3-4 生活中的优化问题举例
3-4 生活中的优化问题举例
能力拓展提升一、选择题11．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 39 000＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300[答案] D[解析] 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000,0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x ≤300时，p ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大，故选D.12．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为( )A ．4B ．8 C.43 D.83[答案] C[解析] V ＝13×2x 22·y ＝x 2y 3＝x 2(3－x )3＝3x 2－x33(0<x <3)，V ′＝6x －3x 23＝2x －x 2＝x (2－x )． 令V ′＝0，得x ＝2或x ＝0(舍去)． ∴x ＝2时，V 最大为43.13．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( )A.33cm B.1033cm C.1633cm D.2033cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2， 其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)， V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033. 当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0 所以当x ＝2033时，V 取最大值．14．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大值为( )A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D.12πr 2[答案] A[解析] 设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ，则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21. ∴S ＝4πr 2r 21－r 41. 令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r .此时S ＝4π·22r ·r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22r 2＝4π·22r ·22r ＝2πr 2. 二、填空题15．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．[答案] 4[解析] 设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x ，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则当高h ＝25664＝4时S 取得最小值．16．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件．[答案] 25[解析] 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．三、解答题17．已知某厂生产x 件产品的成本为c ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)． (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？[解析] (1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x ＝25 000x ＋200＋x40(x >0)， y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25 000x ＋200＋x 40′＝－25 000x 2＋140. 令y ′＝0，得x 1＝1 000，x 2＝－1 000(舍去)． 当在x ＝1 000附近左侧时，y ′<0； 在x ＝1 000附近右侧时，y ′>0； 故当x ＝1 000时，y 取得极小值．由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为L ＝500x －(25 000＋200x ＋x 240) ＝300x －25 000－x 240. ∴L ′＝300－x20.令L ′＝0，得x ＝6 000，当x 在6 000附近左侧时，L ′>0；当x 在6 000附近右侧时，L ′<0，故当x ＝6 000时，L 取得极大值．由于函数只有一个使L ′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．18．已知圆柱的表面积为定值S ，求当圆柱的容积V 最大时圆柱的高h 的值．[分析]将容积V表达为高h或底半径r的函数，运用导数求最值．由于表面积S＝2πr2＋2πrh，此式较易解出h，故将V的表达式中h消去可得V是r的函数．[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝S－2πr2 2πr，又圆柱的体积V＝πr2h＝r2(S－2πr 2)＝rS－2πr32，V′＝S－6πr22，令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，又r＝S6π，∴h＝2S6π＝6πS3π.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为6πS 3π.。
3.4生活中的优化问题举例
变式训练
2.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程 只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用 为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为
万元，(2假设桥x)墩x等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因
素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
费用最省、用料最少问题
例2.已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水而行到B地，水 速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/小时(8<v≤v0)．若船每小时 的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v＝12千米/小时时，每 小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船在静水中的速 度为多少？
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(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问 题的主要关系； (2)建模；将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应 的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法 求解； (4)对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，确定 其答案． 注：在将实际问题转化成数学问题时，要注意所设变量的取值 范围．
第九页，编辑于星期一：十四点 十二分。
变式训练
3.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销， 经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万 元)(0≤t≤3)． (1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告
3-4 生活中的优化问题举例
