(整理)实数的基本定理.
31关于实数的基本定理分析
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则称α是数集S的下确界,记作 = infS.
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例2 考察下列数集的上确界与下确界
E1
{1,
1 2
, 1 ,, 3
1 n
,}
E2 {1,2,3,, n,}
E3 {x | 0 x 1}
1
{xn
1
} n
{x2k
即证明了 x n k →∞(k→∞).
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五 柯西收敛原理
Cauchy列:如果数列 具有以下特性:
>
<
则称数列
是一个基本数列.
定理7(柯西收敛准则)
数列{ xn}收敛的充分必要条件是:对于任 意给定的正数(不论它多么小),总存在正数 N ,
使得对于 m,n N 时,都有不等式 xn xm 都
推论:若存在数列{xn}的两个子列
{
x(1 nk
)
}与{
x
(2 nk
)
},分别
收敛于不同的极限,则数列{xn}必定发散 .
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例1
证明数列
sin
n
4
发散.
证明:取
n(1) k
4k
,
n( 2 ) k
8k
2,
则 子列
x(1 nk
)收
敛
于
0,而子列
x
(2 nk
)收敛于
1.
由上述推论
证明.因为数列{ xn}无界,故对任意 M>0,存在
n0 M ,使得 | x n 0 | M . 取 M=1,存在 n1 1, | x n1 | 1 , 取 M=2,存在 n2 max{2, n1} , | x n2 | 2 , 取 M=3,存在 n3 max{3, n2} , | x n1 | 3 , ……… 则存在子列 | x nk | k , (k=1,2,3,…)
实数完备性的六大基本定理的相互证明(共30个)
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1 确界原理非空有上(下)界数集,必有上(下)确界。
2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。
3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ,使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。
4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间,H 为],[b a 上的一个开覆盖,则在H 中存在有限个开区间,它构成],[b a 上的一个覆盖。
5 Weierstrass 聚点定理(Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。
) 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。
6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε,总存在某一个自然数N ,使得N n m >∀,时,都有ε<-||n m a a 。
一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理 证明:1设 [an,bn] 是一个闭区间套,即满足: 1)∀n,[an+1,bn+1]⊂[an,bn];2)bn-an =我们证明,存在唯一的实数ξ,使得ξ∈[an,bn],(n =1,2,⋯)存在性:令S={an},显然,S非空且有上界(任一bn都是其上界).据确界原理,S有上确界,设sup S =ξ.现在,我们证明ζ属于每个闭区间[an,bn],(n=1,2,⋯)显然an ≤ξ,(n =1,2,⋯)所以,我们只需证明对一切自然数n,都有ξ≤bn. 事实上,因为对一切自然数n,bn都是S 的上界,而上确界是上界中最小者,因此必有 ξ≤bn,故我们证明了存在一实数ξ,使得ξ∈[an,bn],(n =1,2,⋯)唯一性: 假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ,则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。
实数的基本定理
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第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理:1实数戴德德公理 确界原理2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理定理(确界原理) 设S 为非空数集.若S 有上界,则S 必有上确界;若S 有下界,则S 必有下确界.定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列.由确界原理,数列{}n a 有上确界,记{}n a a sup =.下面证明a 就是{}n a 的极限.事实上,任给0>ε,按上确界的定义,存在数列{}n a 中某一项N a ,使得N a a ε-<.又由{}n a 的递增性,当N n ≥时有n N a a a <<-ε.另一方面,由于a 是{}n a 的一个上界,故对一切n a 都有ε+<≤a a a n .所以当N n ≥时有εε+<<-a a a n ,即a a n n =∞→lim .同理可证有下界的递增数列必有极限,且其极限即为它的下确界.(区间套定理) 若[]{}n n b a ,是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ,使得ξ∈[]n n b a ,,,2,1=n ,即ξ≤n a n b ≤, .,2,1 =n (2) 证 由(1)式,{}n a 为递增有界数列,依单调有界定理,{}n a 有极限ξ,且有 .,2,1, =≤n a n ξ (3) 同理,递减有界数列{}n b 也有极限,并按区间套的条件(¡¡)有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim , (4)且 .,2,1, =≥n b n ξ (5) 联合(3)、(5)即得(2)式。
最后证明满足(2)的ξ是唯一的。
设数ξ'也满足,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 则由(2)式有≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件(¡¡)得≤'-ξξ0)(lim =-∞→n n n a b ,故有ξξ='.由(4)式容易推得如下很有用的区间套性质:推论 若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点,则对任给的ε>0,存在N>0,使得当n >N 时有[]n n b a ,⊂().;εξU致密性定理定义2 设S 为数轴上的点集,ξ为定点(它可以属于S ,也可以不属S).ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点,则称ξ为点集S 的一个聚点.等价定义如下:定义2’ 对于点集S ,若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点,即Φ≠S U );(0εξ,则称ξ为S 的一个聚点.定义2” 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂,则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点现证定义2’ ⇒定义2”设ξ为S(按定义2’)的聚点,则对任给的0>ε,存在()S U xεξ;∈.令11=ε,则存在()S U x11;εξ∈;令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12,21min x ξε,则存在()S U x22;εξ∈,且显然12x x ≠;令⎪⎭⎫⎝⎛-=-1,1min n n x n ξε,则存在()S U x n n εξ;∈,且11,,-n n x x x 与互异。
实数基本定理
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Ch 8 实数基本定理计划课时:8 时§ 0 连续统假设简介(2 时)一.数的发展简史:参阅《数学分析》选讲讲稿P66—76(1997. 8.10 ).1.自然数的产生: 十九世纪数学家Leopold Kronecker说: 上帝创造了整数, 其余则是我们人类的事了.2.从自然数系到有理数系:3.算术连续统假设的建立及其破灭:不可公度性的发现及其深远影响.Pythagoras(约在纪元前六世纪),Hippasus,Leonardo da Vinci 称为“无理的数”. Eudoxus , Euclid.4.微积分的建立:Newton , Leibniz ; Euler , Lagrange , D′Alembert , Laplace ;Voltaire , B. Berkeley .十九世纪分析学理论的重建工作: B.Bolzano , A.Cauchy , Abel , Dirichlet, Weierstrass .Archimedes数域.5.实数系的建立:十九世纪后半叶由Weierstrass , Meray , Dedekind , Cantor 等完成.二. 连续统假设:1.连续统假设: 以Cantor实数为例做简介.Cauchy ( 1789—1857, 法 ), Bolzano (1781—1845 ), Cantor ( 1829—1920 ).在他们的著作中表现了实数连续性的观点. 1900年, 哥庭根大学教授Hilbert( 1862—1943, 德 )在巴黎国际数学家代表大会上的致辞中 , 提出了二十三个研究课题 , 其中的第一题就是所谓连续统假设.首当其冲的是关于连续统观点的算术陈述.( 参阅 D.J.斯特洛伊克著《数学简史》P160—161 ).连续统假设的研究现况.2.实数基本定理:连续统假设的等价命题. 共有九个定理, 我们介绍其中的七个. 另外还有上、下极限定理和实数完备性定理.§ 1 实数基本定理的陈述( 4 时)一.确界存在定理:回顾确界概念.Th 1 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界.二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念.Th 2 单调有界数列必收敛.三. Cantor 闭区间套定理 :1. 区间套: 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ> 对n ∀, 有 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a , 即 n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ;ⅱ> ,0→-n n a b )(∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b)(∞→n . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增, } {n b 递减.例如 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n都是区间套. 