算法合集之《一类算法复合的方法》
复合形法
束优化算法——复合形法•一、基本原理复合形法的基本思路是在n维空间的可行域中选取K个设计点（通常取）作为初始复合形（多面体）的顶点。
然后比较复合形各顶点目标函数的大小，其中目标函数值最大的点作为坏点，以坏点之外其余各点的中心为映射中心，寻找坏点的映射点，一般说来此映射点的目标函数值总是小于坏点的，也就是说映射点优于坏点。
这时，以映射点替换坏点与原复合形除坏点之外其余各点构成K个顶点的新的复合形。
如此反复迭代计算，在可行域中不断以目标函数值低的新点代替目标函数值最大的坏点从而构成新复合形，使复合形不断向最优点移动和收缩，直至收缩到复合形的各顶点与其形心非常接近、满足迭代精度要求时为止。
最后输出复合形各顶点中的目标函数值最小的顶点作为近似最优点。
现以图5所示二维不等式约束优化问题来作进一步说明。
其数学模型为D：其中，，可称为隐式约束条件，而边界约束，可称为显式约束条件。
在可行域内先选定四个点、、、(这里取)作为初始复合形的顶点，计算这四个点的目标函数值，并作比较，得出坏点和好点：(7)(8)由图5,可以看出点为好点，点为坏点，即。
以、、三点的中心为映射中心，寻找坏点的映射点：（9）式中，a为映射系数，一般，通常取a=1.3。
然后计算映射点处目标函数与坏点目标函数值相比是否下降，并同时检查是否在可行域内。
如果下降性、可行性这两方面都得到满足，则以点替换点，由与、、共四个点构成一个新复合形（如图5中虚线所示)。
这个新复合形肯定优于原复合形；如果上述两个条件不能同时满足.则可将映射系数缩半，即，仍按式(9 )迭代，重新取得新的映射点，使其同时满足下降性、可行性条件。
有时甚至要经过多次缩减映射系数才能使回缩的映射点最后满足这两个条件。
这时以回缩成功的映射点和、、构成新复合形。
构成新复合形就完成了一轮迭代。
以后再按上述方法进行迭代搜索，不断地使复合形向着目标函数减小的方向移动和收缩，直到逼近最优解。
通过以上说明，复合形寻优可以归为两大步骤：第一步是在可行域内构成初始复合形，第二步是通过复合形的收缩和移动不断调优，逐步逼近最优点。
算法合集之《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》
1 2
《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程 》 ，张一飞，国家集训队 2002 论文 《解析一类组合游戏》 ，.王晓珂，国家集训队 2007 论文 第 1 页 共 24 页
IOI2009 中国国家集训队论文
贾志豪 石家庄二中
每一个模型都有详细的证明。大多数人在学习信息学时存在的问题是 “知其然，不知其所以然” ，因为大多数的比赛模式是只要求结果而不 要求过程。但这会使我们对一个事物“只知表皮，不知深髓” ，如果将 一个我们知道的问题稍加变形的话，我们可能就不会了。这个问题在组 合游戏中体现得尤其突出。因此笔者对于文中的每一个定理都给出了证 明，希望读者对文中的思想“知其然，知其所以然” 。
1.4 定义 NIM-模型
为了不使读者对本篇论文失去兴趣，我特意将介绍取石子游戏的内 容换成小字，对这部分内容已经很熟悉的读者可以直接略过。
取石子游戏即著名的 nim 游戏，游戏规则如下： 桌子上有 N 堆石子，游戏者轮流取石子。 每次只能从一堆中取出任意数目的石子，但不能不取。 取走最后一个石子者胜。
IOI2009 中国国家集训队论文
贾志豪 石家庄二中
组合游戏略述 ——浅谈 SG 游戏的若干拓展及变形
石家庄二中 贾志豪
前言
组合游戏是近几年新兴起的博弈游戏， 随着张一飞学长关于组合游戏的论文 的面世， 组合游戏问题开始在国内信息学竞赛这片沃土上生根发芽，与大家一起 成长、成熟、成才。最为马上要离开高中信息学舞台的高三学生，我一直希望能 为学弟学妹们留下一些我自己的心得，于是这篇论文应运而生！ ！ ！ 这篇论文的一些思想是我早在一年前节开始构思的， 感谢计算机学会为我提 供这样一个舞台， 能让我的论文为更多的人所知道；同时感谢在我写论文时无私 帮助过我的所有人，谢谢你们！ ！ ！ 先介绍一下论文的主要内容：第一章作为论文的理论基础，主要从欣赏的角 度引入了 SG 函数、游戏图、NIM 游戏等概念，重点谈我对组合游戏尤其是 SG 函 数的体会、 理解； 第二章主要介绍了几种不同规则的组合游戏以及相应的应对策 略，旨在告诉读者，游戏规则变化之后，我们应该如何去分析新的规则、解决新 的模型；第三章主要介绍了几种竞赛中常见的组合模型，并将“她”们成功的转 化成了 NIM 模型。 鉴于这篇论文的内容较多， 在这里给读者提供一些阅读建议：第一章由于篇 幅原因，并没有给出 SG 函数、NIM 游戏解法的详细证明过程，对于刚刚接触组 合游戏的读者，建议先阅读一些关于 SG 函数的资料（张一飞关于博弈游戏的论 文1、王晓柯关于组合游戏的论文2就很不错） ，然后再从论文的第一章看起，相信 你一定会很有收获；第二、三章是论文的重头戏，如题目所言，分别谈 SG 游戏 的拓展和变形，对于钟情于组合游戏的读者，可以重点看一看第三章，相信一定 不会让你失望！ ！ ！ 这篇论文主要有两个特点： 基本没有例题但处处是例子。为了让读者更好的理解论文中的思想，笔 者在选题目的时候刻意将题目的背景剥掉，只剩下一个“光溜溜 ”的数 学模型，这样读者在阅读论文时，就不必花精力去考虑背景向模型的转 化，可以全身心去理解笔者想要传达的思想。但读者不必去担心没有地 方练习，笔者将这几年的自己做过的组合游戏题收录在了论文的附录 里。
行测判断推理技巧：图形推理之复合规律
⾏测判断推理技巧：图形推理之复合规律 做了许多⾏测模拟题还是没有有效的提升⾃⼰的分数？那是你没有掌握⼀些技巧和重点，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测判断推理技巧：图形推理之复合规律”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测判断推理技巧：图形推理之复合规律 在公务员的考试⾏测中，图形推理的考察较为常⻅，考⽣对于图形推理单⼀规律的把握还是⽐较理想的，但是现在考试更倾向于图形推理复合规律的考查，难度就有所提升，正确率有所下降。
各位考⽣在做图形推理题⺫时，需要思考全⾯，更为细致地把控做题技巧、提⾼做题正确率，这就需要⼤家对于图形推理常考的复合规律有⼀定的把握，今天就来给⼤家分析复合规律，帮助⼤家更好地掌握图形推理。
图形推理之所以难，不仅仅是有些⾓度考⽣思考不到，还有⼀个重要问题——考⽣思考的不够全⾯。
有时应试者能够通过所给图形推敲出规律，且清晰看出答案，于是就很⾃信的作出判断，剩下的选项也不注意检验，直接进⼊下⼀题的解题，这样其实是很冒险的⾏为，因为当题⺫较难时，往往所含规律可能不⽌⼀种，需要考⽣思考的更加全⾯。
今天就来给⼤家介绍这种叠加规律的复合型题⺫在考试中常⻅的⼏种类型。
1.旋转和组合叠加的复合考查 【例题⼀】从所给的四个选项中，选择最合适的⼀个填⼊问号处，使之呈现⼀定的规律： 【解析】B。
这道题图形看起来较为简单，考⽣如果经常涉及组合叠加的题⺫，就能发现在图形相似，但是其中元素同中有异的情况下，需要考虑组合叠加这个规律。
但是这道题也难，普通的直接叠加前两图并不能够直接得到第三幅图，这时候就需要我们能够转换⾓度。
可以尝试改变某幅图的⽅向，再去叠加。
倘若将图⼀顺时针旋转90度，此时和图⼆叠加，去同存异就可以得到图三，带⼊到第⼆组图形中验证，改变图⼀后，和哪个选项叠加都不能得到图三。
再换⼀个⾓度，这次改变图⼆，将图⼆顺时针旋转90度后，和图⼀叠加，发现去同存异可以得到图三。
在第⼆组图中，发现只有B选项在顺时针旋转90度后和图⼀叠加后，去同存异能够得到图三。
