阶跃与渐变折射率光纤的波动
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光纤通信课后习题解答-第2章习题参考答案
第二章 光纤和光缆1．光纤是由哪几部分组成的？各部分有何作用？答：光纤是由折射率较高的纤芯、折射率较低的包层和外面的涂覆层组成的。
纤芯和包层是为满足导光的要求；涂覆层的作用是保护光纤不受水汽的侵蚀和机械擦伤，同时增加光纤的柔韧性。
2．光纤是如何分类的？阶跃型光纤和渐变型光纤的折射率分布是如何表示的？答：（1）按照截面上折射率分布的不同可以将光纤分为阶跃型光纤和渐变型光纤；按光纤中传输的模式数量，可以将光纤分为多模光纤和单模光纤；按光纤的工作波长可以将光纤分为短波长光纤、长波长光纤和超长波长光纤；按照ITU-T 关于光纤类型的建议，可以将光纤分为G .651光纤（渐变型多模光纤）、G.652光纤（常规单模光纤）、G.653光纤（色散位移光纤）、G.654光纤（截止波长光纤）和G.655（非零色散位移光纤）光纤；按套塑（二次涂覆层）可以将光纤分为松套光纤和紧套光纤。
（2）阶跃型光纤的折射率分布 () 21⎩⎨⎧≥<=ar n ar n r n 渐变型光纤的折射率分布 () 2121⎪⎩⎪⎨⎧≥<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-=ar n a r a r n r n cm α 3．阶跃型光纤和渐变型光纤的数值孔径NA 是如何定义的？两者有何区别？它是用来衡量光纤什么的物理量？答：阶跃型光纤的数值孔径 2sin 10∆==n NA φ渐变型光纤的数值孔径 ()() 20-0s i n220∆===n n n NA c φ两者区别：阶跃型光纤的数值孔径是与纤芯和包层的折射率有关；而渐变型光纤的数值孔径只与纤芯内最大的折射率和包层的折射率有关。
数值孔径是衡量光纤的集光能力，即凡是入射到圆锥角φ0以内的所有光线都可以满足全反射条件，在芯包界面上发生全反射，从而将光线束缚在纤芯中沿轴向传播。
4．简述光纤的导光原理。
答：光纤之所以能够导光就是利用纤芯折射率略高于包层折射率的特点，使落于数值孔径角)内的光线都能收集在光纤中，并在芯包边界以内形成全反射，从而将光线限制在光纤中传播。
光纤折射率变化对布里渊声光耦合强度的影响
表 3 纤芯包层折射率差对声光有效面积（ m 2 ）的影响
n
0.003 189 1055 1648
0.004 128 855 1870
0.005 99 741 1836
0.006 83 670 1762
0.007 72 620 1691
0.008 65 584 1632
A1ao
ao A2
A3ao
ao 参数。由公式（3） 、 （4）和（5）可知，当 g m 是常数时，布里渊散射强度主要由 Am 决 定。 在单模光纤中，光波只存在基模 LP01 ，由光波激励的纵向声波 L0 m 可以有多阶，是
角向无关的。光波和声波分别满足模式方程[2]： w2 n2 r 2 2 f r - j f r 0 2 c
(a) 阶跃折射率分布
(b) 渐变折射率分布 (c) 复杂折射率分布 图 1 常用光纤折射率分布示意图
在用 COMSOL Multiphysics 进行仿真时，设置纤芯和包层之间满足纽曼边界条件， 包层和外界满足狄利克雷边界条件。根据公式（11） ，无掺杂条件下（包层）材料的折 射率为 1.458。 以下分别仿真上述图 1(b)和(c)的情况，并与图 1(a)的情况比较。 渐变折射率分布采用超高斯函数近似： （12） n 1.458 n e 其中 n 是纤芯包层折射率差，纤芯半径为 4.25 m ， M 是超高斯函数的阶数，M 越大， 折射率分布越接近阶跃型。 首先仿真 M 值变化对声光有效面积的影响。 仿真时纤芯掺 GeO2 ， 掺杂浓度为 6% ， 在此掺杂浓度下，纤芯折射率 ncore 1.463 。仿真结果如表 1 所示：
光纤折射率变化对布里渊声光耦合强度的影响
曹珊，张敏
n
0.003 189 1055 1648
0.004 128 855 1870
0.005 99 741 1836
0.006 83 670 1762
0.007 72 620 1691
0.008 65 584 1632
A1ao
ao A2
A3ao
ao 参数。由公式（3） 、 （4）和（5）可知，当 g m 是常数时，布里渊散射强度主要由 Am 决 定。 在单模光纤中，光波只存在基模 LP01 ，由光波激励的纵向声波 L0 m 可以有多阶，是
角向无关的。光波和声波分别满足模式方程[2]： w2 n2 r 2 2 f r - j f r 0 2 c
(a) 阶跃折射率分布
(b) 渐变折射率分布 (c) 复杂折射率分布 图 1 常用光纤折射率分布示意图
在用 COMSOL Multiphysics 进行仿真时，设置纤芯和包层之间满足纽曼边界条件， 包层和外界满足狄利克雷边界条件。根据公式（11） ，无掺杂条件下（包层）材料的折 射率为 1.458。 以下分别仿真上述图 1(b)和(c)的情况，并与图 1(a)的情况比较。 渐变折射率分布采用超高斯函数近似： （12） n 1.458 n e 其中 n 是纤芯包层折射率差，纤芯半径为 4.25 m ， M 是超高斯函数的阶数，M 越大， 折射率分布越接近阶跃型。 首先仿真 M 值变化对声光有效面积的影响。 仿真时纤芯掺 GeO2 ， 掺杂浓度为 6% ， 在此掺杂浓度下，纤芯折射率 ncore 1.463 。仿真结果如表 1 所示：
光纤折射率变化对布里渊声光耦合强度的影响
曹珊，张敏
《光纤通信》试题计算分析题练习
I D 10nA ， Req 50 ， Ft 3dB 。
（ 1）若接收光功率为 10dBm ，试求这个链路的载噪比； （ 2）若每个信道的调制指数增加到 7%，接收光功率减少到 13dBm ，试求这
个链路的载噪比。 30. 一直有一个 565Mb/s 单模光纤传输系统，其系统总体要求如下：
（1）光纤通信系统的光纤损耗为 0.1dB/km，有 5 个接头，平均每个接头损耗 为 0.2dB，光源的入纤功率为 -3dBm，接收机灵敏度为 -56dB（m BER=10-19 ）。
850nm波长上可以支持 1000
16. 用纤芯折射率为 n1 1.5 ，长度未知的弱导光纤传输脉冲重复频率 f 0 8MHz 的
光脉冲，经过该光纤后，信号延迟半个脉冲周期，试估算光纤的长度 L 。
17. 有阶跃型光纤，若 n1 1.5， 0 1.31 m，那么 （1）若 0.25 ，为保证单模传输，光纤纤芯半径
25. 如果激光器在 0.5 m 上工作，输出 1W的连续功率， 试计算每秒从激活物
质的高能级跃迁到低能级的粒子数。
26. 设 PIN 光电二极管的量子效率为 80%，计算在 1.3 m 和 1.55 m 波长时的响应
