小学奥数 数论问题 第二讲 数的整除特性
第2讲数的整除特征(二)--奥数
y。 [例 4]求能被 26 整除的六位数 x1991
思路剖析
y 能分别被 2 和 13 整除。所以解此题可以从 2 整除 x1991 y 入手。 因为 26=2×13，所以由整除的性质得 x1991
解答
y ，所以 y 可能取 0、2、4、6、8。又因为 13 整除 x1991 y ，所以 13 能整除 x19 与 91y 的差。 因为 2 整除 x1991
当 y=0 时，由于 13 整除 910，而 13 又要整除 x19 与 910 之差，所以 13 整除 x19 。又因为 x19 =100x+19=（7×
解答 2×45+1=91（个） ，7×13=91，因为 13 整除 4979，7 整除 497949794979，所以 91 整除 497949794979，则 91 整
4979497949 79 4979 99个4979 除 。
答：可以做到按箱子大小平均分装苹果。
电话：4
如果一个数被 11 除余 8，那么在奇位的任意两介数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被 11 除也余 8，因此除 1988 外，还有 1889、8918 与 8819 共四个被 11 除余 8 的四位数。
555 5 999 9 [例 2]如果下面这个 41 位数 20个5 □ 20个9 能被 7 整除，那中间方格99 9 555 5 00 0 00 0 999 9 20个5 □ 20个9 = 18个5 23个0 +55□99 18个0 18个9 ，上式等号右边的三个加数中，第一个和第三个 00 0 加数都能被 7 整除，由此可推出 55□99 18个0 能被 7 整除，所以 55□99 能被 7 整除。根据能被 7 整除的数的特征，
小学奥数 数的整除性 知识点+例题+练习 (分类全面)
拓展、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。
由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。
账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。
应是__________元。
（注：微波炉单价为整数元）。
36792
例4、五位数能被12整除，这个五位数是____________。
42972
拓展、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
713625
拓展、一个五位数98
3ab能被11和9整除，这个五位数是。
39798
例5、五位数
能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。
48
A1
B
5/2/8 0
拓展、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？0 1 5
拓展、已知7位自然数427
62xy是99的倍数，则x= ,y=
2 4
2、若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是
3、173□是个四位数。
数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。
”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
4、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
5、判断能否被3，7，11，13整除．
6、试说明形式的6位数一定能被11整除．。
五年级奥数.数论.整除性(A级).教师版
九 进 制乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。
他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。
他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。
他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。
拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。
拿破仑1816年战败，希特勒1945年战败，相隔129年。
拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938年攻人维也纳，也是相隔129年。
拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔129年后进攻苏联。
美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。
两人同在星期五并在女人的参与下被刺遇害。
接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。
更巧的是，杀害林肯的凶手出生于1829年，杀害肯尼迪的凶手出生于1929年，相隔又是100年。
兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。
他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有一个十位和个位都相同的两位数的商。
兰伯特非常吃惊，他对9着了迷。
他发现将l 、2、3、4、5、6、7、8、9加在一起是45，而4+5=9。
他还发现，用9乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。
取任何一个数，比如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，用2004减去6结果得到1998，而1998÷9=222，能被9除尽。
他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。
这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。
奥数专题数论-数的整除附答案
