电荷在外电场中的静电势能
第十章静电场中的能量
第十章静电场中的能量1电势能和电势一、静电力做功的特点1．静电力做功：在匀强电场中，静电力做功W＝qEl cos θ.其中θ为静电力与位移方向之间的夹角．2．特点：在静电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关．(1)静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与具体路径无关，这与重力做功特点相似．(2)无论是匀强电场还是非匀强电场，无论是直线运动还是曲线运动，静电力做功均与路径无关．二、电势能1．电势能：电荷在电场中具有的势能，用E p表示．2．静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量．表达式：W AB＝E p A－E p B.(1)静电力做正功，电势能减少；(2)静电力做负功，电势能增加．3．电势能的大小：电荷在某点(A点)的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功E p A＝W A0.4．电势能具有相对性电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷无限远处或把电荷在大地表面的电势能规定为零．(1)电势能E p是由电场和电荷共同决定的，是电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷在电场中某点的电势能．(2)电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关。
确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置。
(3)电势能是标量，有正负但没有方向。
在同一电场中，电势能为正值表示电势能大于零势能点的电势能，电势能为负值表示电势能小于零势能点的电势能。
5．静电力做功与电势能变化的关系(1)W AB＝E p A－E p B.静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加．(2)在同一电场中，正电荷在电势高的地方电势能大，而负电荷在电势高的地方电势能小．三、电势1．定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．2．公式：φ＝E p q。
(1)φ取决于电场本身；(2)公式中的E p 、q 均需代入正负号。
3．单位：国际单位制中，电势的单位是伏特，符号是V ,1 V ＝1 J/C.4．电势高低的判断：(1)电场线法：沿电场线方向，电势越来越低．(2)电势能判断法：由φ＝E p q知，对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高．5．电势的相对性：只有规定了零电势点才能确定某点的电势，一般选大地或离场源电荷无限远处的电势为0.6．电势是标量，只有大小，没有方向，但有正、负之分，同一电场中电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低．7．电场中某点的电势是相对的，它的大小和零电势点的选取有关．在物理学中，常取离场源电荷无限远处的电势为零，在实际应用中常取大地的电势为零．8．电势虽然有正负，但电势是标量．在同一电场中，电势为正值表示该点电势高于零电势，电势为负值表示该点电势低于零电势，正负号不表示方向．2 电势差一、电势差1．定义：电场中两点之间电势的差值，也叫作电压．U AB ＝φA －φB ，U BA ＝φB －φA ，U AB ＝－U BA .2．电势差是标量，有正负，电势差的正负表示电势的高低．U AB >0，表示A 点电势比B 点电势高．3．单位：在国际单位制中，电势差与电势的单位相同，均为伏特，符号是V .4．静电力做功与电势差的关系(1)公式：W AB ＝qU AB 或U AB ＝W AB q. (2)U AB 在数值上等于单位正电荷由A 点移到B 点时静电力所做的功．二、电势差的理解1．电势差反映了电场的能的性质，决定于电场本身，与试探电荷无关．2．电势差可以是正值也可以是负值，电势差的正负表示两点电势的高低，且U AB ＝－U BA ，与零电势点的选取无关．3．电场中某点的电势在数值上等于该点与零电势点之间的电势差．三、静电力做功与电势差的关系1．公式U AB＝W ABq或W AB＝qU AB中符号的处理方法：把电荷q的电性和电势差U的正负代入进行运算，功为正，说明静电力做正功，电荷的电势能减小；功为负，说明静电力做负功，电荷的电势能增大．2．公式W AB＝qU AB适用于任何电场，其中W AB仅是电场力做的功，不包括从A到B移动电荷时其他力所做的功．3．电势和电势差的比较1．定义：电场中电势相同的各点构成的面．2．等势面的特点(1)在同一等势面上移动电荷时静电力不做功．(2)等势面一定跟电场线垂直，即跟电场强度的方向垂直．(3)电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面．3．等势面的特点及应用(1)在等势面上移动电荷时静电力不做功，电荷的电势能不变．(2)电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面，由此可以绘制电场线，从而可以确定电场的大致分布．(3)等差等势面密的地方，电场强度较强；等差等势面疏的地方，电场强度较弱，由等差等势面的疏密可以定性确定场强大小．(4)任意两个等势面都不相交．4．几种常见电场的等势面(如图1所示)图1(1)点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面．