但} ] 21 , ) 1 (1 [ {n n n +-+、 } ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +-都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a . 简言之, 区间套必有唯一公共点.四. Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 :1.基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列.例1 验证以下两数列为Cauchy 列 :⑴ n n n x 9.0sin 9.09.0sin 9.09.0sin 9.02+++= .⑵ 12) 1 (513111--+-+-=+n a n n . 解 ⑴ ≤++=-+++++ | 9.0sin 9.09.0sin 9.0| ||11p n p n n n n p n x x<++≤++ 9.09.01p n n +++++ 9.09.01p n n 119.0109.019.0++⨯=-=n n ; 对0>∀ε,为使 ε ||<-+n p n x x ,易见只要 9.0lg 10lg 1ε>+n . 于是取 =N .⑵ 1)(2)1(32)1(12)1(||132-+-+++-++-=-+++++p n n n a a p n n n n p n 1)(2)1(3211211-+-+++-+=+p n n n p . 当p 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 =-+-++-+1)(21321121p n n n 0 1)(213)(21721521321121≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+p n p n n n n n , 又 =-+-++-+1)(21321121p n n n ≤-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=1)(213)(215)(21521321121p n p n p n n n n 121+≤n . 当p 为奇数时 , =-+-++-+1)(21321121p n n n0 1)(213)(215)(21321121≥-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=p n p n p n n n ,=-+-++-+1)(21321121p n n n 121 1)(213)(21521321121+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=n p n p n n n n . 综上 , 对任何自然数p , 有 121 1)(2)1(32112101+≤-+-+++-+≤+n p n n n p n1 <. ……Cauchy 列的否定:例2 ∑==nk n k x 11 . 验证数列}{n x 不是Cauchy 列. 证 对n ∀, 取n p =, 有 212 12111||=>++++++=-+n n n n n n x x n p n . 因此, 取210=ε ,…… 2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy 准则,并以Cauchy 收敛原理为依据,利 用Heine 归并原则给出证明 )五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点0, 但E ∉0; 开区间 ) 1 , 0 (的全体聚点之集是闭区间 ] 1 , 0 [; 设Q 是] 1 , 0 [中全体有理数所成之集, 易见Q 的聚点集是闭区间] 1 , 0 [.1.列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理. Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine –Borel 有限复盖定理:1. 复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义( 复盖 ) 设E 是一个数集 , G 是区间族 . 若对∍Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈, 则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E 若每个λI 都是开区间, 则称区间族G 是开区间族 . 开区间族常记为} , , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM .定义( 开复盖 ) 数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖, 简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例3 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间) 1 , 0 (, 但不能复盖] 1 , 0 [; } ) , ( , ) 2, 2 ( {b a x x b x x b x H ∈-+--=复盖) , [b a , 但不能复盖] , [b a .2.Heine –Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.. § 2 实数基本定理等价性的证明 ( 4 时 )证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 ⇒ 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 ⇒ 致密性定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理 ⇒ Heine –Borel 有限复盖定理 ⇒ 区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 ⇒ 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a . 证系1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε, ,N ∃ 当N n >时, 总有] , [n n b a ) , (εξ ⊂.系2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则有n a ↗ξ, n b ↘ξ, ) (∞→n .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P 217—218上的证明留作阅读 . 现采用[3]P 70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4. 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” :Th 1 非空有上界数集必有上确界 ;非空有下界数集必有下确界 .证 (只证“非空有上界数集必有上确界”)设E 为非空有上界数集 . 当E 为有限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取1a 不是E 的上界, 1b 为E 的上界. 对分区间] , [11b a , 取] , [22b a , 使2a 不是E 的上界, 2b 为E 的上界. 依此得闭区间列 } ] , [ {n n b a . 验证} {n b 为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,} {n b 收敛; 同理} {n a 收敛. 易见n b ↘. 设n b ↘β.有 n a ↗β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 ( 突出子列抽取技巧 )Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 ( 用对分法 )2.用“致密性定理” 证明“Cauchy 收敛准则” :Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.证 ( 只证充分性 )证明思路 :Cauchy 列有界→ 有收敛子列→验证收敛子列的极限即为} {n a 的极限.Ex [1]P 223—224 1—7,11.三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine –Borel 有限复盖定理”:证2. 用“Heine –Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:证 采用[3]P 72例4的证明.Ex [1]P 224 8—12 选做,其中 1 0 必做.§ 3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 )一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在] , [b a 上)(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ )(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值.( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P 226[ 证法 二 ]后半段.三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 ( 零点定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设,0)(>a f 0)(<b f .令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ, 有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ). 取n x >ξ 且 n x ) ( ,∞→→n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f , ⇒ 0)(l i m )(≤=∞→n n x f f ξ, ⇒ ξE ∉. 于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f , ⇒ 0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ. 因此只能有0)(=ξf . 证法 三 ( 用有限复盖定理 ).Ex [1]P 232 1,2,5.四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) . 参阅[1]P 229—230 [ 证法一 ]证法 二 ( 用列紧性 ). 参阅[1]P 229—230 [ 证法二 ]Ex [1]P 232 3,4, 6*;P 236 1,2,4.习 题 课 ( 4 时 )一. 实数基本定理互证举例:例1 用“区间套定理”证明“单调有界原理”.证 设数列} {n x 递增有上界. 取闭区间 ] , [11b a , 使1a 不是} {n x 的上界, 1b 是} {n x 的上界. 