(数论问题数的整除性)1、五年级数论问题：数的整除难度：中难度/高难度四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.答：2、五年级数论问题：数的整除难度：中难度/高难度在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.答3、五年级数论问题：数的整除难度：中难度/高难度能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.答：4、五年级数论问题：数的整除难度：中难度/高难度能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.答：5、五年级数论问题：数的整除难度：中难度/高难度1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.答：（数论问题）1、五年级数的整除习题答案：解答：7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,3771÷9=419.2、五年级数的整除习题答案：解答：1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3、五年级数的整除习题答案：解答：990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4、五年级数的整除习题答案：解答：99960解法一:能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填 6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960. 解法二:或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5、五年级数的整除习题答案：解答:3367先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=3367。
五年级奥数竞赛之数的整除性
五年级奥数竞赛之数的整除性数的整除性整除的基本性质:性质1 如果a、b都能被m整除，那么它们的和a，b与差a,b都能被m整除。
它可记为:若m/a，m/b，则m/(a?b)。
m能同时整除a、b，即m既是a的约数，又是b的约数，则称m是a、b的公约数。
如果两个数只有唯一的公约数1，则称这两个数互质。
例如1与12，4与5，5与9，3与25等。
性质2 如果a/m，b/m，且a和b互质，那么a和b的乘积也能整除m，即(a×b)/m。
例如:3/72，4/72，且3和4互质，那么3与4的乘积12/72。
性质2中，“两数互质”这一条件是必不可少的。
6/72，8/72，但6与8的乘积48不能整除72，这就是因为6与8不互质。
根据性质2，我们常常可有如下解题思路:要使m被a×b整除，而a与b互质，就可以分别考虑m被a整除与m被b整除。
性质3 (传递性)如果c/b，且b/a，那么c/a。
特别是若b/a，m为整数，则有b/(a×m)。
1、形如1993 1993…1993 520，且能被11整除的最小数是。
n个19932、所有数字都是2且能被66…6整除的最小自然数是多少,3、500名士兵排成一列横队，第一次从左到右1，2，3，4，5(1至5)名报数;第二次反过来从右到左1，2，3，4，5，6(1至6)报数，既报1又报6的士兵有多少名,4、一个六位数的各位数字都不相同。
最左边一个数字是3，且此六位数能被11整除。
这样的六位数中的最小的数是。
5、已知一个两位数恰好是它的两个数字之和的六倍，求这个两位数是 ,6、已知a、b、c、d是各不相同的数字，a，b，c,18，b，c，d,23，四位数badc被5除余3，求四位数abcd是。
7、用1,6六个数字组成一个六位数abcdef其中不同字母代表1,6中的数字，要求ab是2的倍数，abc是3的倍数，abcd能被5整除，zbcdef是6的倍数，求这样的六位数有个，各是。
五年级数论：第2讲 整除特征(二)生
第二讲整除特征（2）【知识提要】1. 被3（或9）整除的数的特征：这个数的各位上数字之和是3（或9）的倍数。
2. 被7、11、13整除的数的特征：这个数的末三位与末三位以前的数字的差（以大减小）是7、11、13的倍数。
（割尾法）3. 能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差（以大减小）是11的倍数。
4、整除的性质：（1）如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c整除。
（传递性）如：8|40，40|120，则。
（2）如果a和b（a>b）都能被c整除，那么a与b的和（a+b）及差（a-b）也能被c整除。
如：3|18,3|12，则，。
（3）如果数a能被数b整除，那么a和c的积（a×c）也能被b整除。
如：5|25,3为整数，则。
【基础训练】1、在□中填入适当的数字，使所组成的数既能被9整除，又有因数5。
23□5□ 57□3□ 7□832□2、判断102030405060708090能否被9整除。
3、判断。
（1）4932796与4392976分别除以11，它们能被11整除么？（2）把192992与192929分别除以11，它们能被11整除吗？4、判断。
（1）试判断20592，25092能否被99整除？（2）试判断2385，3825能否被45整除？（3）试判断12346578，12356784能否被44整除？【拓展提高】【例1】填空。
（1）有一个四位数13AA是9的倍数，A是。
（2）要使□3478□能被9整除，□是。
（3）已知自然数2*3*4*5*1能被11整除，问*是。
（4）一个六位数□8919□能被11整除，那么这个六位数是。
【例2】在□内填上合适的数字，使五位数□679□能同时被8和9整除。
【例3】在□内填入适当的数字，使□8□52能被72整除？【例4】要使六位数15□□□6能被36整除，这样的数中最小的是多少？【例5】在□内填上适当的数，使五位数29□7□能被12整除。
奥数第二讲数的整除.doc
奥数第二讲数的整除如果整数a除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a能被b整除，或叫b能整除如果a能被b整除，那么，b叫做a的因数，a叫做b的倍数。
数的整除的特征：（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0, 那么这个整数一定能被2整除。