(2)等量异种点电荷的等势面：点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，两点电荷连线的中垂线是一条等势线．(3)等量同种点电荷的等势面①等量正点电荷连线的中点电势最低，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低．②等量负点电荷连线的中点电势最高，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最低．从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高．(4)匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面．3 电势差与电场强度的关系一、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．在匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．2．公式：U AB ＝Ed .二、公式E ＝U AB d的意义 1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离之比．2．电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势．3．电场强度的另一个单位：由E ＝U AB d可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V /m.1 V/m ＝1 N/C.三、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．公式E ＝U AB d及U AB ＝Ed 的适用条件都是匀强电场． 2．由E ＝U d可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势． 式中d 不是两点间的距离，而是两点所在的等势面间的距离，只有当此两点在匀强电场中的同一条电场线上时，才是两点间的距离．3．电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．4．电势差的三种求解方法(1)应用定义式UAB ＝φA －φB 来求解．(2)应用关系式UAB ＝WAB q来求解． (3)应用关系式UAB ＝Ed(匀强电场)来求解．5．在应用关系式UAB ＝Ed 时可简化为U ＝Ed ，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，电势差的正负、电场强度的方向可根据题意另作判断．四、利用E ＝U d定性分析非匀强电场 U AB ＝Ed 只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．(1)在非匀强电场中，公式U ＝Ed 中的E 可理解为距离为d 的两点间的平均电场强度．(2)当电势差U 一定时，场强E 越大，则沿场强方向的距离d 越小，即场强越大，等差等势面越密．(3)距离相等的两点间的电势差：E 越大，U 越大；E 越小，U 越小．五、用等分法确定等势线和电场线1．在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U ＝Ed ，其中d 为两点沿电场方向的距离． 由公式U ＝Ed 可以得到下面两个结论：结论1：匀强电场中的任一线段AB 的中点C 的电势φC ＝φA ＋φB 2，如图1甲所示． 图1结论2：匀强电场中若两线段AB ∥CD ，且AB ＝CD ，则U AB ＝U CD (或φA －φB ＝φC －φD )，同理有U AC ＝U BD ，如图乙所示。
电场中的电势能和电势分布的现象与应用
静电场的防护与控制技术
静电场的防护：通过接地、消除静电等方式减少静电对设备的损害
静电场的控制：利用静电感应原理，实现对带电粒子的操控和利用
电势的分布与电 场强度的关系在 电力学、电磁学 等领域有着广泛 的应用，例如在 无线通信、电磁 波传播、电磁感 应等方面都需要 考虑电势与电场 强度的关系。
电势分布的规律及其应用
电势分布规律：电荷在电场中产生的电势能与电势分布密切相关，电荷分布不同，电势分布也不 同。
电势的应用：电势差可以用来推动电荷运动，从而产生电流，实现电能传输和利用。
静电场的应用：在电子、制药、印刷等领域有广泛应用 静电场的工程应用：在电力、航空、交通等领域实现高效、安全、 环保的能源利用和传输
06
电势能与其他能量的转换关系
电势能与其他形式能量的转换关系
电势能与机械能 的转换：在电场 中，带电粒子在 电场力作用下做 功，实现电势能 与机械能的相互
转换。
电势能与热能的 转换：在电路中， 电流通过电阻等 元件时，电场力 对电荷做功，将 电势能转换为热
能。
电势能与光能的 转换：在光电效 应中，光子照射 在金属表面时， 电场力做功释放 出光电子，实现 电势能与光能的
转换。
电势能与化学能 的转换：在电解 池中，电场力驱 动离子发生氧化 还原反应，实现 电势能与化学能
的相互转换。
电场中能量转换的效率与损失
电势能与其他 能量的转作用与影响
电场对介质的作 用：电场对介质 产生极化现象， 使介质内部正负 电荷分离，形成 电偶极子。
静电和电能静电荷在电场中的势能状态
静电和电能静电荷在电场中的势能状态静电和电能：静电荷在电场中的势能状态电场中的静电荷具有势能，这种势能称为电能。
电能是描述电场中静电荷之间相互作用的一种形式。
在本文中，我们将探讨静电和电能的关系以及静电荷在电场中的势能状态。
1. 静电和电场静电是指物体上由于电荷分布不均带来的电现象。
当物体带有多余的电荷时，其周围就会形成一个电场。