易见在闭区间 ] , [11b a 内含有数列} {n x 的无穷多项, 而在] , [11b a 外仅含有} {n x 的有限项. 对分] , [11b a , 取] , [22b a 使有] , [11b a 的性质.…….于是 得区间套] , [ {n n b a },有公共点ξ. 易见在点ξ的任何邻域内有数列} {n x 的无穷多项 而在其外仅含有} {n x 的有限项, ⇒ ξ=∞→n n x lim . 例2 用“确界原理”证明“区间套定理”.证 ] , [ {n n b a }为区间套. 先证每个m a 为数列} {n b 的下界, 而每个m b 为数列 的上界. 由确} {n a 界原理 , 数列} {n a 有上确界, 数列} {n b 有下确界 . 设 inf =α} {n b , sup =β} {n a .易见有n n b a ≤≤α 和n n b a ≤≤β. 由) ( , 0∞→→-n a b n n ,βα=⇒. 例3 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”.证 ( 用反证法 ) 设S 为有界无限点集, ] , [b a S ⊂. 反设] , [b a 的每一点 都不是S 的聚点, 则对∈∀x ] , [b a , 存在开区间 ) , (x x βα, 使在) , (x x βα内仅 有S 的有限个点. …… .例4 用“确界原理”证明“聚点原理”.证 设S 为有界无限点集. 构造数集 E x E | {=中大于x 的点有无穷多个}.易见数集E 非空有上界, 由确界原理, E 有上确界. 设 E sup =β. 则对0 >∀ε,由εβ-不是E 的上界,⇒ E 中大于εβ-的点有无穷多个; 由εβ+是E 的上界,⇒ E 中大于εβ+的点仅有有限个. 于是, 在) , (εβεβ+-内有E 的无穷多个点,即β是E 的一个聚点 .二. 实数基本定理应用举例:例5 设)(x f 是闭区间] , [b a 上的递增函数, 但不必连续 . 如果a a f ≥)(, b b f ≤)(, 则∈∃0 x ] , [b a , 使00)(x x f =. ( 山东大学研究生入学试题 )证法 一 ( 用确界技术 . 参阅[3] P 76例10 证法1 )设集合 } , )( | {b x a x x f x F ≤≤≥=. 则F a ∈, F 不空 ; F ⊂] , [b a , F 有界 .由确界原理 ,F 有上确界. 设F x sup 0=, 则∈0x ] , [b a .下证00)(x x f =.ⅰ> 若∈0x F , 有00)(x x f ≥; 又b b f x f ≤≤)()(0, 得∈)(0x f ] , [b a . 由 )(x f 递增和00)(x x f ≥, 有≥))((0x f f )(0x f , 可见)(0x f ∈F . 由F x sup 0=, ⇒ )(0x f 0x ≤. 于是 , 只能有00)(x x f =.ⅱ> 若∉0x F , 则存在F 内的数列} {n x , 使n x ↗0x , ) (∞→n ; 也存在数列 } {n t , ,0b t x n ≤< n t ↘0x ,) (∞→n . 由f 递增, F x n ∈以及n t F ∉, 就有式 n n n n t t f x f x f x <≤≤≤)()()(0对任何n 成立 . 令 ∞→n , 得,)(000x x f x ≤≤ 于是有00)(x x f =.证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P 77例10 证法2 ) 当a a f =)(或b b f =)(时,a 或b 就是方程x x f =)(在] , [b a 上的实根 . 以下总设b b f a a f <>)( ,)(. 对分区间] , [b a , 设分点为 c . 倘有c c f =)(, c 就是方程x x f =)(在] , [b a 上的实根.(为行文简练计, 以下总设不会出现这种情况 ) . 若c c f >)(, 取b b c a ==11 , ; 若c c f <)(, 取c b a a ==11 , , 如此得一级区间 ] , [11b a . 依此构造区间套] , [ {n n b a }, 对n ∀,有 n n n n b b f a a f <>)( , )(. 由区间套定理, 0 x ∃, 使对任何n , 有] , [0n n b a x ∈. 现证00)(x x f =. 事实上, 注意到 ∞→n 时n a ↗0x 和n b ↘0x 以 及f 递增, 就有n n n n b b f x f a f a <≤≤<)()()(0.令 ∞→n , 得,)(000x x f x ≤≤于是有00)(x x f =.例6 设在闭区间] , [b a 上函数)(x f 连续, )(x g 递增 , 且有)()(a g a f <,)()(b g b f >. 试证明: 方程 )()(x g x f =在区间 ) , (b a 内有实根 .( 西北师大2001年硕士研究生入学试题 )证 构造区间套] , [ {n n b a },使 )()( , )()(n n n n b g b f a g a f ><.由区间套定理,ξ ∃, 使对n ∀, 有ξ∈] , [ n n b a . 现证 )()(ξξg f =. 事实上, 由)(x g 在] , [b a 上的递增性和] , [ n n b a 的构造以及n a ↗ξ和n b ↘ξ,, 有)()( )g( )()(n n n n b f b g a g a f <≤≤<ξ.注意到)(x f 在点ξ连续,由Heine 归并原则, 有)()(lim ξf a f n n =∞→, ).()(lim ξf b f n n =∞→ ⇒ )()()(ξξξf g f ≤≤, ⇒ )()(ξξg f =. ξ为方程)()(x g x f =在区间 ) , (b a内的实根.例7 试证明: 区间 ] 1 , 0 [上的全体实数是不可列的 .证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间 ] 1 , 0 [上的全体实数是可列的,即可排成一列:,,,,21n x x x把区间 ] 1 , 0 [三等分,所得三个区间中至少有一个区间不含1x ,记该区间为一级区间] , [11b a . 把区间] , [11b a 三等分,所得三个区间中至少有一个区间不含2x ,记该区间为二级区间] , [22b a . …… .依此得区间套] , [ {n n b a }, 其中区间] , [ n n b a 不含n x x x ,,,21 . 由区间套定理, ξ ∃, 使对n ∀, 有ξ∈] , [ n n b a . 当然有ξ∈] 1 , 0 [. 但对, n ∀ 有 ∉n x ] , [ n n b a 而ξ∈] , [ n n b a , ⇒ ξ≠n x . 矛盾 .。
《数学分析》第七章 实数基本定理

第七章 实数基本定理 ( 1 8 时)§1 关于实数集完备性的基本定理( 4 时 )一. 确界存在定理:回顾确界概念.Th 1 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界.二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛.三. Cantor 闭区间套定理:1. 区间套: 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ> 对n ∀, 有 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a , 即 n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中;ⅱ> ,0→-n n a b )(∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n . 注:这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增,} {n b 递减.例如 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套.但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nn n +-+、} ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +-都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a .简言之, 区间套必有唯一公共点.四. Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件:1. 基本列:回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为Cauchy 列. Cauchy 列的否定:2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点0, 但E ∉0; 开区间 ) 1 , 0 (的全体聚点之集是闭区间 ] 1 , 0 [; 设Q 是] 1 , 0 [中全体有理数所成之集, 易见Q 的聚点集是闭区间] 1 , 0 [.1. 列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine –Borel 有限复盖定理:复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义 (复盖 )设E 是一个数集,G 是区间族.若对∍Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈,则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E 若每个λI 都是开区间,则称区间族G 是开区间族.开区间族常记为}, , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM . 定义 (开复盖 )数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖,简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例1 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间) 1 , 0 (, 但不能复盖] 1 , 0 [; } ) , ( , ) 2 , 2 ( {b a x x b x x b x H ∈-+--=复盖) , [b a , 但不能复盖] , [b a . 1. Heine –Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.七 实数基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 ⇒ 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 ⇒ 致密性定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理 ⇒ Heine –Borel 有限复盖定理 ⇒ 区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 ⇒ 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a . 