极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限首先，我们来定义极限存在准则。
设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。
左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ<x<a时，有，f(x)-L，<ε。
右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a<x<a+δ时，有，f(x)-L，<ε。
接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。
1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。
若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。
夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。
2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。
单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。
这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。
在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。
而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。
总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。
夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。
微积分：极限存在准则与两个重要极限
02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限第一个极限存在准则是柯西-斯维亚切斯极限存在准则（Cauchy-Schwarz Limit Existence Criteria）。
其表述为：对于一个函数 f(x)，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当 0<，x-a，<δ 时，总有，f(x)-f(a)，<ε，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
第二个极限存在准则是海涅定理（Heine's Theorem），也被称为局部有界性定理（Local Boundedness Theorem）。
其表述为：如果对于一个函数 f(x)，在点 a 的一些邻域内 f(x) 有界，即存在一个常数 M>0，使得对于所有的x∈(a-δ,a+δ) 有，f(x)，≤M，则函数 f(x) 在点 a 处存在极限。
这两个极限存在准则都用于判断函数在其中一点处的极限是否存在。
柯西-斯维亚切斯极限存在准则要求函数在该点的极限存在时，对于任意给定的ε>0，都能找到对应的δ>0，使得函数值与极限值的差小于ε。
而海涅定理则要求函数在该点附近有界，即函数在该点附近的函数值都不超过一些常数M。
这两个定理的应用范围和方法略有不同。
除了极限存在准则外，还有两个重要的极限：无穷小与无穷大。
无穷小是指极限趋近于零的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数ε>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，<ε，则该数列是无穷小。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=0，则该函数在点 a 处是无穷小。
无穷大则是指极限趋于无穷的数列或函数。
对于一个数列 {a_n}，如果对于任意的正数 M>0，存在正整数 N，使得当 n>N 时，有，a_n，>M，则该数列是无穷大。
对于一个函数 f(x)，如果在其中一点 a 处，有lim(x→a) f(x)=∞（或表示为lim(x→a) ，f(x)，=∞），则该函数在点 a 处是无穷大。
1.4 极限存在准则与两个重要极限
( A) e −2; (C ) 0;
2
§1.4 极限存在准则与两个重要极限
思考练习
选择
1 ( 1) lim x sin = ( C ). x →∞ x ( A) ∞; ( B ) 不存在; (C ) 1; ( D ) 0.
（2）lim ( 1 − x ) ）
x →0 − 2 x
=（ D ）
( B ) ∞; ( D) e .
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U 准则Ⅰ′ 如果当 x ∈ ( x0 , δ 0 )(或 x > M )时,有 准则Ⅰ′
(1) g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ), ( 2) x→ x g( x ) = A, x→ x h( x ) = A, lim lim
( x→∞ )
0
( x →∞ )
0
存在, 那么 lim f ( x )存在, 且等于 A.
§1.4 极限存在准则与两个重要极限
一、极限存在准则 二、两个重要极限
sin x lim =1 x→0 x
1n lim(1 + ) = e n→∞ n
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§1.4 极限存在准则与两个重要极限
一、极限存在准则
1.夹逼准则 1.夹逼准则
准则Ⅰ 满足下列条件: 准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
= e −2 .
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§1.4 极限存在准则与两个重要极限
例5
3− x x ) . 求 lim( x →∞ 2 − x
1 x 解 原式 = lim(1 + ) x →∞ 2− x
1 2− x 1 2 ) ⋅ (1 + ) = lim (1 + x →∞ 2− x 2− x
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
极限存在准则与两个重要极限
c 2012
15
例20. 对第一章中的例19,若即时产生即使结算(按连 续复利计算),求银行t期末的本利和.按连续复利(将利 息记入本金,时刻结算本利和的方法)计算,实质上就是 每期的结算次数 m→∞ 时的本利和, 即
an 1 1 1 1 1 2! 3! n! 1 1 1 11 1 2 2 3 ( n 1)n 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 2 3 n1 n 1 3 3. n
故{an} 有上界, 从而 lim(1 n
tan x sin x 1 lim 3 x 0 1 sin x x sin x 1 cos x 1 1 lim x 0 x x2 cos x(1 sin x ) 2
1 1 tan x lim( ) e2 x 0 1 sin x
1
1
13
1 x2 (5). lim(cos ) . x x
r mt lim A0 (1 ) A0e rt m m
16
为使计算简化, 我们给出(不证明)上面公式的一 个对“1∞” 型非常适用的结论: 若 lim ƒ(x) = 0 , lim g(x) = ∞ 且 lim ƒ(x)g(x) = m, 则
lim[1 f ( x)]g ( x ) e m
11
例18.求下列极限
1 5 x2 (1). lim(1 ) ; x x
§2.4 极限存在准则与两个重要极限
本节先介绍极限存在准则利用它们来导出两个重 要极限. 一.极限存在准则 准则І (夹逼定理) 若 x U ( x0 , ) (或 x M ) , 均有 g(x) ≤ ƒ(x) ≤ h(x) 且 lim g(x) = lim h(x) = A, 则有 lim ƒ(x) = A.
