第九章 梁的强度和刚度计算
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b 143.3MPa;
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第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁: 矩形截面梁任意截面上剪力Q 都与对称轴重合。对狭长横截面上 剪应力的分布规律可作两个假设: (1)横截面上各点均与该面上Q 同向且平行; (2)剪应力沿截面宽度均匀分布。 从梁微段中取窄条cdmn分析:
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二、其它形状截面的剪应力:
1. 工字形截面梁: 工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。 1)腹板上的剪应力:腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力。 故中性轴处有最大剪应力 QS z max Q 或 max max h1d zd
式中:Q—横截面上的剪力; h1—腹板高度; Iz— 截面对z轴惯性矩; d—腹板厚度; Szmax—中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩; (对于型钢,Szmax:Iz 的值可查型钢表确定)
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例7-3:矩形截面简支梁如图,已 知:l=2m,h=15cm,b=10cm,h1=3cm, q=3kN/m.试求A支座截面上K点 的剪应力及该截面的最大剪应力. 解:1、求剪力:QA=3kN
bh3 10153 z 2810 4 cm 12 12 S z * yc 10 4.5 5.25 236cm3
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所有开口薄壁截面的剪应 力均符合“剪应力流”规 律。 2. T字型截面: T字型截面与工字型截面 * QSz 相似,最大剪应力仍发生在截 Izd 面中性轴上。其腹板上应力为:
3. 圆形及环形截面: 圆形与薄壁环形截面其最大竖向剪应力 也都发生在中性轴上,并沿中性 4Q max 轴均匀分布,其值为: 圆形截面 3 A1 薄壁环形截面 2 Q max A2 式中:Q—截面上的剪力 A1、A2—圆形、薄壁环形截面的面积
例7-5 图示为T形截面的铸铁梁。已知: y1=5.2cm,y2=8.8cm,P1=10.8kN,P2=4.8kN, a=1m,铸铁许用拉应力[+]=30MPa,许用压 应力[-]=60MPa,试校核梁的正应力强度。 解:(1)作出梁的弯矩图,可知: MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m (2)梁的两个抗弯截面模量为:
E
yd 0 —中性轴Z必通过形心。
M z ydA M
E 2 y dA M
My z —纯弯曲梁横截面上任一点正应力计算公式
1 M —纯弯曲梁的 ; E z 变形计算公式
Iz—截面对其中性轴的惯性矩; M—截面上的弯矩; y—所求正应力点到中性轴的距离。 为避免符号错误,计算中各量以绝对值代入,ζ符号依点 所处区域直接判断。(根据弯矩方向,中性轴将截面分为受 拉区和受压区;M>0,上压下拉;M<0,上拉下压。) 式中:
max
M max ymax M max ; Iz Wz
令Wz Iz ; ymax
Wz ___抗弯截面系数(模量) ,反映截面抵抗弯曲变 形的能力;单位: 3 , m m3 . m bh2 D3 D 3 矩形截面:Wz ;圆形截面:Wz ; 环形截面:Wz (1 4 );各种型钢查表。 6 32 32
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第三节 梁的强度计算
为了保证梁在外力作用下能安全正常工作,必须限制梁内的 最大应力不超过材料的许用应力。由此建立梁的强度条件并进行 梁的强度计算。 危险截面—最大应力点所在截面;(等直梁为最大内力截面) 危险点—危险截面上的最大应力作用点。 一、梁的正应力强度条件: 等直梁的危险截面危险点为最大弯矩截面上下边缘处各点。
2)翼缘上的剪应力:翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很 小且分布复杂,一般不考虑;水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布, 计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在 “剪应力流”的规律。 QS z Sz—欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴惯性矩; 水平 I z o δo—翼缘厚度。
N1 * 1dA
A
M M dM Sz ; N2 Sz ; Iz Iz
N 2 dT 0;
dT ' bdx;
x 0, N
'
1
dMSz dM , Q, ' ; dxIz b dx
QSz ; I zb
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max 1050 0
Qmax [Q] [ ]
M max
d , b(截面尺寸取整!)