电场是指处于电荷周围的区域内，空间各点所具有的某种特性，即受力的性质。
在电场中，电荷会受到电场力的作用。
2. 电能的概念电能是指电荷由于相互作用而具有的能量。
当两个电荷之间存在电势差时，就会形成电场力，使得电荷发生位移，并伴随能量的转移。
这种能量转移就是电能的体现。
3. 电势差和电势能电势差是电路中的两个点之间由于电荷分布不均产生的电势差异。
电势差越大，说明两点之间的电荷分布差异越大。
电势差可以通过公式ΔV = W/Q计算，其中ΔV表示电势差，W表示做功，Q表示电荷。
电势能是指单位正电荷在电场中某点处所具有的电能。
电势能可以通过公式Ep = QV计算，其中Ep表示电势能，Q表示电荷，V表示电势差。
4. 静电势能和电势差之间的关系在静电场中，电势能可以表示为两个电荷之间的相互作用能力。
如果将一个单位正电荷从某点移动到无穷远处，所需的能量就是该点的电势能。
根据定义，电势差等于单位正电荷所具有的电势能。
因此，电势差越大，说明单位电荷所具有的电势能也越大。
5. 电势能在电场中的分布静电荷在电场中的势能状态取决于电荷的位置。
当两个同性电荷靠近时，它们之间的电势能增加。
相反，当两个异性电荷靠近时，它们之间的电势能减小。
在电场中，电势能沿着等势线分布。
等势线是指一组连接电势相等的点的线。
等势线越密集，说明电势变化越大，电势能也越高。
等势线垂直于力线，力线是指在电场中表示电场力方向的线。
综上所述，静电和电能之间存在密切的关系。
静电荷在电场中的势能状态取决于电势差和电势能的分布。
通过研究静电和电能的相互作用，我们可以更好地理解电场中静电荷的行为和性质。
电场中电荷的势能及其计算
电场中电荷的势能与电路设计的应用
电场中电荷的势能计算公式 电场中电荷的势能与电路设计的关系 电场中电荷的势能在电路设计中的应用实例 电场中电荷的势能与电路设计的发展前景
电荷在电场中的势能与物理现 象的联系
电场中电荷的势能与静电感应现象的联系
电荷在电场中会受到电场力的作用，从而产生势能。
电场中电荷的势能及其计算
汇报人：XX
电荷的势能概念 电荷在电场中的势能变化 电荷在电场中的势能计算方法 电荷在电场中的势能应用
电荷在电场中的势能与物理现象的联系
电荷的势能概念
电荷在电场中的势能定义
电场中电荷的势能是电荷与电场共同作用的结果。 电荷的势能是由电荷所在位置的电场强度和电荷的电量共同决定的。 电荷的势能是一个标量，具有相对性，其大小与参考点的选择有关。 电荷的势能是电荷与电场之间相互作用的一种表现形式。
能量守恒定律在电场中的应用：在电场中，电荷的势能和动能之间可以相互转化，符合能量守恒 定律。
电场中电荷的势能与电场力的关系：电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量成正比，与其所 在位置的电场强度成正比，而与其移动的距离成反比。
电场中电荷的势能与电场源的关系：电荷在电场中受到的电场力是由电场源产生的，因此电荷的 势能也与电场源有关。
当电荷在电场中移动时，其势能会发生变化，从而影响静电感应现象。 静电感应现象是指当一个带电体靠近导体时，导体表面会出现感应电荷 的现象。 电荷在电场中的势能变化会影响静电感应现象的发生和表现形式。
电场中电荷的势能与电磁感应现象的联系
电荷在电场中运动时，会产生电磁感应现象，如涡旋电场等。
电荷在电场中的势能变化与电磁感应现象密切相关，势能的变化会引起电场强度的变化，进而 产生电磁波。
静电场5-电势梯度和电势能
a
q
17
Aab W
取wb为电势能零点, 即: Wb=0, 则： W
势能零点 a
b
q
a
E
E dl q
a
一般取 ∞ 处为势能零点 试探电荷q在电场中a点时系统的电势能 物理意义： 大小等于: 将q从a点移至电势能零点电 场力所做的功
q距离场源点电荷Q为r时
系统的电势能:
1 Qq W 4 0 r
U1 U2 + U3
U4
E
证明：设电场中任意两个相邻等势面之间的电势差 为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图）， 以点电荷为例，其电势为 1 q U (r ) 4 0 r
典型等势面
6
电偶极势场
7
电容器势场
8
三、电场强度与电势梯度
• 场有分布, 沿各方向存在不同的方向微商 • 梯度：最大的方向微商 E – 如 速度梯度 温度梯度等 U P n l • 沿l 的方向微商可以表示为 U+U
n
Δn很小,场强E变化不大
U
Q
P
E d l En
U U E lim n 0 n n
考虑方向，则有： E U
矢量微分算符
在直角坐标系中： i j k x y z
dU U U U ˆ U n i j k dn x y z
电势叠加各区域的电势分布是内外球壳单独存在时电势的叠加内壳单独存在外壳单独存在iii3511如图所示半径为r的半球面a的球心o位于oz轴上距o点r处半球面横截面与oxy面平行坐标原点o处有一电36一个细玻璃棒被弯成半径为r的半圆形沿其上半部分均匀分布有电量q沿其下半部分均匀分布有电量q
带电体系的静电能、带电体在外电场中的能量
解：相邻顶点之间的距离为b
面对角线长度为 2b
12对 12对
12e2k / b 12e2k /
1
4 0
2b
体对角线长度为 3b 4对 4e2k / 3b
中心到顶点距离 3b / 2 8对 8(2e2 )k / 3b / 2
总相 互作
用能
we
1
4 0
12e2 (
b
12e2 2b
4e2 3b
32e2 )
静
dq(U U ) u(t)dq
电
能
We
Q
u(t)dq
0
Q q(t) dq 1 Q2
0C
2C
电量 0——>Q
2013/3/13
电容器储能公式的推广
孤立导体
Q=CU
We
1 2
Q2 C
1 CU 2 2
1 QU 2
一组导体1、2、…、n
1
We 2
n i
1 QiUi 2
i
Ui edS