证推论1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃当N n >时, 总有] , [n n b a ) , (εξ ⊂.推论 2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点,则有n a ↗ξ, n b ↘ξ, ) (∞→n .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P 217—218上的证明留作阅读.现采用[3]P 70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4. 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” :Th 1 非空有上界数集必有上确界 ;非空有下界数集必有下确界 .证 (只证“非空有上界数集必有上确界”)设E 为非空有上界数集 . 当E 为有 限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取1a 不是E 的上界, 1b 为E 的上界. 对 分区间] , [11b a , 取] , [22b a , 使2a 不是E 的上界, 2b 为E 的上界. 依此得闭区间列} ] , [ {n n b a . 验证} {n b 为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,} {n b 收敛; 同理} {n a 收敛. 易见n b ↘. 设n b ↘β.有 n a ↗β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 ( 突出子列抽取技巧 )Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 ( 用对分法 )2.用“致密性定理” 证明“Cauch y 收敛准则” :Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.证 (只证充分性)证明思路 :Cauchy 列有界→ 有收敛子列→验证收敛子列的极限即为} {n a 的极限.Ex [1]P 223—224 1—7,11.三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine –Borel 有限复盖定理”:证2. 用“Heine –Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:证 采用[3]P 72例4的证明.Ex [1]P 224 8—12 选做,其中 1 0 必做.§3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 )一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在] , [b a 上)(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈⇒)(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值. (只证取得最大值) 证( 用确界原理) 参阅[1]P 170.三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 (零点定理)证法一(用区间套定理).证法二(用确界原理).不妨设,0)(>a f 0)(<b f .令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ,有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ).取n x >ξ且n x ) ( ,∞→→n ξ.由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f ,⇒,0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ,⇒ξE ∉.于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f ,⇒0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ.因此只能有0)(=ξf . 证法三 (用有限复盖定理).Ex [1]P 232 1,2,5.四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法一 (用区间套定理).参阅[1]P 171[ 证法一 ]证法二 (用列紧性).参阅[1]P 171[ 证法二 ]Ex [1]P 232 3,4, 6*;P 236 1,2,4.。
实数六大基本定理

实数的六大基本定理是指以下六个关于实数的重要数学定理:
实数存在性定理(Completeness Axiom):实数集合是一个完备的数学对象,它满足实数序列的收敛性和有界性,即实数集合中的任意非空有上界的子集都有最小上界。
实数唯一性定理:实数具有唯一性,即在实数集合中不存在两个不同的数值对应于同一数。
实数无理数定理:实数中存在无理数,即不能表示为两个整数的比例形式的实数,如根号2和圆周率π。
实数有理数定理:实数中存在有理数,即可以表示为两个整数的比例形式的实数,如整数和分数。
实数连续性定理:实数集合是连续的,即对于任意两个实数a和b(a < b),在它们之间存在无限多个实数。
实数的稠密性定理:实数集合中的有理数和无理数是稠密分布的,即在实数集合中的任意两个不同实数之间,总存在一个有理数或一个无理数。
这些基本定理在实数的理论和应用中起着重要的作用,它们为实数的性质和运算提供了基础和保障。
这些定理是由数学家们在研究和探索实数的性质中发现和证明的重要结果。
2(5)实数基本定理

15
例4 设有两个正数满足0 a1 b1,
作 an1
anbn
,
bn1
an
2
bn
.
证明:
lim
n
an
,
lim
n
bn
存在且相等.
分析:只要证明 an ,bn
满足闭区间套定理的条件即可.
16
上面的定理只适合于特殊的数列,
对于一般的数列,我们先介绍子列的概念.
在数列 xn中依次任意抽出无穷多项:
1
1 x
x
1
1 n
n1
结合夹逼准则,可证 lim (1 1 )x e
x
x
7
(3) 考虑 lim (1 1 )x
x
x
令 y x
可证明 lim (1 1 )x e
x
x
故 lim(1 1)x e
x
x
令t 1 x
1
得到 lim(1 x) x e x0
8
例1 判断下列数列的收敛性
(1)
an
1 31
lim
n
xn
0
lim
xn1
1 lim
1 xn 1
x n n
n
xn
2
10
例3 证明数列 xn a a 极限存在.
a ,a 0(n重根式)的
证 (1) 显然 xn1 xn ,
所以{xn} 是单调增加的;
(2) 因为 x1
a 1
1 4a 2
数列的极限值
假定 xk 1
1 4a , 2
用归纳法可证明
1 xn
,
x1
2
Q.
可以证明: xn
实数完备性的六大基本定理的相互证明

1 确界原理非空有上(下)界数集,必有上(下)确界。
2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。
3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ,使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。
4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间,H 为],[b a 上的一个开覆盖,则在H 中存在有限个开区间,它构成],[b a 上的一个覆盖。
5 Weierstrass 聚点定理(Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。
) 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。
6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε,总存在某一个自然数N ,使得N n m >∀,时,都有ε<-||n m a a 。
一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理 证明:1设 [an,bn] 是一个闭区间套,即满足: 1)∀n,[an+1,bn+1]⊂[an,bn];2)bn-an =我们证明,存在唯一的实数ξ,使得ξ∈[an,bn],(n =1,2,⋯)存在性:令S={an},显然,S非空且有上界(任一bn都是其上界).据确界原理,S有上确界,设sup S =ξ.现在,我们证明ζ属于每个闭区间[an,bn],(n=1,2,⋯)显然an ≤ξ,(n =1,2,⋯)所以,我们只需证明对一切自然数n,都有ξ≤bn. 事实上,因为对一切自然数n,bn都是S 的上界,而上确界是上界中最小者,因此必有 ξ≤bn,故我们证明了存在一实数ξ,使得ξ∈[an,bn],(n =1,2,⋯)唯一性: 假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ,则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。
七个实数基本定理

从开始学习数学分析至今,我们共学习了七个实数基本定理,他们分别是: ○1127页中间值定理 ○256页单调有界有极限定理 ○3确界定理 ○459页区间套定理 ○5附录4Borel 有限覆盖定理 ○662页有界必有限 ○764页Cauchy 收敛原理 书上证明各定理的思路是:从○1出发证明○2及○3,并证明○1、○2、○3相互等价,此过程中得到:“单调上升有上界数列的极限即为数列上确界”这一加强结论。
由○2及此加强结论可证出○4,再由○4分别证出○5及○6,由○6证出○7。
下面给出这七个实数基本定理之间相互等价的证明,大概思路如下:⇔⇔⇒⇔⇒⇒⇒①④⑦②⑥②③⑤④详细证明如下: ⇒①④已知有区间套[]{},n n a b 满足()lim 0n n n b a →∞-=,[][]()11,,n n n n a b a b n ++⊂∀。
要证存在唯一的[]1,n n n r a b ∞=∈ ,且lim lim n n n n b a r →∞→∞==记{}n a 全体上界组成的集合为B ,\A =B R 。
由[][]()11,,n n n n a b a b n ++⊂∀,知121n n a a a b b ≤≤⋅⋅⋅≤≤≤⋅⋅⋅。
显然11a -∈A ,11b +∈B ,且{}n b ⊂B ,故知A B、不空;由A =B R \知A B 、不漏;,a b ∀∈A ∀∈B ,由于a 不是{}n a 的上界,因此存在{}0n n a a ∈,使0n a a <。
而b 是{}n a 上界之一,所以0n a b ≤,故0n a a b <≤,即a b <,故不乱,因此|A B 构成实数的一个分划。
由①知,存在唯一的r ,,a b ∀∈A ∀∈B ,有a b ≤。
下证[]1,n n n r a b ∞=∈ ,即,n n n a r b ∀≤≤若∃N ,使n a r >,则2n n a r a +<,因此2n a r +∈A ,而2n a r r +>,与,a a r ∀∈A ≤矛盾。
关于实数连续性的6个基本定理的互证

[ a2 , b2 ] ,照这样分下去得到一个区间列 {[ an , bn ]} ,这些区间适合下面 3 个条件:
n →∞
n→ ∞
an
= r, lim
n→ ∞
bn = r ′
,由
∴ ∀ n,有 an
≤ r ≤ bn .