基础巩固强化一、选择题1．三次函数当x ＝1时，有极大值4；当x ＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x [答案] B[解析] 设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， ∵函数图象过原点，∴d ＝0.f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0f ′(3)＝0f (1)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝027a ＋6b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－6c ＝9，∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故应选B.2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )A ．2和6B ．4和4C ．3和5D ．以上都不对[答案] B[解析] 设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则y ＝x 3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0，函数单调递减；当4<x≤8时，y′>0，函数单调递增，所以x＝4时，y最小．3．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产()A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台[答案] A[解析]设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，令y′>0，得0<x<6，令y′<0，得x>6，∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()[答案] A[解析]加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A.5．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43R D.34R[答案] C[解析] 设圆锥高为h ，底面半径为r ， 则R 2＝(R －h )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2， ∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3， ∴V ′＝43πRh －πh 2，令V ′＝0得h ＝43R ， 当0<h <43R 时，V ′>0；当43R <h <2R 时，V ′<0. 因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大，故应选C.6．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1 D ．－8 [答案] C[解析] 瞬时变化率即为f ′(x )＝x 2－2x 为二次函数，且f ′(x )＝(x －1)2－1，又x ∈[0,5]，故x ＝1时，f ′(x )min ＝－1. 二、填空题7．把长为60cm 的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．[答案] 15cm 15cm[解析] 设长为x cm ，则宽为(30－x )cm ，此时S ＝x ·(30－x )＝30x －x 2，S ′＝30－2x ＝0，所以x ＝15.所以长为15cm ，宽为15cm 时，矩形的面积最大．8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．[答案] 3[解析] 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R 2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋54πR ，∴S ′(R )＝2πR －54πR 2＝0，令S ′＝0得R ＝3， ∴当R ＝3时，S 表最小．9．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2 1，该长方体的最大体积是________．[答案] 3m 3[解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为92－3x (0<x <32)，故体积为V ＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫92－3x ＝－6x 3＋9x 2，V ′＝－18x 2＋18x ，令V ′＝0得，x ＝0或1， ∵0<x <2，∴x ＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m 、1m 、1.5m 时，体积最大，最大体积V max ＝3m 3.三、解答题10．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？[解析]设水箱底边长为x cm，则水箱高为h＝60－x2(cm)．水箱容积V＝V(x)＝60x2－x32(0<x<120)(cm3)．V′(x)＝120x－32x 2.令V′(x)＝0得，x＝0(舍)或x＝80.当x在(0,120)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：数V(x)的最大值．将x＝80代入V(x)，得最大容积V＝802×60－8032＝128 000(cm3)．答：水箱底边长取80cm时，容积最大，最大容积为128 000cm3.。
高中数学选修1-1优质学案：§3.4 生活中的优化问题举例
§3.4生活中的优化问题举例学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．(√) 2．解决应用问题的关键是建立数学模型．(√)类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x 应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V 最大，则x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点 几何类型的优化问题 题点 几何体体积的最值问题解 (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ， 高为2(30－x )cm,0<x <30，所以包装盒侧面积为S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋30－x 22＝8×225，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)，所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′>0，得0<x <20； 令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为202cm ，高为102cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域． 跟踪训练1 已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最小时，圆柱的高h 的值为________．考点 几何类型的优化问题 题点 几何体体积的最值问题 [答案]6πS 3π[解析] 设圆柱的底面半径为r ，则S 圆柱底＝2πr 2， S 圆柱侧＝2πrh ，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh ， ∴h ＝S －2πr 22πr.又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最小． 又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最小时， 圆柱的高h 为6πS 3π. 类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例2 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入) 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，又设由此获得的收益是g (x )(百万元)，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0<x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值为42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 用料(费用)最省问题例3 某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝⎛⎭⎫1＋15ln x 来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？ 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数解决费用最省问题解 设建成x 个球场，则1≤x ≤10，每平方米的购地费用为128×1041000x ＝1280x (元)，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝⎛⎭⎫1＋15ln x 来表示， 所以每平方米的综合费用为g (x )＝f (x )＋1280x ＝800＋160ln x ＋1280x (x >0)，所以g ′(x )＝160(x －8)x 2(x >0)，令g ′(x )＝0，则x ＝8，当0<x <8时， g ′(x )<0，当x >8时，g ′(x )>0，所以当x ＝8时，函数取得极小值，且为最小值． 