(3)确定梁的 许可荷载
M max M Wz P ; M A [ P ](取[ P ]为[ P ] . ) Q min k
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M max 对称截面梁的正应力强 度条件: max [ ] __ 弯曲许用应力,查表确 定。 Wz
非对称截面梁的正应力 强度条件: max
M max [ ] __ 弯曲许用应力,查表确 定。 Wz
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二、剪应力强度条件: max k A [ ] __ 材料的许用剪应力,试 验确定。
Q 3 4 矩形截面:k ;圆形截面:k ; 环形截面:k 2; 各种型钢查表或 1( max max )。 k 2 3 h1d
Q
三、梁的强度计算: 一般情况下,细长梁多为横力弯曲,横截面上同时存在弯矩 和剪力,应同时满足正应力和剪应力强度条件。由此可进行三方 面的强度计算: (1)强度校核: max 105% max 105% (2)选择截面: Wz
W1 z 763 763 146.7cm3 ;W2 z 86.7cm3 ; y1 5.2 y2 8.8
第九章 梁的强度和刚度计算
第一节
梁横截面上的正应力 梁横截面上的剪应力 梁的强度计算 弯曲中心的概念 梁的变形和刚度计算 应力状态和强度理论 小结
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第二节
第三节
第四节
第五节
第六节
第七章 梁的强度和刚度计算
梁的一般情况是横截面上同时 存在剪力和弯矩两种内力,称作剪 力(横力)弯曲。与此相应的截面 上任一点处有剪应力η和正应力ζ。 且剪应力η只与剪力Q有关,正应力 ζ只与弯矩M有关。
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正应力公式的使用范围:①纯弯曲梁;②弹性范围(ζ≤ζp); ③平面弯曲(截面有对称轴,形状不限);④细长梁的横力弯曲。 (一般l/h>5为细长梁,其计算误差满足工程精度要求δ<5%。)
例7-1 图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。 解:(1)计算C截面的弯矩M M c 2P 2 1.5 3KN m (2)确定中性轴位置,并计算惯性矩 bh3 12183 z 5830 4 cm 12 12 18 ya 3 6cm ; yb 3cm . (3)求a、b两点的正应力 2 M c ya 3 103 0.06 a 3.09MPa; 8 z 583010 M c yb 3 103 0.03 b 1.54MPa; 8 z 583010 h 18 ymax 9cm ; (4)求C截面最大拉应力+max和最大压应力 -max 2 2 M c ymax 3 103 9 102 max 4.63MPa max ; 8 z 583010 (在截面上下边缘。) 返回 下一张 上一张 小结
(三)静力学关系: 纯弯曲梁上各点只有正应力,微面积dA上法 向合力dN=σdA。截面上各微内力形成沿X轴的空 间平行力系。可简化成三个内力分量:Nx、My、Mz。
E M y zdA 0 zydA 0; —中性轴是截面的形心主轴。
N d 0
例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两 点处的正应力。 解:(1)求D截面的弯矩: MD=30kN.m (2)确定中性轴位置 和截面惯性矩: 查型钢表 IZ=1660cm4 (3)求D截面a、b两点的正应力: 180 ya yb 10.7 79.3m m; 2 M D ya 30103 79.3 103 a 143.3MPa; 8 z 166010
已知:
P2=9kN, y1=72mm, Iz=573cm4,
试求 梁横截面上的最大剪应力。 解:1. 求最大剪力: 在CB梁段。 1 1 S z A* yo by12 30 72 2 77800 mm 2 ; 2 2 2. 求最大剪应力: Qmax=15kN,
Q S z 15103 77800 max 6.79MPa 4 Iz b 57310 30 在中性轴上。
横截面上只有弯矩而没有剪力 的弯曲称作纯弯曲。
如图简支梁,AC、DB段为横 力弯曲;CD段为纯弯曲。 本章研究梁的应力和变形计算, 解决梁的强度和刚度计算问题。
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第一节 梁横截面上的正应力
为推导梁横截面上的正应力,考虑纯弯曲情况。 用三关系法:实验观察→平面假设; 几何关系→变形规律, 物理关系→应力规律, 静力学关系→应力公式。 一、实验观察与分析: ①横线仍为直线,但倾斜角度d; ②纵线由直变弯,仍与横线正交, 凸边伸长, 凹边缩短; ③横截面相对于纵向伸长区域缩 短,纵向缩短区域伸长。 假设:①平面假设—变形前 后横 截面保持平面不变; ②单向受力假设—纵向纤维之间互不挤压仅伸长或缩短。 中性层—长度不变的纤维层; 中性轴—中性层与横截面的交线。