度，说明为什么在 1.55 m 处光电二极管比较灵敏。
27. 假设我们想要频分复用 60 路 FM信号，如果其中 30 路信号的每一个信道的
（2）光纤线路上的线路码型是 5B6B，光纤的色散系数为 2ps/ （km.nm），光源 光谱宽度为 1.8nm。
求：最大中继距离是多少？ 注：设计中选取色散（功率）代价为 1dB，光连接器损耗为 1dB（发送和接收
端各一个），光纤富于度为 0.1dB/km ，设备富于度为 5.5dB。 31. 一个二进制传输系统具有以下特性：
（ 1）若接收光功率为 10dBm ，试求这个链路的载噪比； （ 2）若每个信道的调制指数增加到 7%，接收光功率减少到 13dBm ，试求这
个链路的载噪比。 30. 一直有一个 565Mb/s 单模光纤传输系统，其系统总体要求如下：
（1）光纤通信系统的光纤损耗为 0.1dB/km，有 5 个接头，平均每个接头损耗 为 0.2dB，光源的入纤功率为 -3dBm，接收机灵敏度为 -56dB（m BER=10-19 ）。
850nm波长上可以支持 1000
16. 用纤芯折射率为 n1 1.5 ，长度未知的弱导光纤传输脉冲重复频率 f 0 8MHz 的
光脉冲，经过该光纤后，信号延迟半个脉冲周期，试估算光纤的长度 L 。
17. 有阶跃型光纤，若 n1 1.5， 0 1.31 m，那么 （1）若 0.25 ，为保证单模传输，光纤纤芯半径
25. 如果激光器在 0.5 m 上工作，输出 1W的连续功率， 试计算每秒从激活物
质的高能级跃迁到低能级的粒子数。
26. 设 PIN 光电二极管的量子效率为 80%，计算在 1.3 m 和 1.55 m 波长时的响应
度，说明为什么在 1.55 m 处光电二极管比较灵敏。
27. 假设我们想要频分复用 60 路 FM信号，如果其中 30 路信号的每一个信道的
（2）光纤线路上的线路码型是 5B6B，光纤的色散系数为 2ps/ （km.nm），光源 光谱宽度为 1.8nm。
求：最大中继距离是多少？ 注：设计中选取色散（功率）代价为 1dB，光连接器损耗为 1dB（发送和接收
端各一个），光纤富于度为 0.1dB/km ，设备富于度为 5.5dB。 31. 一个二进制传输系统具有以下特性：
第二章_光纤传输理论及传输特性(2011)
按缆芯结构
中心束管、层绞、骨架和带状
按加强件和护层
金属加强件、非金属加强、铠装
按使用场合
长途/室外、室内、水下/海底等
按敷设方式
架空、管道、直埋和水下
19
光缆的结构（成缆方式）
层绞式 骨架式 中心束管式 带状式
20
光缆结构示意图
层绞式
中心束管式
带状式
纤芯直径(um) 包层直径(um) 材料 二氧化硅 二氧化硅 二氧化硅 二氧化硅 二氧化硅
A1a
A1b A1c A1d A2a A2b A2c A3a A3b A3c A4a A4b A4c
50
62.5 85 100 100 200 200 200 200 200 980-990 730-740 480-490
21
松套层绞3
金属加强自承式光缆
24
微束管室内室外光缆*
微束管室内室外光缆适合大楼和多层住宅楼的管道引入使用，适合室 内和室外两种环境，芯数一般为12～32。微束管松套光纤为半干式结构， 便于室内光缆分支和施工。
25
分支型室内布线光缆*
分支型室内布线光缆采 用单芯子单元光缆结构，适 合在大楼竖井内中长距离上 的多处分纤终端，每条光缆 子单元均可用现场连接器直 接与终端相连接。光缆为全 介质结构，具有优良的防火 阻燃性能。抗拉强度和防火 等级满足室内垂直/水平布线 光缆的等级要求。芯数有 4/6/8/12/24多种。 与分支型室内布线光缆类似，还有一种束状室内布线光缆，使用 0.9mm紧套光纤，干式结构，纤芯密度高，重量轻。
光纤通信与数字传输
南京邮电大学
通信与信息工程学院
第二章 光纤传输理论及传输特性
三、阶跃折射率光纤
阶跃折射率光纤
目录
• 阶跃折射率光纤简介 • 阶跃折射率光纤的制造工艺 • 阶跃折射率光纤的传输特性 • 阶跃折射率光纤的优缺点 • 阶跃折射率光纤的发展趋势与未来展望
01
阶跃折射率光纤简介
定义与特性
定义
阶跃折射率光纤是一种特殊类型的光 纤，其折射率在纤芯中是常数，而在 包层中呈阶梯状变化。
特性
具有低损耗、宽频带、高色散容忍度 等优点，广泛应用于通信、传感和医 疗等领域。
历史与发展
01
02
03
起源
阶跃折射率光纤最初由美 国贝尔实验室于1970年代 研制成功。
发展历程
随着光纤制造技术的不断 进步，阶跃折射率光纤的 制造工艺逐渐成熟，性能 得到不断提升。
未来展望
随着5G、物联网等技术的 快速发展，阶跃折射率光 纤在高速通信、远程医疗 等领域的应用前景广阔。
优点
01
高带宽
阶跃折射率光纤具有较大的带宽， 能够支持高速数据传输。
结构简单
阶跃折射率光纤的结构相对简单， 制造工艺相对成熟。
03
02
低损耗
与渐变折射率光纤相比，阶跃折射 率光纤的传输损耗较低。
抗干扰能力强
阶跃折射率光纤对外部环境因素的 干扰具有较强的抵抗能力。
04
缺点
色散限制
阶跃折射率光纤存在较大的色 散，限制了传输距离和带宽。
提升光纤性能
随着新材料和新工艺的不断涌现，阶跃折射率光纤的性能将得到进一步提升，如降低损耗、提高耐久 性等，有助于提高信号传输质量和稳定性。
降低制造成本
新工艺的应用将有助于降低阶跃折射率光纤的制造成本，使其更具有市场竞争力，推动光纤技术的普 及和应用。
THANKS FOR WATCHING
目录
• 阶跃折射率光纤简介 • 阶跃折射率光纤的制造工艺 • 阶跃折射率光纤的传输特性 • 阶跃折射率光纤的优缺点 • 阶跃折射率光纤的发展趋势与未来展望
01
阶跃折射率光纤简介
定义与特性
定义
阶跃折射率光纤是一种特殊类型的光 纤，其折射率在纤芯中是常数，而在 包层中呈阶梯状变化。
特性
具有低损耗、宽频带、高色散容忍度 等优点，广泛应用于通信、传感和医 疗等领域。
历史与发展
01
02
03
起源
阶跃折射率光纤最初由美 国贝尔实验室于1970年代 研制成功。
发展历程
随着光纤制造技术的不断 进步，阶跃折射率光纤的 制造工艺逐渐成熟，性能 得到不断提升。
未来展望
随着5G、物联网等技术的 快速发展，阶跃折射率光 纤在高速通信、远程医疗 等领域的应用前景广阔。
优点
01
高带宽
阶跃折射率光纤具有较大的带宽， 能够支持高速数据传输。
结构简单
阶跃折射率光纤的结构相对简单， 制造工艺相对成熟。
03
02
低损耗
与渐变折射率光纤相比，阶跃折射 率光纤的传输损耗较低。
抗干扰能力强
阶跃折射率光纤对外部环境因素的 干扰具有较强的抵抗能力。
04
缺点
色散限制
阶跃折射率光纤存在较大的色 散，限制了传输距离和带宽。
提升光纤性能
随着新材料和新工艺的不断涌现，阶跃折射率光纤的性能将得到进一步提升，如降低损耗、提高耐久 性等，有助于提高信号传输质量和稳定性。