U (r l) U (r) U l l
U(r) l U
U (r l )
U (r )
W ql U P U p E(r) pE cos
2013/3/13
带电体系在外场中受的力或力矩与静电
势能的关系——虚功原理 p271/p61
设处在一定位形的带电体系的电势能为W，当它 的位形发生微小变化
3b
0.344e2
0b
2013/3/13
自能和相互作用能
相互作用能：把每一个带电体看作一个不 可分割的整体，将各带电体从无限远移到 现在位置所做的功等于它们的相互作用能。
自能：把全部电荷从无限分散的情况下聚 集到带电体上的过程中外力克服电场力所 做的功。
静电场和静电场中的势能
等势面的特点： 在同一等势面上， 电势处处相等
等势面的作用： 描述电场中电势 的分布情况
等势面的性质： 等势面与电场线 垂直，且电场线 总是从电势较高 的等势面指向电 势较低的等势面
静电场的能量守恒 定律是物理学中的 一个基本定律，它 描述了静电场中的
能量守恒现象。
能量守恒定律是指 在一个封闭系统中， 能量不能被创造或 销毁，只能从一种 形式转化为另一种
静电场中的电势能可以通过 电势差来计算，电势差越大，
电势能越大
电场线：描述静电场中电场强度的 方向和强弱的曲线
电场线的方向：电场线方向与正电 荷在电场中的受力方向相同
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
电场线的性质：电场线不交叉，电 场线密度表示电场强度
电场线的应用：通过电场线可以直 观地了解静电场的分布和变化情况
主要部件：感光鼓、充电电极、 显影剂、定影器等
操作过程：首先，感光鼓被充电 电极充电，然后曝光，使感光鼓 上的图像和文字形成潜影，接着 显影剂将潜影转化为可见图像， 最后定影器将图像固定在纸张上
优点：速度快、成本低、操作简 单，适用于大量复印任务
静电感应器：用于检测 静电场的存在和强度
静电屏蔽器：用于屏 蔽静电场，保护电子
势能的定义：物体在静电场中由于电场力作用而具有的能量 势能的计算公式：Ep=qφ，其中q为电荷量，φ为电位 势能的变化：随着电荷在静电场中的位置变化而变化 势能的性质：势能是标量，没有方向性，只有大小之分
电势的定义：电 场中单位电荷所 具有的电势能
电势的符号：φ
电势的单位：伏 特（V）
电势与电场的关 系：电势是电场 的一种特性，描 述了电场中电荷 受力的情况
静电势能静电场中势能的计算与应用
静电势能静电场中势能的计算与应用静电势能是描述电荷在静电场中所具有的势能，它是电荷由一个位置移动到另一个位置时所进行的功。
静电势能的计算与应用对于理解静电现象和电场的性质具有重要意义。
本文将从静电势能的计算和静电势能的应用两个方面进行阐述。
一、静电势能的计算1. 电场能量密度静电场中的能量储存在电场中，其能量密度(u)与电场强度(E)和介质电容率(ε)有关，可以用公式u=1/2εE^2来表示。
电场能量密度的计算对于静电势能的计算提供了基础。
2. 单个点电荷的静电势能当存在一个点电荷q1和一个点电荷q2时，点电荷q2在q1产生的电场中具有静电势能。
根据库仑定律，该静电势能U可以通过公式U=kq1q2/r来计算，其中k是库仑常数，r是两个电荷之间的距离。
3. 不连续带电体的静电势能对于不连续带电体，其静电势能可以通过将电体划分为许多小元素，然后对每个小元素的静电势能进行积分求和来计算。
具体计算方法可根据电体的形状和分布情况而定。
二、静电势能的应用1. 静电势能在电容器中的应用电容器是利用静电势能存储电荷的装置，在电容器中，静电势能被用来储存和释放电荷。
电容器的静电势能可以通过公式U=1/2CV^2来计算，其中C为电容量，V为电压。
2. 静电势能在电离过程中的应用静电势能与电离过程密切相关。
当一个原子或分子从一个能级跃迁到另一个能级时，其静电势能发生变化。
这种能量的变化可以通过计算两个能级之间的差值得到。
3. 静电势能在静电机械中的应用静电势能在静电机械中有着广泛的应用，例如静电悬浮、静电输送带等。
这些设备利用静电势能来实现物体的悬浮和运动，使得物体在没有物理接触的情况下进行操作。
4. 静电势能在粒子加速器中的应用粒子加速器是一种利用电场加速带电粒子的设备，其中静电势能被用来加速带电粒子。
加速器中的静电势能可以通过电压和加速距离的乘积来表示。
三、总结静电势能的计算与应用对于理解静电场的性质和应用具有重要意义。
【大学物理】静电场的环路定理 电势 等势面 电势梯度
r r r r－ r l cos
r
r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势 利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远 处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R
q R
R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0， 静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零 点选取在无穷远处。 这时，空间a点的电势能：
E pa
a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所 共有。
第11章电势
[ 例 11.3] 计算电偶极子电场中任 11. 一点的电势分布
y
P(x, y)
解：P的电势为
l θ+ −O ϕp = ϕ+ +ϕ− x q − q q(r1 − r2 ) = + = 4πε0r2 4πε0r 4πε0r2r1 1 2 Qr >> l ∴r r2 ≈ r r1 − r2 ≈ l cosθ 1
R
12
q
R
讨论： 讨论： 球壳内任一点的电势与 球壳的电势相等(等势) 球壳的电势相等(等势) 球壳外的电势与球壳上 的电荷集中于球心的点 电荷的电势相同