2、求K点剪应力:
QA S z 3 103 236103 k 0.252MPa 4 1 zb 281010 1010
3、求最大剪应力:
max
Q 1.5 3 103 1.5 0.3MPa 2 A 151010
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例7-4 倒T形截面外伸梁如图, l=600mm,b=30mm,P1=24kN,
h/2
* QSz I zb
h 6Qh2 3 Q y , 0; y 0, max ; 3 2 4bh 2 bh
max 3Q 3 ; 2 A 2
( 平均剪应力)
由剪切虎克定律η=Gγ,知剪应变 沿截面高度也按抛物线规律变化,引起 截面翘曲。但变形很小,可忽略不计。
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二、正应力公式的推导:
(一)变形几何关系:
取梁微段dx考虑变形 几何关系,得应变规律:
S yd y ; dx d
当M>0时:y>0,ε>0,为受拉区;y<0,ε<0,为受压区。 (二)物理关系: y 由假设2及虎克定律,梁横 E E 截面上的正应力变化规律为: 此式表明:梁横截面上任一点的正应力,与该点距中性轴 (z轴)的距离y成正比,而与该点距y轴的距离z无关。正应 力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,ζ=0;上下边 缘处有ymax,故有ζmax。 返回 下一张 上一张 小结
矩形截面剪应力计算公式:
式中:Q—横截面上的剪力; Iz—横截面对其中性轴的惯性矩; b—所求剪应力作用点处的截面宽度; Sz *—所求剪应力作用点处的横线以 下(或以上)的截面积A*对中性轴的面积矩。
b h2 bh3 2 矩形截面: dA bdy, S z A* y1dA y y1bdy 2 ( 4 y ); I z 12 , Q h2 6Q h 2 η沿截面高度按 2 ( y ) 3 ( y 2 ); 2I z 4 bh 4 抛物线规律变化。
b 143.3MPa;
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第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁: 矩形截面梁任意截面上剪力Q 都与对称轴重合。对狭长横截面上 剪应力的分布规律可作两个假设: (1)横截面上各点均与该面上Q 同向且平行; (2)剪应力沿截面宽度均匀分布。 从梁微段中取窄条cdmn分析:
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二、其它形状截面的剪应力:
1. 工字形截面梁: 工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。 1)腹板上的剪应力:腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力。 故中性轴处有最大剪应力 QS z max Q 或 max max h1d zd
式中:Q—横截面上的剪力; h1—腹板高度; Iz— 截面对z轴惯性矩; d—腹板厚度; Szmax—中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩; (对于型钢,Szmax:Iz 的值可查型钢表确定)
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例7-3:矩形截面简支梁如图,已 知:l=2m,h=15cm,b=10cm,h1=3cm, q=3kN/m.试求A支座截面上K点 的剪应力及该截面的最大剪应力. 解:1、求剪力:QA=3kN
bh3 10153 z 2810 4 cm 12 12 S z * yc 10 4.5 5.25 236cm3
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所有开口薄壁截面的剪应 力均符合“剪应力流”规 律。 2. T字型截面: T字型截面与工字型截面 * QSz 相似,最大剪应力仍发生在截 Izd 面中性轴上。其腹板上应力为:
3. 圆形及环形截面: 圆形与薄壁环形截面其最大竖向剪应力 也都发生在中性轴上,并沿中性 4Q max 轴均匀分布,其值为: 圆形截面 3 A1 薄壁环形截面 2 Q max A2 式中:Q—截面上的剪力 A1、A2—圆形、薄壁环形截面的面积