降低制造成本
新工艺的应用将有助于降低阶跃折射率光纤的制造成本，使其更具有市场竞争力，推动光纤技术的普 及和应用。
THANKS FOR WATCHING
光纤的基本理论
3. 按光纤构成的原材料分类
石英系光纤 多组分玻璃光纤 塑料包层光纤 全塑光纤 目前光纤通信中主要使用石英系光纤
4. 按光纤的套塑层分类
紧套光纤 松套光纤
1.1.2 多模阶跃折射率光纤的射
线光学理论分析
图示为阶跃光纤的子午光线。
在多模阶跃光纤的纤芯中，光按直线传输， 在纤芯和包层的界面上光发生反射。由于 光纤中纤芯的折射率n1大于包层的折射率 n2，所以在芯包界面存在着临界角φc 。
射线轨迹法
在光纤半径和波长之比很大时，可得到很 好的近似结果，所谓“短波长极限”。
光射线与模式的联系
沿光纤轴方向传播的导波模可以分解 为一系列平面波的叠加，即在光纤轴的横 方向形成驻波分布。
任一平面波都与其相前垂直的射线联 系。
根据射线描述，只要入射角大于临界 角的任何射线都可以在光纤中传播，加上 驻波条件后，允许的角度就只有有限个。
围表示，也可用 频率范围 f来表示
它们的关系为
f
f
、f分别是光源的
中心波长和中心频
率
1.5.2 光纤色散的种类
模式色散 材料色散 波导色散 偏振模色散
1.5.3 光纤色散的表示法
特定模式传输群速度
vg
d d
单位长度光纤的群时延
g
1 vg
d d
1 d
c dk
2 d 2 c d
最大时延差
传导模 对于e j(t z) 中 n2k n1k时 截止模 当 n2k时，模式截止。 泄露模 n2k 时出现，仍被约束在纤
芯内传播一段距离。
归一化频率V
V
2 a
(n12
1
n22 )2
2 a
NA
渐变折射率光纤
ds ds ds
ds
将上式积分，可以定义光线在传播过程中的第二个不变量l, 即
l
r2 a
nr
d ds
r a
n r sinz
r cos
r
4 5
将(4-4)(4-5)和阶跃光纤中的情况做比较，可以发现后者只是前者在
n(r)=n1, r=a的特例。利用这两个定义式，消去光线与z轴夹角的因子，
可以得到偏斜角与折射率分布的关系
沿z轴方向具有不变性。我们可以定义光线传播过程中的不变量
nr
dz ds
nr cosz
r
4 4
上式其实也可以从光线路径方程(4-2)的第3式积分得到，我们来
得到不变量，将(4-2)的第2式两边同乘以 r 2 ，可以得到
r2 d nr d r2nr d dr d r2nr d 0
ds ds
现g(r) =0在r a范围内有两个根ric 和 rtp，同时在r a区域，也就是
包层内还有一个根，记 r rrad ，当r rrad 时也有gr 0 ，即此时也
有光线路径存在，称为漏泄光线。r rrad的面称为辐射焦散面，从 g(r)=0可以求得其值为
点上必有偏斜角 r 0 ，由此可从(4-6)得到内、外焦散面的半
径 rtp、ric 满足下列关系
n2
r
2
a2 r2
l2
0
4 7
ric
偏斜光线的传播路径及在横截面上的投影
分析上式，可以看到，只要光纤折射率分布n2 r 确定以后，光线
的初始条件 2 和 l 2 可以确定 rtp、ric。
可以将上式转化为关于r的二次方程，为
光线可以从纤芯折射入包层，这就是折射光线，图c的情形。
渐变折射率光纤和阶跃折射率光纤
标题：探索光纤：渐变折射率光纤与阶跃折射率光纤的区别与应用在当今高科技发展的浪潮中，光纤技术作为信息传输领域的重要组成部分，不断呈现出新的发展趋势。
其中，渐变折射率光纤和阶跃折射率光纤作为两种重要的光纤类型，各自具有独特的特点和应用领域。
本文将对这两种光纤进行深入探讨，以帮助读者更全面地了解光纤技术的发展和应用。
一、渐变折射率光纤渐变折射率光纤是一种在纤芯和包层间折射率逐渐变化的光纤结构。
这种光纤的特点是折射率的连续变化，能够有效地减少光波在光纤内部的衍射损耗，提高光纤的传输效率。
由于其折射率的渐变特性，渐变折射率光纤可以实现更加灵活和高效的光信号传输，尤其适用于光通信和传感领域。
渐变折射率光纤的应用：1. 光通信领域：渐变折射率光纤可以有效减少光信号在传输过程中的衍射损耗，提高光纤传输的带宽和距离，因此被广泛应用于光通信领域，包括光纤通信网络和传感器系统。
2. 光传感领域：由于渐变折射率光纤能够实现对光信号的精准传输和控制，因此在光传感领域具有广泛的应用前景，如光纤光栅传感器和光纤激光雷达系统等。
二、阶跃折射率光纤阶跃折射率光纤是一种在纤芯和包层间折射率呈现明显跳跃变化的光纤结构。
这种光纤的特点是折射率的突变变化，能够实现光信号的衍射和反射效应，具有独特的光学性能和应用特点。
阶跃折射率光纤通常用于光学传感器、激光器和光纤放大器等领域。
阶跃折射率光纤的应用：1. 光学传感领域：阶跃折射率光纤具有优异的光学分布特性和高灵敏度，能够实现对光信号的高效传感和探测，因此在光学传感领域具有广泛的应用，如光纤温度传感器和光纤压力传感器等。
2. 光纤激光器和放大器：阶跃折射率光纤的折射率突变结构能够实现光波的反射和放大，因此被广泛应用于光纤激光器和光纤放大器等光学器件中，具有重要的应用价值和市场前景。
总结：通过对渐变折射率光纤和阶跃折射率光纤的深入探讨，我们可以看到它们各自具有独特的光学结构和应用特点，为光纤技术的发展和应用提供了新的思路和可能性。
第4章 光纤光学课件渐变折射率分布光纤
r0n(r0 )sinθZ(r0 )cosθφ(r0 )
角向运动特点
光线的角动量：
恒为常数
r
2
r2
df
dt
I n
Hale Waihona Puke dz dtI nVp
Ic
n2
– 这表明,光线角向运动速度将取决于光线轨迹 到纤轴距离r:在最大的r处光线转动最慢;在最 小的r处光线转动最快。
子午光线：θφ＝π/2， I 0
dφ/dz＝0 光线保持在同一平面
(dz/dS)|r0
＝rcosθrzr(ˆr0) zzˆ
x
P
r r
zdz
r P0 r0
ds
r0 p
r0df dl dr
f
y
ef
Q er
轴向运动
分析轴向分量方程:
d n dz 0 dS dS
有： n(dz/dS)=const., 令其为 n , 则有
n ＝n(r)dz/dS＝n(r)cosθz(r)=n(r0)cosθz(r0) n ---- 第一射线不变量
0
rl1
rl 2 a rl 3
r
隧道光线
条件:
n2> n(r0) cosθz(r0)>√n22－(r02/a2)n2(r0)sin2θz(r0)cos2θφ(r0)
光线存在区域: rl1 < r < rl2
r > rl3 内散焦面半径：rl1 外散焦面半径：rl2 辐射散焦面半径: rl3
n2(a)- I2 /a2
在r>rr1的所有区域均有光线存在，因此光线的约束作 用完全消失，光线毫无阻挡地进入包层中传播。
角向运动
分析φ分量方程:
第三章 阶跃与渐变折射率光纤的波动理论分析—3
' ' J0 (u ) K0 ( w) 0 uJ 0 (u ) wK 0 ( w)
（3.145）
为去掉贝塞尔函数的微分形式，利用贝塞尔函数的递推公式 ' (3. 103)式 Z0 Z1 ，变换改写上式应有
uJ 0 (u ) wK0 (w) =J1 (u) K1 ( w)
（3.146）
当模截止时， ( ) 0 ，经推导变换(略)上式右端 0 ，因 而应有
（3.149）
利用贝塞尔函数的递推公式并经变换(详略)，得到变换后EH模 的本征方程形式:
uJ n (u ) wK n ( w) =J n 1 (u ) K n 1 ( w)
（3.150）
，
当模截止，即 0 (• 0 )时，经推导证明上式右端 即有 0
uJ n (u ) =0 J n 1 (u )
m
对于这种弱波导条件下，采用标量近似解法得到的 LPm 模，又可称之为“标量模”。 (1)LP模的截止方程、模分布规律及简并 为了分析得到线性偏振模的截止方程，需以 0 ， 0 即作为导波截止的条件。 由 式
时，可利用 K m ( )的如下渐近公式代入(3. 157)式右端:
LPm 模的本征方程(3. 157) uJ m1 (u ) wK m1 ( w)，当模截止、 0 J m (u ) K m ( w)
2 ' n (1)' n (1) n 2 ' n (1)' n (1) n
1 k2 n( 1) 2 t 2
2
( J H )( J H ) ( J H )( J H ) 0
为方便尔后的简化分析，并取较通用的表示形式，需对上述 本征方程做变换，并令
渐变型光纤和阶跃型光纤
渐变型光纤和阶跃型光纤是两种不同的光纤类型，它们在折射率分布、传输特性、应用场景等方面存在一些差异。
1. 折射率分布：
阶跃型光纤的纤芯和包层的折射率是均匀分布的，通常在纤芯与包层区域内，折射率的分布分别是均匀的，分别为n1和n2，在纤芯与包层的边界处，其折射率的变化是阶跃的（n2<n1）。
渐变型光纤的纤芯折射率不是常数，而是从光纤轴心处的最大折射率开始，逐渐减小到纤芯与包层边界处的折射率。
这种折射率的变化通常呈抛物线形状。
2. 传输特性：
阶跃型光纤中，光线传输的轨迹近似“之”字形，由于纤芯到包层的折射率是突变的，类似一个台阶，所以称为阶跃型折射率光纤。
其单模光纤只传输单个脉冲的光，因此单模光纤都采用阶跃型。
阶跃型光纤的带宽较窄，适用于小容量短距离通信。
渐变型光纤中，光线传输的轨迹近似正弦波。
由于光线传输的轨迹是平滑的，所以渐变型光纤可以支持多模传输。
渐变型光纤的带宽
较宽，适用于中距离通信使用。
3. 应用场景：
阶跃型光纤因其结构简单、制造工艺成熟、成本较低等特点，被广泛应用于短距离通信领域，如局域网、建筑物内通信等。
同时，由于其单模传输特性，也常被用于长距离通信和高速率传输场景。
渐变型光纤因其具有支持多模传输的特性，被广泛应用于中距离通信领域，如城市间通信、建筑物间通信等。
此外，渐变型光纤也常被用于医疗、科研等领域，进行光线操控和光学测量等工作。
光纤通信技术(第2版)答案
可用公式： n 1 n 2 n1 代入n1，n2得： 0.0333
（2） NA n12 n22 n1 2
代入（1）中的 可得： NA 0.3873
16.已知阶跃光纤纤芯的折射指数为n1=1.5，相对折
射指数差 0.01、纤芯半径a=25μm，若
引起脉冲波形的形状发生变化。从波形在时间上展宽的角度去理解，也就是光脉冲在光纤中传输，随
着传输距离的加大，脉冲波形在时间上发生了展宽，这种现象称为光纤的色散
10.什么是模式色散？材料色散？波导色散？
答：模式色散：光纤中的不同模式，在同一波长下传输，各自的相位常数βmn不同所引起的色散
材料色散：由于光纤材料本身的折射指数n和波长λ呈非线性关系，从而使光的传播速度随波长 而变化所引起的色散
18.渐变型光纤的折射指数分布为 1
n(r
)
n(0)
1
2(
r a
)
a
2
求出光纤的本地数值孔径
解： NA(r) n2 (r) n2 (a)
得： NA(r)
n
2
(0)
1
2(
a r
)
n
2
(0)
1
2(
a r
)a
12.什么是受激拉曼散射和受激布里渊散射？ 答：如设入射光的频率为f0，介质分子振动频率为fv，则散射光的频率为：fs=f0士fv，这种现象称为 受激拉曼散射
受激布里渊散射与受激拉曼散射相比较物理过程很相似，都是在散射过程中通过相互作用，光波 与介质发生能量交换，但受激布里渊散射所产生的斯托克斯波在声频范围，其波的方向和泵浦光波方 向相反，而受激拉曼散射所产生的斯托克斯波在光频范围，其波的方向和泵浦光波方向一致
（2） NA n12 n22 n1 2
代入（1）中的 可得： NA 0.3873
16.已知阶跃光纤纤芯的折射指数为n1=1.5，相对折
射指数差 0.01、纤芯半径a=25μm，若
引起脉冲波形的形状发生变化。从波形在时间上展宽的角度去理解，也就是光脉冲在光纤中传输，随
着传输距离的加大，脉冲波形在时间上发生了展宽，这种现象称为光纤的色散
10.什么是模式色散？材料色散？波导色散？
答：模式色散：光纤中的不同模式，在同一波长下传输，各自的相位常数βmn不同所引起的色散
材料色散：由于光纤材料本身的折射指数n和波长λ呈非线性关系，从而使光的传播速度随波长 而变化所引起的色散
18.渐变型光纤的折射指数分布为 1
n(r
)
n(0)
1
2(
r a
)
a
2
求出光纤的本地数值孔径
解： NA(r) n2 (r) n2 (a)
得： NA(r)
n
2
(0)
1
2(
a r
)
n
2
(0)
1
2(
a r
)a
12.什么是受激拉曼散射和受激布里渊散射？ 答：如设入射光的频率为f0，介质分子振动频率为fv，则散射光的频率为：fs=f0士fv，这种现象称为 受激拉曼散射
受激布里渊散射与受激拉曼散射相比较物理过程很相似，都是在散射过程中通过相互作用，光波 与介质发生能量交换，但受激布里渊散射所产生的斯托克斯波在声频范围，其波的方向和泵浦光波方 向相反，而受激拉曼散射所产生的斯托克斯波在光频范围，其波的方向和泵浦光波方向一致
光纤光学光纤传输的基本理论
MAXWELL’S EQUATIONS ∇ · B = 0 ∇ · D = ρ ∇×E = −∂B/∂t ∇×H = J +∂D/∂t From the first line, the normal ponents of D and B are continuous across a dielectric interface From the second line, the tangential ponents of E and H are continuous across a dielectric interface
由于渐变型多模光纤折射率分布是径向坐标r的函数，纤芯各点数值孔径不同.