最 后 证 明 唯 一 性 . 若 有 r , r ′ 满 足 r ∈ ∩ [ an , bn ] , r ' ∈ ∩ [ an , bn ] , 则
n =1 n =1
∞
∞
| r − r ′ |≤ bn − a n → 0(n → ∞)
∞
∞
最 后 证 明 唯 一 性 . 若 有 r , r ′ 满 足 r ∈ ∩ [a n , bn ] , r ′ ∈ ∩ [ a n , b n ] , 则
n =1
n =1
| r − r ′ |≤ bn − a n → 0(n → ∞)
故 r = r ′ .即这样的 r 是唯一的.
3、用单调有界定理证明致密性定理 证明:首先证明有界数列 {an } 有单调子数列. 称其中的项 a n 有性质 M,若对每个 i > n ,都有 a n ≥ a i ,也就是说, an 是 集合{ ai | i ≥ n }的最大数. 分两种情形讨论: ①数列 {an } 有无穷多项具有性质 M,将它们按下标的顺序排列,记为 an ,
∴∀n > N , 有r − ε ≤ xN ≤ xn ≤ r ,即 | xn − r |< ε
2、确界定理证明区间套定理 证明:由 [ an +1 , bn +1 ] ⊂ [ an , bn ] ,知 {an } 是单调上升有上界的实数列,{bn } 是单调下 降有下界的数列.且 b1 是 a n 的上界, a 1 是 bn 的下界.设 lim 确界定理对单调有界定理的证明知 r=sup {an } , r ′ =inf {bn } .由 lim(bn − an ) = 0 得 r − r ' =0 即 r − r ' = sup {an } =inf {bn }
数学分析第四讲 实数系的6个定理的等价证明

(1) [ak1, bk1] [ak , bk ], k 1, 2,
(2)
lim
k
|
bk
ak
|
0
(3){[ak , bk ]}中每个区间都含有E的无穷多个点
由闭区间套定理存在唯一 [ak , bk ].
k 1
实数的连续不完备性讨论
根据
lim
n
an
lim
n
bn
,得到
0, N1 N * ,k N1 : ak
N2 N * ,k
N2
:
bk
0, N1 N * ,k N1 : ak +
N2 N * ,k N2 :
单调有 界定理
确界 定理
闭区间 套定理
柯西 收敛定理
列紧性 定理
有限覆 盖定理
聚点 定理
实数的连续不完备性讨论
定理:用闭区间套定理证明柯西收敛定理
证明充分性: 0, k N * ,n, m k : xm xn . 0, N k 1,m N : xm xN xN xm xN
用数列极限观点分析
实数集=有理数集+无理数集 有理数集在实数集稠密 无理数集在实数集稠密
著名数学家希尔伯特说:“无穷是人类最伟大的朋友,也是人类心 灵最宁静的敌人”说明极限是数学最重要的概念.
希尔伯特(David Hilbert, 1862-1943)德国数学家, 19世 纪和20世纪初最具影响力的数学家之一. 1900年在巴黎第二界国际 数学家大会上提出的23个数学问题(称希尔伯特问题),激发了整个 数学界的想象力. 现在这些问题约有一半已得到囿满解决. 其中第八 个问题,就是广为人知的“哥德巴赫猜想”他的杰出工作在整个数学 版图上留下了巨大显赫的名字:希尔伯特空间,希尔伯特丌等式, 希尔伯特算子,被尊为数学世界的亚历山大.