（2）能被3 （或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3 （或9）整除，那么这个整数一定能被3 （或9）整除。
（3）能被 4 （或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被 4 （或25）整除，那么这个数就一定能被4 （或25）整除。
（4）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5,那么这个整数一定能被5整除。
（5）能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除, 那么这个数就一定能被6整除。
（6）能被7 （或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是。
或是7 （或11或13）的倍数，这个数就能被7 （或11或13）整除。
（7）能被8 （或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8 （或125）整除，那么这个数就一定能被8 （或125）整除。
（8）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。
一、例题与方法指导例1、下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？（数的整除特征）88205, 167128, 250894, 396500,675696, 796842, 805532, 75778885。
例2、一个六位数23Q56口是88的倍数，这个数除以88所得的商是或思路导航:一个数如果是88的倍数，这个数必然既是8的倍数，又是11的倍数.根据8 的倍数，它的末三位数肯定也是8的倍数，从而可知这个六位数个位上的数是0 或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是。
【精品资料】小学奥数知识点-数论
数论知识点整除定义及特征判断1、数的整除性：整数a除以整数b（b≠0），所得的商是整数而没有余数，则称a能被b整除，或b整除a，记作：b｜a．2、整除的性质：性质1. 如果c｜a，c｜b，则c｜（a±b）性质2. 如果bc｜a，则b｜a，c｜a性质3. 如果c｜b，b｜a，则c｜a3、整除问题的解决方法：整除特征法；补9、补0试除法。
4、涉及极值的整除问题：贪心法、弃倍法、逐步调整法。
5、数的整除特征：a.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；b.一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；c.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；d.一个数从个位到高位，每三位进行分段，将形成的奇位之和与偶位之和以大减小，如果差可以被7、11、13整除，则此数也可被7、11、13整除；如果一个整数的末三位与末三位之前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；e.如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除，那么这个数能被7整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除，那么这个数能被11整除；如果逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除，那么这个数能被13整除；f.一个数从个位到高位，每两位分成一段，将每段上的数相加。
如果相加的和能被99所整除，那么这个数就能被99所整除。
奇数、偶数与奇偶性的应用一、奇数和偶数的概念：1)整数可以分成奇数和偶数两大类。
2)能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
3)因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数)，因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子2k＋1来表示奇数(这里k是整数)。
五年级奥数第2讲-整除问题进阶
课堂检测
（1）在7315、58674、325702、96723、360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？
（2）四位数 33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少？
（3）四位数27 8能被7整除，那么这个四位数是多少？
（4）已知多位数81 258258...258，能同时被7和13整除，方格内的数字是多少?
五年级奥数第2讲-整除问题进阶
第二讲
整除问题进阶
• 数论专题第2讲
知识精讲
上一讲我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用 数字和判断等。 1.尾数判断法 （1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除. （2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。 （3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。 2.数字求和法 能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。 3.奇偶位求差法 能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
2012个258
（5）已知多位数11...1 33...3，能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？
2011个1020/11/5
18
挑战极限
例题六：
有一个五位数，它的末三位为999。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小 是多少？ 分析：我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘 积，因此不可能根据整除特征来考虑，我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数 能被23整除，就是说，它能写成23与另一个数的乘积，接下来大家想到该怎么办了 吗？