安全算法种类 -回复
安全算法种类-回复“安全算法种类”密码学作为计算机科学中的重要分支，研究了如何保护信息的安全性和隐私性。
为了实现这个目标，人们发明了各种各样的安全算法。
在本文中，我们将会详细介绍几种主要的安全算法，它们是：对称加密算法、非对称加密算法和哈希算法。
一、对称加密算法对称加密算法是一种加密和解密使用相同密钥的算法。
在这种算法中，加密过程使用一个密钥将明文转换为密文，而解密过程将使用相同的密钥将密文转换回明文。
这种算法因其加密和解密过程的简单性而被广泛使用。
常见的对称加密算法有DES（Data Encryption Standard）、AES （Advanced Encryption Standard）和IDEA（International Data Encryption Algorithm）等。
其中AES是目前最常用的对称加密算法。
二、非对称加密算法非对称加密算法也被称为公钥密码算法。
不同于对称加密算法使用相同的密钥进行加密和解密，非对称加密算法使用两个密钥，一个是公钥（用于加密），另一个是私钥（用于解密）。
在这种算法中，公钥可以被任何人使用来加密消息，但只有拥有相应私钥的个人才能解密消息。
这种算法的一个重要应用是数字签名，它可以验证消息的完整性和真实性。
常见的非对称加密算法有RSA（Rivest-Shamir-Adleman）、DSA（Digital Signature Algorithm）和ECC（Elliptic Curve Cryptography）等。
RSA 是最早和最著名的非对称加密算法之一。
三、哈希算法哈希算法也称为散列函数，它可以将任意长度的数据转换为固定长度的数据。
哈希算法的一个重要特性是，对于给定的输入，通常会产生一个唯一的输出。
哈希算法广泛应用于密码学中的数字签名、消息认证和数据完整性验证等方面。
它不像对称加密算法和非对称加密算法那样需要密钥，因此在一些情况下更加高效和方便。
常见的哈希算法有MD5（Message Digest Algorithm 5）、SHA-1（Secure Hash Algorithm 1）和SHA-256等。
算法合集之《SPFA算法的优化及应用》
算法合集之《SPFA算法的优化及应⽤》迭代求解的利器--------SPFA算法的优化与应⽤⼴东中⼭纪念中学姜碧野【摘要】SPFA算法,全称Shortest Path Faster Algorithm,是Bellman-Ford算法的改进版。
该算法以三⾓不等式为基础，实现时借助队列或栈不断进⾏迭代以求得最优解。
具有效率⾼、实现简洁、扩展性强等优点。
三⾓不等式的普适性及其类似搜索的实现⽅式，使其应⽤并不只局限于图论中的最短路径，更可以在动态规划、迭代法解⽅程中发挥出巨⼤的作⽤，解决⼀些⾮常规问题；还可根据具体问题进⾏各种各样的优化。
本⽂将对其进⾏全⾯的分析、测试和深⼊的讨论。
【关键词】迭代 SPFA 深度优先搜索最优性动态规划状态转移⽅程【⽬录】SPFA算法简介 (3)1.1 SPFA算法的基本实现 (3)1.2活学活⽤：SPFA的深度优先实现及其优化 (5)1.2.1:基于Dfs的SPFA的基本原理 (5)1.2.2:基于Dfs的SPFA的相关优化 (7)1.3 SPFA算法实际效果测试及⽐较 (8)*1.4 Johnson算法介绍 (12)2.SPFA算法在实际应⽤中的优化 (13)2.1如何使⽤SPFA快速查找负(正)环 (13)2.2注意对⽆⽤状态的裁剪 (17)3. SPFA算法的应⽤ (19)3.1差分约束系统 (19)3.2在⼀类状态转移阶段性不明显的动态规划中的应⽤ (20)3.3探讨SPFA在解⽅程中的应⽤ (23)3.4⼀类状态转移存在“后效性”的动态规划中的应⽤ (28)5附录 (33)5.1例题原题 (33)5.2源程序&例题测试数据 (37)6.参考⽂献(37)7.鸣谢 (37)2009Thesis SPFA 的优化与应⽤姜碧野【正⽂】SPFA 算法简介1.1 SPFA 算法的基本实现下⾯，先介绍⼀下SPFA 和Bellman-Ford 算法的原理和适⽤条件。
⾸先⼀个很重要的性质便是三⾓不等式。
算法设计方法的分类及经典算法
算法设计方法的分类及经典算法作者：黄友亮来源：《科学导报·学术》2020年第68期简单来说，所谓算法就是定义良好的计算过程，他取一个或一组值作为输入，并产生一个或者一组值作为输出。
亦即，算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转换为输出结果。
我们还可以将算法看作一种工具，用来解决一个具有良好规格说明的计算问题。
有关该问题的表述可以用通用语言，来规定所需要的输入/输出关系。
与之对应的算法则描述了一个特定的计算过程，用于实现这一输入/输出关系。
计算机科学经过几十年的发展，孕育出许多算法设计的方法以及运用这些方法设计的算法，他们广泛运用于计算机研究领域以及计算机意外的现实生活中的各个领域。
其中，算法设计的方法包含有一下几类：一、分治法有很多算法在结构上是递归的：为了解决一个给定的问题，算法要一次或多次地递归调用其自身来解决相关的子问题。
这些算法通常采用分治策略：将问题划分成n个规模较小而结构与原问题相似的子问题;递归地解决这些iwenti，然后再合并其结果，就得到原问题的解。
分治模式在每一层递归上都有三个步骤：分解（Divide）：将原问题分解成一系列子问题;解决（Conquer）：递归地解决各子问题。
若子问题足够小，则直接求解;合并（Combine）：将子问题的结果合并成原问题的解。
﹒分治法的经典算法——合并排序（merge sort）。
合并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法。
该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。
合并排序法是将两个（或两个以上）有序表合并成一个新的有序表，即把待排序序列分为若干个子序列，每个子序列是有序的。
然后再把有序子序列合并为整体有序序列。
将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列;即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。
若将两个有序表合并成一个有序表合并排序直观地操作如下：分解：将n个元素分成n/2个元素的子序列;解决：用合并排序法对两个子序列递归地排序;合并：合并两个已排序的子序列以得到排序结果。
高级算法：解决复杂计算问题的常用方法
高级算法：解决复杂计算问题的常用方法随着科技的发展，我们生活中的计算问题日益复杂，对算法的要求也越来越高。
为了解决这些复杂的计算问题，人们提出了许多高级算法。
高级算法是指在解决计算问题时使用的一些比较复杂和智能的算法。
它们通常能够有效地解决一些复杂的问题，提高计算的效率和精度。
本文将对几种常用的高级算法进行介绍，以及它们在实际问题中的应用。
一、分治算法分治算法是一种将问题分解成若干个小问题，然后分别解决的算法。
通常情况下，分治算法会将原问题划分成几个规模较小的子问题，然后递归地解决每个子问题，最后将各个子问题的解合并起来得到原问题的解。
这种算法在解决一些复杂的计算问题时表现出了很高的效率。
1.1应用案例分治算法的应用非常广泛，比如在计算机视觉中，图像分割问题可以使用分治算法进行处理。
由于图像分割需要对图像进行分区，并找出图像中各个区域的边界，因此问题的规模较大。
采用分治算法可以将图像分割问题划分成若干个小的图像区域，然后递归地对每个小区域进行处理，最后将每个小区域的处理结果合并起来，从而得到整个图像的分割结果。