01
单击此处添加小标题
局部数值孔径NA(r)和最大数值孔径NAmax
组层与层之间有细微的折射率变化的薄层, 其中在中心轴线处的层具有的折射率为n1，在包层边界的折射率为n2。这也是制造商如何来制造光纤的方法。
= r1 (1.13)
01
An(0) sin(Az) cos(Az)
cos(Az)
02
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
r
03
这个公式是自聚焦透镜的理论依据。
θ*
由此可见，渐变型多模光纤的光线轨迹是传输距离z的正弦函数，对于确定的光纤，其幅度的大小取决于入射角θ0， 其周期Λ=2π/A=2πa/ ， 取决于光纤的结构参数(a, Δ)， 而与入射角θ0无关。
波动方程
麦克斯韦方程组
时、空坐标分离：亥姆霍兹方程，是关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式
单色波：
矢量的Helmholtz方程
空间坐标纵、横分离：得到关于E(x,y)和H(x,y)的方程式；
光纤技术基础6
令
2
R(r) r R(r )
，代入上式，得
ˆ d R ˆ 0 Y U ( r ) R 2 dr
式中
Y k 2n1 (0) 2
2
1 ) ( m 2 2 4 U (r ) k n1 (0) k 2 n 2 (r ) 2 r
2
ˆ d 2R ˆ 0 Y U ( r ) R dr2
1.子午射线的光线微分方程
由费马原理:两点间光走最短距离 nR ds 0
p1
p2
导出光程函数R的程函方程 波阵面的运动方程
dR dR dR 2 x , y , z n dx dy dz
2 2 pmax 1 p kn01 kn0a
所以
上式可用来估算模式群的数量,每个模式群包含p+1个标 模,再考虑有两个相互垂直的偏振态,所以,p以下所有 的模式数:
假设p>>1，近似认为连续变化，可用积分代替和式：
将最大的p值代入，自聚焦光纤内存在的模式总数
光通信技术A—光纤技术基础
(六)
内容
光纤分类与一般性介绍 光在光纤中的传输理论(阶跃型折射率分 布) 光在光纤中的传输理论(渐变型折射率分 布) 光纤特性（色散、损耗）
渐变折射率光纤
应用需求:
色散的限制——采用渐变折射率光纤
阶跃多模光纤的模式色散很大，脉冲展 宽严重，传输带宽很窄，限制了通信容 量。为了减少多模光纤的模式色散，人 们设计并采用渐变光纤。
H 为厄米多项式
同理有
式中
Y ( y ) C H ( ) exp( 2 ),
2
R(r) r R(r )
，代入上式，得
ˆ d R ˆ 0 Y U ( r ) R 2 dr
式中
Y k 2n1 (0) 2
2
1 ) ( m 2 2 4 U (r ) k n1 (0) k 2 n 2 (r ) 2 r
2
ˆ d 2R ˆ 0 Y U ( r ) R dr2
1.子午射线的光线微分方程
由费马原理:两点间光走最短距离 nR ds 0
p1
p2
导出光程函数R的程函方程 波阵面的运动方程
dR dR dR 2 x , y , z n dx dy dz
2 2 pmax 1 p kn01 kn0a
所以
上式可用来估算模式群的数量,每个模式群包含p+1个标 模,再考虑有两个相互垂直的偏振态,所以,p以下所有 的模式数:
假设p>>1，近似认为连续变化，可用积分代替和式：
将最大的p值代入，自聚焦光纤内存在的模式总数
光通信技术A—光纤技术基础
(六)
内容
光纤分类与一般性介绍 光在光纤中的传输理论(阶跃型折射率分 布) 光在光纤中的传输理论(渐变型折射率分 布) 光纤特性（色散、损耗）
渐变折射率光纤
应用需求:
色散的限制——采用渐变折射率光纤
阶跃多模光纤的模式色散很大，脉冲展 宽严重，传输带宽很窄，限制了通信容 量。为了减少多模光纤的模式色散，人 们设计并采用渐变光纤。
H 为厄米多项式
同理有
式中
Y ( y ) C H ( ) exp( 2 ),
光纤光学-第三章概要
波导场方程
第3页
《光纤光学》第Βιβλιοθήκη 章阶跃折射率分布光纤Ｏ
θz 纤壁入射角 n1 n2
n0 sin c n1Sin c
2 n12 n2
ψ
θz 线轴角 Ｏ’
端面入射角
n0
• 通常将 称之为孔径角，它表示光纤集光能力的大小。工 c 程上还用数值孔径来表示这种性质，记作 N.A. 定义为
《光纤光学》第三章 传输容量限制
阶跃折射率分布光纤
返回框图
n1 1 Ln12 T 1 L c sin c cn2 •色散导致的传输光脉冲展宽
1 n2 c T BL 2 B n1
1/B
色散对光纤所能 传输的最大比特 率B的影响可利 用相邻脉冲间不 产生重叠的原则 来确定，即
最大 时延差
子午光线
数值 孔径
入射媒质折射率 与最大入射角的 正弦值之积，只 与折射率有关， 与几何尺寸无关
相对折 射率差
(n n ) / 2n
2 1 2 2 2 1
2 NA ni sin im n12 n2 n1 2
第5页
《光纤光学》第三章 模间色散
阶跃折射率分布光纤
波导方程 边界条件
t2 k 2 2 e 0 t2 k 2 2 h 0
第13页
场的通解 边界条件
特征方程
传输常数
模场分布 场的解
《光纤光学》第三章
阶跃折射率分布光纤 §3.2 阶跃光纤场解
E i H H i E
1 T B
L
T
例如：
第8页
n1 1.5
2 103
阶跃光纤和渐变光纤导光原理课件
应用场景的比较
阶跃光纤
由于其较低的传输损耗和稳定的 导光性能，适合用于短距离、高 带宽的通信网络。例如，建筑物 内的光纤网络、局域网等。
渐变光纤
由于其优异的传输性能，常用于 长距离、大容量的通信系统，如 跨洋光缆、国家骨干网等。
05
阶跃光纤和渐变光纤 的发展趋势
新材料的应用
材料选择
随着科技的进步，新型的光纤材料不断涌现，如石英、塑料等，这些材料具有更 高的光学性能和机械强度，能够提高光纤的传输效率和稳定性。
。
03
渐变光纤导光原理
渐变光纤的结构特点
01
02
03
渐变折射率
渐变光纤的折射率从中心 到外部逐渐减小，形成连 续变化的折射率分布。
多模传输
由于折射率的变化，光线 在光纤中传播时发生折射 ，形成多模传输。
材料选择
常用石英材料制造渐变光 纤，因其具有优良的物理 和光学性质。
渐变光纤的折射率分布
抛物线型折射率分布
材料优化
通过改进材料的纯度、掺杂技术等手段，进一步优化光纤材料的性能，提高其导 光能力和抗干扰能力。
新工艺的研发
拉丝工艺
改进拉丝工艺，提高光纤的几何精度 和表面质量，降低光纤的散射损耗和 反射损耗。
涂覆工艺
研发新型的涂覆材料和涂覆技术，增 强光纤的机械强度和环境适应性，延 长光纤的使用寿命。
新结构的设计
1980年代
1990年代至今
光纤通信进入大规模商用阶段，光纤通信 系统逐渐成为长距离、大容量通信的主流 技术。
光纤通信技术不断创新和发展，传输速率 和传输距离不断提升，全光网络成为未来 通信技术的发展方向。
光纤的种类和特点
阶跃光纤
三、阶跃折射率光纤
坐标系构建
纵向磁场满足的方程和上式也是一样的，显然只要将纤芯折射率和包 层折射率代入上式并进行方程求解，就可以得到电磁场的纵向分量。 又由于圆柱坐标系中，电磁波的电场强度E和磁场强度H可以写成三个 分矢量之和，即
E er Er e E ez Ez H er H r e H ez H z
p a p
z z
n2
n1
n2 n1 2a
Q
Q
子午光线的传播路径及其在横截面的投影
另一种是传播路径不与光纤轴线相交的光线，称为偏斜光线(空 间光线)。它的传播路径是空间折线，在光纤截面内的投影是内
切于一个圆的多边形(可以是不封闭的) 。
偏斜光线在传播过程中总与一个圆柱面相切，此圆柱面称为内焦 散面，子午光线是内焦散面半径趋于零的特例。
(3-22)式两边同乘以 r R r ，可得到 2 d r d dR r 1 2 2 2 2 r k0 n r R r dr dr d 2
2
3 23
观察上式，左边只是r的函数，右边只是φ的函数，而r、φ都是独 立变量，相互没有关系，欲使上式对任何r、φ都成立，只有两边 同时等于某一常数才有可能。 于是(3-23)式可分离为两个径向方程和角度场方程
= 1 2 n1 1 1 c cos z1 cos z 2
3-14
显然，所有的束缚光线中，路径最短的一条光线是沿z轴方向直线 传播的光线，其 z 0 ；而路径最长的一条光线则是靠近全反射临 界角入射的光线，其倾斜角 z cos1 n2 n1 ，这两条光线传播时延差 最大，称最大时延差，为
束缚光线 折射光线 漏泄光线
阶跃光纤和渐变光纤导光原理
渐变型光纤中的射线光学分析
• 渐变折射率光纤的折射率在纤芯中连续变化。适当选择折 射率的分布形式，可以使不同入射角的光线有大致相同的 光程，从而大大减小群时延差。 • 光学特性决定于它的折射率分布。渐变型光纤的折射率分 布可以表示为
式中，g 是折射率变化的参数；a 是纤芯半径；r 是光纤 中任意一点到轴心的距离； Δ是渐变折射率光纤的相对折 射率差，即
NA(r ) n(r ) 2 n2 2 n(r ) 2
光纤中的光学理论
• 全反射：我们把折射现象消失，光线全部返回第一种介质 的现象，称为是全反射。 • 全反射条件： (1)光由光密介质射入光疏介质。 (2)入射角大于临界角。 结论： (1)光纤就是利用光的全反射将光线封闭在光纤的纤芯中传 播的。 (2)为了实现全反射，纤芯的折射率要大于包层的折射率。