故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省．反思与感悟 费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． 跟踪训练3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数解决费用最省问题 解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝mx－1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋1212mx -＝m 2x 232512x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令f ′(x )＝0，得32x ＝512， 所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数， 所以f (x )在x ＝64处取得最小值． 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小.1．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，且f ′(100)＝－1，这个数据说明在第100天时( ) A ．公司已经亏损 B ．公司的盈利在增加 C ．公司的盈利在逐渐减少D ．公司有时盈利有时亏损 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题 [答案] C[解析] 因为f ′(100)＝－1，所以函数图象在x ＝100处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少．2．已知某厂家生产某种产品的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋36x ＋126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．11万件B ．9万件C ．7万件D ．6万件考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题 [答案] D[解析] 由y ′＝－x 2＋36＝0， 解得x ＝6或x ＝－6(舍去)． 当0<x <6时，y ′>0； 当x >6时，y ′<0， ∴在x ＝6时y 取最大值．3．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( ) A ．2m 3 B ．3m 3 C ．4m 3D ．5m 3 考点 几何类型的优化问题 题点 几何体体积的最值问题 [答案] B[解析] 设长方体的宽为x (m)，则长为2x (m)，高为h ＝18－12x 4＝92－3x (m)⎝⎛⎭⎫0<x <32，故长方体的体积为V (x )＝2x 2⎝⎛⎭⎫92－3x＝9x 2－6x 3⎝⎛⎭⎫0<x <32， 从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )，令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)．当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0， 故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值，从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．4．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料．考点 函数类型的优化问题题点 利用导数解决费用最省问题[答案] 4[解析] 设水箱高为h ，底面边长为a ，则a 2h ＝256，其表面积为S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ·256a 2＝a 2＋210a. 令S ′＝2a －210a 2＝0，得a ＝8. 当0<a <8时，S ′<0；当a >8时，S ′>0，故当a ＝8时，S 最小，此时h ＝2882＝4. 5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？考点 函数类型的优化问题题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)设商品降价x 元，则每星期多卖的商品数为kx 2.若记商品在一个星期的获利为f (x )，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)由(1)得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故当x＝12时，f(x)取得极大值．因为f(0)＝9072，f(12)＝11664.所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数[解析]式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.。
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：3-4《生活中的优化问题举例》
(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数
关系式； (2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
[解析] (1)由意可知次品率 p＝日产次品数/日产量，
每天生产 x 件，次品数为 xp，正品数为 x(1－p)． 3x 因为次品率 p＝ ，当每天 x 件时， 4x＋32
3x 3x 有 x· 件次品，有 x1－4x＋32 件正品． 4x＋32
a 时， y ′≤ 0 ； v ∈ b
a 时，y′≥0.所以 ， c b
ab 当 v＝ b 时，全程运输成本 y 最小．
ab ②若 >c，v∈(0，c]，此时 y′<0，即 y 在(0，c] b 上为减函数． 所以当 v＝c 时，y 最小． 综上可知，为使全程运输成本 y 最小． ab ab ab 当 b ≤c 时，行驶速度 v＝ b ；当 b >c 时，行 驶速度 v＝c.
答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的
体积最大，最大容积为16000cm3.
[点评] 在解决实际应用问题中，如果函数在区间内 只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还 是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．
已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物 线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的 长和宽． [解析] 如图所示，设出AD的长，进而求出AB，表示
[例3] 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入
成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，
本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投 入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出 厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知 年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售
2016_2017学年高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例课件
(1)写出2013年第x个月的需求量f(x)件与月份x的函数关系 式； (2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费年销售该商品的月利润最大是
多少元？
[思路点拨]
由需求 再求出 由已知 ――→ 第x个月的需求量 ――→ 总量求出
利用导数 月利润的函数关系式 ――→ 求最值
行时，能使行驶每千米的费用总和最小？
解析： 设船速为 x(x>0)，燃料费用为 Q 元，则 Q＝kx3. 3 3 3 由 6＝k×10 ，得 k＝ .∴Q＝ x . 500 500
3
∴总费用
3 1 3 2 96 3 x ＋96 ·＝ x ＋ . y＝ 500· x x 500
6 96 y′＝ x－ 2 ，令 y′＝0，得 x＝20. 500 x 当 x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减； 当 x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增． ∴当 x＝20 时，y 取得最小值． ∴此轮船以 20 千米/时的速度行驶， 每千米的费用总和最小.