U
0
R
r
13
[例11.2]求无限长均匀带电直线外任一点 11. a处的电势。已知电荷线密度为λ 处的电势。 解：无限长均匀带电直线 的场强大小为
31
[ 例 1] 应用电势梯度的概念 ， 计算半径为 R 、 应用电势梯度的概念， 计算半径为R 电荷面密度为 σ 的均匀带电圆盘轴线上任一 点P的电场强度
c
E θ
3
• 在q1、q2、…qn点电荷系电场中移动
b
1 q0q ∴Aab = ∫ qoEdr = ∫ dr 2 a ra 4 πε0 r q0q 1 1 = ( − ) ----与路径无关 ----与路径无关 4πε0 ra rb
b
rb
v v v v v b v Aab = q0 ∫ E ⋅ dl = q0 ∫ (E1 + E2 +L+ En ) ⋅ dl a a q0qi 1 1 ----与路径无 =∑ ( − ) ----与路径无 πε ia rib 关 i 4 0 r
v r a
dq
静电能
能量是物质运动的一种普遍量度，在力学中，利 用能量守恒及各能量间的转换建立关系式，来求未知 物理量。电场是物质，能量是物质的一种属性，要掌 握电场，不能不研究形成电场的带电体系的静电能。
任何物体的带电过程，都是电荷之间的相对移动 过程，在这个过程中，外力必须克服电荷间的相互作 用而作功。外界作功所消耗的能量将转换为带电系统 的能量，该能量定义为带电系统的静电能。
i1
q iU i
2
Ui 为除qi 以外其他点电荷在qi 处产生的电势的代数和
C 二、三个点电荷系统的相互作用能q r23 3 现在引入第三个点电荷 q3 ， r13 A r12 那么整个体系的相互作用能就应 该在原有的基础上加上 q3 与 q1、 q 1 q2 之间的相互作用能，即
W互 q1q 2 4 o r12 q1q 3 4 o r13 q2q3 4 o r23
U (r )
e
6 0
(3 R
2
r )
2
于是，积分得： 2 5 e 1 4 e R 2 2 2 W e e (3 R r ) r sin drd d . 2 rR 6 0 1 5 0 当 e 固定时，We将随 R 0 而趋于零。
☆ 说明当帶电体为连续电荷分布时，将该体电荷无
N
V i
e r U r dV
N
i 1
1 2
U Vi e r U i r dV Vi e r
i 1
1
i
2
i dV
W互 W自
☆靜電能 = 裝組系統的電荷配置所需做的功。
点电荷间、线电荷间可以计算互能。但是，不能 计算点电荷、线电荷的自能（为无穷大）。 线电荷间互能的计算公式
大学物理电学习题
Q
dq
注意：
P 1. 上式为矢量积分(场强矢量迭加)， 计算时要化成标量积分。 dE 2.电荷元的选取 dq 带电线： 电荷线密度 dq dl 线元 dl dq 带电面： 电荷面密度 面积元 dq dS dS
dq 带电体：电荷体密度 dV
体积元 dq dV
40 r 球面内： V V Q Q V 球面外： Q 40 r
**带电球面
**带电圆环
**六、电势差（电压）U
40 R Q 环心处：V 40 R
b
1. 定义 U ab Va Vb E d l
a
2. 电势差与静电场力作功的关系
Aab q0U ab q0 (Va Vb )
。
例1.5 (P20) y 一均匀带电细圆环半径为 R ， dq 所带总电量为Q，求其几何轴 R 线上任意一点P（x )的场强。 解： o 在圆环上任取电荷元 dq Q dq 则 dE r 2 0 z 4 0 r
dE// dE cos
r
Px dE//
dE
dE
Y
dq
dq
Q
R
r
Px dE//
o
Q
Z
x cos θ r
cos E 4 0 r 2
dq
Q
dE
dE
X
Q
Qx dq 4 0r 3 Q
xQ E 4 0 ( x 2 R 2 ) 3 2
讨论：
（1）若x = 0（环心）， 则E = 0 ; （2）若 x R 则 E
静
电
场
（场强部分）
电位移矢量
r23
r31
q3
+
4πε o r32
q2
)]
1 W = ( q 1U 1 + q 2 U 2 + q 3 U 3 ) 2
5
v v v • P、D、E 之间的关系： 之间的关系：
v v v v v D = ε 0 E + P = ε 0 E + χ eε 0 E
v v D = (1 + χ e )ε 0 E
ε r = (1 + χ e )
称为相对电容率 或相对介电常量。 或相对介电常量。
εr
退极化场
v v v D = ε r ε 0 E = εE
自由电荷
二、有电介质时的高斯定律
v v ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ρ e dV
物理意义
S
V
通过任一闭合曲面的电位移通量，等于 通过任一闭合曲面的电位移通量， 该曲面内所包围的自由电荷的代数和。 该曲面内所包围的自由电荷的代数和。 电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。 电位移线起始于正自由电荷终止于负自由电荷。 与束缚电荷无关。 与束缚电荷无关。 电力线起始于正电荷终止于负电荷。 电力线起始于正电荷终止于负电荷。 包括自由电荷和与束缚电荷。 包括自由电荷和与束缚电荷。
v v q0 q0 E0 1 ( − 1) = + ∴E＝ 2 2 4πε0r 4πε0r ε r εr 7 束缚电荷的场 自由电荷的场
华南师范大学电磁学第一章 静电学的基本规律(电势与静电能)
因为各 E i q 0 dr 与路径无关，所以A与路径无关.
b a
a
a
a
结论：静电场力(库 仑力)是保守力！
2
2.静电场的环路定理
静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒 等于零.
