第九章 梁的强度和刚度计算

例7-2 18号工字钢制成的简支梁如图所示。试求D截面上a、b两 点处的正应力。 解：(1)求D截面的弯矩： MD=30kN.m (2)确定中性轴位置 和截面惯性矩： 查型钢表 IZ=1660cm4 (3)求D截面a、b两点的正应力： 180 ya yb 10.7 79.3m m; 2 M D ya 30103 79.3 103 a 143.3MPa; 8 z 166010
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例7-3：矩形截面简支梁如图,已 知:l=2m,h=15cm,b=10cm,h1=3cm, q=3kN/m.试求A支座截面上K点 的剪应力及该截面的最大剪应力. 解：1、求剪力：QA=3kN
bh3 10153 z 2810 4 cm 12 12 S z * yc 10 4.5 5.25 236cm3
横截面上只有弯矩而没有剪力 的弯曲称作纯弯曲。
如图简支梁，AC、DB段为横 力弯曲；CD段为纯弯曲。 本章研究梁的应力和变形计算， 解决梁的强度和刚度计算问题。
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第一节 梁横截面上的正应力
为推导梁横截面上的正应力，考虑纯弯曲情况。 用三关系法：实验观察→平面假设； 几何关系→变形规律， 物理关系→应力规律， 静力学关系→应力公式。 一、实验观察与分析： ①横线仍为直线,但倾斜角度d； ②纵线由直变弯,仍与横线正交, 凸边伸长, 凹边缩短； ③横截面相对于纵向伸长区域缩 短，纵向缩短区域伸长。 假设:①平面假设—变形前 后横 截面保持平面不变； ②单向受力假设—纵向纤维之间互不挤压仅伸长或缩短。 中性层—长度不变的纤维层； 中性轴—中性层与横截面的交线。
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正应力公式的使用范围：①纯弯曲梁；②弹性范围（ζ≤ζp）； ③平面弯曲（截面有对称轴，形状不限）；④细长梁的横力弯曲。 （一般l/h>5为细长梁，其计算误差满足工程精度要求δ<5％。）
例7-1 图示悬臂梁。试求C截面上a、b两点的正应力和该截面最大拉、压应力。 解：（1）计算C截面的弯矩M M c 2P 2 1.5 3KN m （2）确定中性轴位置，并计算惯性矩 bh3 12183 z 5830 4 cm 12 12 18 ya 3 6cm ; yb 3cm . （3）求a、b两点的正应力 2 M c ya 3 103 0.06 a 3.09MPa; 8 z 583010 M c yb 3 103 0.03 b 1.54MPa; 8 z 583010 h 18 ymax 9cm ; (4)求C截面最大拉应力+max和最大压应力 -max 2 2 M c ymax 3 103 9 102 max 4.63MPa max ; 8 z 583010 （在截面上下边缘。） 返回 下一张 上一张 小结
W1 z 763 763 146.7cm3 ;W2 z 86.7cm3 ; y1 5.2 y2 8.8
max
M max ymax M max ; Iz Wz
令Wz Iz ; ymax
Wz ___抗弯截面系数（模量） ，反映截面抵抗弯曲变 形的能力；单位： 3 , m m3 . m bh2 D3 D 3 矩形截面：Wz ;圆形截面：Wz ; 环形截面：Wz (1 4 );各种型钢查表。 6 32 32
第九章 梁的强度和刚度计算
第一节
梁横截面上的正应力 梁横截面上的剪应力 梁的强度计算 弯曲中心的概念 梁的变形和刚度计算 应力状态和强度理论 小结
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第二节
第三节
第四节
第五节
第六节
第七章 梁的强度和刚度计算
梁的一般情况是横截面上同时 存在剪力和弯矩两种内力，称作剪 力（横力）弯曲。与此相应的截面 上任一点处有剪应力η和正应力ζ。 且剪应力η只与剪力Q有关，正应力 ζ只与弯矩M有关。
Q 3 4 矩形截面：k ;圆形截面：k ; 环形截面：k 2; 各种型钢查表或 1( max max )。 k 2 3 h1d
Q
三、梁的强度计算： 一般情况下，细长梁多为横力弯曲，横截面上同时存在弯矩 和剪力，应同时满足正应力和剪应力强度条件。由此可进行三方 面的强度计算： (1)强度校核: max 105% max 105% (2)选择截面: Wz
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二、正应力公式的推导：
（一）变形几何关系：
取梁微段dx考虑变形 几何关系，得应变规律：