现在我们再来学习一些新的判断方法。
知识精讲
一、截断作和
能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的 可以是一位数）之和，能被99整除。
奥数——数的整除特征
数的整除特征★知识要点1、如果一个数的个位数字能被2或5整除，则这个数能被2或5整除。
2、如果一个数的末两位数字能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除。
3、如果一个数的末三位数字能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除。
4、如果一个数的各位数字之和能被3或9整除，则这个数就能被3或9整除。
5、如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除。
6、被7、11、13整除数的特征：如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7，11或13整除。
★典型例题例1、在□内填上适当的数，使五位数5874□能被2整除，这样的五位数有多少个？例2、在□内填上适当的数，使六位数69547□能被4或25整除。
例3、在□内填上适当的数，使五位数31□26能被3或9整除。
例4、在865后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能被3，4，5整除，且使这个数值尽可能地大。
例5、在五位数15□8□的□内填什么数字，才能使它既能被3整除，又含有因数5？例6、根据被11整除的数的特征，判别下列数中哪几个能被11整除：3434 3443 52019 68868例7、判断2146455311能否被7，11或13整除？课堂练习1、在□内填上适当的数，使四位数139□能被5整除，这样的四位数有哪几个？2、在□内填上适当的数，使七位数7132□20能被8整除。
3、判断下列哪些数能被25整除，哪些能被125整除？能被125整除的数一定能被25整除吗？反之能被25整除的数一定能被125整除吗？750 765 2775 6325 1500 10004、根据被3和9整除的数的特征，用“去三法”或“或九法”判别下列数中哪些数能被3整除，哪些能被9整除。
请仔细观察能被9整除的数一定能被3整除吗？反之能被3整除的数一定能被9整除吗？请牢记这个规律！5646 49257 25341 87203 56142365、在358后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能地小。
小升初奥数题解析“数的整除”
小升初奥数题解析“数的整除”小升初奥数题解析“数的整除”以下是小编带来的小升初奥数题解析“数的整除”，欢迎阅读，更多相关内容尽在cnfla学习网。
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.(1)1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.(2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
(3)若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
(5)若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
(6)若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
(7)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的'倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13-3×2=7，所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9×2=595 ， 59-5×2=49，所以6139是7的倍数，余类推。
小学五年奥数-数的整除
数的整除【知能大展台】1．整除的概念对于整数a和不为零的整数b，如果数a除以数b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a,记作b|a;a叫做b的倍数，b叫做a 的约数。
2．数的整除性质①如果数a能被数c整除，数b也能被数c 整除，那么它们的和（a+b）或差(a-b)也能被c整除c|a,c|b，则c|a±b。
②几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，则这几个数的积也能被这个数整除。
③数a能被数b整除，数a也能被数c整除，如果b,c互质，那么数a能被b与c的积整除。
3．数的整除特征①一个整数的末一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除②一个整数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除③一个整数的末三位数能被8或125整除，那么这个是就能被8或125整除④一个整数的各数位上数字的和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除⑤一个整数的奇数位（指个位，百位，万位……）上的数字之和与偶数位（指十位，千位，十万位……）上的数字之和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除⑥一个整数的末三位数与末三位数以前的数字组成的数的差能被7，11或13整除，那么这个数就能被7，11或13整除【试金石】例1.小马虎在一张纸上写了一个无重复数字的五位数；3□6□5，其中十位数字和千位数字看不清楚了，但是已知这个数是75的倍数，那么满足上述条件的五位数中，最大的一个是多少？【分析】因为五位数3□6□5能被75整除，而75=3×25，3与25互质。
所以3□6□5能同时被3和25整除。
3□6□5能被25整除，由于末尾是5，所以十位数字只能是2或7，即末两位数只能是25或75。
当末两位数是25时，3□625呢功能被3整除，起各位数字之和必须能被3整除，则千位数字只能是2，5，8，而这些五位数中最大的一个是38625，且无重复数字。