1.2算法流程分治算法的流程一般包括三个步骤：分解、解决和合并。
在分解步骤中，原问题被划分成若干个规模较小的子问题；在解决步骤中，递归地解决每个子问题；在合并步骤中，将各个子问题的解合并起来，得到原问题的解。
分治算法的成功与否主要取决于解决步骤的效率和合并步骤的正确性。
二、动态规划算法动态规划算法是一种通过把原问题分解成相互重叠的子问题，然后利用子问题的解来解决原问题的算法。
它通常用于优化计算问题的解，提高算法的效率和精度。
动态规划算法的优势在于能够避免重复的计算，从而提高计算的效率。
2.1应用案例动态规划算法在资源调度领域有着广泛的应用。
比如在生产调度中，需要对生产资源进行合理的调度，以最大程度地提高生产效率。
动态规划算法可以对生产资源的使用情况进行分析，然后利用子问题的解来优化资源调度，从而达到提高生产效率的目的。
算法合集之《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》
预备变量，输出值为 x1, x2, ...， 和输出值相应的概率 为 p1, p2, ... （概率和为 1）, 那么期望值 E ( X ) pi xi 。
i
例如投掷一枚骰子，X 表示掷出的点数，P(X=1)，P(X=2)，„，P(X=6)均为
pij P( X xi，Y y j ) (i，j 1 ， 2， )
当 X=xi 时，随机变量 Y 的条件数学期望以 E(Y | X=xi)表示。 全期望公式：
E ( E (Y | X ))
P( X x ) E (Y | X x )
i i i
pik pi i k p pi y k ik pi i k y k pik
引言
数学期望亦称为期望，期望值等，在概率论和统计学中，一个离散型随机变 量的期望值是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。 而期望在我们生活中有着十分广泛的应用。例如要设计一个彩票或赌博游 戏，目标为赢利，那么计算能得到的钱以及需要付出的钱的期望，它们的差则需 要大于 0。又例如对于是否进行一项投资的决策，可以通过分析总结得出可能的 结果并估算出其概率， 得到一个期望值而决定是否进行。期望也许与每一个结果 都不相等，但是却是我们评估一个事情好坏的一种直观的表达。 正因为期望在生活中有如此之多的应用， 对于我们信息学奥赛也出现了不少 求解期望值的问题。而其中大多数又均为求离散型随机变量的数学期望。本文对 于这类题目所会涉及到的常用方法进行了归纳，总结与分析。
引言 ........................................................................................................................................... 3 预备知识 ................................................................................................................................... 3 一、期望的数学定义 ........................................................................................................... 3 二、期望的线性性质 ........................................................................................................... 3 三、全概率公式 ................................................................................................................... 4 四、条件期望与全期望公式 ............................................................................................... 4 一、利用递推或动态规划解决 ............................................................................................... 4 例题一：聪聪与可可 ........................................................................................................... 5 分析 ................................................................................................................................... 5 小结 ................................................................................................................................... 6 例题二：Highlander ............................................................................................................. 6 分析 ................................................................................................................................... 6 小结 ................................................................................................................................... 8 例题三：RedIsGood ............................................................................................................. 8 分析 ................................................................................................................................... 8 小结 ................................................................................................................................... 9 二、建立线性方程组解决 ..................................................................................................... 