H2 ＝2πr －2π· r ＋2πHr(0<r<R)． R
H2 (1)V′＝2πrH－3π·R r ； 2 令 V′＝0 得 r＝ R(0<r<R)． 3 由于在(0，R)内只有一个使函数的导数为 0 的点，问题(1) 2 中体积的最大值显然存在，故当 r＝3R 时，体积最大．
r (2)S′＝4πr＋2πH－4πH· ， R HR 令 S′＝0，得 r＝ ，0<r<R， 2H－R HR 即 0< <R， 2H－R HR ∴H>2R，即当 H>2R 时，r＝ . 2H－R 由于在(0，R)内只有一个使函数的导数为 0 的点，问题(2) HR 中表面积的最大值显然存在，故当 r＝ 时，表面积最大． 2H－R
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例引言生活中，我们经常面临各种各样的问题和挑战。
为了提高效率、提升生活质量，我们需要不断寻找解决问题的方法和策略。
在这篇文章中，我们将探讨生活中的优化问题，并给出一些实际的例子来说明如何应对这些问题。
什么是优化问题？优化问题是指在给定的限制条件下，寻找一个最优解的问题。
通过优化，我们可以最大限度地提高效率、降低成本、提升满意度等。
在生活中，我们可以将优化问题应用于各个领域，如时间管理、健康管理、金融规划等。
生活中的优化问题举例1. 时间管理时间管理是一个常见的生活优化问题。
我们每天都面临着有限的时间资源，如何合理分配时间成为了一个重要的课题。
以下是一些可以帮助我们优化时间管理的方法和技巧：1.制定优先级：将任务按照重要性和紧急性进行排序，优先处理重要且紧急的任务，避免因琐碎的事务耗费过多时间。
2.打破大目标：学会将大目标分解成小目标，逐步推进。
这样可以减少任务的压力，并更好地管理时间。
3.制定时间表：制定一个明确的时间表，为每项任务规定固定的时间段。
这样可以提高效率，并避免时间的浪费。
4.利用时间碎片：充分利用日常生活中的碎片化时间，比如排队等待、交通工具上的时间，可以用来读书、听课等。
2. 健康管理健康是幸福生活的基石，因此健康管理也成为了一个重要的优化问题。
以下是一些可以帮助我们优化健康管理的方法和策略：1.合理饮食：均衡饮食是健康的基础。
合理控制饮食，摄入适量的营养物质，避免过量或偏食，有助于维持身体的健康状态。
2.积极运动：适量的运动可以帮助我们保持身体健康和心理平衡。
根据个人情况选择合适的运动方式和时间，如慢跑、游泳、瑜伽等。
3.规律作息：良好的作息习惯对于身体和心理健康至关重要。
合理安排睡眠时间，确保充足的休息，有助于保持精力充沛和情绪稳定。
4.健康检查：定期进行身体检查，及时发现和处理潜在的健康问题，有助于预防和治疗疾病。
3. 金融规划金融规划是一个经济优化的问题。
3.4生活中的优化问题举例(1)
1dm
512 2x 8, x 0 x
128 解：设版心的高为xcm,则宽为 x dm,
2dm
此时四周空白面积为：
128 s ( x) ( x 4)( 2) 128 x 512 2x 8, x 0 x
128dm2
1dm
x + 4
求导数，有
令s '( x) 2
S '( x) 2
512 , 2 x
512 0, 解得，x=16 (x=-16舍去） 2 x 128 128 于是宽为 8 x 16 当x (0,16)时, s '( x) 0; 当x (16, )时, s '( x) 0;
因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。 答：当版心高为16dm,宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
解：设容器高为xcm，则底面边长为(30－2x)cm， 则得容器的容积V是x的函数， V(x)＝(30－2x)2·x (0<x<15)
＝4x3－120x2＋900x. ∴V′(x)＝12x2－240x＋900， 令V′(x)＝0，得x＝5，或x＝15(舍去) 当0<x<5时，V′(x)>0，当5<x<15时，V′(x)<0.
∴f ′(x)＝12x2－240x＋900， 令f ′(x)＝0，得x＝5，或x＝15(舍去) 当0<x<5时，f ′(x)>0， 当5<x<15时，f ′(x)<0.
