实用高等数学-7微分方程与拉普拉斯变换

即汽车驶过的距离为24米.
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7.1 微分方程的概念
【例3】 验证:函数 y C1 sin x C2 cos x 是方程
y y 0 通解 ．
【解】 求导，得 y C1 cos x C2 sin x y C1 sin x C2 cos x
将 y 和 y 的表达式代入所给微分方程的左边，得
s 3t C1,
再边积分，得
s (t )
3 2
t2
C1t
C2
将 s |t0 0 , s(t) |t0 0 代入以上两式，得 C1 0, C2 0.
于是汽车的运动方程为
s(t ) 3 t 2 2
.
将 v 12m / s 代入 s 3t 得， t 4 .此时
s(4) 3 42 24. 2
【解 】 设在时刻t时某元素的量为Q， 则Q是时间的函
数Q=Q(t)（即为元素的衰变规律). 依题意，有
dQ kQ dt
（ k 为比例常数，且
k0 ）
由于 Q 是递减函数，则 dQ 0（故须在上式的右边加一个负号）
dt
分离变量，得 dQ kdt.
Q
两端积分，得
dQ Q
k
dt
ln Q kt C0.
的切线斜率等于 3x2 的曲线方程。
【解】 设所求曲线的方程为 y f (x).
dy 3x2 , 积分 dx
y x3 C ，
由于曲线过（1,2）点，故可求得 C=1,
所求曲线的方程为 y x3 1.
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7.1 微分方程的概念
【例２】一辆汽车在平直的公路上从静止开始以3m/s2的加 速度加速行驶,问汽车的速度达到12m/s时驶过了多长的距离？
约定凡遇 ln y 均写成 ln y ，这样不影响结果并能简化运算。
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7.2 一阶微分方程
【例2】 求微分方程 xy2dx (1 x2 )dy 0 满足初始条件
y |x0 1 的特解.
【解 】 方程可改写为
(1 x2 )dy xy2dx.
分离变量，得
dy y2
x (1 x2 )
7.1 微分方程的概念
【定义2】如果将一个函数代入微分方程中，使方程成为恒 等式，则称这个函数是该微分方程的解.
含有独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶 数相同的解称为微分方程的通解. 不含任意常数的解称为微分 方程的特解.
. 【注意】独立是指即不能通过合并而使任意常数的个数减少.
例如 dy 2x dx
一阶线性微分方程的解法
1. 线性齐次方程 分离变量
dy P(x) y 0. dx
dy P(x)dx, y
（分离变量法）
两边积分
ln y P(x)dx ln C,
齐次方程的通解公式为 y Ce P(x)dx.
约定 P(x)dx 表示 P(x) 的某一个确定的原函数。
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7.2 一阶微分方程
C
（
C
是任意常数）
y 0 也是原方程解。
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7.2 一阶微分方程
【例1】 （2） 解微分方程 y y cos x.
【解 】 方程可改写为 dy y cos x.
分离变量，得
dy
cos
dx
xdx
y
0
.
y
两边积分，得
1dy y
cos
xdx,
求积分得
ln y sin x C1，
即
y eC1 esin x
再求积分得
y
1 4
x4
1 3
x3
1 2
源自文库
x2
C1x
C2.
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7.1 微分方程的概念
【例5】 解微分方程 dy （x3 cos x)dx, y |x0 1.
【解 】 对两端积分 dy (x3 cos x)dx,
求积分得
y 1 x4 sin x C. 4
将初始条件 y |x01 代入上述通解中，得 C 1.
dx.
两边积分，得
1 y2
dy
x (1 x2 )
dx
求积分得
－ 1 － 1 ln(1 x2 ) C， 即 1 1 ln(1 x2 ) C.
y2
y2
将初始条件 y |x0 1 代入上式，求得 C 1.
所以得
1 1 ln(1 x2 ) 1.
y2
因此所求方程的特解为
y
2
.
ln(1 x2 ) 2
是方程 x k 2x 0 的解 ．
【解】 求导，得 x kC1 sin kt kC2 cos kt,
x k 2C1 cos kt k 2C2 sin kt,
将 x 和 x的表达式代入所给微分方程的左边，得
左边 =x k2x
k 2 (C1 cos kt C2 sin kt) k 2 (C1 cos kt C2 sin kt) 0.
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是所给微分方程的解．
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7.1 微分方程的概念
【例４】 解微分方程 y'' 3x2 2x 1.
【解】 方程的两边积分 ydx (3x2 2x 1)dx,
求积分得
y x3 x2 x C1.
对上式求积分，得
ydx (x3 x2 x C1)dx，
通解 y x2 C
特解 y x2 1
d 2s 3. dt 2
通解 特解
s(t)
3 2
t2
C1t
C2
s(t ) 3 t 2
2
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7.1 微分方程的概念
用来确定通解中任意常数的附加条件称为初值条件．
例如，例2中的 t 0 时， s 0 和
v ds 0 为初值条件． dt
t 0 时，
所以满足初始条件的特解为 y 1 x4 sin x 1. 4
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7.2 一阶微分方程 一、可分离变量方程
形如
g y dy f (x)dx
的方程称为可分离变量方程.
求解可分离变量的微分方程的步骤如下：
第一步 分离变量 g( y)dy f (x)dx
第二步 两边积分 第三步 求出积分
很明显，直接积分是行不通的。
【解 】 将方程写成形式 dy 4xy2.
dx
上式两端同乘以 dx ,并同除以y2 y 0 ,将变量 x 和y“分离”开,得
两端求积分，得
1 dy 4xdx. y2
1 y2
dy
4xdx.