10 引入 ..................................................................................................................................... 10 分析 ................................................................................................................................. 10 需要注意的地方 ............................................................................................................. 12 例题四：First Knight........................................................................................................... 12 分析 ................................................................................................................................. 12 例题五：Mario ................................................................................................................... 15 分析 ................................................................................................................................. 15 总结 ......................................................................................................................................... 16 参考文献 ................................................................................................................................. 17
组合优化问题的计算方法
组合优化问题的计算方法组合优化问题是数学、计算机科学、运筹学等学科中的一个重要研究领域，其研究的主要是在一定限制下，如何从一组可行解中找到最优解。
这种问题的特点是通常具有指数级别的计算复杂度，因此需要使用特殊的计算方法来求解，本文将对组合优化问题的计算方法进行分类介绍。
一、启发式算法启发式算法是解决组合优化问题的一种常用方法，通常基于一些贪心策略和随机性的思路，运用启发式搜索来不断寻找最优解。
常见的启发式算法有遗传算法、蚁群算法、模拟退火算法等。
1.1 遗传算法遗传算法是从生物遗传学中得到灵感而发展出来的一种基于种群的搜索算法，其主要模拟了生物进化论中基因变异、自然选择等过程。
具体工作流程如下：1）初始化种群2）选择运算3）交叉（重组）运算4）变异运算5）选择运算6）重复第2步到第5步，直到达到预设的终止条件。
1.2 蚁群算法蚁群算法是基于蚂蚁觅食行为而发展出来的一种启发式算法，在其过程中，蚂蚁相互合作通过信息素的沉积和蒸发来寻找最优路径。
具体的工作流程如下：1）初始化目标问题的信息素2）每只蚂蚁按照信息素选择寻找路径3）在路径上更新信息素4）重复第2步到第3步，直到达到预设的终止条件。
1.3 模拟退火算法模拟退火算法是一种启发式优化算法，旨在模拟物理学中固体物体冷却的过程，寻找全局最优解。
具体的工作流程如下：1）初始化初始解和温度2）在当前温度下尝试多次跳转到现有解空间内的随机解3）更新温度4）重复第2步到第3步，直到达到终止条件。
二、穷举算法穷举算法是指对所有可能的情况进行搜索的算法，它能找到所有可行解并寻找最优解。
但由于其计算复杂度极高，因此在实际生产中很少使用。
三、线性规划算法线性规划算法是解决线性约束条件下的目标函数最优化问题的一类算法，其主要的思路是将最优化问题转化为线性规划问题并进行求解。
常见的线性规划算法有单纯形法、内点法、分支定界法等。
3.1 单纯形法单纯形法是求解线性规划问题的一种常用方法，它是从全约束角的某一点开始（常为初始点），不断朝外跳到更优解处，并最终找到全局最优解。
ann算法 分类 -回复
ann算法分类-回复Ann算法是一种常见的分类算法，也可以用于回归和异常检测。
在本文中，我们将详细介绍Ann算法的原理、步骤和应用，并通过案例分析来说明其实际应用的效果。
一、Ann算法的原理Ann算法，全称为人工神经网络（Artificial Neural Network），其灵感来源于人脑的神经网络。
Ann算法模拟了神经网络的工作原理，通过大量的神经元和连接来处理输入数据，并在其中学习和建模，从而实现分类、回归和异常检测等任务。
Ann算法由三个基本组成部分组成：输入层、隐藏层和输出层。
输入层接收原始数据作为输入，隐藏层是用于处理输入数据的核心部分，输出层则给出最终结果。
每个神经元都与上一层和下一层的神经元连接，并通过调整连接权重来学习和优化模型。
Ann算法主要通过以下步骤实现分类：1. 数据准备：收集和整理用于训练和测试的数据集，并对其进行预处理，包括数据清洗、特征选择和特征缩放等。
2. 模型构建：根据数据集的特点和任务要求，选择适当的网络结构和激活函数，并初始化连接权重和偏置。
通常使用反向传播算法来调整权重和偏置。
3. 模型训练：将数据集输入到神经网络中，通过前向传播计算输出结果，并使用反向传播调整权重和偏置，以减小预测误差。
训练过程可以进行多个周期，直到达到一定的准确度。
4. 模型评估：使用独立的测试数据集评估模型的性能，可以通过计算准确率、精确率、召回率等指标来衡量分类模型的性能。
二、Ann算法的步骤Ann算法的一般步骤如下：1. 数据预处理：包括数据清洗、特征选择和特征缩放等操作，以准备好用于训练和测试的数据集。
2. 构建Ann模型：确定网络结构和激活函数，并初始化连接权重和偏置。
3. 训练Ann模型：使用训练数据集进行多轮训练，通过前向传播计算输出结果，再通过反向传播调整权重和偏置，从而优化模型。
4. 评估Ann模型：使用独立的测试数据集评估模型的性能，计算准确率、精确率、召回率等指标。
优化算法分类范文
优化算法分类范文概念：在计算机科学和运筹学中，优化算法又称为优化方法、算法或方法，是用于计算问题中最优解的算法。
它们根据定义的目标函数和约束条件，通过和迭代的过程来寻找问题的最优解。
1.经典算法分类：1.1穷举法：穷举法是一种简单直观的优化算法，通过遍历所有可能的解空间，然后找到满足条件的最优解。
缺点是计算复杂性高，当问题规模大时，计算时间会变得非常长。
1.2贪心算法：贪心算法是一种每一步都选择当下最优解的算法。
它通过局部最优解的选择来达到全局最优解。
但是贪心算法不能保证总是找到全局最优解，因为局部最优解并不一定能够达到全局最优解。
1.3动态规划：动态规划是一种将问题拆分成子问题并分解求解的方法。
它通过存储子问题的解来避免重复计算，从而提高计算效率。
动态规划通常用于求解具有重叠子问题结构的问题。
2.进化算法分类：2.1遗传算法：遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法。