极限存在准则与两个重要极限
100 000 2.718 27 100 000 2.718 30
1 000 000 2.718 28 1 000 000 2.718 28
e e
1.2 准则Ⅱ与第二个重要极限
因此，
lim
x
1
1 x
x
e
．
e 是无理数，它的值是 2.718 28 ．在 1.1 中提到的指数函数 y ex 及自然对数 y ln x 中的
（2） lim g(x) lim h(x) A ，
xx0
xx0
则有 lim f (x) A ． xx0
1.1 准则Ⅰ与第一个重要极限
作为准则Ⅰ及准则Ⅰ'的应用，下面证明一个重要极限： lim sin x 1 ． x0 x
证明 在图所示的单位圆中，设圆心角 BOA x ， AD 切圆 O 于 A ， 且与 OB 延长线相交于 D ，于是有
3 1
x 1
1
lim
x 1
3
x
2x 1
2x
lim
x
2x 2x
3 1
lim
x
1 1
3
x
2x
1 x 2x
1
3
e2
1
e2
e．
1.7 无穷小阶的比较
在 1.4 节中我们已经知道，两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但是关于两
个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当 x 0 时，2x ， x2 ，sin x 都是无穷小
an1
1
n
1
n1
1
1
1
21!1
n
1
1
1 3!
1
1 n
1
高等数学1.6极限存在准则、两个重要极限
二、两个重要极限
例4
1 cos x 求 lim . 2 x0 x
2 x x 2 sin 2sin 2 1 lim 2 解 原式 lim 2 x 0 2 x x 0 x 2 2 2
0 0
sin x lim 1 x 0 x
lim cos x 1,
x 0
x x0 x x0
lim f ( u ) A， 则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u )
u a
证明
lim(1 x ) e
x 0
1 x
x x0 1 x
u a
1 1 令 x , lim(1 )t ＝ lim(1 x ) t t t x0
x x0 ( x ) x x0 ( x )
f ( x) lim h( x ) A, 那末 xlim x
( x)
0
存在, 且等于 A 上述两准则称为两边夹准则.
例1 求 lim( n 解：
1 n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
).
n n n
2
n
x 1 sin x 1, cos x 1 sin x cos x x
A
下面证 lim cos x 1,
x0
2 x x x 2 2 1 cos x 2 sin 2( ) , 2 2 2
0 cos x 1 x2 lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 x0 2 sin x lim cos x 1, lim1 1, lim x 0 x0 x0 x
(2)
1 x lim (1 ) e x x
极限存在准则及两个重要极限
极限存在准则及两个重要极限极限存在准则是数学分析中用来证明函数极限存在的重要工具。
它可以帮助我们判断函数是否有极限，并且有助于我们进行更深入的研究。
极限存在准则有许多种形式，而我们在这里将着重讨论两个重要的形式。
它们分别是Cauchy收敛准则和单调有界准则。
1. Cauchy收敛准则：Cauchy收敛准则是在实数集上定义的，它陈述了一个数列收敛的充要条件。
具体来说，对于给定的一个数列{an}，如果对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n、m大于等于N时，|an - am| < ε成立，则数列{an}收敛。
Cauchy收敛准则的证明基于一个重要的数学定理，即实数集的完备性。
根据这个定理，如果一个数列满足Cauchy收敛准则，那么它一定收敛到一个实数。
2.单调有界准则：单调有界准则是在实数集上定义的，它陈述了一个单调数列有界的充要条件。