六个实数基本定理

六个实数基本定理引言:实数作为数学中的一种基本概念,具有广泛的应用和重要的地位。
在实数的研究中,有六个基本定理,它们是实数理论的基石,为我们理解和应用实数提供了坚实的基础。
本文将从基本定理的角度出发,详细介绍这六个定理的内涵和应用。
一、实数有序性:实数集中的任意两个数a和b,必满足以下三种关系之一:a<b,a=b,a>b。
这个定理表明实数集中的数可以通过大小进行比较,具有明确的次序。
在实际应用中,有序性的概念常常用于描述事物的优劣、大小、先后等关系。
二、实数的稠密性:对于实数集中的任意两个数a和b(a<b),必存在一个实数c,使得a<c<b。
也就是说,实数集中的任意两个数之间必然存在其他实数。
这个定理揭示了实数集中的数的稠密分布特征,保证了实数的连续性和无间断性,在实际应用中具有重要的价值。
三、实数的有界性:实数集中的数存在上界和下界。
上界是指实数集中的数中的最大值,下界是指实数集中的数中的最小值。
这个定理说明了实数集合中数的范围是有限的,为我们研究实数集合的性质提供了重要的线索。
四、实数的确界性:对于一个有上界的实数集合,必存在一个最小的上界,称为上确界;对于一个有下界的实数集合,必存在一个最大的下界,称为下确界。
这个定理强调了实数集中数的范围的确定性,为我们研究实数集合的性质提供了坚实的基础。
五、实数的连续性:实数集中的数是连续的,即便在一个有限的区间内,也可以找到无数多个实数。
这个定理揭示了实数集合中数的无穷性和连续性的特点,为我们研究实数的性质和应用提供了理论依据。
六、实数的代数性:实数集中的数具有四则运算的封闭性和对称性。
也就是说,实数集中的任意两个数做加、减、乘、除运算所得的结果仍然是实数。
这个定理说明了实数集中数的运算规律和性质,为我们进行实数运算提供了便利。
结语:六个实数基本定理是实数理论的核心内容,它们从不同的角度揭示了实数集合中数的性质和规律。
在实际应用中,我们可以根据这些定理,灵活运用实数的特点,解决各种实际问题。
§2 实数完备性的基本定理

§2 实数完备性的基本定理实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性。
实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。
因此掌握这部分内容是十分必要的,特别是可通过这部分内容的学习与钻研,培养严密的逻辑思维能力。
本节主要介绍7个较直观并且容易理解的基本定理,同时给出它们的等价证明。
我们将在附录中建立严格的实数理论和这些基本定理两两之间的等价性证明。
2.1 实数基本定理的陈述简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列。
区间套还可表达为, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n 。
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增, } {n b 递减。
例2.1 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套. 但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nn n +-+、 } ] 1 , 0 ( {和 } ] 11 , 1 [ {+-都不是。
推论 1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃ 当N n >时, 总有] , [n n b a ( , ) U x e Ì。
推论2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则有n a 单增且收敛于ξ,同时n b 单减且收敛于ξ,) (∞→n 。
根据假设,对任给的0ε>,总存在自然数N ,对一切n N ≥,都有n N a a ε-≤,即在区间[],N N a a εε-+内含有{}n a 中除掉有限项外几乎所有的项。
据此,令12ε=,则存在1N ,在区间1211,22N N a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上含有{}n a 中除有限项外的几乎所有的项,并记这个区间为[]11,αβ。
实数基本定理

第一章绪论重点:实数基本定理(戴德金实数连续性定理)。
§1绪论1.初等数学:主要是离散量的运算体系(加,减,乘,除)数学分析:连续量的运算体系及其数学理论(微积分)。
2.两种体系的区别:初等数学主要是恒等变形技巧;而数学分析则更多地应用用不等式及极限来刻划事物。
3.微分问题和积分问题微分问题:一个连续量随着另一个连续量变化的“瞬时”变化率.例:“瞬时”速度。
积分问题:计算一个连续量在连续量的作用下的总和成或积累。
例:质点受力作用的位移,求力作用的功。
微分问题和积分问题问题互为逆运算。
4微积分的发展历史开普勒(Kepler,1571-1630)行星三大定律伽利略(Galileo,1564-1642)落体速度的变化惯性定律在以落体和行星为典型的机械运动中提出的两个基本问题:已知运动,求力(速度与加速度);已知力,求运动。
在笛卡儿(Descartes1596-1650)和费儿玛(Fermat1601-1665)创立的解析几何中,问题转化为求(1)曲线的切线;(2)曲线下的面积。
牛顿(Newton1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz1646-1716)在前人的基础上建立了微积分及其演算体系。
从形式演算−→严格的科学体系哥西(Cauchy,1789-1857)、波尔察诺(Bolzano,1781-1848)、维尔斯特拉斯(Weierstrass,1815-1897)等用用极限的概念把微积分的概念澄清。
戴德金(Dedekind,1831-1916)、康托(Cantor,1845-1918)、维尔斯特拉斯等又给出了连续量的数学表示,建立了实数连续统的理论。
§2.实数连续统离散量:有最小的单位,可数。
例如正整数。
连续量:不能分解成最小的单位。
不是不可分,而是可分,无限可分,分不完。
例如线段,时间等。
问题:离散量可用整数表示,连续量的数学表示是什么?长度是最基本的量,也是最直观的量。
实数系的基本定理

a1
an1 an bn bn1
b1 。
显然 an 单调增加而有上界 b1 , bn 单调减少而有下界 a1 ,由定理 2.4.1, an 与 bn 都收敛。 设 lim an ,则
n
lim bn lim bn an an lim bn an lim an 。
实数系的基本定理
确界存在定理
Cauchy收敛原理
单调有界数列收敛 定理
Bolzano—Weierstrass 定理 闭区间套定理
定理 2.1.1 (确界存在定理——实数系连续性定理) 非空有上界的 数集必有上确界;非空有下界的数集必有下确界。 证:
x R ,都可以表示成 x x x 1。
n, m N :
xn a
于是
2
, xm a
2
,
xm xn xm a xn a 。
再证明充分性。 先证明基本数列必定有界, 取 0 1, 因为 xn 是基本数列, 所以 N 0 ,
n N0 :
令 M max x1 , x2 ,
由此得到一个闭区间套 an , bn ,满足
an T , bn T , n 1, 2,3,
。
由闭区间套定理,存在唯一的实数 属于所有的闭区间 an , bn ,且
lim bn lim an 。现在说明 是集合 T 的最小数,也就是集合 S 的
n n
an bn , n 1,2,3,
令 n ,由极限的夹逼性得到
,
lim bn lim an ,
n n
实数6个基本定理

实数6个基本定理
实数是数学当中最重要的概念之一,它们是研究几何图形、求解方程与不等式等内容时尤其用得多的数值。
实数的性质决定它们之间的性质也就确定了其中的特点与定理。
首先,关于实数的基本定理有以下六个:
1.正实数集合中,所有数字加减乘除后仍然是正实数。
这是最基本的定理,也就是说,只要数字本身为正实数,那么无论是加、减、乘还是除,它们运算后的答案均为正实数,不可能出现负实数的结果。
2.实数的乘法也有自身的性质,即0乘任何实数均为0,而1乘任何实数,结果均为实数本身。
3.实数的加法运算也有其规律,即两个实数相加、相减后的结果仍然是实数,而且,加一个实数可以把另一个实数变换成另一个实数,从而称其为可加实数。
4.实数的比较有其特定规律,即实数之间可以相等,也可以大小不等:两个实数可以相等,当它们的值完全一样时,也可以大小不等,它们大小的不等依据是它们的值,大者大,小者小。
5.实数可以被分成正负两类,正数比负数大,而负数比正数小。
因此,实数可以分成三类:正数、负数、零。
正实数的值大于零,负实数的值小于零,而零则既不大于,也不小于任何实数。
6.最后,实数的除法也有特定的法则,即除以0的操作永远都是无效的,也就是说,不能将一个实数除以0,否则结果就是无穷大。
以上就是实数的六大基本定理。
它们构成了实数运算发展过程中
的不可缺少的重要组成部分,只有掌握了实数的基本定理,才能更好地掌握实数的运算,进而在数学学习中取得良好的成果。
第三章关于实数的基本定理