它通过使用选择、交叉、变异等操作，利用种群的进化过程来寻找最优解。
遗传算法适用于解决优化问题的空间较大或连续优化问题。
2.2粒子群优化算法：粒子群优化算法是一种模拟鸟群觅食行为的优化算法。
它通过模拟粒子在空间中的移动过程来寻找最优解。
粒子群优化算法适用于解决连续优化问题。
2.3蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的优化算法。
它通过模拟蚂蚁在空间中的移动过程来寻找最优解。
蚁群算法适用于解决离散优化问题和组合优化问题。
3.局部算法分类：3.1爬山法：爬山法是一种局部算法，它通过在当前解的邻域中选择最优解来不断迭代地改进解。
但是爬山法容易陷入局部最优解，无法找到全局最优解。
3.2模拟退火算法：模拟退火算法是一种模拟金属退火过程的优化算法。
它通过在解空间中随机选择解，并根据一定的退火策略逐渐降低温度来寻找最优解。
3.3遗传局部算法：遗传局部算法是遗传算法和局部算法的结合。
它首先使用遗传算法生成一组解，并使用局部算法对这些解进行改进和优化。
算法合集之《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》
• 时间复杂度——所有状态的决策数之和
k倍动态减法游戏
有一个整数S（>=2），先行者在S上减掉一个数x， 至少是1，但小于S。之后双方轮流把S减掉一个 正整数，但都不能超过先前一回合对方减掉的数 的k倍，减到0的一方获胜。问：谁有必胜策论。
A第一回合减去2
A获胜B第一回合减去4
A第二回合减去1
K=2
• 步骤1：把所有“胜利终止状态”标记为P状态，“失败 终止状态”标记为N状态。 • 步骤2：找到所有的未定状态中，所有后继都被确定是N 状态的状态，设置为P状态。 • 步骤3：找到所有的未定状态中，可以一步到达P状态的 状态，都设置为N状态。 • 步骤4：若上两步中没有产生新的P状态或N状态，程序结 束，否则回到步骤2。
BOI官方解答的错误
• BOI的官方解答中认为，数组NP_A[i,j,k]和数组 NP_B[i,j,k]表示的状态总数为O(n3)数量级。 • 但是，形式上的三位数组并不等于包含的数据为 立方阶。事实上，这三维都不是O(n)的。
进一步的优化
• 首先，不属于任何一个数组LAi的白格子等同于黑 格，所以把它们涂黑。 • 观察得到结论：对每一个i而言，数组LAi中的格 子把所有白色区域分成两份，一部分与A的距离 小于i，另一部分大于i。
BOI 2008 game
• 一个n*n的棋盘，每个格子要么是黑色要么是白色。白格 子是游戏区域，黑格子表示障碍。 • 指定两个格子AB，分别是先手方和后手方的起始格子。 A和B这两格子不重合。 • 游戏中，双方轮流操作。每次操作，玩家向上下左右四个 格子之一走一步，但不能走进黑色格子。有一种特殊情况， 当一方玩家，恰好走到当前对方所在的格子里，他就可以 再走一步（不必是同一方向），“跳过对手”。 • 胜负的判定是这样的，若有一方走进对方的起始格子，就 算获胜，即使是跳过对方，也算获胜。
25个经典的元启发式算法
25个经典的元启发式算法元启发式算法（metaheuristic algorithm）是一种用于解决复杂优化问题的算法。
它们通常基于自然界的现象或者数学模型，能够快速、有效地寻找到全局最优解或者接近最优解。
下面我们来看看25个经典的元启发式算法。
1.蚁群算法（Ant Colony Optimization）:模拟蚂蚁寻找食物的行为，用于解决组合优化问题。
2.遗传算法（Genetic Algorithm）:模拟生物进化的过程，用于解决优化问题。
3.粒子群算法（Particle Swarm Optimization）:模拟鸟群觅食的行为，用于解决连续优化问题。
4.模拟退火算法（Simulated Annealing）:模拟固体退火的过程，用于解决组合优化问题。
5.蚁狮算法（Ant Lion Optimizer）:模拟蚁狮捕食的过程，用于解决连续优化问题。
6.蝗虫优化算法（Grasshopper Optimization Algorithm）:模拟蝗虫觅食的行为，用于解决优化问题。
7.人工蜂群算法（Artificial Bee Colony Algorithm）:模拟蜜蜂寻找花蜜的行为，用于解决优化问题。
8.蝇算法（Fly Algorithm）:模拟蝇类觅食的行为，用于解决优化问题。
9.骨骼优化算法（Skeleton-based Optimization Algorithm）:模拟骨骼结构的优化过程，用于解决优化问题。
10.人工鱼群算法（Artificial Fish Swarm Algorithm）:模拟鱼群觅食的行为，用于解决优化问题。
11.基因表达式编程算法（Gene Expression Programming Algorithm）:模拟基因调控的过程，用于解决优化问题。
12.蚁狮算法（Ant Lion Optimizer）:模拟蚁狮捕食的过程，用于解决连续优化问题。
13.蝗虫优化算法（Grasshopper Optimization Algorithm）:模拟蝗虫觅食的行为，用于解决优化问题。
顺序覆盖算法 -回复
顺序覆盖算法-回复顺序覆盖算法（Sequential Covering Algorithm）是一种机器学习算法，用于构建分类规则集。
该算法通过逐步选择特征，生成判决规则以覆盖训练数据中的不同类别样本。
本文将详细介绍顺序覆盖算法的原理、步骤以及应用领域。
一、算法原理顺序覆盖算法基于归纳学习的思想，通过特征选择和规则生成来实现分类任务。
其核心原理是利用特征的选择来产生简单且准确的规则。
由于数据集中的每个实例都被分到唯一的类别中，因此选择一个最具代表性的规则能够覆盖更多的实例。
该算法的目标是生成一个判断的顺序规则集，每个规则用一个前件（antecedent）和一个后件（consequent）表示。
前件是一个由特征和其对应取值组成的条件，后件为该条件下实例的类别标签。
二、算法步骤顺序覆盖算法的执行步骤如下：1. 初始化规则集为空，所有实例的类别标签设为未覆盖。
2. 对于每个还未被覆盖的类别，选择一个最佳特征作为当前规则的前件。
3. 基于选择的特征和其对应的取值，生成一个刻画该类别的规则。
4. 使用该规则对训练数据进行分类，将被覆盖的实例设置为已覆盖。
5. 根据持续覆盖的实例数量计算规则的准确性。
6. 如果准确性达到预设阈值，则将该规则添加到规则集中。
7. 更新实例的类别标签，去除已覆盖的实例。
8. 重复步骤2至7，直到所有类别被覆盖或者无法生成更多规则。
三、应用领域顺序覆盖算法在许多领域都得到了广泛的应用，如数据挖掘、机器学习和模式识别等。
在数据挖掘中，顺序覆盖算法可以用于分类任务，通过生成简单的规则来描述和预测数据集中的不同类别。
例如，可以利用该算法对顾客进行分类，预测他们是否有购买某个产品的潜在需求。
在机器学习中，顺序覆盖算法可以被用来进行特征选择和规则生成。
通过选择最具代表性的特征，算法可以生成具有高准确性的规则，从而实现对数据集的有效分类。
在模式识别中，顺序覆盖算法可以用于生成模式识别规则。
通过从样本集合中选择最具区分度的特征，算法可以生成规则，用于描述和分类不同的模式。
10个经典的算法问题与解决方案
10个经典的算法问题与解决方案算法问题是计算机科学中非常重要的一部分，对于准备面试或提升自己的技能都是很有帮助的。
下面列举了10个经典的算法问题及其解决方案：1.两数之和（Two Sum）问题描述：给定一个整数数组和一个目标值，找出数组中和为目标值的两个数。
解决方案：使用哈希表记录每个数字的索引，然后遍历数组，查找目标值减当前数的差是否存在于哈希表中。