例7-5 图示为T形截面的铸铁梁。已知: y1=5.2cm,y2=8.8cm,P1=10.8kN,P2=4.8kN, a=1m,铸铁许用拉应力[+]=30MPa,许用压 应力[-]=60MPa,试校核梁的正应力强度。 解:(1)作出梁的弯矩图,可知: MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m (2)梁的两个抗弯截面模量为:
E
yd 0 —中性轴Z必通过形心。
M z ydA M
E 2 y dA M
My z —纯弯曲梁横截面上任一点正应力计算公式
1 M —纯弯曲梁的 ; E z 变形计算公式
Iz—截面对其中性轴的惯性矩; M—截面上的弯矩; y—所求正应力点到中性轴的距离。 为避免符号错误,计算中各量以绝对值代入,ζ符号依点 所处区域直接判断。(根据弯矩方向,中性轴将截面分为受 拉区和受压区;M>0,上压下拉;M<0,上拉下压。) 式中:
max
M max ymax M max ; Iz Wz
令Wz Iz ; ymax
Wz ___抗弯截面系数(模量) ,反映截面抵抗弯曲变 形的能力;单位: 3 , m m3 . m bh2 D3 D 3 矩形截面:Wz ;圆形截面:Wz ; 环形截面:Wz (1 4 );各种型钢查表。 6 32 32
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第三节 梁的强度计算
为了保证梁在外力作用下能安全正常工作,必须限制梁内的 最大应力不超过材料的许用应力。由此建立梁的强度条件并进行 梁的强度计算。 危险截面—最大应力点所在截面;(等直梁为最大内力截面) 危险点—危险截面上的最大应力作用点。 一、梁的正应力强度条件: 等直梁的危险截面危险点为最大弯矩截面上下边缘处各点。
2)翼缘上的剪应力:翼缘上的剪应力情况较复杂。竖向分量很 小且分布复杂,一般不考虑;水平分量认为沿翼缘厚度均匀分布, 计算公式与矩形截面的相同,其方向与竖向剪应力方向之间存在 “剪应力流”的规律。 QS z Sz—欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴惯性矩; 水平 I z o δo—翼缘厚度。
N1 * 1dA
A
M M dM Sz ; N2 Sz ; Iz Iz
N 2 dT 0;
dT ' bdx;
x 0, N
'
1
dMSz dM , Q, ' ; dxIz b dx
QSz ; I zb
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max 1050 0
Qmax [Q] [ ]
M max
d , b(截面尺寸取整!)
(3)确定梁的 许可荷载
M max M Wz P ; M A [ P ](取[ P ]为[ P ] . ) Q min k
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M max 对称截面梁的正应力强 度条件: max [ ] __ 弯曲许用应力,查表确 定。 Wz
非对称截面梁的正应力 强度条件: max
M max [ ] __ 弯曲许用应力,查表确 定。 Wz
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二、剪应力强度条件: max k A [ ] __ 材料的许用剪应力,试 验确定。
Q 3 4 矩形截面:k ;圆形截面:k ; 环形截面:k 2; 各种型钢查表或 1( max max )。 k 2 3 h1d
Q
三、梁的强度计算: 一般情况下,细长梁多为横力弯曲,横截面上同时存在弯矩 和剪力,应同时满足正应力和剪应力强度条件。由此可进行三方 面的强度计算: (1)强度校核: max 105% max 105% (2)选择截面: Wz
W1 z 763 763 146.7cm3 ;W2 z 86.7cm3 ; y1 5.2 y2 8.8
第九章 梁的强度和刚度计算
第一节
梁横截面上的正应力 梁横截面上的剪应力 梁的强度计算 弯曲中心的概念 梁的变形和刚度计算 应力状态和强度理论 小结
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第四节
第五节
第六节
第七章 梁的强度和刚度计算
梁的一般情况是横截面上同时 存在剪力和弯矩两种内力,称作剪 力(横力)弯曲。与此相应的截面 上任一点处有剪应力η和正应力ζ。 且剪应力η只与剪力Q有关,正应力 ζ只与弯矩M有关。
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正应力公式的使用范围:①纯弯曲梁;②弹性范围(ζ≤ζp); ③平面弯曲(截面有对称轴,形状不限);④细长梁的横力弯曲。 (一般l/h>5为细长梁,其计算误差满足工程精度要求δ<5%。)
