3-4 生活中的优化问题举例

1 点，所以 x＝ a 是 V(x)的极大值点． 6 1 即当截下的小正方形边长为6a 时，容积最大．
第三章
3.4
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1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等 问题，这些问题通常称为 优化 问题． 2．解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程．
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3．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单 1 3 位：万件)的函数关系式为 y＝－ x ＋81x－234，则使该生产厂 3 家获取最大年利润的年产量为( A．13 万件 C．9 万件 ) B．11 万件 D．7 万件
课堂典例讲练
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思路方法技巧
命题方向
[例 1]
面积、容积最大问题
有一块边长为 a 的正方形铁板，现从铁板的四个角
各截去一个相同的小正方形， 做成一个长方体形的无盖容器． 为 使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
a 1 x1＝6a 在区间0，2内，x1 可能是极值点．且
当 0<x<x1 时，V′(x)>0； a 当 x1<x<2时，V′(x)<0.
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因此
a x1 是极大值点，且在区间0，2内，x1 是唯一的极值
1．了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题， 如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决 实际问题中的作用． 2．能利用导数求出某些特殊问题的最值．
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重点难点展示
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[点评]
利用导数求函数最值时，令 y′＝0 得到 x 的值，
此 x 的值不一定是极大(小)值时，还要判定 x 值左右两边的导 数的符号才能确定．
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成才之路· 数学
人教A版 ·选修1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
导数及其应用
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导数及其应用
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3．4 生活中的优化问题举例
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2．利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系， 找出实际问题的数学 模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y＝f(x)； (2)求函数的导数 f ′(x)，解方程 f ′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小) 者为最大(小)值．
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[解析]
设截下的小正方形边长为 x， 容器容积为 V(x)， 则
做成的长方体形无盖容器底面边长为 a－2x，高为 x， a V(x)＝(a－2x) x,0<x<2.
2
a 即 V(x)＝4x －4ax ＋a x,0<x<2.
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(4)把所得数学结论回归到数学问题中， 看是否符合实际情 况并下结论．其基本流程是
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课前自主预习
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3 2 2
实际问题归结为求 先求
a V(x)在区间0，2上的最大值点．为此，
a V(x)的极值点．在开区间0，2内，
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V′(x)＝12x2－8ax＋a2. 令 V′(x)＝0，得 12x2－8ax＋a2＝0. 1 1 解得 x1＝ a，x2＝ a(舍去)． 6 2
本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题． 本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．
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学习要点点拨
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1．生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高 等问题， 这些问题通常称为优化问题． 在解决实际优化问题中， 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示， 还应确定函数关系式中自变量的定义区间．
第三章
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数及其应用
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学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练
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课程目标解读
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[答案] C
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[解析]
1 3 ∵y＝－ x ＋81x－234， 3
∴y′＝－x2＋81(x>0)． 令 y′＝0 得 x＝9，令 y′<0 得 x>9，令 y′>0 得 0<x<9， ∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， ∴当 x＝9 时，函数取得最大值．故选 C.