2.盛最多水的容器（Container With Most Water）问题描述：给定一个非负整数数组，数组中的每个表示一条柱子的高度，找出两个柱子，使得它们与x轴构成的容器可以容纳最多的水。
解决方案：维护两个指针，分别指向数组的开始和结尾，计算当前指针所指的两条柱子之间的面积，并更新最大面积。
然后移动指向较小柱子的指针，重复计算直到两个指针相遇。
3.三数之和（3Sum）问题描述：给定一个整数数组，找出数组中所有不重复的三个数，使得它们的和为0。
解决方案：首先对数组进行排序，然后固定一个数字，使用双指针在剩余的数字中寻找另外两个数使得它们的和为相反数。
4.最大子序和（Maximum Subarray）问题描述：给定一个整数数组，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素）。
解决方案：使用动态规划的思想，从数组的第一个元素开始依次计算以当前位置结尾的子数组的最大和，并保存最大值。
5.二分查找（Binary Search）问题描述：给定一个排序的整数数组和一个目标值，使用二分查找算法确定目标值是否存在于数组中，并返回其索引。
解决方案：通过比较目标值与数组的中间元素来确定目标值是在左半部分还是右半部分，并更新搜索范围进行下一轮查找。
6.背包问题（Knapsack Problem）问题描述：给定一组物品和一个背包，每个物品都有自己的重量和价值，在不超过背包容量的情况下，找到一个组合使得总价值最大化。
解决方案：使用动态规划的思想，定义一个二维数组表示背包容量和物品数量，从左上角开始计算每个格子可以放置的最大价值。
ACM算法分类汇总
ACM算法分类汇总
ACM（Advanced Classification Machine Learning）算法是一种使用计算机程序对数据进行分类的方法。
它通过学习已知分类的数据集，然后根据学习到的模型对未知数据进行分类。
ACM算法在许多领域中被广泛应用，如医学诊断、金融风险评估和电子商务推荐系统等。
在监督学习中，常用的ACM算法包括决策树、朴素贝叶斯、支持向量机和神经网络等。
决策树算法使用树形结构表示分类规则，具有可解释性和计算效率高的特点。
朴素贝叶斯算法基于贝叶斯定理，综合考虑各特征对分类的影响。
支持向量机算法通过将样本映射到高维特征空间，在高维空间中找到最优分类超平面。
神经网络算法模拟人脑神经元的工作原理，通过调整神经元之间的连接权重实现分类。
在无监督学习中，常用的ACM算法包括聚类和异常检测等。
聚类算法将数据集划分为若干个类别，使得同一类别内的样本相似度高，不同类别间的相似度低。
常用的聚类算法包括K-Means、DBSCAN和层次聚类等。
异常检测算法用于发现与大多数样本不符的异常样本，常用的异常检测算法包括孤立森林、LOF和聚类离散度等。
总之，ACM算法是一种在数据分类问题中广泛应用的技术。
通过学习已知数据集，利用不同的学习模型对未知数据进行分类。
ACM算法可以分为监督学习、无监督学习、半监督学习和弱监督学习等多个分类，每个分类都有不同的算法和应用。
利用ACM算法，我们可以对大量的数据进行快速而准确的分类，为各种应用提供了强有力的支持。
专题19 算法初步与复数(基础篇 )-2021年高考数学备考艺体生百日突围系列(原卷版)
《2021艺体生文化课-百日突围系列》专题十九 算法初步与复数算法初步【背一背基础知识】算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．1．顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构．顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤．在示意图中，A 框和B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执行B 框所指定的操作． 2．条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构条件P 是否成立而选择执行A 框或B 框．无论P 条件是否成立，只能执行A 框或B 框之一，不可能同时执行A 框和B 框，也不可能A 框、B 框都不执行．一个判断结构可以有多个判断框．条件结构主要应用于一些需要依据条件进行判断的算法中，如分段函数的的求值、数据大小关系等问题中， 常常用条件结构来设计算法．条件？步骤A是否条件？步骤A步骤B是否3．循环结构的两种基本类型：（a ）当型循环：当给定的条件成立时，反复执行循环体，直至条件不成立为止；（b ）直到型循环：先第一次执行循环体，再判断给定的条件是否成立，若成立，跳出循环体；否则，执行循环体，直至条件第一次不成立为止．循环结构一般用于一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题常常用循环结构来解决．【讲一讲基本技能】1.必备技能：求解循环结构的算法问题时，只需将各次循环的结构一一进行列举，或寻找规律，适当地进行归纳总结，利用归纳得到的等式进行求解；求解条件结构的算法问题时，一般只需根据变量的取值范围选择不同的条件分支进行求解，选择合适的表达式求解．2.典型例题例1阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为（）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5例2根据右边框图，当输入x为6时，输出的y （）A．1 B．2 C．5 D．10例3．执行如图3所示的程序框图，若输出15S =，则框图中①处可以填入（ ）A ．4n >B ．8n >C ．16n >D ．16n <开始①输出结束是否0,1S n ==S S n=+2n n=S【练一练趁热打铁】1．执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=( )A 、67 B 、37 C 、89 D 、492．若某图的程序框图如图5所示，则该程序运行后的值是________．开始输出结束是否i1,0a i ==1i i =+1a i a =⨯+50a >3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ）复数的概念及其几何意义1．形如a bi +(),a b R ∈的数叫复数，其中i 叫做复数的虚数单位，且21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．复数集用集合C 表示．2．复数的分类：对于复数z a bi =+(),a b R ∈① 当0b =时，z 是实数； ② 当0b ≠时，z 是虚数； ③ 当0a =且0b ≠时，z 是纯虚数． 3．复数相等：若1z a bi =+(),a b R ∈，2z c di =+(),c d R ∈，则12z z =的充要条件是a c =且b d =． 特别地：若0a bi +=(),a b R ∈的充要条件是0a b ==． 4．复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内的点(),Z a b 一一对应．复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内所有以原点O 为起点的向量OZ 一一对应．5．复数的模：向量OZ 的模叫做复数z a bi =+(),a b R ∈的模，记作z 或a bi +，且22||z a b =+开始输入x是2?x ≥2xy =输出y 9y x =-结束否【讲一讲基本技能】1．