同理当末两数是75时，能被3整除的最大五位数是39675，且无重复数字。
小学五年级奥数-数的整除特征课件
数的整除性质3
我们看下面的例子： 4能够整除36，6也能整除36，4与6的积能整除36吗？ 4能够整除80，5也能整除80，4与5的积能整除80吗？ 5能够整除80，8也能整除80，5与8的积能整除80吗？ 这说明这两个数需要满足一定的条件！
数的整除性质1
性质1： 如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差也能被c整除。 即：如果c︱a ， c︱b 那么 c︱（a±b） 你能再举出一个例子吗？
数的整除性质2
我们再来看一组例子：
添加标题
01
3×7＝21，21能整除84，3和7都能整除84吗？
添加标题
03
上面的3个例子有什么共同点？
添加标题
∣
01
02
应用举例（二）根据规律填空
例2、⑴ 已知45︱ 求所有满足条件的六位数。
5
9
519930
李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处数字相同，请问：每支钢笔多少元？
分析：由28支钢笔的价格相同可知，总钱数9□.2□是28 的倍数，同上面的解题思路类似，可以用数的整除性质和数的整除特征结合起来解答。
分别能被2 3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
6、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们
02
能被11整除, 方格内应填_____。
5、“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数
01
∣
∣
33333333468375能不能被125整除 回忆：能被125整除的数的特征： 末三位数字能被125整除。 解： 因为这个数的末三位数字375能被125整除，所以33333333468375能被125整除。
小学五年级奥数--数的整除特征
数的整除性质3
• 性质3： • 如果b、c都能整除a，且b和c 互质 ， 那么b、c的积能整除a 。 • 即：如果b︱a ， c︱a 且（b，c）＝1， 那么 bc︱a。 • 例如 8︱324685008 ， 9︱324685008 且（8，9）＝1， • 那么 72︱324685008。
数的整除性质4
应用举例（二）根据规律填空
y 求所有满足 • 例2、⑴ 已知45︱x1993 条件的六位数。 解：因为45＝5×9，根据整除的性质②， 可知5︱ x1993y ，9︱ x1993y 所以 y可以是0或者5 ， 当y＝0时，根据9︱ x1993 y 及数的整除特 征可知x＝ 5 ； x1993y 及数的整除特 当y＝5时，根据 9︱ 9 征可知x＝ 答：满足条件的六位数是 519930 或 。 919935
应用举例（一） 判断一个数能不能被整除
• • • • 例1、 ①判断35112能不能被7、11、13整除 ②33333333468375能不能被125整除 ③1234567891011121314能不能被3和9整 除
• ①判断35112能不能被7、11、13整除 • 回忆：能被7、11、13整除的数的特征： • 末三位数字与前面的数字的差（大减小） 能被7、11、13整除。 • 解： 112－35＝77 • 因为 7∣77 ， 11∣ 77， 13 77 • 答：35112能被7和11整除，但不能被13整 除。
我们来总结一下
• 性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差
也能被c整除。即：如果c︱a ， c︱b 那么 c︱ （a±b） 性质2：如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。 即：如果bc︱a ，那么 b︱a ， c︱a 性质3： 如果b、c都能整除a，且b和c 互质，那么b、 c的积能整除a 。 即：如果b︱a ， c︱a 且（b，c） ＝1，那么 bc︱a。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c︱b ， b︱a 那么 c︱a。
春季五年制小学奥数四年级数论问题——整除
春季五年制小学奥数四年级数论问题——整除数论问题—整除整除——当两个整数a和b(b≠0)，a被b除的余数为0时(商为整数)，则称a被b整除或b整除a;倍数和约数——把a叫作b的倍数，b叫作a的约数；数的整除特征：①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……②一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除；④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除；例求满足下面各小题条件的a：(a代表同一个数字)⑴312a a⑵512a a⑶910a a例有一个五位数可同时被9和11整除。
若将这个五位数的第一位、第三位与第五位数码移除，则可得到一个两位数35；若将这个五位数的前三位数码移除，则剩下的两位数可被9整除；若将这个五位数的末三位数码移除，则剩下的两位数也可以被9整除，请问这个五位数是什么？有些六位数，组成六位数的六个数字都不相同，而相邻两个数字组成的两位数能被3整除，这样的六位数一共有几个？如果从5，6，7，8，9五个数字中，选出四个数字组成一个四位数，它能被3，5，7都整除，求这些数中最大的四位数。
有一个五位数679a b ，它可被72整除。
请问a 2＋b 2等于多少？ 例例例例如果七位数2008□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么，它的最后三位数是_____。
例从1～99中选出连续3个自然数，使得它们的乘积能被30整除，一共有_____种选法。
测试题1．173□是个四位数。
数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数。
依次可被9、11、6整除。
奥数专题——数的整除特性PPT课件
能被整除的数的特征
2或5 4或25 8或125
末位数能被2或5整除 末两位数能被4或25整除 末三位数能被8或125整除
7、11、13 一个整数的末三位与末三位以前 的数字组成的数的差能被7，11或 13整除
.
