的记法：角α或可以简记成∠α，或简
记为： α. 如∠α=-1500
， α=00， α=6600 等等……
⑶角的概念扩展的意义： 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了 ① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660. ② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720） 3周（360×3=1080） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转.
nπR2 S= ——— 360
1、弧度制
• 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角。
设弧AB的长为l， l 若l=r，则∠AOB= =1 弧度
B l=r
1弧度
r
O
r
A
若l=2r，
若l=2 π r，
l =2 弧度 l r 则∠AOB= =2π弧度 r
l=2r
l=2 π r
2π弧度
则∠AOB=
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360º ， 角度的绝对值可大于360º .于是就会出现 720º － 540º ， 等角度.
3．象限角
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合 于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第 几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 （角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何 一个象限此时这种角称为：轴线角） 例如：30、390、330是第一象限角， 300、 60是第四象限角， 585、1300是第三象限角， 135 、2000是第二象限角等
B
O
A
⑵．“正角”与“负角”、“零角” 我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角 叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫 做负角，如图，以OA为始边的角α=210°， β=－150°，γ=660°，
2100
6600
-1500
特别地，当一条射线没有作任何旋转时，
我们也认为这时形成了一个角，并把这个角
叫做零角即零度角（0º ）．此时零角的始边与
角．
2 、已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是 ( ) A 第一象限角 C 第一、三象限角 B 第一、二象限角 D 第一、四象限角 ）
3、若α是第四象限角，则180º －α是（ A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角
4、若90º <β<α<135º ，则α－β的范围是 __________，α+β的范围是___________;
2、能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 3、弧长公式：
l r
1 2 lr 1 2 r
2
扇形面积公式： S
（其中 为圆心角 所对的弧长， 为圆心角的弧度数) l
写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）： ( ) 1、 终边与X轴正半轴重合； | 2 2、 终边与X轴负半轴重合； 3、 终边与X轴重合； 4、

R
解 得
R 2
L 4
故该扇形的圆心角

L R
的弧度数为
4 2
2
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：
正角 正实数 对应角的 弧度数
零角
负角
零
负实数
角的集合
实数集R
练习
如图 , 已知角的终边区域
y
, 求出角的范围
.
45
0 (1) y
0
x

4．终边相同的角
⑴ 观察：390，330角，它们的终边都与 30角的终边相同. ⑵探究：终边相同的角都可以表示此角与k(k∈Z)
个周角的和：
390=30+360(k=1), 330=30360 (k=－1)
30=30+0×360 (k=0), 1470=30+4×360(k=4)
| 2

4
2


( )
45
0 (2)
0
x
| 4 2
( )
练习
已知 A | 2 ( 2 k 1 ) B | 6 6 则 : A B ( )
+K 360° 90° · y
180°+K·360° o
+K 0° ·360° x 或360°+ K · 360°
270° +K·360°
• 第一象限的角表示为 {|k360<< 90 + k360,kZ}； • 第二象限的角表示为 {| 90 + k360<<180 +k360，kZ}； • 第三象限的角表示为 {| 180 + k360<< 270 + k360，kZ} • 第四象限的角表示为 {| 270 + k360<< 360 + k360，kZ}

| 2
( )
( )