光纤中的射线光学理论
• 由菲涅耳定律可知 反射定律 3 折射定律
1
sin 1 n2 sin 2 n1
在n1>n2时，逐渐增大θ1，进入介质 2 的折射光线进一步 趋向界面，直到θ1趋于90°。此时，进入介质 2 的光强显 著减小并趋于零，而反射光强接近于入射光强。当θ2=90° 极限值时，相应的θ1角定义为临界角θC。由于sin90°=1, 所以临界角当θ1>θC时，入射光线将产生全反射。应当注 意，只有当光线从折射率大的介质进入折射率小的介质，即 n1>n2时，在界面上才能产生全反射。 n2 c arcsin( ) n1
对于通信光纤上式简化成为对于渐变型光纤若轴心处r0的折射率为对于阶跃型光纤当光线在纤芯与包层界面上发生全反射时光波在纤芯中传播轨迹为折线相应的端面入射角记为光纤波导的孔径角或端面临界角
阶跃光纤和渐变光纤的导光原理
光纤传输的波动理论
关注包层中电磁场分量表达式
Ez ClK (W ar)ej l
3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件
3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件 各类模式（精确模）对应的本征方程和截止、远离截止条件
模式
本征方程
截止条件
远离截止条件
TE0m TM0m
J1(U) K1(W) 0 U0J(U) W0(JW)
1 2U J10 (U (J U ))W K 10 (W (W J))0
J0(U0cm)0
J0(U0cm)0
J 1 (U 0 m ) 0 (U 0 m 0 ) J 1 (U 0 m ) 0 (U 0 m 0 )
3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立 本征值问题
2uk2u0 2uk2u
如果算符作用于函数等于一个常数g乘以该函数，则该方程称为本征方程。其中 该函数称为算符的本征函数，g是算符的对应于本征函数的本征值。 波动理论的实质：对于给定的边界条件求本征方程的解——本征解及其对应的 本征值，在数学上称之为“本征值问题”。
E
r
j
2 t
(
E z r
r
H z )
E
j
2 t
(
E z
H z ) r
H
r
j
2 t
(
H z r
r
Ez )
H
j
2 t
(
H z
Ez ) r
2rE2z
1Ez r r
1 r2
2Ez
2
t2Ez
0
2Hz r2
1Hz r r
r12
Ez ClK (W ar)ej l
3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件
3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件 各类模式（精确模）对应的本征方程和截止、远离截止条件
模式
本征方程
截止条件
远离截止条件
TE0m TM0m
J1(U) K1(W) 0 U0J(U) W0(JW)
1 2U J10 (U (J U ))W K 10 (W (W J))0
J0(U0cm)0
J0(U0cm)0
J 1 (U 0 m ) 0 (U 0 m 0 ) J 1 (U 0 m ) 0 (U 0 m 0 )
3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立 本征值问题
2uk2u0 2uk2u
如果算符作用于函数等于一个常数g乘以该函数，则该方程称为本征方程。其中 该函数称为算符的本征函数，g是算符的对应于本征函数的本征值。 波动理论的实质：对于给定的边界条件求本征方程的解——本征解及其对应的 本征值，在数学上称之为“本征值问题”。
E
r
j
2 t
(
E z r
r
H z )
E
j
2 t
(
E z
H z ) r
H
r
j
2 t
(
H z r
r
Ez )
H
j
2 t
(
H z
Ez ) r
2rE2z
1Ez r r
1 r2
2Ez
2
t2Ez
0
2Hz r2
1Hz r r
r12
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3.1 与模式概念
• Nn(βtr)和N-n (βtr)在除去半实轴 (-∞,0) 数曲线如图3-4
x平面内单值解析。其函
• 由曲线看出Nn(βtr)亦为振荡函数，具有无穷多零点，当βtr→0时，函
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本章导读
• 通过这一典型实例的分析，理解波动分析方法的精髓与过程；在实 • 际分析中，由于实用光通信等应用中的阶跃光纤，其芯与包层的折射
率差很小(通常Δ<<1)，即所谓“弱波导光纤”(weakly guiding fiber)，因而可作适当近似，从而使求解与分析大为简化。这就是标 量近似解法，所得到的LPmμ • 应该指出的是，在用波动理论分析阶跃光纤时，最重要也是最基本的 概念就是传导模或简称为“模”。所谓“模”乃是指，在求解表征光 纤中光波的波动方程时，对应于能满足边界条件的各本征传输常数 (或称为“本征值”)的“本征解”所得到的波动电磁场分布状态；而
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3.1 与模式概念
• 式中，n为整数n=0,1,2,…。此外，解也可以表为三角函数形式，如 cos (nφ+φ0)、sin (nφ+φ0)
• (2) 对(3-62)式的分析表明，若将其稍加变形，则为一标准形式的n阶 贝塞尔方程：
• n阶贝塞尔方程的标准形式：
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第3章 阶跃与渐变折射率光纤的波动 理论分析
• 本章导读 • 3.1 阶跃折射率光纤的波动理论分析与模式概念 • 3.2 渐变折射率光纤的标量近似理论分析
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本章导读
• 在第2章中运用光线理论与方法分析了阶跃光纤与渐变折射率光纤的 传播规律与特性。但应指出，光线光学的分析研究方法是在λ→0条件 下的一种近似处理方法，具有一定的局限性：它只适用于阶跃多模光 纤，对渐变折射率多模光纤则近似程度较差，而对单模光纤则完全不 适用；尤其是无法进行多模光纤中的模式理论分析，获得有关模的概 念。本章将运用波动理论即求解波动方程的方法，对阶跃多模光纤进 行系统的模式理论分析。这种分析方法不仅适用于阶跃多模光纤，而 且适用于单模光纤。讨论中将首先从麦克斯韦、亥姆霍兹方程出发， 导出圆柱坐标系的阶跃光纤(均匀波导)波动方程，进而在设定物理模 型条件下，通过对纤芯与包层物理约束条件的具体分析，利用边界条 件求解波动方程，获得与各特定本征值相联系的本征方程，进而进行 阶跃光纤中存在的各种模式及其截止条件的系统分析。这种严格的求 解方法与过程称为矢量解法。
即transverse electromagnetic mode)，横电模(transverse
electric mode,TE)，横磁模(transverse magnetic mode,TM模)，
以上统称“横模”；混合模(又称hybrid mode)，包括模HE和EH模。
• 上述各种模的纵向场分量情况如表3-1所示。
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3.1 与模式概念
• 一、 • 1. • 阶跃光纤中轴向电磁场分量Ez、Hz的数学模型为（3-53）式、（3-
54
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3.1 与模式概念
• 上述两方程具有相同的解的形式，因而只需求其一(如Ez) • 〖BT5〗2.利用变量分离法分解波动方程方程(3-53)式的解为
• 等式(3-58)中左端仅为r的函数，右端仅为φ的函数，且两者相等，因 而等式两端必同为一个与变量r、φ无关的常数值，可令其为l 2，l 为实数值。因而,(3-58)式可以分解为如下两个分立的常微分方程：
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3.1 与模式概念
• 根据微分方程解的类型分析，(3-59)式的通解应为coslφ z应是φ 的周期性单值函数，其周期为2π，因而应有：Ez(φ+2nπ)=Ez(φ)。 为此，常数l应以整数n取代，才能确保辐角的周期性，即场量是以 2π为周期的周期量。因而方程(3-59)式可表为：
•
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3.1 与模式概念
• 利用偏微分的连锁规则和上述各式，可求得(3-38)式中各微分量：
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3.1 与模式概念
• 将(3-43)式～(3-46)式代入(3-38)式，并整理化简最终得到： • 类似地可以导出：