14
.
15
数的整除特征
奥数专题
下列数字哪些能被2整除，哪些能被5 整除？
① 125，②756， ③1011， ④2450， ⑤7855 ,⑥8104，⑦9152，⑧70975
能被2整除：②、④、⑥、⑦ 能被5整除：①、④、⑤、⑧
.
2
（一）数的整除特性：
如果具有某个条件的数，都能被 整数b整除，反过来，能被b整除的 数，都具有这个条件，那么这个条 件就叫做被b整除的数的特征.
.
3
（二）数的整除特征 1.能被2或5整除的数的特征是： 这个数的末 一位能被2或5整除. 2.能被4或25整除的数的特征是： 这个数的末两位能被4或25整除. 3. 能被8或125整除的数的特征是： 这个数的末三位能被8列整数 ①53728， ②375， ③1011， ④328925，⑤8421862，⑥8150， ⑦73600，⑧309108.
（3）能被8整除的最小四位数是
，
最大三位数
..
.
7
练习1
（2）当m＝ 7 时，能被25整除.
（3）能被4整除的最大四位数___9996__.
（4）能被8整除的最小四位数是 1000 ，
最大三位数 992
..
.
8
（二）数的整除特征
1.能被2或5整除的数的特征是：
这个数的末 一位能被2或5整除.
2.能被4或25整除的数的特征是：
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第二讲数的整除特性
讲义
（一）整除的定义：
所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整数”就是说“商a/b是一个整数”；或者换句话说：存在这第三个自然数c，使得a=b×c，这时候我们就说“b整除a”或者“a能被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记做“b︱a”
（二）整除的性质：
（传递性）若c︱b，b︱a，则c︱a
（可加性）若c︱a，c︱b，则c︱（a+b）
（可乘性）若c︱a，d︱b，则cd︱ab
（三）常见的整除特征：
尾数系：一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；
数字和系：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；
一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
分段做差系：
如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.
如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.
课后习题
基础篇：
【闯关1】
493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。
【闯关2】
如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？
提高篇：
【闯关3】
如果四位数x=6□□8能被236整除，那x除以236所得的商为________。
【闯关4】
从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？
巅峰篇：
【闯关5】
试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)
第二讲数的整除特性
课后习题：
基础篇：
【闯关1】
493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数，至少增加（）才是7的倍数。
解析：一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；4+9+3=16，所以至少增加2就是3的倍数。
一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；所以至少减少2才有因数5，至少增加1才是2的倍数。
493÷7=70...3,所以至少增加4才是7的倍数。
【闯关2】
如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？
解析：因为105=3×5×7，所以105能同时被3、5和7整除．根据能被5和3整除的数的特征，可知这个六位数有如下七个可能：199200，199230，199260，199290，199215，199245，199275．最后用7去试除知，199290能被7整除．
所以，199290能被105整除，它的最后两位数是90．
提高篇：
【闯关3】
如果四位数x=6□□8能被236整除，那x除以236所得的商为________。
解析：因为四位数X=6□□8能被236整除，所以X除以236所得的商的个位是3或8，十位上的数字是2，又因为236×23=5428（不合题意，舍去），
236×28=6608，符合题意．故X除以236所得的商为28
【闯关4】
从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？
解析：这个问题全看质因数5的个数．50是5的平方×2，含有两个质因数5，这里多出1个5来．
是5的倍数的有（100-50）÷5+1=11个．
是25的倍数的有50,75,100
所以总共有14个连续的0
巅峰篇：
【闯关5】
试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．)
证明：假设这个四位数是abcd，反序数是dcba
+
d
c
b
100
1000
1000，a
=10
+
dcba+
b
d
100
a
c
=10
abcd+
+
+
+
1001+
+
+
110
=
b
c
d
110
a
dcba
abcd1001
因为1001,110是11的倍数，所以原序数和反序数的和是11的倍数。