E dr 0
L
证明: 将一点电荷q在静电场中沿任意闭合路径走一圈 静电场力是保守力
f dr qE dr 0
dq 4 0 r
d
Q
Q
dφ •P r
2）叠加 式中的 i 和d的物 理意义是 什么？
9
点电荷系的场
连续带电体的场
4. 电势的计算
（1）点电荷场电势公式
P E dr
P
Q
Q 4π 0 r
r
P dr E
dr
E dr
上式表明：当 p 与 E 方向相同时，电势能最小；当 p 与E 方向相反时，电势能最大.由于系统势能最小时的平衡 是稳定平衡，而势能最大时的平衡是不稳定平衡 ,所以 在外电场中，电偶极子总力求转到 p 与 E 方向相同30 .
W pE
五、电荷系的静电能 状态a时的静电能是什么？ 定义1：把系统从状态 a 无限 分散到彼此相距无限远的状态 中静电场力作的功 叫作系统 在状态a时的静电势能简称静 电能.也称为相互作用能(互能). 或:把这些带电体从无限远离 的状态聚合到状态a的过程中 外力克服静电力作的功
点电荷的电场线与等势面
+
19
电偶极子的电场线与等势面
+
20
平行板电容器的电场线与等势面
版高中物理必修二静电场中的能量知识点总结归纳完整版
版高中物理必修二静电场中的能量知识点总结归纳完整版静电场能量的知识点总结如下：1.静电势能：静电场中的一对电荷之间存在着电势差，当电荷在电场中移动时，电荷会具有势能。
对于电量为q的电荷在电场中移动一个距离d，则其势能U等于U=qV，其中V为电势差。
2.电场能：电场能是指电场中存储的能量。
当电场中有电荷分布时，电荷会在电场力的作用下发生位能变化，导致电场能的产生。
电场能可以表示为E=1/2ε_0∫E^2dV，其中ε_0为真空介电常数，E为电场强度。
3.电容器的电场能：电容器的电场能是指由于电荷在电容器的正负极板之间移动而产生的能量。
电容器的电场能可以表示为E=(1/2)CV^2，其中C为电容量，V为电容器两极板的电压。
4.平行板电容器的电场能：平行板电容器的电场能可以表示为E=(1/2)ε_0AV^2/d，其中A为平行板电容器的面积，d为两平行板的距离。
5.电势能密度：电势能密度指单位体积内的电势能，可以表示为u=(1/2)ε_0E^2，其中u为电势能密度，E为电场强度。
6.电场能量的传递与转化：当电荷在电场中移动时，电荷的电势能会发生变化，从而将能量传递给电场。
电场能可以转化为其他形式的能量，如电磁辐射、热能等。
7. 电场能与电势能的关系：电场能与电势能之间存在着直接的关系。
电场能可以通过电势能来表示，即E=-(dU/dx)，其中E为电场强度，U为电势能，x为电场沿着的方向。
8.超导体与电场能量：超导体是一种具有无电阻的导电性能的材料。
在超导体中，电荷是自由移动的，当超导体中的电荷移动时，其电场能会消失，转化为其他形式的能量。
9.静电场能量的应用：静电场能量的应用包括电容器的储能、静电除尘、电子束加速器等。
总结：静电场能量是指在静电场中存储的能量。
静电势能和电场能是静电场能量的两个重要概念。
静电场能量可以通过电势能、电场强度、电容量来计算。
静电场能量的转化与传递涉及到电荷在电场中的运动和电场能的转化。
2-7带电体系的静电能与电场的势能
2-7带电体系的静电能与电场的势能2-7带电体系的静电能与电场的势能§2-7 带电体系的静电能与电场的势能前面我们分析了有电介质存在时的电场和电势的一些行为，进一步的分析自然少不了有关能量的讨论。
在本节中，我们从较简单的点电荷系统开始分析，然后过渡到连续电荷分布的情形中去。
一、点电荷系统的静电能我们从最简单的情形开始分析。
我们知道，在一定的电场中，若一个点电荷q 所在位置处的电势为U ，那么就可以说这个点电荷具有电势能W=qU，这一点和我们熟知的重力势能很相象。
现在我们可以把电场说得更具体一些，最简单的，设这个电场是由另一个点电荷Q 产生的，于是点电荷q 具有的电势能可以写作这里我们讨论的是在真空中的情形，所以介电常数是ε0, r 是q 和Q 的距离。
同样地，上式也表示了Q 在q 的电场中的电势能，于是我们可以说，由Q 和q 组成静电体系具有的静电能由（1）式给出。
1⎛1 2 ⎛4πε对此式的解释是：我们不但考虑了在Q 形成的电场中q 所具有的电势能，而且还考虑了在q 形成的电场中Q 所具有的电势能，但是对于整个静电系统而言，其静电能只能由其中一项给出，所以要对上式右端的和乘以1/2。
我们之所以写出上面的表达式是因为希望进一步考虑由多个点电荷组成的静电系统。
设想空间中有多个点电荷，其带电量用q i 表示，相应的位置用r i 表示，任意两个点电荷间的距离可以由r ij =r i j =r i -r j 给出，我们来计算整个静电体系的静电能。
我们用一种类似于数学归纳法的办法来计算由N 个点电荷组成的静电体系的静电能。
当只有两个点电荷q 1和q 2时，静电能为q 1q 2r 12现在引入第三个点电荷q 3，那么整个体系的静电能就应该在原有的基础上加上q 3与q 1及q 2之间的静电能，即q 1q 2r 12⎛1+ 4πε⎛q 2q 3⎛⎛ r 23⎛⎛括号里的项正是由于引入第三个点电荷所引起的静电能的改变。
