空间垂直关系

2010-12-2

空间的线线垂直判定

平面几何知识：

•等腰三角形底边上的中线垂直于底边•勾股定理•圆直径所对的圆周角是直角•菱形对角线互相垂直

•矩形邻边互相垂直

空间的线面垂直

•定义

如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直，记做/丄4•直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面, 直线和平面的交点叫做垂足。

•性质

=>

a

a ua

空间线面垂直的判定定理H

一条直线与一个平面内的两条相交直

线垂直，则该直线与此平面垂直

符号表示

= 丄丄C二丄Q

关键字

面内、相交、垂直

空间垂直关系

线线垂直・判定定理’线面垂直

定义

练习

: :

判断下列说法是否正确

•如果直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线和这个平面垂直X •如果一条直线和一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直P •如果直线不垂直于平面，则平面内没有直线与已知直线垂直X

如果直线不垂直于平面,

则平面内有犁条直线号已知直经垂直

•煮總翩两条边同时垂直'

练习

已知正方体ABCD-A]B1C]D1 ,求证Bp】垂直于面AA£iC

C]

A】

DL C

在直三棱柱ABC・A[B[C[中，AB=8, AC=6, BC=10,求证：AB垂直于已知四面体ABCD中AC=BD,

A〔C

E、F分别是AD、BC的中点，且心丰M , ZBDC=90°求证：BD丄平面ACD

练习:在正方体ABCD-AiBiCPi中，G为CC] 的中点，0为底ffiABCD的中心，求证

空间面面垂直关系判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直

符号表示Q丄0卫丄0

关键词:面内，垂一a

a

练习

已知AB丄面BCD, BC丄CD,求:

1）图形中有多少个直角三角形？2）图形中有多少个面互相垂直？

C

如图，AB是的直径，PA垂直于圆0 所在的平面，C是圆周上不同于A, B

的任意一点，求证：平面PAC丄平面PBC

在正方体ABCD - 4/169，求证-面ACC/i丄面BD4]

变题1

在正方体ABCD - 4/169，求证-面ACC/i丄面3砂£>1

变题2 H 在正方F分别是49, 的中点，求证：面ACC/］丄面BDEF

变题3 ：

y：

在正方体4BCD - A.B.C.D,, G

是£A上一点，求证：

面ACC/】丄面劝G拐一—

练习淨判断下列说法是否正确

1 •如果Q丄0, luoc,则唾直于面内某条直线

2.如果a丄0, I ua,则/垂直于面内无数直兹3•女口果a丄0, I ua,贝M垂直于面内任意直线4 .如［果a丄0, I ua,贝廿丄0

空间面面平行的性质定理1 1

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号表示

Q 丄0，an〃 = C，QUQ，Q 丄C 二＞Q

丄0

空间面面垂直的性质定理2 :：- 若两个平面互相垂直，经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，

必在第一个平面内O

符号表示

&丄0 A G a

/丄0 a/i

< A

A G Z

空间垂直关系

线线

垂直

判定定理线面塑匡聖定义垂

直性质定理面面垂直

练习

已知一四棱锥P-ABCD的三视图

如，E 是侧棱PC上的动点。

1) 求四棱锥P-ABCD的体

2）是否不论点E在何位置，都有BD丄积;

AE?证明你的结论；

3)

练习鏗四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是ZDAB=60°的菱形，侧面PAD是正

三角形，其所在平面垂直于底面ABCD。1）求证：AD丄PB

2）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF丄面ABCD,证明你的结论

练习帑已知Z\ABC中，ZBCD=90° BC=CD=1 AB 丄面BCD, ZADB=60° , E, F分别

AT7 AJ7

是AC、AD上的动点且—=—=2(o < 2 < 1) 1) 求证：不论入取何 A 值，都有面BEF丄面

2) 当入为何值时，面BEF丄面ACD

E\

■

B