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3.1 与模式概念
• 以上即导出了圆柱坐标系各横向分量与纵向分量Ez、Hz关系的表达 式。显然，若知Ez、Hz
• βt（kx）称为“横向位相常数”、“横向波数”或“横向传输常数”。 它反映芯中光波能量向包层的横向辐射损失。β=kz与βt=kx的表示如 图3-1所示。将(3-14)式代入(3-13)式，则有：
•
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3.1 与模式概念
• 上述以纵向场分量表示横向场分量的公式组表明，如果知道纵向场分 量Ez、Hz，则代入上述各式可求出Ex、Ey、Hx、Hy。为此，必须 进一步建立求解纵向场分量Ez、Hz
• 对(3-60)式进行整理，且式中右端l以n取代，则得到关于场的径向分 布函数解的微分方程：
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3.1 与模式概念
• (3-61)式和(3-62)式即为利用变量分离方法分解轴向电场分量波动方 • 3. • (1) 对(3-61)式分析表明，由于阶跃光纤是轴对称圆柱形波导，其电磁
场分布在φ方向必然以2π为周期。因而其沿φ方向的场分量解，即场 的方位分布函数，应为圆谐振函数，即是以2π为周期的周期函数。 为了尔后表示与运算方便，解的函数形式可以表为如下指数函数形式：
上一在介质各向同性、线性、无电荷电流存在的条件下，正弦稳态形式的 矢量形式麦克斯韦方程组为：
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3.1 与模式概念
• 式中，对时间的微分t均以jω取代。若以电场量为代表，将(3-5)式展 开，表为3个直角坐标分量，则有：
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3.1 与模式概念
3.1 与模式概念
• 式中，λ为常数，n为方程或解的阶数，方程的解称为贝塞尔函数。 由于上式也是一个二阶微分方程，因而它的通解必有两个线性无关的 解，其具体函数形式的选择应根据问题的初始条件。方程(3-64)式的 通解形式，在芯(r≤a)和包层(r>a)中应分别为线性无关两圆柱函数的 线性组合：
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3.1 与模式概念
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3.1 与模式概念
• 为导出以纵向(轴向)场分量表示横向场分量的表达式，将(3-11)②式
中的Hy值代入 (3-12)
-
jωμ，可解出如下横向电场分量Ex值：
• 式中，ω2με=k2，β=kz，因而可定义
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3.1 与模式概念
• 下面需完成纵向分量Ez、Hz的波动方程由直角坐标系向圆柱坐标系 的转换。由(3-19)式可知，在已求出
• 的基础上，尚需求出
经计算可得：
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3.1 与模式概念
• 将上二式代入直角坐标系标量波动方程(3-19)式，经化简则得到圆柱 坐标系中纵向场分量Ez所应满足的标量波动方程：
• 类似地，可以得到Hz分量的标量波动方程：
Ez=Ez(r,φ)，Ez是r、φ分量耦合在一起的函数形式。为便于求解， 利用变量分离手段，即令
• 式中，R(r)是只与径向变量r有关的待定函数；Φ(φ)是只与辐角变量φ • 将上式代入(3-53)式，应有
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3.1 与模式概念
• 整理上式，将变量r、φ在等式两端分离。为此，两端同乘以r 2并除 以Φ(φ)R(r)，则得到：
3.1 与模式概念
• 式中，在纤芯中(r≤a)，β2t>0，βt为实数；在包层中(r>a)，电磁场将 向外按指数规律衰减，即β2t<0，因而β t为虚数，故宗量以|βt|表示。
• 上述通解表达式中，
均为任意常数；
分别为：第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数、第二类修正
(变形)贝塞尔函数与第一类修正(变形)贝塞尔函数。这4类贝塞尔函数
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3.1 与模式概念
• 这样，只要从上述二式求解出纵向场分量Ez、Hz，则代入(3-47)式～ (3-50)式，即可求出Er、Eφ、Hr、Hφ各横向场分量，从而可得到光
• 上二式若以符号形式的标量波动方程形式表示则有：
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3.1 与模式概念
• 3.1.2
• 利用上节导出的圆柱坐标系标量波动方程，可以求解阶跃光纤中芯 (r≤a)与包层中(r>a) 出本征方程，这种方法即为矢量解法。求解的具体思路与过程包括： 建立以圆柱坐标系中的波动方程所表示的阶跃光纤的数学模型；利用 变量分离手段分解波动方程；给定物理模型，确定影响纤芯与包层中 场解的物理约束条件；在给出波动方程通解的基础上，考虑物理约束 条件，选择芯与包层中圆柱函数形式的适当解；在芯与包层界面处利
• ①Jn:为第一类n阶贝塞尔函数，其定义与表达式为
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3.1 与模式概念
• 当n为整数时，Jn在全平面上解析。函数曲线如图3-3所示(宗量 x=βtr)。由曲线可以看出，Jn(βtr)为振荡函数，具有无穷多个零点， 当βtr→0时，函数值有界，且其大宗量的渐近特性为：
• ② Nn(或Yn)：为第二类n阶贝塞尔函数，又称诺依曼 (Neumann) 函 数，它在βtr→0时，没有有限的极限(无界)。其定义式为
• • 方程(3-19)式和(3-20)式亦可表为如下标量亥姆霍兹方程形式：
• 表示直角坐标系横截面上的二阶微分运算的拉普拉斯算子。
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3.1 与模式概念
• 根据电磁场6个分量(主要是纵向场分量Ez、Hz)具体情况的不同，可
将波导中传输的各种模式区分为如下几类：横电磁模(
TEM模，
波动理论分析的基础上，本章还对渐变折射率光纤进行了简要的标量 近似理论分析，建立了传输常数的本征方程，并给出了传输模式的计 算公式。
3.1 与模式概念
• Nn(βtr)和N-n (βtr)在除去半实轴 (-∞,0) 数曲线如图3-4
x平面内单值解析。其函
• 由曲线看出Nn(βtr)亦为振荡函数，具有无穷多零点，当βtr→0时，函
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本章导读
• 通过这一典型实例的分析，理解波动分析方法的精髓与过程；在实 • 际分析中，由于实用光通信等应用中的阶跃光纤，其芯与包层的折射
率差很小(通常Δ<<1)，即所谓“弱波导光纤”(weakly guiding fiber)，因而可作适当近似，从而使求解与分析大为简化。这就是标 量近似解法，所得到的LPmμ • 应该指出的是，在用波动理论分析阶跃光纤时，最重要也是最基本的 概念就是传导模或简称为“模”。所谓“模”乃是指，在求解表征光 纤中光波的波动方程时，对应于能满足边界条件的各本征传输常数 (或称为“本征值”)的“本征解”所得到的波动电磁场分布状态；而
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3.1 与模式概念
• 式中，n为整数n=0,1,2,…。此外，解也可以表为三角函数形式，如 cos (nφ+φ0)、sin (nφ+φ0)
• (2) 对(3-62)式的分析表明，若将其稍加变形，则为一标准形式的n阶 贝塞尔方程：
• n阶贝塞尔方程的标准形式：
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第3章 阶跃与渐变折射率光纤的波动 理论分析
• 本章导读 • 3.1 阶跃折射率光纤的波动理论分析与模式概念 • 3.2 渐变折射率光纤的标量近似理论分析
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本章导读
• 在第2章中运用光线理论与方法分析了阶跃光纤与渐变折射率光纤的 传播规律与特性。但应指出，光线光学的分析研究方法是在λ→0条件 下的一种近似处理方法，具有一定的局限性：它只适用于阶跃多模光 纤，对渐变折射率多模光纤则近似程度较差，而对单模光纤则完全不 适用；尤其是无法进行多模光纤中的模式理论分析，获得有关模的概 念。本章将运用波动理论即求解波动方程的方法，对阶跃多模光纤进 行系统的模式理论分析。这种分析方法不仅适用于阶跃多模光纤，而 且适用于单模光纤。讨论中将首先从麦克斯韦、亥姆霍兹方程出发， 导出圆柱坐标系的阶跃光纤(均匀波导)波动方程，进而在设定物理模 型条件下，通过对纤芯与包层物理约束条件的具体分析，利用边界条 件求解波动方程，获得与各特定本征值相联系的本征方程，进而进行 阶跃光纤中存在的各种模式及其截止条件的系统分析。这种严格的求 解方法与过程称为矢量解法。