第13章静电场电势 清华大学版大学物理
功能问题是物理学的各个研究领域的 重要关注点， 重要关注点， 本章将讨论电场力做功的 性质，给出静电场的环路定理， 性质，给出静电场的环路定理，揭示静电 场有势性，并进一步讨论静电场的能量。 场有势性，并进一步讨论静电场的能量。
第13章 电势 章
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 静电场的保守性 电势差和电势 电势叠加原理 电势梯度 电荷在外电场中的静电势能 电荷系的静电能 静电场的能量
二、 静电场环路定理
L1 P2 L2
A = ∫ Fdr = ∫ q Edr 12
0
P1
=∫
p2 p1 ( L ) 1
p2 p1 ( L ) 1
v r p1 q0 E ⋅ dr + ∫
p2 ( L2 )
v r q0 E ⋅ dr
=∫
v r p2 q0 E ⋅ dr − ∫
p2 ( L2 )
v r q0 E ⋅ dr = 0
O
q
当静电场是由点电荷产生的 当静电场是由点电荷产生的
A12 = ∫
( p2 ) ( p1 )
r 1
v r
P1
v dr
q0 L dr
θ
v E
q0 E ds cosθ =
∫
r2 r1
q0qd r 4πε 0 r 2
cosθds = dr
q0 q 1 1 ( − ) = 4πε 0 r1 r2
只与P 位置有关， 只与 1、P2位置有关， 而与路径L无关 而与路径 无关
在点电荷系q 产生的电场中， 在点电荷系 1、q2、… 、qn产生的电场中， 移动q 移动 0，电场力做功 v r p2 v r p2 A12 = ∫ F ⋅ dr = ∫ q0 E ⋅ dr
大学物理学第11章电势
例1 求电矩为 p=ql 的电偶极子在均匀外电场 E 中的电势能
l A
-q
B +q
θ
E
讨论:
39
§11.7 静电场的能量 电场能量密度
电场总能量
积分遍及整个空间
注意：电场能量存在于场强所在的全部空间
40
例2 在真空中一个均匀带电球体,半径为R,总电量为q,试利用电 场 能量公式求此带电系统的静电能。 思路分析： （1）确定电场分布；
R
（2）确定能量密度； （3）从电场能量定义出发求电场能量；
41
++
+
+
+R + +
+
+
+ +r
+ +
+ +
+ +
o +
+ dr +
+
+
+ + +
+++ +
42
期末复习.doc
解：思路分析：
+++ +
+R
o
+
（1）确定电势零点——无穷远处；
q+ （2）用高斯定律确定电场分布；
+ +
+
+ ++
+
+ + （3）确定电势分布；
10
++ +
+
+R
+
o
+ +++
电势能的计算方法
电势能的计算方法电势能是物体由于位置而具有的能量。
它是描述电场中带电粒子的能量状态的重要物理量。
本文将介绍电势能的计算方法。
电势能的计算方法主要有两种：静电势能的计算和电场势能的计算。
我们来介绍静电势能的计算方法。
静电势能是由于电荷在电场中的位置而具有的能量。
当电荷在电场中从一个位置移动到另一个位置时，它的静电势能会发生变化。
静电势能的计算公式为：静电势能（U）等于电荷（q）乘以电场强度（E），再乘以位置（r）的余弦值。
即U = qEr cosθ，其中θ为电荷与电场方向之间的夹角。
举个例子来说明静电势能的计算方法。
假设有一个电荷为2C的质点，位于电场中的一个位置，电场强度大小为3N/C，位置与电场方向之间的夹角为60度。
那么，这个电荷的静电势能可以通过计算得到：U = 2C × 3N/C × cos60° = 6J。
我们来介绍电场势能的计算方法。
电场势能是由于电荷在电场中的位置而具有的能量。
当电荷在电场中从一个位置移动到另一个位置时，它的电场势能会发生变化。
电场势能的计算公式为：电场势能（PE）等于电荷（q）乘以电场强度（E），再乘以位置（r）的差值。
即 PE = qEr。
同样举个例子来说明电场势能的计算方法。
假设有一个电荷为3C 的质点，位于电场中的两个位置，电场强度大小为5N/C，位置之间的差值为2m。
那么，这个电荷的电场势能可以通过计算得到：PE = 3C × 5N/C × 2m = 30J。
需要注意的是，电势能是标量，它的单位是焦耳（J）。
除了上述两种计算方法外，还可以利用电势能的定义和电势的概念来计算电势能。
电势是描述电场中某一点电势能状态的物理量。
电势能与电势之间的关系为：电势能（U）等于电荷（q）乘以电势（V）。
即 U = qV。
通过计算电势能的方法，我们可以更好地理解带电粒子在电场中的能量变化情况。
这对于研究电场的性质以及解决与电场相关的问题具有重要的意义。
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r23
r31
q3