∴当x＝5时，f (x)取极大值，这个极大值就是f (x)的
最大值． 注意：区间（0，30）为开区间，f (x)无最小值．
512 8, x (0, ) 的最小值。 2）求函数 f ( x) 2 x x 512 8, x (0, ) 解: f ( x) 2 x x 512 令f '( x) 2 2 0, 得:x 16( x 0) x
生活中的优化举例
05
工作办公优化
任务管理优化
总结词
高效、条理、计划
详细描述
通过制定明确的任务目标和计划，将工作任务分解为可执行的小任务，并按 优先级进行排序，可以帮助我们更高效地完成任务，同时避免任务遗漏或任 务完成不及时。
时间
详细描述
合理规划时间，将时间分配到不同的任务和活动中，可以最大限度地减少时间浪 费和提高工作效率。同时，学会合理调整工作节奏和时间安排，能够更好地适应 高强度的工作压力。
01
运用大数据技术，智能调度共享单车，提高单车可用性和效率
。
共享汽车服务
02
提供便捷的共享汽车服务，满足短途出行需求，减少汽车使用
频率。
电动汽车推广
03
鼓励使用电动汽车等环保出行方式，降低排放，改善空气质量
。
02
日常生活优化
购物优化
计划性购物：列出需要购买的物 品清单，尽量避免在无计划的情 况下进行购物，减少不必要
比较购物：在购买之前，通过线 上或线下的方式比较不同商家的 价格和质量，以便选择最合适
批量购买：一次性购买大量的日 用品，可以降低单位价格，同时 减少购物次数，提高购物效率。
的支出。
的商品。
饮食优化
均衡饮食：合理搭配 蛋白质、碳水化合物 、脂肪、维生素、矿 物质等营养素，以满 足身体
的基本需求。
简单化烹饪：减少烹 饪的复杂程度，使用 简单的烹饪技巧和食 材，可以降低食物中 脂肪和糖
游戏娱乐优化
流畅体验
通过优化游戏算法、降低游戏内延迟等技术手段，提高游戏的流畅度和稳定 性。
个性化设置
为玩家提供多种个性化设置，如自定义角色、场景等，让玩家更具自由度和 沉浸感。
生活中的优化举例
可以节省时间和交通费用，方便快捷地购买商品，还可以享受 送货上门的服务。
线上购物的注意事项
需要注意商品的质量和真实性，以及商家的信誉度和售后服务 ，避免遇到假货或欺诈行为。
03
健康优化
饮食优化
平衡饮食
保持饮食平衡，摄入足够的蔬菜、水果、全谷类和蛋白质来源 ，减少过度摄入高热量、高脂肪和高糖分的食物。
主动思考
不仅仅被动地接受知识，而是要主动思考和解决 问题，培养批判性思维。
复习与巩固
定期回顾和复习所学内容，加强记忆和理解，形 成长期记忆。
学习资源选择优化
精选资源
选择高质量、权威的学习资源，如教材、参考书、在线课程等。
适应资源
根据个人学习风格和需求，选择适合自己的学习资源，如视觉型 、听觉型、动手实践型学习者分别选择图表、讲解或实践操作等 资源。
3
适度强度
在运动过程中保持适度的强度和节奏，避免过 度疲劳和受伤。
睡眠优化
规律作息
保持规律的作息习惯，每天尽量在同一时间入睡和起床，以维持 正常的生物钟。
创造良好的睡眠环境
创造安静、黑暗和舒适的睡眠环境，避免使用电子设备如手机和 电视等在睡前一小时内。
控制睡眠时间
合理控制睡眠时间，成年人每晚通常需要7-9小时的睡眠，以保持精 力充沛和高效工作。
拓展资源
寻找与学习主题相关的其他资源，如相关论文、研究报告、案例工作流程优化
确定工作优先级
将任务按照优先级排序 ，先完成重要且紧急的 任务，再处理次要的任 务。
避免任务拖延
及时开始并完成每一项 任务，避免任务积压和 拖延。
建立工作流程图
制定详细的工作流程图 ，以便更好地了解任务 之间的依赖关系和执行 顺序。
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例
以下是一些生活中常见的优化问题举例：
1. 路线规划：对于一次旅行或者日常通勤，如何选择最短或最快的路线，以节省时间和资源。
2. 日程安排：如何合理分配时间，使得工作效率最大化，同时留出时间进行休息和娱乐。
3. 购物决策：在购买商品时，如何选择最佳的品牌、型号或价格，以满足需求并节约开支。
4. 饮食计划：如何合理安排饮食，以保证营养均衡，同时避免浪费和过量摄入。
5. 能源使用：如何优化能源的使用，例如合理设置空调温度、减少电器待机时间等，以节约能源成本并保护环境。
6. 个人理财：如何合理规划个人财务，包括投资、储蓄和债务，以实现财务增长并达到目标。
7. 旅游安排：在进行旅游计划时，如何选择最佳的目的地、交通方式、住宿和活动，以满足旅行的需求。
8. 学习方法：如何优化学习方法，例如选择适合个人的学习时间、学习环境和学习资源，以提高学习效率。
9. 生活习惯：如何培养健康的生活习惯，例如规律作息、科学饮食和适度运动，以改善身体健康。
10. 时间管理：如何合理分配时间，设置优先级和避免拖延，以提高工作和生活的效率。
生活中的优化问题举例
解析：设将这批货物全部运到最快需 t 小时，依题意 t ＝4v00＋16·2vv02＝4v00＋1460v0≥8.当且仅当4v00＝1460v0，即 v＝ 100 km/h 时，最快需 8 小时，故选 B.