必备技能：对于复数的基本概念及其几何意义的考查，一般首先通过复数的基本运算将复数利用一般形式进行表示，然后利用相关知识与公式进行求解． 2．典型例题例1．已知i 是虚数单位，若复数(1)(2)ai i ++是纯虚数，则实数a 等于 （ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．12例2．复数(12i)i 的实部为________.例3．已知i 是虚数单位，若()234m i i +=-，则实数m 的值为（ ）A ．2-B ．2±C ．2±D ．2 例4．设i 是虚数单位，则复数()2z i i =-在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 例5．已知i 是虚数单位，11z i=+，则z =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．2【练一练趁热打铁】1．已知i 是虚数单位，R b a ∈,，则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．设1aiz i-=，若复数z 为纯虚数（其中i 是虚数单位），则实数a 等于（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．123．已知i 是虚数单位，则复数()312z i i =⋅-+的虚部为（ ）A ．2iB ．iC ．2D ．1 4．已知a 、b R ∈，i 为虚数单位，若211ia bi i-+=+，则实数a b +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．设复数113z i =-，21z i =-，则12z z +在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．复数21ii+的模是 ．复数四则运算【背一背基础知识】1．共轭复数：实部相等，虚部互为相反数．若z a bi =+(),a b R ∈，则它的共轭复数z a bi =-． 2．复数的加法、减法、乘法、除法运算：加法、减法法则：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±；乘法法则：()()()()2a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i +⋅+=+++=-++；除法法则：()()()()2222a bi c di a bi ac bd bc adi c di c di c di c d c d+-++-==+++-++． 【讲一讲基本技能】1．必备技能：对于复数的基本运算，首先确定复数的实部与虚部，然后利用复数四则运算的基本运算法则进行即可． 2．典型例题例1．若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ） A ．3,2- B ．3,2 C ．3,3- D ．1,4- 例2．已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 例3．设103iz i=+，则z 的共轭复数为 （ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 例4 i 是虚数单位,计算12i2i-+ 的结果为 ． 【练一练趁热打铁】1．i 为虚数单位，607i =（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．12．设i 为虚数单位，则复数2ii+等于（ ） A ．1255i + B ．1255i -+ C ．1255i - D ．1255i --3．若复数Z 满足1zi-i =，其中i 为虚数单位，则Z=( ) （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ 4. 已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z=（）（A ）2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +（一） 选择题（12*5=60分）1．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．3C ．7D ．15开始输出结束是否2．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 （ ）.1.2.3.4A B C D3．执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ） A.12s>B ．35s >C ．710s > D ．45s >4．已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z = ( )A 、1i +B 、1i -C 、 1i -+D 、1i -- 5．复数的11z i =-模为（ ） A ．12B ．22C 2D ．26．已知复数21iz i+=+，则复数z 在复平面内对应的点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +8．已知复数z 满足()3425i z +=，则z =（ ）A ．34i -B ．34i +C ．34i --D ．34i -+ 9．已知复数1z i =-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．1z i =-- B ．1z i =-+ C ．2z = D ．2z =10．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（ ）12．某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果是26，则判断框内应为（ ） A ．1k > B ．2k > C ．3k > D ．4k >开始输出结束是否0,1S k ==2S S k=+1k k =+S图7（二）13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输出S 的值为 ．14．执行右边的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是 .15．设i 是虚数单位，则复数1i i -＝_________.16．【2015高考上海，文3】若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z .。
一类优化问题的分解算法
犻＝１
， …， 狓＝ （ ξ） ξ， ξ， ξ ）． ∑犺 （
１ Ｔ
犻
犖
犻
为研究问题 （ ， 需要下面一些基本假定 ． ＮＯ Ｐ） 假定 １ 狋 犺 狌）是可微函数 ． 犻 犻， 犼， φ（
犻 假定 ２ ， ， 是 狋 狓） 狋 狓） 犺（ 狓）关于决策变量ξ １（ ２（
狓
狀 狀 犿 其 中狋 是给定的函数 ． 犚 犺 犚 犿 ＜狀） ∶ ∶ →犚， →犚 （
在约束优化问题 （ 当狋 和犺 具有如下 特殊结 Ｐ Ｄ）中 ， 构时 ：
犖 犖 犻 犻 犻 犻
ｓ ． ｔ ． 犺（ 狓）＝ ０． 其中
犖 犖
（ 狋 狓）＝
犻＝１
， ， 狋（ 犺（ 狓）＝ ∑犺 （ ξ） ξ） ∑
２］ 法 和 关 联 预 测 法［ 这两种方法是大系统理论的根 ．