即 - 1 2x2 C （ C 是任意常数） ，所以原方程的通解为
y
y
1 2x2
Q(x) 0 dy P(x) y Q(x) dx
一阶齐次线性方程 一阶非齐次线性方程
例如， y 3y x 1, y 2y3 1,
2 y (sin x) y cos x, xy 2x2 y 0. 是
yy y sin x,
y ln y 0. 否
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7.2 一阶微分方程
即
Q ektC0 eC0 ekt，
故得
Q Cekt （其中C eC0）.
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7.2 一阶微分方程
二、一阶线性微分方程
形如
dy P(x)y Q(x)
dx
的方程，称为一阶线性微分方程。
特点：所含未知函数和未知函数的导数都是一次的.
Q(x) 0 dy P(x) y 0 dx
g( y)dy f (x)dx.
G(y) F(x) C,
其中 G( y)，F(x) 分别是 g y, f (x) 的原函数 ，C 为任意常数。
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7.2 一阶微分方程
【例1】 （1）解微分方程 y' 4xy2.
g y dy f (x)dx
【分析】 ydx 4xy 2dx y 4xy2dx.
2. 非齐次线性方程 dy P(x) y Q(x)
dx
令C C(x),
y
C(
x)e
P( x)dx
是上方程的解
则
y C(x)eP(x)dx C(x)P(x)eP(x)dx C(x)eP(x)dx P(x) y
将 y 和 y 代入原方程得 CeP(x)dx Q(x), 即 C Q(x)eP(x)dx.
u x du u tan u .
化简并分离变量，得
dx cot
udu
1
dx
，
x
两边积分，得 ln sin u ln x ln C ，
即
sin u Cx ，
变量回代，得原方程的通解
sin y Cx x
.
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7.2 一阶微分方程
【案例1】 已知某种放射性元素的衰变率与当时尚未衰变 的放射性元素的量成正比，求这种放射性元素的衰变规律.
左边 =y y
C1 sin x C2 cos x C1 sin x C2 cos x
0.
故 y C1 sin x C2 cos x 是所给微分方程的解．
又知C1，C2是两个独立的任意常数，故它是方程的通解.
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7.1 微分方程的概念
【例3】（2） 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt
求微分方程的解的过程叫做解微分方程.
【注意】如果不特别声明，也没有给出初始条件，解微分 方程就是求微分方程的通解.
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7.1 微分方程的概念
【例2】
方程
d 2s dt 2
3
，且
s0 0, s0 0，
求 s st ? 及当 v 12m / s 时， st ？
【解】 由 s 3 ，得 s 3dt ，
二阶微分方程的一般形式为
y f (x, y, y) 或 F x, y, y, y 0
一般地， n 阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y,L , y(n) ) 0,
其中 x, y, y,L , y(n1) 中的某些变量可以不出现.
如，方程 3y(4) 7 0 是四阶微分方程。
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【解】设位移方程为 s s t ．因为速度是位移关于时间
的导数， 而加速度是速度关于时间的导数，故
d 2s dt2 3,
即 s 3 二阶微分方程.
并且s0 0, s0 v0 0.
已. 知 a 3, v 12
（初始条件）
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7.1 微分方程的概念
【定义１】含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方 程．未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程．
第七章 微分方程与拉普拉斯变换
目录
7.1 微分方程的概念 7.2 一阶微分方程
7.3 可降阶的二微分方程 7.4 二阶常系数线性微分方程 7.5 拉普拉斯变换
7.6 应用与实践
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7.1 微分方程的概念
● 微分方程的定义
【例1】求过 1, 2 点， 且在曲线上任一点 M x, y 处
【想一想】
函数y=0是本题中 微分方程的解吗？ 如果是，它是否 包含在上述通解 中？
所求方程的通解为
y Cesin x (C eC1， C 为任意常数）
约定凡遇 ln y 均写成 ln y ，这样不影响结果并能简化运算.
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7.2 一阶微分方程
【例1】 （2） 解微分方程 y y cos x.
例如， y' 3xy 0, xdy y2dx,
d2y dx2
6 xy
0,
y4 4 y''' 9 y'' 10 y' y 4 sin x.
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微 分方程的阶.
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7.1 微分方程的概念
一阶微分方程的一般形式为
y f x, y,或F (x, y, y) 0,
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7.2 一阶微分方程
如果一阶微分方程能化为
dy f ( y )
2
dx x
的形式，则称原方程为一阶齐次微分方程，简称齐次方程。
对于齐次方程，若令
u y即
x
y ux
，则
dy u x du
dx
dx
，
于是方程（2）可化为 即为可分离变量方程.
u x du f (u) dx
例如，微分方程 xy y x tan y 就可化为齐次方程。
x
整理原方程，可得 y y tan y ，即可化为可分离变量方程。
xx
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7.2 一阶微分方程
【例3】求微分方程 【解】原方程化为
xy y x tan y 的通解。
x
y y tan y .
x
x
令 u y ，则 y ux
x
且 dy u x du .
dx
dx
则上方程化为
【另解 】 方程可改写为 dy y cos x. dx
分离变量，得 dy cos xdx y 0.
y
两边积分，得
1dy y
cos
xdx,
求积分得
ln y sin x ln C，
即 ln y ln C s in x， 所求方程的通解为
ln y s in x， C
y Cesin x ( C 为任意常数)
积分得
C(x) Q(x)eP(x)dxdx C.
通解公式为
y e P(x)dx[ Q(x)e P(x)dxdx C]
或
y Ce P(x)dx e P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx.
齐次方程通解
非齐次方程特解
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7.2 一阶微分方程
常数变易法: 通过将齐次线性方程通解中的任意常数 C 变易 为待定函数 C(x)，然后求出非齐次线性通解的方法称为常数变易