2-14第十四节 定积分与微积分基本定理(理)(47张PPT)

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【思维启迪】
求出抛物线的焦点坐标，确定直线l的方程，
画出图形，确定被积函数及积分的上、下限，用定积分表示所求 图形的面积，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．
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第十四节
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解析
答案 D
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1 2 2 4．若 f(x)dx＝1， f(x)dx＝－1，则 f(x)dx＝________.
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第十四节
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解析
变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝
10 2 10所做的功为W＝∫10 1 F(x)dx＝∫1 (x ＋1)dx
1 3 ＝3x ＋x|10 1 ＝342(J)．
物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s) 的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为 ( ) A．3 C．5 B．4 D．6
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备考这样做 1.理解定积分的概念和几何意义． 2.会用微积分基本定理求定积分，解决一些几何、物理问题.
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0
答案 B
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π π 3．由直线x＝－ ，x＝ ，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭 3 3 图形的面积为( 1 A.2 3 C. 2 ) B．1 D. 3
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2．定积分的几何意义
b (1)当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分 f(x)dx 的几
a
何意义是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的 曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．
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题型二 【例2】
定积分在几何中的应用
(2013· 北京卷)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与 )
y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( 4 A.3 8 C.3 B．2 16 2 D. 3
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3．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝
b f(x)，那么 f(x)dx＝ F(b)－F(a)

，这个结论叫做微积分基本定
第二章 函数、导数及其应用
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第十四节 ►►定积分与微积分基本定理(理)
读教材· 抓基础
研考点· 知规律
拓思维· 培能力
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高考这样考 1.考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理． 2.利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运 动路程.
变式思考 1
0
求下列定积分：
1 2 (1) (x －x)dx；
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解
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变式思考 2 的面积．
1 求曲线y＝ x ，y＝2－x，y＝－ x所围成图形 3
解
y＝ x， 由 y＝2－x，
得交点A(1,1)；
y＝2－x， 由 得交点B(3，－1)． 1 y＝－3x，
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故所求面积S＝
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题型三 【例3】
定积分在物理中的应用
物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，
答案 6.5 m
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Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
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D 读教材· 抓基础
回扣教材 扫除盲点
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课 本 导 读 1．定积分的性质
b (1) kf(x)dx＝
a
b k f(x)dx
【答案】 C
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【规律方法】
利用定积分解决变速直线运动路程问题和变
力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变 力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式， 再利用微积分基本定理计算即得所求．
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2．利用定积分求曲边梯形的面积时，一是要合理准确的将图 形划分，二是注意面积非负而定积分的结果可以为负．
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基 础 自 评
1 x 1. (e ＋2x)dx＝(
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变式思考 3
设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从
x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变 力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位： N)．
a
理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式． 其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．
b F(x)| a 为了方便，常把F(b)－F(a)记作 ，即
b
f(x)dx＝F(x)|b a ＝F(b)－F(a)．
a
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a
(k为常数)；
b (2) [f1(x)± f2(x)]dx
a
＝
b a
b a
b f1(x)dx± f2(x)dx a
b c
；
f(x)dx
(3) f(x)dx＝ f(x)dx＋
c a
(其中a<c<b)．
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0
) B．e－1 D．e＋1
A．1 C．e
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解析
1 0
1 (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|0
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＝(e＋1)－1＝e.
答案 C
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5．汽车以v＝(3t＋2) m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s 间的1 s内经过的路程是__________．
解析 13 ＝ (m)． 2
S＝
2 1
3 3 3 7 2 2 (3t＋2)dt＝ 2t ＋2t | 1 ＝ 2 ×4＋4－ 2＋2 ＝10－ 2
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b (2)一般情况下，定积分 f(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线

a
f(x)以及直线 x＝a，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴 影所表示)，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
题型一 【例1】 计算下列积分
定积分的计算
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【规律方法】

0

0

1
解析
2 1 2 ∵ f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx，
0 0 1
2 2 1 ∴ f(x)dx＝ f(x)dx－ f(x)dx＝－1－1＝－2.
1 0 0
答案
－2
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【答案】 C
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【规律方法】
利用定积分求解曲边图形的面积，关键要把
握住两点：一是准确确定被积函数，一般的原则是“上”－ “下”，即根据曲边图形的结构特征，用上方曲线对应的函数解 析式减去下方曲线对应的函数解析式；二是准确确定定积分的 上、下限，本例中应为曲边图形左、右两端对应点的横坐标， 上、下限的顺序不能颠倒．
听课记录 方程为y＝1. 由
2 x ＝4y， y＝1，
如图，抛物线的焦点坐标为(0,1)，所以直线l的
解得
x＝－2， y＝1
或
x＝2， y＝1，
即A(－2,1)，
B(2,1)．
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2．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是 ( )
1 2 A．S＝ (x －x)dx

0
1 2 B．S＝ (x－x )dx

0
1 2 C．S＝ (y － y)d y
0
1 D．S＝ (y－ y)dy
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疑 点 清 源 1．定积分计算中应注意 (1)被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分； (2)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积 变量； (3)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．
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第二章
①利用微积分基本定理求定积分，其关键是
求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导 数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数．②根据积 分的几何意义可利用面积求积分．
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答案 342
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