许多特性 和 指 标 ． 对 于 大 规 模 系 统 而 言， 它 行过程 、 总是多功能 、 多目 标 、 多 属 性 的， 相互之间可能存在 冲突 ， 要保证每个目标都达到最优是不可能的 ． 工程 上处理这类问题的一个行之有效的方法是采用效用 函数法 ， 即整体目 标 函 数 取 为 多 个 性 能 指 标 的 非 线 这便导致了在原始 对偶意义 下的 不可分优 性函数 ． 化问题 ． 对于可分 问 题 ， 能够用原始 对 偶 算 法， 把大规 模问题分解为 犖 个 维 数 较 小 的 子 问 题 进 行 有 效 求 解； 对于不可分问题 ， 可近似地用各目标的线性加权 和近似整体目标 ， 将不可分问题变成可分问题 ， 再用 原始 另 外， 也可利用人工智能的算 对偶方法求解 ； ［ ３ ５］ 然而 ， 这种策略和方法仅能得到次 法进行处理 ． 特别当整体 目 标 与 某 个 子 目 标 之 间 存 在 严 重 优解 ， 的非线性关系时 ， 无论怎么选取权系数或算法 ， 加权 和都不能作为整体 目 标 的 一 个 较 好 的 近 似 ， 甚至这 种近似最优解可能 与 实 际 最 优 解 相 差 很 大 ． 对于不
按照顺序 不重复组合算法 -回复
按照顺序不重复组合算法-回复题目：按照顺序不重复组合算法探究与应用导言：在计算机科学领域，组合是一种重要的概念。
组合是指从给定的一组元素中选择部分元素，使其满足某些特定的条件。
而按照顺序不重复组合算法则是指将元素按照一定顺序组合，使得组合中的元素不重复出现。
本文将深入探究按照顺序不重复组合算法的实现原理，并探讨其在实际应用中的意义和应用场景。
第一部分：理解按照顺序不重复组合算法的概念和原理（300-500字）1.1 什么是组合算法？组合算法是指从给定的一组元素中选择部分元素，使其满足某些特定的条件。
在组合中，选择的元素顺序可以不同，有时元素之间可能存在重复的情况。
例如，在一个由A、B、C、D四个元素组成的集合中，可能的组合包括AB、BCD、CD等。
1.2 什么是顺序不重复组合算法？顺序不重复组合算法则要求在组合的过程中，元素的顺序不能改变，并且不能有重复的元素出现。
例如，在上述的集合中，不合法的顺序不重复组合包括BC、ABD等。
1.3 实现顺序不重复组合算法的原理实现顺序不重复组合算法的关键在于对元素的选择和顺序进行控制。
可以使用递归的方式，每次递归在剩余元素中选择一个元素，将其添加到当前组合中，并将其之后的元素作为下一次递归的候选元素。
通过控制递归的条件和递归的调用次数，可以实现按照顺序不重复组合的算法。
例如，在集合ABC中，先选择A，再选择B，最后选择C，即得到满足条件的顺序不重复组合ABC。
第二部分：实现按照顺序不重复组合算法的代码分析（600-800字）2.1 递归实现顺序不重复组合算法以下是一个用Python语言实现的递归算法示例：pythondef combination(arr, r, data, index, i):if index == r:print(data)returnif i >= len(arr):returndata[index] = arr[i]combination(arr, r, data, index+1, i+1)combination(arr, r, data, index, i+1)arr = ['A', 'B', 'C', 'D']r = 3data = [None] * rcombination(arr, r, data, 0, 0)在上述代码中，`arr`表示给定的元素集合，`r`表示选择的元素个数，`data`是用来保存组合结果的列表，`index`表示当前组合结果的索引，`i`表示当前元素的索引。
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• 我们解决本题的重点是：不使用统一的算 法，而是同时使用这个问题的两种算法， 分别解决问题中的两个互补的部分
• 我的论文里还有另一个例子 SPOJ RECTANGL 这个问题同样可以通过同时使用两种不同 的算法得到较好的解决
总结
• 一个问题往往可以被看作是由若干个相对 并列的部分组成起来的
• 通常对这些部分使用统一的算法 • 而有时这个问题可以使用多种算法解决，
并且当这些算法应用在问题中不同特征的 部分时，会有不同的效果
• 这时就可以将这些算法复合，对问题的不 同部分，根据它们的特征分别选择使用对 这个部分较优的算法
总结
• 两个算法合并起来后，很神奇地得到了一 个更优的算法
• 这是因为这两种算法具有互补的优势，而 我们把问题分成了若干部分，对每一部分 根据其特征使用较优的算法，就使得两种 算法的优势得到了结合
• 算法2：枚举k，找[kY,(k+1)Y)中的最小 值。最后在这些最小值中取最优的
一个例子
• S={2,3,6,8} Y=5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
最小值为2
• 2 mod 5 = 2 6 mod 5 = 1
• 因此取6
最小值为6
• 现在的问题：询问S中给定区间[a,b]内的 最小数
算法2
• 对一个询问“A Y”，需要询问O(R/Y)个区 间，最多O(R)个区间
• 一次询问的时间复杂度高达O(R) • 总时间复杂度 O(NR)，也不能解决问题
尝试着优化
• 算法2的瓶颈在于一次询问需要处理的区间 可能非常多，但只会发生在很少当Y非常小 的时候
• 一个例子：当Y>R0.5时，算法2已经可以接 受了
• 可以看成是询问≥a的最小数q(a)
a
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
q(a )
2 2 2 3 6 6 6 8 8 +∞ +∞ …
• 对很多连续的a，q(a)是相等的 • 形成了若干个区间
• 假设X所在的区间为[s,t]，现在在S中插入 X
a
q(a )
Hale Waihona Puke s s+1 … X-1 X X+1 … t-1 t
总结
• 每个算法都有各自的优势和劣势 • 如果我们取长补短，充分利用它们的优势，
也许就将会得出总体更优的算法 • 这种取长补短的思想是非常重要的
Xt
Xt
Xt
Xt
Xt
t
t
t
t
• [s,t]被拆分成了区间[s,X]和[X+1,t]
• 只有插入操作，所以一直在拆分区间，而 不合并区间
• 让时间倒流，把所有操作按照从后往前的 顺序处理，那么区间就一直都在被合并了
• 并查集
• 把这里每个区间看作是一个集合，并维护 它们对应的q
• 每次操作近似地认为是均摊O(1)
应的询问当前的答案
• 时间复杂度为O(N2)，不能解决问题 • 但当询问中出现的不同Y的个数比较少时会
很快，时间复杂度可以写成O(不同Y的个数 ×N)
进一步分析
• 当遇到一个询问"A Y"时，要在S中寻找使 得x mod Y最小的数x
• 把这里的x写成kY+r，其中0≤r<Y，k和r 是整数
• 也就是说，我们要在集合S中，寻找使得r 最小的数kY+r
• 我们可以对这部分很少的Y的询问使用另一 种算法
• 算法1当询问中的不同的Y很少时会很快， 所以这里的另一种算法可以选择算法1
算法3
• 设一个边界值K • 对Y>K的询问使用算法2 O(NR/K)
对Y≤K的询问使用算法1 O(NK) • 总时间复杂度O(NK+NR/K) • 将N和R看作常数，容易得出当K=R0.5时总
一类算法复合的方法
江苏省扬州中学 张煜承
问题描述
• 维护集合S，初始时为空。有N个操作需要 依次处理
• B X 在S中插入一个整数X • A Y 询问S中被Y除余数最小的数，如果有
多个则任取一个 • 1≤N≤40000，1≤X,Y≤R=500000 • 允许离线算法
初步分析
• 算法1：对询问中每个不同的Y，维护它对