例7-1 图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。 解:(1)计算C截面的弯矩M M c 2P 2 1.5 3KN m (2)确定中性轴位置,并计算惯性矩 bh3 12183 z 5830 4 cm 12 12 18 ya 3 6cm ; yb 3cm . (3)求a、b两点的正应力 2 M c ya 3 103 0.06 a 3.09MPa; 8 z 583010 M c yb 3 103 0.03 b 1.54MPa; 8 z 583010 h 18 ymax 9cm ; (4)求C截面最大拉应力+max和最大压应力 -max 2 2 M c ymax 3 103 9 102 max 4.63MPa max ; 8 z 583010 (在截面上下边缘。) 返回 下一张 上一张 小结
(三)静力学关系: 纯弯曲梁上各点只有正应力,微面积dA上法 向合力dN=σdA。截面上各微内力形成沿X轴的空 间平行力系。可简化成三个内力分量:Nx、My、Mz。
E M y zdA 0 zydA 0; —中性轴是截面的形心主轴。
N d 0
例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两 点处的正应力。 解:(1)求D截面的弯矩: MD=30kN.m (2)确定中性轴位置 和截面惯性矩: 查型钢表 IZ=1660cm4 (3)求D截面a、b两点的正应力: 180 ya yb 10.7 79.3m m; 2 M D ya 30103 79.3 103 a 143.3MPa; 8 z 166010
已知:
P2=9kN, y1=72mm, Iz=573cm4,
试求 梁横截面上的最大剪应力。 解:1. 求最大剪力: 在CB梁段。 1 1 S z A* yo by12 30 72 2 77800 mm 2 ; 2 2 2. 求最大剪应力: Qmax=15kN,
Q S z 15103 77800 max 6.79MPa 4 Iz b 57310 30 在中性轴上。
横截面上只有弯矩而没有剪力 的弯曲称作纯弯曲。
如图简支梁,AC、DB段为横 力弯曲;CD段为纯弯曲。 本章研究梁的应力和变形计算, 解决梁的强度和刚度计算问题。
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第一节 梁横截面上的正应力
为推导梁横截面上的正应力,考虑纯弯曲情况。 用三关系法:实验观察→平面假设; 几何关系→变形规律, 物理关系→应力规律, 静力学关系→应力公式。 一、实验观察与分析: ①横线仍为直线,但倾斜角度d; ②纵线由直变弯,仍与横线正交, 凸边伸长, 凹边缩短; ③横截面相对于纵向伸长区域缩 短,纵向缩短区域伸长。 假设:①平面假设—变形前 后横 截面保持平面不变; ②单向受力假设—纵向纤维之间互不挤压仅伸长或缩短。 中性层—长度不变的纤维层; 中性轴—中性层与横截面的交线。
2、求K点剪应力:
QA S z 3 103 236103 k 0.252MPa 4 1 zb 281010 1010
3、求最大剪应力:
max
Q 1.5 3 103 1.5 0.3MPa 2 A 151010
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例7-4 倒T形截面外伸梁如图, l=600mm,b=30mm,P1=24kN,
h/2
* QSz I zb
h 6Qh2 3 Q y , 0; y 0, max ; 3 2 4bh 2 bh
max 3Q 3 ; 2 A 2
( 平均剪应力)
由剪切虎克定律η=Gγ,知剪应变 沿截面高度也按抛物线规律变化,引起 截面翘曲。但变形很小,可忽略不计。
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二、正应力公式的推导:
(一)变形几何关系:
取梁微段dx考虑变形 几何关系,得应变规律:
S yd y ; dx d
当M>0时:y>0,ε>0,为受拉区;y<0,ε<0,为受压区。 (二)物理关系: y 由假设2及虎克定律,梁横 E E 截面上的正应力变化规律为: 此式表明:梁横截面上任一点的正应力,与该点距中性轴 (z轴)的距离y成正比,而与该点距y轴的距离z无关。正应 力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,ζ=0;上下边 缘处有ymax,故有ζmax。 返回 下一张 上一张 小结
矩形截面剪应力计算公式:
式中:Q—横截面上的剪力; Iz—横截面对其中性轴的惯性矩; b—所求剪应力作用点处的截面宽度; Sz *—所求剪应力作用点处的横线以 下(或以上)的截面积A*对中性轴的面积矩。
b h2 bh3 2 矩形截面: dA bdy, S z A* y1dA y y1bdy 2 ( 4 y ); I z 12 , Q h2 6Q h 2 η沿截面高度按 2 ( y ) 3 ( y 2 ); 2I z 4 bh 4 抛物线规律变化。