S yd y ; dx d
当M>0时：y>0,ε>0，为受拉区；y<0,ε<0,为受压区。 （二）物理关系： y 由假设2及虎克定律，梁横 E E 截面上的正应力变化规律为： 此式表明：梁横截面上任一点的正应力，与该点距中性轴 （z轴）的距离y成正比，而与该点距y轴的距离z无关。正应 力沿截面高度呈直线规律分布。中性层处y=0,ζ＝0；上下边 缘处有ymax，故有ζmax。 返回 下一张 上一张 小结
已知：
P2=9kN, y1=72mm, Iz=573cm4,
试求 梁横截面上的最大剪应力。 解：1. 求最大剪力： 在CB梁段。 1 1 S z A* yo by12 30 72 2 77800 mm 2 ; 2 2 2. 求最大剪应力： Qmax＝15kN,
Q S z 15103 77800 max 6.79MPa 4 Iz b 57310 30 在中性轴上。
N1 * 1dA
A
M M dM Sz ; N2 Sz ; Iz Iz
N 2 dT 0;
dT ' bdx;
x 0, N
'
1
dMSz dM , Q, ' ; dxIz b dx

QSz ; I zb
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（三）静力学关系： 纯弯曲梁上各点只有正应力，微面积dA上法 向合力dN=σdA。截面上各微内力形成沿X轴的空 间平行力系。可简化成三个内力分量：Nx、My、Mz。
E M y zdA 0 zydA 0; —中性轴是截面的形心主轴。

N d 0
2、求K点剪应力：
QA S z 3 103 236103 k 0.252MPa 4 1 zb 281010 1010
3、求最大剪应力：
max
Q 1.5 3 103 1.5 0.3MPa 2 A 151010
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例7-4 倒T形截面外伸梁如图, l=600mm,b=30mm,P1=24kN,
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第三节 梁的强度计算
为了保证梁在外力作用下能安全正常工作，必须限制梁内的 最大应力不超过材料的许用应力。由此建立梁的强度条件并进行 梁的强度计算。 危险截面—最大应力点所在截面;(等直梁为最大内力截面） 危险点—危险截面上的最大应力作用点。 一、梁的正应力强度条件： 等直梁的危险截面危险点为最大弯矩截面上下边缘处各点。
max 1050 0
Qmax [Q] [ ]
M max
d , b(截面尺寸取整！）
(3)确定梁的 许可荷载
M max M Wz P ; M A [ P ](取[ P ]为[ P ] . ） Q min k
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所有开口薄壁截面的剪应 力均符合“剪应力流”规 律。 2. T字型截面： T字型截面与工字型截面 * QSz 相似，最大剪应力仍发生在截 Izd 面中性轴上。其腹板上应力为：
3. 圆形及环形截面： 圆形与薄壁环形截面其最大竖向剪应力 也都发生在中性轴上，并沿中性 4Q max 轴均匀分布，其值为： 圆形截面 3 A1 薄壁环形截面 2 Q max A2 式中：Q—截面上的剪力 A1、A2—圆形、薄壁环形截面的面积
M max 对称截面梁的正应力强 度条件： max [ ] __ 弯曲许用应力，查表确 定。 Wz
非对称截面梁的正应力 强度条件： max
M max [ ] __ 弯曲许用应力，查表确 定。 Wz
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二、剪应力强度条件： max k A [ ] __ 材料的许用剪应力，试 验确定。
h/2
* QSz I zb
h 6Qh2 3 Q y , 0; y 0, max ; 3 2 4bh 2 bh
max 3Q 3 ; 2 A 2
（ 平均剪应力）
由剪切虎克定律η＝Gγ，知剪应变 沿截面高度也按抛物线规律变化，引起 截面翘曲。但变形很小，可忽略不计。
例7-5 图示为T形截面的铸铁梁。已知： y1=5.2cm,y2=8.8cm,P1=10.8kN,P2=4.8kN, a=1m,铸铁许用拉应力[+]=30MPa,许用压 应力[-]=60MPa,试校核梁的正应力强度。 解：(1)作出梁的弯矩图,可知: MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m (2)梁的两个抗弯截面模量为:
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二、其它形状截面的剪应力：
1. 工字形截面梁： 工字形截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。 1)腹板上的剪应力：腹板为狭长矩形,承担截面绝大部分剪应力。 故中性轴处有最大剪应力 QS z max Q 或 max max h1d zd
式中:Q—横截面上的剪力； h1—腹板高度；x—中性轴一侧面积对中性轴的惯性矩； （对于型钢，Szmax：Iz 的值可查型钢表确定）
矩形截面剪应力计算公式：
式中:Q—横截面上的剪力； Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； b—所求剪应力作用点处的截面宽度； Sz ＊—所求剪应力作用点处的横线以 下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。