答案：B
4．一房地产公司有 50 套公寓要出租，当月租金定为 1000 元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加 50 元，就会多 一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费 100 元维修费， 则房租定为________元时可获得最大收入．
因此乙方取得最大利润的年产量 t＝(10s00)2(吨)．
(2)设甲方净收入为 v 元，则 v＝st－0.002t2.
将 t＝(10s00)2 代入上式，得到甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函 数关系式 v＝10s002－2×1s40003.
又 v′＝－10s0202＋8×1s50003＝10002×s85000－s3，令 v′＝0， 得 s＝20. 当 s<20 时，v′>0；当 s>20 时，v′<0，所以 s＝20 时，v 取得 最大值．
(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305.所 以，当 x≥1 时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为[1,19]， 且 x∈N*，单调递减的实际意义是：随着产量的增加，每艘 船的利润与前一艘比较，利润在减少.
费用最省问题 例 2 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部 是边长分别为 x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角 形，要求框架围成的总面积为 8 m2，问 x、y 分别为多少时 用料最省(精确到 0.001 m)?
因此甲方向乙方要求赔付价格 s＝20(元/吨)时，获最大净收入．
3.4生活中的优化问题举例
3.4 生活中的优化问题举例
湖北省应城市第二高级中学 姜珊
格奥尔格▪克里斯托夫 ▪利希滕贝格
沃尔特▪波斯特曼
利润最大
用料最省
效率最高
马云
阿里巴巴创始人 阿里巴巴——中国最 大的电商
王健林
万达创始人 万达公司——中国最大 的商业地产公司
马化腾
QQ·微信创始人 腾讯公司——中国最大 的互联网通信平台
2
由 V(x)60x3x20
解得
x1=0
(舍),
2
x2=40.
当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0.
∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个 极大值就是函数V (x)的最大值.
V(4)0 420 (6 04)0 16(0 c0 )m 30 2
练习:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相 等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无 盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最 大容积是多少?
hx h
h x
h和x有怎样的等量关系？
2h+x=60
解 设箱底边长为 x, 箱子容积为
V(x)x2(6 0x)(0x6)0
生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题.