q3 1 q2 [q1 ( ) 2 4 o r12 4 o r13 q2 ( 4 o r21 4 o r23 4 o r31 4 o r32 1 W ( q1U 1 q2U 2 q3U 3 ) 2 n 1 3、 n个点电荷系统的静电能： W qiU i 2 i 1 q1 q3 ) q3 ( q1 q2
三、电子在原子核的电场中的电势能：
Ze2 W eU 4 0 r
上式以无限远为电势的零点。
因为电子所在处的电势为： U
Ze 4 0 r
1.9 电荷系的静电能
一、电荷系的相互作用能： 设有 n 个电荷组成的系统。 将各电荷从现有位置彼此分 开到无限远时，他们之间的 静电力所做的功定义为电荷 系在原来状态的静电能。
1 4 2 5 2 2 2 (3R r )4r dr R 2 0 6 o 15 o
R 2
例三：两个平行放置的均匀带电圆环，它们的半径 为 R,电量分别为 q及 –q ，其间距离为 l ，并 l<<R
求以两环的对称中心为坐标原点时，垂直于环面 ql 的x轴上的电势分布。证明：当x>>R ， U 解：用均匀带电圆环轴线上的电势得：
4 0 x 2
q U ( x) 1 l 2 2 2 4 0 [(x ) R ] 2 q U ( x) 1 l 2 2 2 4 0 [(x ) R ] 2
–q
q
R
o
l
x
–q
用叠加原理求出在轴上一点的电势
q
R
U ( x) U ( x) U ( x)
rR
dV dr r sin d rd
球坐标的体元
z
均匀带电球体系统的自能：
y
2 2 U (3R r ) 6 o
rR
x
2 1 1 R 2 2 2 W Udq (3R r ) r dr sin d d o o 2 2 0 6 o
提纲 1.8 电荷在外电场中的静电势能
一、点电荷
qo在外电场中的静电势能
二、电偶极子在均匀外电场中的静电势能：
三、电子在原子核的电场中的电势能：
1.9 电荷系的静电能
一、电荷系的相互作用能 二、例题：例一，例二，例三，例四习题课
第三章3.16 电子伏特＝1电子电量×1伏特 作业：3-11,3-12,3-16
1.8 电荷在外电场中的静电势能
一、点电荷 qo 在外电场中的静电势能：
W q0U
一个电荷在外电场中的电势能是属于 该电荷与产生电场的电荷系所共有。
二、电偶极子在均匀外电场中 的静电势能：
W qU Biblioteka U qlE cos Pe E
q E l q
上式表明：电偶极子取向与外电场一致时， 电势能最低；取向相反时。电势能最高。
o
x
当x>>R>> l
q q U ( x) l 2 2 12 l 2 2 12 4 0 [(x ) R ] 4 0 [(x ) R ] 2 2
l
l 2 1 l l R 1/ 2 2 2 [(x ) R ] [1 2 2 ] 2 x x 4x x 1 l 1/ 2 1 l (1 ) (1 ) x x x 2x
qn
q1
q3
q2
1、 以两个点电荷系统为例：
将q2从 q1的场中移到无穷远电场力做的功
A12 q2
r12
4 r
q1
r12
q2
2 0 12
dr
将q1从 q2的场中移到 无穷远电场力做的功
q1q2 W12 4 0 r12
q1
r21
A21 q1
r21
4 r
q2
2 0 21
dr
q2 q1 W21 4 0 r21
W12 W21 W W12 q2U 2
W21 q1U1
1 2 W qiU i 2 i 1
2 、三个点电荷系统的静电能：
r12
q2
q1
q1q3 q2 q3 q1q2 W 4 o r12 4 o r13 4 o r23
其电势为：
4 o R 所以，此电荷系的静电能为：
1 1 Q Q U Udq dq 2 2 4 o R 8 o R
2
U
Q
Q
也称它是均匀带 电球面系统的自能。
例二：均匀带电球体，半径为R，电荷体密度为 ， 求这一带电球体的静电能。 R r 已知场强分布： E1 ˆ r rR 3 o
1
2
2
2 2 1 l 2 1 l l R [(x ) R 2 ] 2 [1 2 2 ]1/ 2 2 x x 4x x 1 l 1/ 2 1 l (1 ) (1 ) x x x 2x
1 l 1 l ql U ( x) [ (1 ) (1 )] 2 4 0 x 2x x 2x 4 0 x
相当于偶极子的电势。 [附]泰勒展开：函数 f(y )在
q
y=a 处展开。 1 1 1 2 f ( y ) f ( y ) y a f ' ( y ) y a ( y a) f ' ' ( y ) y a ( y a) 1! 2!
)]
1 4 带电体的静电能： W Udq 2q
1 W U edV 2 V 1 W U e dS 2 S
e 为电荷的体密度。
e 为电荷的面密度。
e 为电荷的线密度。
1 W U e dl 2L
例一： 均匀带电球面，半径为R，总电量为Q， 求这一带电系统的静电能。 R 带电球面是一个等势体，以无穷远为势能零点，
由电势定义得
r
3 R 场强分布： ˆ E2 r 2 3 o r r ˆ E1 r 3 o
rR
rR
R
U E1dr E2 dr
R
R
R
r
r R dr dr 2 R 3 r 3 o o
3
rR
2 2 U (3R r ) 6 o