具体来说，对于给定的一个单调数列{an}，如果它是递增有上界的（即存在一个实数M，使得对于所有的n，an≤M），或者是递减有下界的（即存在一个实数M，使得对于所有的n，an≥M），则数列{an}收敛。
单调有界准则的证明也是基于实数集的完备性。
根据这个准则，如果一个单调数列满足单调有界准则，那么它一定收敛到一个实数。
这两个极限存在准则在数学分析中非常重要，提供了一种判断函数极限存在的方法。
通过应用这些准则，我们可以更方便地判断函数是否有极限，并对函数的性质进行更深入的研究。
值得一提的是，这两个准则只适用于实数集，而在实际的数学研究中，我们还会涉及到复数集和一些其他更一般的情况。
在这些情况下，我们需要使用更为复杂的准则和方法来判断函数极限的存在性。
总结起来，极限存在准则是数学分析中用来判断函数极限存在的重要工具。
Cauchy收敛准则和单调有界准则是其中两个重要的形式。
通过应用这些准则，我们可以更方便地判断函数是否有极限，并对函数的性质进行更深入的研究。
两个极限存在准则和两个重要的极限
两个极限存在准则和两个重要的极限1.两个极限存在准则(1) 夹逼准则：设a, b, c为实数，如果函数f(x)在a的一些左邻域内对于一切x都有h(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[x→a]h(x)=lim[x→a]g(x)=L，则必有lim[x→a]f(x)=L。
夹逼准则的本质是通过构造两个函数作为边界来确定原函数的极限。
(2) 单调有界准则：设函数f(x)在(a, b)上单调递增(递减)，且在(a, b)上有界，则必有lim[x→a]f(x)=sup{f(x)}(或lim[x→a]f(x)=inf{f(x)})。
单调有界准则的基本思想是通过函数的单调性和有界性来确定极限。
(1) 无穷小极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=0，如果对于任意正数ε，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有，f(x)，<ε，那么称函数f(x)在x=a处的极限为0。
无穷小极限的重要性在于它在微积分中有广泛应用。
例如，微分定义中的导数可以看作是函数在其中一点的极限，这也符合函数在该点的变化趋势比较明显。
无穷小极限的概念使得我们能够更好地描述和理解函数在其中一点的变化情况。
(2) 无穷大极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=∞，如果对于任意正数M，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有f(x) > M，那么称函数f(x)在x=a处的极限为无穷大。
无穷大极限的重要性在于它可以帮助我们研究函数在其中一点的增长速度和趋势。
例如，在极限定义中，我们可以通过无穷大极限来刻画函数在其中一点的无限增长或无限逼近的情况。
此外，无穷大极限也在微积分中的积分定义中有重要的应用，帮助我们理解函数的积分和面积的概念。
综上所述，极限的存在准则和重要的极限是微积分中的重要概念。
了解它们的定义和应用可以帮助我们更好地理解和分析函数在其中一点的变化情况，为进一步研究微积分和数学分析打下坚实的基础。
极限存在准则和两个重要极限
lim 1 x e . x0
x
n
n
lim 1
x
1 x
x
e,
二个重要极限
例1. 求 解:
例2. 求
解: 原式 =
例3.
例4.
lim sin 3 x x0 sin 2 x
lim 3 sin 3x 2 x x0 2 3x sin 2 x
lim 3 lim sin 3 x lim
思考与练习
1. lim sin x _____ ; x x
1
2. lim x sin ____ ;
x
x
1
3. lim x sin ____ ;
x0
x
填空题 ( 1～4 )
1 y
y
lim
1
y
1 y
1
y sin x
3 y
lim (1 y)
y0
例9 .
lim 1 x
1 x
x
y x
ylim1
1 y2
y
lim 1 y
1 y
y1
1 y
y
lim 1 y
1 y
y lim 1 y
1 y
y (1)
1
lim 1 x x e .