第三章 关于实数的基本定理 及闭区间上连续函数性质§1. 关于实数的基本定理1. 设()f x 在上定义,求证:D (1) sup{()}inf ();x Dx D f x f ∈∈−=−x(2) inf{()}sup ().x D x Df x f ∈∈−=−x 2. 试证收敛数列必有上确界和下确界,趋于+∞的数列必有下确界,趋于的数列必有上确界.−∞3. 试分别举出满足下列条件的数列:(1)有上确界无下确界的数列;(2)含有上确界但不含有下确界的数列;(3)既含有上确界又含有下确界的数列;(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列,其中上、下确界都有限.4. 求数列的上、下确界: (1) 11;n x n=− (2)[2(2)];n n x n =+− (3) 2211,1(1,2,3,k k x k x k k+= =+ =L ); (4) 1[1(1)];n n n x n+=+−(5) n x = (6) 12cos .13n n n x n π−=+ 5. 设sup E β=,且E β∉,试证自E 中可选取数列{}n x 且n x 互不相同,使lim n x x β→∞=;又若E β∈,则情形如何? 6. 利用有限覆盖定理9.2证明紧致性定理9.4.7. 试分析区间套定理的条件:若将闭区间列改为开区间列,结果怎样?若将条件去掉或将条件1122[,][,]a b a b ⊃⊃L 0n n b a −→去掉,结果怎样?试举例说明.8. 若{}n x 无界,且非无穷大量,则必存在两个子列,k k n m x x a →∞→ (a 为有限数).9. 设()f x 在无界,求证:存在[,]a b [,]c a b ∈,对任给0δ>,函数()f x 在(,)[,c c a b ]δδ−+∩上无界.10. 设()f x 在[,上只有第一类间断点,定义]a b ()|(0)(0)|.x f x f x ω=+−−求证:任意0,()x εω> ≥ε的点x 只有有限多个.11. 设()f x 是上的凸函数,且有上界,求证:(,)a b lim (),lim ()x a x bf x f +−→→x 存在. 12. 利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限.13. 用区间套定理证明单调有界数列必有极限.14. 设()f x 在[0上连续且有界,对任意,)+∞(,a )∈−∞+∞,()f x a =在[0上只有有限个根或无根,求证:,)+∞lim ()x f x →+∞存在. 15. 设()f x 在[,上定义,且在每一点处函数的极限存在,求证:]a b ()f x 在[,上有界.]a b 16. 求证:数列{有界的充要条件是,{的任何子数列{都有收敛的子数列.}n a }n a }k n a§2. 闭区间上连续函数性质的证明1. 设()f x 在[,上连续,可微,又设]a b (1) min ()max ();a x b a x bf x p f x ≤≤≤≤<< (2) 如果()f x p =,则有'()0f x ≠,求证:()f x =p 的根只有有限多个.2. 设()f x 是[,上的连续函数,其最大值和最小值分别为]a b M 和,求证:必存在区间[,(m m M <)]αβ,满足条件:(1)(),()f M f m αβ= =或(),()f m f M αβ= =;(2) ,当()m f x M <<(,)x αβ∈.3. 设()f x 在[,上连续,且取值为整数,求证:]a b ()f x ≡常数.4. 设()f x 在[,连续,]a b ()0f a <,,求证:存在()0f b >(,)a b ξ∈,使()0f ξ=,且()0()f x x b ξ><≤.5. 设()f x 在上连续,并且最大值点[,]a b 0x 是唯一的,又设0[,]x a b ∈,使0lim ()()n x f x f x →∞=,求证 0lim n x x x →∞= 6. 试用一致连续的定义证明:若函数()f x 在[,和[,上都一致连续,则]a c ]c b ()f x 在上也一致连续.[,]a b 7. ()f x 在[0连续,且,2]a (0)(2)f f a =,求证:存在[0,]x a ∈,使()()f x f x a =+. 8. 设()f x 在上连续,且(,−∞+∞)lim ()x f x →−∞与lim ()x f x →+∞存在.证明;()f x 在上一致连续.(,−∞+∞)9. 若函数()f x 在上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在常数(,)a b K ,使得|(')('')||'''|,',''(,).f x f x K x x x x a b −≤− ∈证明:()f x 在上一致连续.(,)a b 10. 设()f x 在上一致连续,(,)a b ,a b ≠±∞,证明()f x 在上有界;(,)a b 11. 设()f x 在上可导,且(,)a +∞lim '()x f x →+∞=+∞,求证:()f x 在(,上不一致连续.)a +∞12.求证:()f x =x 在(0,)+∞上一致连续.13. 若()f x 在区间X (有穷或无穷)中具有有界的导数,即|'()|,f x M x X ≤ ∈,则()f x 在X 中一致连续.。
实数的概念与性质

实数的序性质在数学分析、实变函数等领域有着广泛的应 用,是研究实数集合的重要工具之一。
实数的连续性质
实数具有稠密性
在实数集中,任意两个不同的数 之间都存在其他数。
实数具有完备性
实数集具有一些特殊的性质,这 些性质在数学分析中非常重要。
03
实数的基本定理
实数的基本定理
实数的有序性
01 实数具有有序性,即每个实数都可以与另一个实数进行大小比较。
实数的概念与性质
汇报人:xxx
目录
01 实 数 的 定 义 与 分 类 02 实 数 的 性 质 03 实 数 的 基 本 定 理 04 实 数 的 教 学 设 计
01
实数的定义与分类
实数的定义
实数是可以表示为两个整数的比的数,即 有理数和无理数的总称。实数包括有理数 和无理数两大类。
实数具有完备性,即实数集具有在数学上 称为阿基米德性质和皮亚诺公理的数学性 质。
02
教学内容
根据教学目标,设计实数 的教学内容,包括实数的 定义、表示方法、性质和 运算等。
03
教学步骤
按照教学内容,制定教学 步骤,包括引入、讲解、 示范、练习和总结等环节。
教学方法与手段
01 讲解与示范
通过讲解和示范,帮助学生理解实数的概念和性质,增 强学生的理解能力。
02 互动与讨论
鼓励学生参与互动和讨论,引导学生自主思考和探索实 数的问题,提高学生的学习积极性。
实数的加法和乘法满足结 合律,即 (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc)。
分配律
实数的加法和乘法满足分 配律,即a(b+c)=ab+ac。
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第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理: 1实数戴德德公理 确界原理2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理定理(确界原理) 设S 为非空数集.若S 有上界,则S 必有上确界;若S 有下界,则S 必有下确界.定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列.由确界原理,数列{}n a 有上确界,记{}n a a sup =.下面证明a 就是{}n a 的极限.事实上,任给0>ε,按上确界的定义,存在数列{}n a 中某一项N a ,使得N a a ε-<.又由{}n a 的递增性,当N n ≥时有n N a a a <<-ε.另一方面,由于a 是{}n a 的一个上界,故对一切n a 都有ε+<≤a a a n .所以当N n ≥时有εε+<<-a a a n ,即a a n n =∞→lim .同理可证有下界的递增数列必有极限,且其极限即为它的下确界.(区间套定理) 若[]{}n n b a ,是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ,使得ξ∈[]n n b a ,,,2,1=n ,即ξ≤n a n b ≤, .,2,1 =n (2) 证 由(1)式,{}n a 为递增有界数列,依单调有界定理,{}n a 有极限ξ,且有 .,2,1, =≤n a n ξ (3) 同理,递减有界数列{}n b 也有极限,并按区间套的条件(¡¡)有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim , (4)且 .,2,1, =≥n b n ξ (5) 联合(3)、(5)即得(2)式。
最后证明满足(2)的ξ是唯一的。