七
两
十
百
载
年
拼
梦
搏
想坚不持来自忘信初
念
心
问题1:海报版面尺寸的设计
向国家七十周年献礼，高二（15）班设计
海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖 向张贴的海报，要求版心面积为128cm2,上下 边各空2cm,左右空1cm,如何设计海报的尺寸， 才能使四周空白面积最小？
3-4 生活中的优化问题举例
1．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.ab B.a 2b C.b a D.b 2a[答案] C [解析]如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .设造价为y ，则y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·V πR2＝2πaR 2＋2bV R ，∴y ′＝4πaR －2bVR 2.令y ′＝0并将V ＝πR 2h 代入解得，2R h ＝ba .2．以长为10的线段AB 为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．50[答案] C[解析] 如图，设∠NOB ＝θ，则矩形面积S ＝5sin θ·2·5cos θ＝50sin θ·cos θ＝25sin2θ，故S max ＝25.3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，要使利润最大每件定价为________元．[答案] 85[解析] 设每件商品定价x 元，依题意可得利润为L ＝x (200－x )－30x ＝－x 2＋170x (0＜x ＜200)． L ′＝－2x ＋170，令－2x ＋170＝0，解得x ＝1702＝85.因为在(0,200)内L 只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．4．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大？[分析] 利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格，由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．[解析] 收入R ＝q ·p ＝q (25－18q )＝25q －18q 2.利润L ＝R －C ＝(25q －18q 2)－(100＋4q )＝－18q 2＋21q －100(0<q <200)，所以L ′＝－14q ＋21.令L ′＝0， 即－14q ＋21＝0，解得q ＝84. 因为当0<q <84时，L ′>0； 当84<q <200时，L ′<0，所以当q ＝84时，L 取得最大值，最大值为782. 答：当产量为84时，利润取得最大值782.5．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元，已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本C (x )＝200x ＋136x 3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？[解析] 设该厂生产x 件这种产品利润为L (x ) 则L (x )＝500x －2 500－C (x ) ＝500x －2 500－⎝⎛⎭⎪⎫200x ＋136x 3＝300x －136x 3－2 500(x ∈N )令L ′(x )＝300－112x 2＝0，得x ＝60(件) 又当0≤x <60时，L ′(x )>0 x >60时，L ′(x )<0所以x ＝60是L (x )的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝60时，L (x )＝9 500元．答：要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．。
3.4-生活中的优化问题举例解析
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3．4 生活中的优化问题举例
要点一 用料最省问题 例 1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸 的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位 于离河岸 40 千米的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 千米，两厂要在此岸边合建一个供 水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元 和 5a 元，问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？
解 设速度为每小时 v 海里的燃料费是每小时 p 元，那么由题 设的比例关系得 p＝k·v3，其中 k 为比例系数，它可以由 v＝10， p＝6 求得，即 k＝1603＝0.006，于是有 p＝0.006v3.
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3．4 生活中的优化问题举例
又设当船的速度为每小时 v 海里时，行 1 海里所需的总费用为 q 元，那么每小时所需的总费用是 0.006v3＋96(元)，而行 1 海 里所需时间为1v小时，所以，行 1 海里的总费用为： q＝1v(0.006v3＋96)＝0.006v2＋9v6. q′＝0.012v－9v62＝0.v0212(v3－8 000)， 令 q′＝0，解得 v＝20.∵当 v<20 时，q′<0；
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3．4 生活中的优化问题举例
4．(2013·重庆卷)统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小 时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/时)的函数解析式可以表 示为 y＝1281000x3－830x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距 100 千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗 油最少？最少为多少升？
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2014年人教A版选修1-1课件 3.4 生活中的优化问题举例
3.1 变化率与导数
3.2 导数的计算
3.3 导数在研究函数中的应用 3.4 生活中的优化问题举例 第三章 小结
3.4
生活中的优化问题举例
3.4 生活中的优化问题举例 复习与提高
Hale Waihona Puke 3.4返回目录1. 课本中的三个例题是用导数解决函数中 的什么问题? 2. 什么是优化问题? 解决这类问题的思路 是怎样的?
例2. 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料, 瓶子 的制造成本是 0.8pr2 分, 其中 r 是瓶子的半径, 单位 是厘米. 已知每出售 1 ml 的饮料, 制造商可获利 0.2 分, 且制造商能制作瓶子的最大半径为 6 cm. (1) 瓶子半径多大时, 能使每瓶饮料的利润最大? (2) 瓶子半径多大时, 每瓶饮料的利润最小? 解: 由题设得每瓶的利润函数为 f (r ) = 0.2 4 pr 3 0.8pr 2 (0 r 6). 3 f(r) = 0.8pr21.6pr, 解 0.8pr21.6pr>0 得 r>2, 即 2<r≤6 时, f(r)>0, 函数是增函数; 0<r<2 时, f(r)<0, 函数是减函数.