x0
例10
n2 n
n2 1
n2 n
又 lim n
n
lim
n2 n
n
1 1 1
n
lim n
n
lim
n2 1
n
1
1
1 n2
n
n2 n
n
,
n2 1
lim(
n
1
高等数学1.7 极限存在准则 两个重要极限
一、准则 I
准则 I： 如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件：
( ynxnzn(n=1，2，3，…)，
lim (2) lim yn=a，n zn=a，
n
lim 那么数列{xn }的极限存在，且 x n=a ． n
．
例8
sin x ． x x tan x 求 lim ． x0 x 1 - cos x 例 2 求 lim ． 2 x 0 x
求 lim
5 求 lim
6
7
7 x + 5x - 3 3x 2 - 2 x - 1 求 lim ． x 2 x 3 - x 2 + 5 2x 3 - x 2 + 5 求 lim ． 2 x 3 x - 2 x - 1
例2 求lim
1 - cos x ． 2 x 0 x
2
解
x sin x 2 x sin 2 sin 1 1 1 - cos x 2 2 = lim 2 = lim lim = lim x0 x0 x2 2 x 0 1 2 2 x 0 x x2 2 2 1 2 1 = 1 = ． 2 2
n
根据准则II，数列{x n}必有极限． 这个极限我们用e 来表示．即
lim 1 + n 1 =e ． n
n
e 是个无理数，它的值是e=2.718281828459045 ···．
还可证明
1 lim1 + =e ． x x
x
第二个重要极限： lim1 + x
准则 I： 如果函数g(x)、f(x)及h(x)满足下列条件：
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e___1;
n n
27
作业
P56 1 写在书上 ; 2; 3；4 .
28
x
1 x
)
x
e
说明:
此极限也可写为
1
lim (1 z) z
e
z0
18
例7 已知 解: 原式 =
c ln 4
求 C。
ec 4
19
例8 求下列极限
解: 令 t x , 则
lim (1
t
1t )t
lim
t
1
解 原式＝
说明
：若利用
lim (1
( x)
1n）]
e
lim (1
x
1x) x
e
17
当
时, 令 x (t 1), 则
从而有
lim (1
t
t
11)(t
1)
tlim(tt 1)(t1)
t
lim (1
1t )t
1
t
lim [(1
1t )t
(1
1t )]
e
故
lim (1
k
lim
x0
sin k
k x
x
k
2.
lim tan x x0 x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
极限存在准则与两个重要极限
22
(1 )型
1 n lim(1 ) e (e 2.718281828459045 ) 我们已经证明： n n
利用这个结论我们可以分别证明：
1 x 1 x lim (1 ) e lim (1 ) e 和 x - x x x
证明方法：迫敛准则 （P54）
lim(1 x ) e
例11 解
ln( 1 x) 求 lim x 0 x
x 0
0 ( ) 0
1 x
原 式 limln( 1 x)
ln e 1
15
ex 1 例12 求 lim x 0 x
解 令 t e 1,
x
x 0时， t 0
t 原式 lim t 0 ln( 1 t)
例13
1 2
8
cos x cos 3 x 例4 求极限 l im 2 x 0 x cos x cos 3 x 解 l im 2 x 0 x
2 si n ( 2 x ) si n x lim x 0 x2
4
0 ( )型 0
9
si n x 例5 求极限 l i m x tan x
作单位圆的切线 ，得ACO .
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD ,
于是有sin x BD,
因为
x 弧 AB,
tan x AC ,
4
SAOB S扇形AOB SAOC
1 1 1 所 以 sin x x tan x 2 2 2
即
sin x x tan x ,
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时, 2 2 2 x 2 x 2 x , 0 cos x 1 1 cos x 2 sin 2( ) 2 2 2 2 x lim 0, lim(1 cos x ) 0, x0 2 x 0
六节极限存在准则两个重要极限
证明：必要性
| xn xm |
充分性（不证） 见参照书《数学分析》。
柯西极限存在准则也称为柯西审敛原理。
三、小结
1.两个准则 2.两个主要极限
sin x lim 1 x0 x
lim(1 1 )n e
n
n
lim (1 1 )x e
x
x
lim (1 1 )x e
x
x
lim(1 1 )x e
2
x
1
sin lim(
2 x0 x
2
)2
1 2
12
1 2
2
例7 求 lim(1 1 )x
x
x
解
原式 lim[(1 1 ) x ]1 lim
x
x
x
(1
1 1
) x
1 e
x
例8 求 lim( 3 x )2x x 2 x
解 原式 lim[(1 1 ) x2 ]2 (1 1 )4 e2
x
x
lim (1 1 )x e 令 t 1 ,做换元，得
x
x
x
1
lim(1 x) x
lim(1 1)t
e
x 0
t
1
t
lim(1 x) x e x0
tan x 例4 求 lim
x0 x
sin x
解
tan x lim x0 x
lim x 0
cos x x
sin x 1 lim( )
即 a yn a (1)
lim n
zn
a
0,
N 2
0 ,使得当 n
N
时
2
就有 zn a
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