设数ξ'也满足,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 则由(2)式有≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件(¡¡)得≤'-ξξ0)(lim =-∞→n n n a b ,故有ξξ='.由(4)式容易推得如下很有用的区间套性质:推论 若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点,则对任给的ε>0,存在N>0,使得当n >N 时有[]n n b a ,⊂().;εξU致密性定理定义2 设S 为数轴上的点集,ξ为定点(它可以属于S ,也可以不属S).ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点,则称ξ为点集S 的一个聚点.等价定义如下:定义2’ 对于点集S ,若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点,即Φ≠S U );(0εξ,则称ξ为S 的一个聚点.定义2” 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂,则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点现证定义2’ ⇒定义2”设ξ为S(按定义2’)的聚点,则对任给的0>ε,存在()S U xεξ;∈.令11=ε,则存在()S U x11;εξ∈;令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12,21min x ξε,则存在()S U x22;εξ∈,且显然12x x ≠;令⎪⎭⎫⎝⎛-=-1,1min n n x n ξε,则存在()S U x n n εξ;∈,且11,,-n n x x x 与互异。
无限地重复以上步骤,得到S 中各项互异的数列{}n x ,且由nx n n 1≤<-εξ,易见ξ=∞→n n x lim 。
下面我们应用区间套定理来证明聚点定理.定理 (魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点.证 因S 为有界点集,故存在0>M ,使得[]M M S ,-⊂,记[][]M M b a ,,11-=现将[]11,b a 等分为两个子区间.因S 为无限点集,故两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点,记此子区间为[]22,b a ,则[][]2211,,b a b a ⊃且()M a b a b =-=-112221再将[]22,b a 等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间含有S 中无穷多个点,取出这样的一个子区间,记为[]33,b a ,则[][]3322,,b a b a ⊃,且()2212233M a b a b =-=- 将此等分子区间的手续无限地进行下去,得到一个区间列[]{}n n b a ,,它满足[][]11,,++⊃n n n n b a b a ,,,2,1 =n021→=--n n n Ma b ()∞→n 即[]{}n n b a ,是区间套,且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点.由区间套定理,存在唯一的一点[]n n b a ,∈ξ,,,2,1 =n .于是由定理5的推论,对任给的0>ε,存在0>N ,当M n >时有[]()εξ;,U b a n n ⊂.从而()εξ;U 内含有S 中无穷多个点,按定义2,ξ为S 的一个聚点.推论(致密性定理) 有界数列必含有收敛子列.证 设{}n x 为有界数列.若{}n x 中有无限多个相等的项,则由这些项组成的子列是一个常数列,而常数列总是收敛的.若{}n x 不含有无限多个相等的项,则其在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定理,点集{}n x 至少有一个聚点,记为ξ。
则存在{}n x 的一个收敛子列(以ξ为其极限).推论 若{}n x 是一个无界数列,则存在子列k n x →∞。
证明 取界为k ,则存在着一个项1k k n n x x -位于之后,则有k n x k >。
(前面有限个项是有界的)。
Cauchy 收敛原理 数列{ }n x 收敛 ⇔ 0,,N N ε+∀>∃∈当,n m N >时,有n m x x ε-<。
证 充分性设数列{}n a 满足柯西条件.先证明{}n a 是有界的.为此,取,1=ε则存在正整数N ,当m=N+1及n>N 时有.11<-+N n a a由此得n a =+-≤+-+++111N n N N n a a a a a 111+<++N N a a .令 M=max {},1,,,,121++N N a a a a 则对一切正整数n 均有.M a n ≤于是,由致密性定理,有界数列{}n a 必有收敛子列{},k n a 设k n k a ∞→lim =A .对任给的ε>0,存在K>0,当m,n,k>K 时,同时有2ε<-m n a a (由柯西条件),).lim (2∞→=<-k n n A a A a k k 由ε因而当取m=n k (K k >≥)时,得到 .22εεε=+<-+-≤-A a a a A a k k n n n n这就证明了A a n n =∞→lim .(海涅一博雷尔(Heine —Borel)有限覆盖定理) 设H 为闭区间[]b a ,的一个(无限)开覆盖,则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[]b a ,证 用反证法 假设定理的结论不成立,即不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.将[]b a ,等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为[]11,b a ,则[][]b a b a ,,11⊂,且()a b a b -=-2111. 再将[]11,b a 等分为两个子区间,同样,其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为[]22,b a ,则[][]1122,,b a b a ⊂,且()a b a b -=-22221. 重复上述步骤并不断地进行下去,则得到一个闭区间列[]{}n n b a ,,它满足 [][]11,,++⊃n n n n b a b a ,,,2,1 =n()()∞→→-=-n a b a b nn n 021即[]{}n n b a ,是区间套,且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖由区间套定理,存在唯一的一点()n n b a ,∈ξ, ,2,1=n .由于H 是[]b a ,,的一个开覆盖,故存在开区间()H ∈βα,,使()βαξ,∈.由定理5推论,当n 充分大时有 []()βα,,⊂n n b a这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间()βα,就能覆盖,与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,. 有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续,则f 在[]b a ,上有界.证 [证法一] (应用致密性定理) 倘若f 在[]b a ,上无上界,则对任何正整数n ,存在[]b a x n ,∈,使得()n x f n >.依次取 ,2,1=n ,则得到数列{}[]b a x n ,⊂.由致密性定理,它含有收敛子列{}k n x ,记ξ=∞→k n k x lim 。
由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性,[]b a ,∈ξ.利用f 在点ξ连续,推得()()+∞<=∞→ξf x f k n k lim另一方面,由n x 的选取方法又有()()+∞=⇒+∞→≥>∞→k k n k k n x f k n x f lim与(1)式矛盾.所以f 在[]b a ,有上界.类似可证f 在[]b a ,有下界,从而f 在[]b a ,上有界.[证法二] (应用有限覆盖定理) 由连续函数的局部有界性(定理4.2),对每一点[],,b a x ∈'都存在邻域);(x x U ''δ及正数x M ',使得[].,);(,)(b a x U x M x f x x '''∈≤δ考虑开区间集 []{}b a x x U H x ,);(∈''='δ,显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理,存在H 的一个有限子集()[]{}k i b a x x U i i i ,,2,1,,;* =∈=H δ覆盖了[]b a ,,且存在正数k M M M ,,,21 ,使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈有().,,2,1,k i M x f i =≤ 令,max 1i ki M M ≤≤=则对任何[]b a x ,∈,x 必属于某()()M M x f x U i i i ≤≤⇒δ;.即证得f 在[]b a ,上有界. 注:开区间上的连续函数既可能有界,也可能无界。