即transverse electromagnetic mode)，横电模(transverse
electric mode,TE)，横磁模(transverse magnetic mode,TM模)，
以上统称“横模”；混合模(又称hybrid mode)，包括模HE和EH模。
• 上述各种模的纵向场分量情况如表3-1所示。
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3.1 与模式概念
• 一、 • 1. • 阶跃光纤中轴向电磁场分量Ez、Hz的数学模型为（3-53）式、（3-
54
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3.1 与模式概念
• 上述两方程具有相同的解的形式，因而只需求其一(如Ez) • 〖BT5〗2.利用变量分离法分解波动方程方程(3-53)式的解为
• 等式(3-58)中左端仅为r的函数，右端仅为φ的函数，且两者相等，因 而等式两端必同为一个与变量r、φ无关的常数值，可令其为l 2，l 为实数值。因而,(3-58)式可以分解为如下两个分立的常微分方程：
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3.1 与模式概念
• 根据微分方程解的类型分析，(3-59)式的通解应为coslφ z应是φ 的周期性单值函数，其周期为2π，因而应有：Ez(φ+2nπ)=Ez(φ)。 为此，常数l应以整数n取代，才能确保辐角的周期性，即场量是以 2π为周期的周期量。因而方程(3-59)式可表为：
•
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3.1 与模式概念
• 利用偏微分的连锁规则和上述各式，可求得(3-38)式中各微分量：
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3.1 与模式概念
• 将(3-43)式～(3-46)式代入(3-38)式，并整理化简最终得到： • 类似地可以导出：
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3.1 与模式概念
• 以上即导出了圆柱坐标系各横向分量与纵向分量Ez、Hz关系的表达 式。显然，若知Ez、Hz
• βt（kx）称为“横向位相常数”、“横向波数”或“横向传输常数”。 它反映芯中光波能量向包层的横向辐射损失。β=kz与βt=kx的表示如 图3-1所示。将(3-14)式代入(3-13)式，则有：
•
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3.1 与模式概念
• 上述以纵向场分量表示横向场分量的公式组表明，如果知道纵向场分 量Ez、Hz，则代入上述各式可求出Ex、Ey、Hx、Hy。为此，必须 进一步建立求解纵向场分量Ez、Hz
• 对(3-60)式进行整理，且式中右端l以n取代，则得到关于场的径向分 布函数解的微分方程：
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3.1 与模式概念
• (3-61)式和(3-62)式即为利用变量分离方法分解轴向电场分量波动方 • 3. • (1) 对(3-61)式分析表明，由于阶跃光纤是轴对称圆柱形波导，其电磁
场分布在φ方向必然以2π为周期。因而其沿φ方向的场分量解，即场 的方位分布函数，应为圆谐振函数，即是以2π为周期的周期函数。 为了尔后表示与运算方便，解的函数形式可以表为如下指数函数形式：
上一在介质各向同性、线性、无电荷电流存在的条件下，正弦稳态形式的 矢量形式麦克斯韦方程组为：
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3.1 与模式概念
• 式中，对时间的微分t均以jω取代。若以电场量为代表，将(3-5)式展 开，表为3个直角坐标分量，则有：
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3.1 与模式概念
3.1 与模式概念
• 式中，λ为常数，n为方程或解的阶数，方程的解称为贝塞尔函数。 由于上式也是一个二阶微分方程，因而它的通解必有两个线性无关的 解，其具体函数形式的选择应根据问题的初始条件。方程(3-64)式的 通解形式，在芯(r≤a)和包层(r>a)中应分别为线性无关两圆柱函数的 线性组合：
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3.1 与模式概念
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3.1 与模式概念
• 为导出以纵向(轴向)场分量表示横向场分量的表达式，将(3-11)②式
中的Hy值代入 (3-12)
-
jωμ，可解出如下横向电场分量Ex值：
• 式中，ω2με=k2，β=kz，因而可定义
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3.1 与模式概念
• 下面需完成纵向分量Ez、Hz的波动方程由直角坐标系向圆柱坐标系 的转换。由(3-19)式可知，在已求出
• 的基础上，尚需求出
经计算可得：
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3.1 与模式概念
• 将上二式代入直角坐标系标量波动方程(3-19)式，经化简则得到圆柱 坐标系中纵向场分量Ez所应满足的标量波动方程：
• 类似地，可以得到Hz分量的标量波动方程：
Ez=Ez(r,φ)，Ez是r、φ分量耦合在一起的函数形式。为便于求解， 利用变量分离手段，即令
• 式中，R(r)是只与径向变量r有关的待定函数；Φ(φ)是只与辐角变量φ • 将上式代入(3-53)式，应有
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3.1 与模式概念
• 整理上式，将变量r、φ在等式两端分离。为此，两端同乘以r 2并除 以Φ(φ)R(r)，则得到：
3.1 与模式概念
• 式中，在纤芯中(r≤a)，β2t>0，βt为实数；在包层中(r>a)，电磁场将 向外按指数规律衰减，即β2t<0，因而β t为虚数，故宗量以|βt|表示。
• 上述通解表达式中，
均为任意常数；
分别为：第一类贝塞尔函数、第二类贝塞尔函数、第二类修正
(变形)贝塞尔函数与第一类修正(变形)贝塞尔函数。这4类贝塞尔函数
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3.1 与模式概念
• 这样，只要从上述二式求解出纵向场分量Ez、Hz，则代入(3-47)式～ (3-50)式，即可求出Er、Eφ、Hr、Hφ各横向场分量，从而可得到光
• 上二式若以符号形式的标量波动方程形式表示则有：
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3.1 与模式概念
• 3.1.2
• 利用上节导出的圆柱坐标系标量波动方程，可以求解阶跃光纤中芯 (r≤a)与包层中(r>a) 出本征方程，这种方法即为矢量解法。求解的具体思路与过程包括： 建立以圆柱坐标系中的波动方程所表示的阶跃光纤的数学模型；利用 变量分离手段分解波动方程；给定物理模型，确定影响纤芯与包层中 场解的物理约束条件；在给出波动方程通解的基础上，考虑物理约束 条件，选择芯与包层中圆柱函数形式的适当解；在芯与包层界面处利
• ①Jn:为第一类n阶贝塞尔函数，其定义与表达式为
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3.1 与模式概念
• 当n为整数时，Jn在全平面上解析。函数曲线如图3-3所示(宗量 x=βtr)。由曲线可以看出，Jn(βtr)为振荡函数，具有无穷多个零点， 当βtr→0时，函数值有界，且其大宗量的渐近特性为：
• ② Nn(或Yn)：为第二类n阶贝塞尔函数，又称诺依曼 (Neumann) 函 数，它在βtr→0时，没有有限的极限(无界)。其定义式为
• • 方程(3-19)式和(3-20)式亦可表为如下标量亥姆霍兹方程形式：
• 表示直角坐标系横截面上的二阶微分运算的拉普拉斯算子。
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3.1 与模式概念
• 根据电磁场6个分量(主要是纵向场分量Ez、Hz)具体情况的不同，可
将波导中传输的各种模式区分为如下几类：横电磁模(
TEM模，
波动理论分析的基础上，本章还对渐变折射率光纤进行了简要的标量 近似理论分析，建立了传输常数的本征方程，并给出了传输模式的计 算公式。