例2. 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料, 瓶子 的制造成本是 0.8pr2 分, 其中 r 是瓶子的半径, 单位 是厘米. 已知每出售 1 ml 的饮料, 制造商可获利 0.2 分, 且制造商能制作瓶子的最大半径为 6 cm. 也是最小值点, r=2 是极小值点 (1) 瓶子半径多大时 ,, 能使每瓶饮料的利润最大 ? r=6是最大值点, . 每瓶饮料的利润最小? (2) 瓶子半径多大时 (1) 当半径为 6 cm 时, 每瓶饮料的利润最大, 解 : 由题设得每瓶的利润函数为 f最大利润为 (r ) = 0.2 4 pr 3 0.8pr 2 (0 r 6). 3 4 p 63 0.8p 62≈90 (分). f ( 6 ) = 0 . 2 21.6pr, f(r) = 0.8pr3 (2) 解 当半径为 2 cm 时,得每瓶饮料的利润最小 , r>2, 0.8pr21.6 pr>0 最小利润为 即 2<r≤6 时, f(r)>0, 函数是增函数; 4 p 23 0.8p 22≈3 (分). f ( 2 ) = 0 . 2 0<r<2 时, f3 (r)<0, 函数是减函数.
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1．了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题， 如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决 实际问题中的作用． 2．能利用导数求出某些特殊问题的最值．
第三章
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重点难点展示
第三章
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第三章
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[点评]
利用导数求函数最值时，令 y′＝0 得到 x 的值，
此 x 的值不一定是极大(小)值时，还要判定 x 值左右两边的导 数的符号才能确定．
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1 点，所以 x＝ a 是 V(x)的极大值点． 6 1 即当截下的小正方形边长为6a 时，容积最大．
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[答案] C
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[解析]
1 3 ∵y＝－ x ＋81x－234， 3
∴y′＝－x2＋81(x>0)． 令 y′＝0 得 x＝9，令 y′<0 得 x>9，令 y′>0 得 0<x<9， ∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减， ∴当 x＝9 时，函数取得最大值．故选 C.
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
导数及其应用
第三章
导数及其应用
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第三章
3．4 生活中的优化问题举例
本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题． 本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．
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学习要点点拨
第三章
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1．生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高 等问题， 这些问题通常称为优化问题． 在解决实际优化问题中， 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示， 还应确定函数关系式中自变量的定义区间．
第三章
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[解析]
设截下的小正方形边长为 x， 容器容积为 V(x)， 则
做成的长方体形无盖容器底面边长为 a－2x，高为 x， a V(x)＝(a－2x) x,0<x<2.
2
a 即 V(x)＝4x －4ax ＋a x,0<x<2.
第三章
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(4)把所得数学结论回归到数学问题中， 看是否符合实际情 况并下结论．其基本流程是
第三章
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课前自主预习
第三章
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第三章
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2．利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系， 找出实际问题的数学 模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y＝f(x)； (2)求函数的导数 f ′(x)，解方程 f ′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小) 者为最大(小)值．
3 2 2
实际问题归结为求 先求
a V(x)在区间0，2上的最大值点．为此，
a V(x)的极值点．在开区间0，2内，
第三章
3.4
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V′(x)＝12x2－8ax＋a2. 令 V′(x)＝0，得 12x2－8ax＋a2＝0. 1 1 解得 x1＝ a，x2＝ a(舍去)． 6 2
课堂典例讲练
第三章
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思路方法技问题
有一块边长为 a 的正方形铁板，现从铁板的四个角
各截去一个相同的小正方形， 做成一个长方体形的无盖容器． 为 使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
第三章
导数及其应用
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学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练
第三章
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课程目标解读
第三章
3.4
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1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等 问题，这些问题通常称为 优化 问题． 2．解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程．
第三章
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3．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单 1 3 位：万件)的函数关系式为 y＝－ x ＋81x－234，则使该生产厂 3 家获取最大年利润的年产量为( A．13 万件 C．9 万件 ) B．11 万件 D．7 万件
a 1 x1＝6a 在区间0，2内，x1 可能是极值点．且
当 0<x<x1 时，V′(x)>0； a 当 x1<x<2时，V′(x)<0.
第三章
3.4
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因此
a x1 是极大值点，且在区间0，2内，x1 是唯一的极值